CC BY
31
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
1 2 © Чернецкая Н.С. , Торшина О.А.
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова, г. Магнитогорск
В работе рассматривается численное решение начально-краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения. Необходимость решения уравнений, содержащих производные дробного порядка встречается, например, в задачах об эволюционных процессах в биологических популяциях, при исследовании колебаний механических систем, когда эффект затухания описывается с помощью производных дробного порядка, и других проблемах. Производные и интегралы нецелого порядка играют основополагающую роль в моделировании физических процессов фундаментального характера.
Ключевые слова интегро-дифференциальные уравнения, численные методы, нежесткие системы, начально-краевая задача, производные дробного порядка.
Рассмотрим моделирование движения масс в условиях, когда в разные промежутки времени на них действуют внешние силы, не являющиеся непрерывными функциями времени. В данной задаче использования уравнения, которые на разных участках временной оси t имеют различную структуру.
Решение начально-краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения [1] получается в результате последовательного выполнения больших шагов длиной Ht в положительном направлении временной оси t. Каждый такой шаг в свою очередь делится на nt малых шагов, длина которых ht = Ht / nt. При решении многомерных задач отрезки интегрирования на других осях могут содержать другое число шагов (nx или ny). Разрешающая система линейных алгебраических уравнений на большом шаге строится относительно узловых приращений неизвестных функций [5], поэтому интегралы и производные, как целого, так и дробного порядка должны быть выражены через узловые значения неизвестных функций и/или их шаговых
1 Студент.
2 Доцент кафедры Прикладной математики и информатики, кандидат физико-математических наук.
приращений. В случае целого порядка производной вектор узловых значений производной р-го порядка У^1 неизвестной функции у выражается через вектор узловых значений этой функции У по формуле [2]
у{р) = § Бт (Е - ББ) 1у[р-т) + БРУ,
т=0
где Е, 8 и Б - единичная матрица, матрица интегрирования и матрица дифференцирования порядка У(р)п соответственно; У(р)1 - единичная матрица-столбец; у1(к) - значение производной к-го порядка функции у в начальном узле.
По определению производная дробного порядка а функции w(t) выражается через интеграл с переменным верхним пределом
1 ' 1
(') = —,-т [-=-(') Ж, аёЫ, (1)
() Г( т-а)1 ('-Т)1-т+а () , , (1)
где Г(р) - гамма-функция; т - наименьшее целое число, превышающее а. Принципиальное отличие производной дробного порядка от обычной производной целого порядка, вычисляемой в точке оси t и зависящей только от свойств функции в этой точке, заключается в том, что она не является локальной. Ее значение в точке t зависит от значений дифференцируемой функции на всем промежутке оси от нуля до текущего значения t. Видно, что выражение в правой части равенства (1) имеет сингулярность (при t = тзнаме-натель подынтегрального выражения обращается в нуль), что может представить значительные трудности при вычислении интеграла с использованием обычных формул численного интегрирования. Указанная сингулярность не имеет места в следующем выражении для полученном в результате интегрирования по частям интеграла в (1)
Л (')= 1
Г(1 + т-а)
Г-^(1Г)+1('-т)т-а (г) Г
(2)
Однако, избавление от сингулярности при переходе от выражения (1) к (2) достигнуто ценой повышения порядка производной в подынтегральном выражении на единицу, что может стать причиной неустойчивости вычислительного процесса.
Для дискретизации интеграла в (1) в алгоритме используется формула трапеций [4]
(3) =
Т( 2 -а)
Ем
,=1а
-I := „ Г(м - г) !
(к)
(3)
где 0 < а< 2, аФ 1;
1, если г = 0
(г + 1)1-а-2г1-а+(г-1)1-а,„<г <М (1 -а)М-а -М 1-а +(М - 1)1-а,г = М
Здесь I пробегает номера узлов на оси t от 0 до М, соответствующие текущему значению времени t; 3 - шаг дискретизации при вычислении дробной производной.
Интеграл дробного порядка а имеет вид
3 ам() = £ (Г(а))-1 £ к - т)а-1 Цг)Сг, а, х е Я+ и в рассматриваемом примере реализуется также по формуле трапеций
3 ам?М (3) = 3а/г(2 + а)1„ С^,,
где 0 < а< 2, аФ 1;
(1 + а)Ма-М 1+а+(М -1)1+а, если г = 0 (М - г + 1)1+а- 2 (М - г )1+а+( М - г-1)1+а ,„ < г < М 1, г = М
При дискретизации производных и интегралов целого порядка многочленами степени п (5 < п < 9) с шагом ^ оценка погрешности будет О(Н1г+1), в то время как для интегралов и производных дробного порядка - О(3). Следовательно, для того чтобы интегралы вычислялись с оценкой О(й/^), необходимо выполнение равенства то есть шаг следует умень-
шить на несколько порядков. Для вычисления значений функции V в пределах малого шага с оценкой погрешности О(А"+1) выполняется интерполяция этой функции на большом шаге Ht с помощью формулы Лагранжа степени п. Таким образом, за счет увеличения объема вычислительной работы сохраняется точность, достигаемая при решении уравнений, не содержащих производных и интегралов дробного порядка.
Для обеспечения возможности задавать на разных участках оси t систему уравнений различными выражениями вводится функция g(a, Ь) такая, что
, ч [1, если 'е[а,Ь\; ё (а, Ь) = 1 г т
^ ' [2, если ' г [а, Ь\.
Рассмотрим уравнение 2-го порядка, описывающее колебания массы т в промежутке времени 0 < t < 20 при условии, что сила сопротивления пропорциональна производной дробного порядка 1.5, а внешняя сила, равная 8, действует только в период времени от 0 до 1
[тБ^ (') + /Б1^ (') + кы(')] ё (0,20)- (0,1) = 0. Начальные условия: ^ (0) = w( 0)= 0.
При вычислении в были выбраны следующие коэффициенты: т = 1.0, З = 0.5 к = 0.5.
Обозначим
/ (') = [ тО^(') + /О1^ (') + Ы (')] ё (0,20) - 8ё (0,1). Результаты расчетов приведены в таблице 1.
Таблица 1
Результаты численного эксперимента
t Dw(t) D15w(t) At)
0.08 -1459.08333 1.012027734+517.8778907-I -.546796602063433e-2-.386637156302808e-3-I
0.12 -5836.36333 2.829618266+1464.818158I -.134751908679140e-2-.683568195831894e-4-I
0.16 -13131.8300 5.243454210+2691.034419-I -.618256301522703e-3-.249323255289054e-4-I
0.20 -23345.4833 8.087221870+4143.113126I -.342378355320882e-3-.121499460299972e-4-I
0.24 -36477.3233 11.31363370+5790.152642-I -.218110010996642e-3-.694657706151473e-5-I
0.28 -52527.3500 14.84901239+7611.356460-I -.153183814771370e-3-.451069531789817e-5-I
0.32 -71495.5633 18.71449566+9591.427959-1 -.111721173623003e-3-.301044951621081e-5-I
0.36 -93381.9633 22.87694613+11718.46526-I -.855203567672748e-4-.214802345917436e-5-I
В численном эксперименте были найдены значения D2w(t) и D15w(t) по формуле вычисления производной дробного порядка. Затем найденные значения были подставлены в ft).
Список литературы:
1. Смирнова Л.В., Торшина О.А. Бесконечные последовательности, не влияющие на единственность восстановления потенциала // Applied and
Fundamental Studies Proceedings of the 4th International Academic Conference. -2013. - С. 31-34.
2. Торшина О.А.О следе дифференциального оператора с потенциалом на проективной плоскости // Вестник Челябинского государственного университета. - 2003. - Т. 3, № 3. - С. 178-191.
3. Торшина О.А. Оценка разности спектральных функций дискретных операторов // Альманах современной науки и образования. - 2009. - № 12-1. -С. 123-125.
4. Торшина О.А. Регуляризованные следы дифференциальных операторов. - Магнитогорск, 2015.
5. Торшина О.А. Собственные числа возмущенного оператора Лапласа-Бохнера // Наука и современность. - 2013. - № 26-2. - С. 48-52.
6. Торшина О.А.Собственные числа возмущенного оператора с потенциалом на проективной плоскости // Фундаментальные и прикладные исследования: проблемы и результаты. - 2014. - № 11. - С. 171-175.
7. Торшина О.А. Формула первого регуляризованного следа оператора Лапласа-Бохнера с потенциалом на проективной плоскости // В книге: Воронежская зимняя математическая школа 2004. - 2004. - С. 104-105.
8. Torshina O.A. Differential operators on the projective plane // Journal of Computational and Engineering Mathematics. - 2015. - Т. 2, № 4. - С. 84-94.
9. Torshina O.A., Kushkumbaeva A.S. Traces of differential operators on the projective plane // Applied and Fundamental Studies Proceedings of the 9th International Academic Conference. Science and Innovation Center Publishing House. -2015. - С. 55-61.
СВОЙСТВА ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕПОЛНЫХ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
© Ясницкая М.Н.1, Нигматулин Р.М.2
ФГБОУ ВО «Южно-Уральский государственный гуманитарно-педагогический университет», г. Челябинск
Рассматриваются неполные линейные разностные уравнения четвертого порядка с действительными коэффициентами. Полностью описа-
1 Студент 5 курса Физико-математического факультета.
2 Доцент кафедры Математики и методики обучения математике, кандидат физико-математических наук.
