CC BY
16
Физико-математические науки
83
МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ШВАРЦА ДЛЯ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ КОШИ
© Торшина О. А.*, Дегтярева К. А.
♦
Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова, г. Магнитогорск
В работе рассматривается численное решение начально-краевой задачи Коши для уравнения диффузии. В основе решения лежит модифицированный метод Шварца.
Ключевые слова задача Коши, начально-краевая задача, уравнение диффузии, метод Шварца, уравнение дробного порядка, преобразование Лапласа.
Рассмотрим задачу Коши для уравнения диффузии дробного порядка
где а = (-да, +да), функция у ограничена в области a, D - коэффициент аномальной диффузии.
- левосторонняя частная производная дробного порядка a not типа Римана-Лиувилля[1].
стразделим на две, вероятно, неперекрывающиеся подобласти а1 = (-да, L] и а2 = [0, да), L > 0. Через u(x, t) выразим приближение к искомой функции
* Доцент кафедры Прикладной математики и информатики, кандидат физико-математических наук.
♦ Кафедра Прикладной математики и информатики. Научный руководитель: Торшина О.А., доцент кафедры Прикладной математики и информатики, кандидат физико-математических наук.
t > 0,
х ea,a e (0,1), y(x, 0) = g(x),
a e (0,1)
84 интеллектуальный потенциал xxi века: ступени познания
y(x, t) в сть а в ст2 - через v(x, t). Опишем задачу для каждой новой области в отдельности [3]:
дУ(х,t) _D да | 3t дta 1 д Т))+f ( *) t > 0, х е CTj, ае (0,1);
и(х,0) = g (х), х е ^.
ду(х, t)_D да | et дг \ 'Аха )+. f (-), t > 0, х ест2, ае (0,1);
vA,0) = gA), х еа2.
Решение задачи может быть найдено в виде композиции решений и и v. Определим на внутренние границы областей x = 0 и x = L следующие граничные условия:
(в+4) и( х t)\x=L = (в+4) v( х, о| x=L,
(в + Ai)v(x, t) |,=о =(в + Ai)и( хt )\ х=0,
да ( д Л
где оператор B представлен в виде: B = D---1 — I. Вид B соответствует
dta \дх )
аномальному диффузионному потоку. Аг и А2 - некоторые линейные операторы, воздействующие на переменную t и подлежащие определению [2, 4]. Их нужно брать так, чтобы осуществлялась сходимость итерационного процесса.
Опишем следующий итерационный процесс:
дип (х, t) _ да ( д2un (х, t)
dt
0ta
дх2
+ f (х, t), t > 0, х < L,
ип(х,0) = g(х), х < L; (B + A)un(х,t) = (B + A)vn-1 (х, t)\ t > 0;
дуп (х, t)_ да ( д\п (х, t)
\
, + f (х, t), t > 0, х > 0,
дг дга{ дх2 )
vn(х,0) = g(х), х> 0; (B + A)vn(х,0|rf = (B + A)иг'-1 (х,t)^. А (х, t) = и(х, t) - ип (х, t) вп (х, t) = vA, t) - vn (х, t)
Физико-математические науки
85
- ошибки на n-ой итерации. В силу линейности всех операторов, для отыскивания ошибок берем нижеследующий итерационный процесс [6]:
0/4x0 = D0, , > 0, x х L,
dt dta у dx )
/” (x, 0) = g (x), x < L,
(B + A)/” (x, t)L, = (B + A x, t)|rf, t > 0;
дв” (x, t) xx da f д2 O” (x, t) ^ N Л
dt dta{ dx2 ) J ( , Л , ,
v” (x, 0) = g(x), x > 0,
(B+AW” (x, t)\x=0 = (B+a)/-1( x, t )| x=0.
Сходимость итерационного процесса к нулю, не смотря на начальное приближение, обеспечивает сходимость исходного процесса. Из данного условия и могут быть вычислены операторыЛ\ иЛ2.
Обозначим через y(x, к) преобразование Лапласа от функции y(x, к) по
да
времени y( x, к) = | e~kty(x, t )dt.
0
Предположив, что преобразование Лапласа от Д (s)У, i = 1,2, и применив его по времени, получим [5]:
к/ (x, к) = Dka/ (x, к), x < L,
Dka/(L, к) + А (к)/ (L, к) = Dka 11 (1, к) + A11” (1,к);
кв (x, к) = D^Oxx (x, к), x > 0,
D.ка y I (0, к) + A (к )y 1 (0, к) = Dка/;1 (0, к) + A (к )/”” (0, к).
Решая уравнения с учетом ограниченности функций /У и y, определяем
/ (x, к) = C”epx, x < L; в” (x, к) = C”e-px, x > 0; p = Vкl aDД
Подставляя в граничные условия, приходим к следующим равенствам:
86 интеллектуальный потенциал xxi века: ступени познания
/"+1(0, к) = р{к)// '(0, к), в"+'(0, к) = р(к)в" '(0, к), где
(Л(к) -Ркаср)(Л2(к) -Вкар)„_2qL Р( (\(к) -Бкар)(^(к) -Бкар)
есть коэффициент, относящийся к сходимости итерационного процесса. При \(к) =т/Окр, ^(к) = -^[Вкр, f3 = 1+а p(k) обращается в нуль. В
этом случае / (0, к) = д (0, к) = 0, следовательно, / (x, к) = 0 (x < L) и / (x, к) = 0 (x > 0).
Таким образом, сходимость итерационного процесса осуществляется за две итерации независимо от начального приближения и глубины перекрытия L.
Используя обратное преобразование Лапласа, находим искомые операторы:
I— др I— др
1>2к) = -Jd-^.
Можно продемонстрировать, что при делении исходной области на N областей такой способ выбора операторов обеспечивает сходимость итерационного процесса за N шагов.
Разберем численное выполнение метода для ограниченной области а= [-1, 1]. Первая начально-краевая задача для уравнения диффузии дробного порядка имеет вид:
dy(x, t) D да f д2у(x, t) dt dta { dx2
+ f (x, t),
t > 0,
x e (-1,1),
a e (0,1);
y(x,0) = g(x), x e [-1,1]; y(-1,0 = ^Х y(1,t) = S2(t), t > 0.
Допустим, что область а делится на две различные подобласти без перекрытия, т.е. а = [-1, 0], а2 = [0, 1]. Решение задачи в а1 обозначим через u(x, t), а в а2 - через v(x, t), сами области разобьем равномерной конечно-разностной сеткой с шагом Ах и числом узлов M + 1, xi = /Ax, i = 0, 1, ..., M.
Физико-математические науки
87
Шаг по времени At считаем постоянным, временной слой обозначим через tj = jAt, j = 0, 1, ... Значения сеточных функций обозначим z(x, tj) = zу. Производную дробного порядка по времени аппроксимируем, опираясь на формулу Грюнвельда-Летникова [5]:
daz(t)
_(«) _ 1 <Ро 0
1
(At )a
N
E9(ka)z (tN -k At) >
k=0
tN = N At,
( ) 9k
a + 1 k
( ) 9 k-i,
k = 1,2,...
В обеих областях организуем итерационный вычислительный процесс. Принимая в расчет конечно-разностную аппроксимацию, для x e oi имеем:
i,J i,j-1
At
D
(At) a (Ax)2
A< j +E9ka )A<
+ ft,,
i = 1,2,...,M-1, j = 1,2,...
ulo = g, i = 0,1,..., M; un0J =St, i = 0,1,.
Введем следующие обозначения:
A< j = - 2u” j + ui-1, j,
Kj = vM, j-k- vm-1, j,
n n n
№um , j = uM, j - uM-1, j ,
v0,j = v1,j -v0,j.
Начальному приближению присвоим значение с предыдущего временного слоя: u0. = uni X ■, j = 1,2,. Итерационный процесс происходит только для временного слоя tj.
D
(At )aAx D
(At )aAx
J
n V ' (a) n
Kum,j + E9k u,j-k
к=1
Kj+E9kaWij-
4d
(At /
. VD
(At /
M, J
v
V„,(>
-E9 k
M, J-k
к= j
0, j
j+Ev k
(^)„
j = 1,2,.
88 интеллектуальный потенциал xxi века: ступени познания
Запишем итерационный процесс в области ст2 для функции v(x, t). Отметим, что на каждом временном слое j приводит к системе линейных алгебраических уравненийAUj = Uj с трехдиагональной матрицей
Г 1 0 0 0
-а 1 + 2а -а 0
О -а 1 + 2а -а
,0 0 -b 1 + b
где а =
D(At)1-
b =
-n/D (At f-a
T Tn /„ .n „ .n „ .n \T
и векторами U, = (u0, ,,ut j,...,uM,.) и
(Ax)2 Ax
Hj = (\,,К,>■■■’hM,,)T, где ho,, = si,,; \j = К,-1 + aZ^(k)^ui,j-k + fi.
i = l,2,...,M 1, hM,j = To,j + b^\j-k + ^% (uo,j-k uM,j-k) + b%c (Wo,j-k MuM,j-k)■
Данная система легко может быть решена методом прогонки.
k =1
k=1
Список литературы:
1. Дубровский В.В., Торшина О.А. Проблема решения задач на собственные значения для дифференциальных операторов со сложным вхождением спектрального параметра // Новые мат. методы. Электромагнитные волны и электронные системы. - 2002. - № 9, Т 7. - С. 4-10.
2. Дубровский В.В., Торшина О.А. Формула первого регуляризованного следа для дифференциального оператора Лапласа-Бельтрами // Дифференциальные уравнения и их приложения. - 2002. - № 1. - С. 9-19.
3. Торшина О.А. Алгоритм вычисления регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости // Вестник МаГУ Математика. - 2003. - В. 4. - С. 183-215.
4. Торшина О.А. Регуляризованные следы дифференциальных операторов. - Магнитогорск, 2015. - 122 с.
5. Торшина О.А. Следы дискретных операторов с частными производными // Альманах современной науки и образования. Научно-
Физико-математические науки
89
теоретический / тематический журнал. - Тамбов: Грамота, 2012. -№ 4 (59). - С. 238, 220-222.
6. Торшина О.А. Численный метод вычисления поправок теории возмущений // Альманах современной науки и образования. Научнотеоретический / тематический журнал. - Тамбов: Грамота, 2013. -№ 12. - С. 168-170.
