Квазиньютоновский двухшаговый метод минимизации Текст научной статьи по специальности «Математика»

Физико-математические науки

77

КВАЗИНЬЮТОНОВСКИЙ ДВУХШАГОВЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ

© Кушкумбаева А.С.* *, Торшина О.А.*

Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова, г. Магнитогорск

Предлагается квазиньютоновский двухшаговый метод минимизации функции невязки, учитывающий овражность минимизируемой функции. На каждой итерации двухшагового метода смещение параметров проводится в два этапа, что позволяет обходить изгибы дна оврага и тем самым ускорить процесс минимизации.

Ключевые слова минимизация функции невязки, обратная задача.

Введение. Рассмотрим нелинейную задачу наименьших квадратов

min J(х). Здесь J(х) = — RTR - функция невязки, x = (х1 х 2

xN) - вектор

переменных минимизации [1, 2], RT = (r1, ..., rM) - вектор невязки и ry = jx) -нелинейные функции. Наиболее эффективными методами безусловной минимизации функции невязки являются методы второго порядка, требующие построения матрицы вторых производных (матрицы Гессе). Однако это построение приводит к большим вычислительным затратам. Поэтому на практике обычно используются квазиньютоновские методы.

В данной статье предлагается двухшаговый метод минимизации квазиньютоновского типа, учитывающий непредсказуемость целевой функции [4].

Модельная задача идентификации коэффициента фильтрации по замерам напора в наблюдательных точках. Однофазная стационарная фильтрация жидкости в трехмерном неоднородном напорном пласте Q подчиняется закону Дарси и описывается уравнением:

д_( дН\ д( dh

дх l ху дх) ду ^ ху ду

+4 dh | = о,

dz l dz 1

(1)

где Kxy, Kz - коэффициенты фильтрации и h = h(x, y, z) - напор.

Пласт Q пятислойный (и 40 км х 30 км х 200 м), слои зонально-неоднородные. Первый слой пласта состоит из одиннадцати, а слои со второго по

71

пятый - из пятнадцати зон однородности, т.е. Q = ^ Q .

* Магистр.

* Доцент кафедры Прикладной математики и информатики, кандидат физико-математических наук.

78

ДОСТИЖЕНИЯ ВУЗОВСКОЙ науки

Каждая зона однородности Qk характеризуется двумя значениями коэффициента фильтрации Kxyktr, Kzkr . Значения коэффициента фильтрации Kxyktr, к = 1, 71, брались в пределах от 0.1 м/сут до 100 м/сут, а значении Kzktr,

к = 1, ..., 71, в пределах от 0.0001 м/сут до 0.02 м/сут. В каждой зоне расположены по две наблюдательные точки. На кровле пласта заданы граничные условия второго рода (от -9.2 х 10-3 м/сут до 2 х 10-3 м/сут). Подошва и боковая поверхность непроницаемы, за исключением участка боковой поверхности пятого слоя, на котором заданы граничные условия первого рода h = 80 м. Из решения уравнения (4) при заданных значениях коэффициента фильтрации Kxyk ' , Kzktr определялись значения напора в наблюдательных точках hJtr,j = 1, ..., 142.

Построение двухшагового алгоритма минимизации функции невязки. В большинстве алгоритмов минимизации квазиньютоновского типа новые значения параметров на каждой итерации определяются по формуле

K+1 = K - sM, где s! = (s!b ., sMN) = (H + /J'E)-lg, E - единичная матрица и n -номер итерации [3]. Модификации метода Левенберга-Марквардта отличаются различной стратегией изменения параметра ! в процессе минимизации. Значения по итерациям функции невязки и среднеквадратического отклонения коэффициента фильтрации находятся по формуле:

A ln =

Процесс минимизации остановлен по критерию медленной сходимости, в течение трех итераций:

J(Kn) _ J (кKn+1) < 0.01J (Kn), (2)

при этом не была достигнута заданная точность по напору в наблюдательных точках:

Ahmx = max|hj(K"j - jj ^ 10_6 м. (3)

Число обусловленности ^ матрицы H, характеризующее степень

овражности, в процессе минимизации было не менее 2.42 х 1010.

Выполним еще одну дополнительную итерацию. Удвоенное значение функции невязки уменьшилось незначительно (с 1.84 х 10-5 до 1.83 х 10-5), параметр ! определился равным 2.38 х 10-4 [5].

Значения функции невязки, максимального отклонения параметров = max|1, суммы запасов чувствительностей приведены в табл. 1.

Z -

(in к:Ук - in к:Ук )2+(in кк - in кгк)

-xyk

142

Физико-математические науки

79

Результаты расчетов

Таблица 1

2J smax 125 2 Ъ i =1 142 2 P i=126

2.38 х 10-4 1.83 х 10-5 6.16 х 10-3 2.56 х 10-7 1.80 х 10-5

1.00 х 10-5 2.38 х 10-5 0.14 6.95 х 10-6 1.69 х 10-5

0.50 х 10-5 5.31 х 10-5 0.28 3.70 х 10-6 1.60 х 10-5

1.00 х 10-6 6.85 х 10-4 1.12 6.72 х 10-4 1.29 х 10-5

Из табл. 1 видно, что при уменьшении параметра ! запас чувствительности растет, при этом функция невязки и максимальное отклонение параметров растут [6, 7]. На втором шаге смещение переменных минимизации проведем в направлениях, соответствующих большим сингулярным числам,

на величину sv = (sV

~ ч ~ Sv, _Л

SVN X sv, = , 1 = 1

N ' а

q, g = 0, i = q +1,...,142.

Удвоенное значение функции невязки при ! = 10 5 уменьшилось с 1.84 х 10-5 до 1.71 х 10-5.

Рассмотрим двухшаговый алгоритм ДА минимизации функции невязки, в котором оба этапа выполняются в течение одной итерации. На каждой итерации определяется минимум функции невязки по параметру ! при смещении параметров в два шага. На первом шаге параметры смещаются по формуле

K /2 = K" — s , где 5 = sM. На втором шаге проводится дополнительное смещение параметров по направлениям, соответствующим большим сингулярным числам [8]. Параметры смещаются по формуле Kn+1 = K"+12 — s2, где

s2 = VSv, sK

Sv

а

i = 1

q, sv = 0,i = q + 1,...,142, gVi — компоненты век-

тора gv = VTg, g = AtR и R — вектор невязок в точке K+1/2.

Для определения вектора s1 используются значения невязок в точке K, а для определения вектора s2 - значения невязок в точке K+1/2 В обоих случаях матрица чувствительности А вычисляется в точке K.

Численные результаты. Используем предложенный двухшаговый алгоритм ДА для решения модельной задачи идентификации коэффициента фильтрации без погрешности в замерах напора. Приведем результаты сравнения алгоритма ДА с одним из вариантов метода Левенберга-Марквардта. Значения параметров на каждой итерации в методе Левенберга-Марквардта

определялись по формулам K+1 = K - sM, !п+1 = 1 ц", где ! - параметр Мар-

квардта и E - единичная матрица. При нарушении условия J(kB+1) < J(K) ко-

80

ДОСТИЖЕНИЯ ВУЗОВСКОЙ науки

эффициент ! увеличивался в два раза до тех пор, пока данное условие не выполнится. Начальное значение параметра /! бралось на порядок больше максимального сингулярного числа матрицы Н.

Используем предложенный двухшаговый алгоритм ДА для минимизации тестовых функций [3, 4]:

1) ф-я Розенброка J(x) = 100(x2 - x2)2 + (1 - x )2, нач. приближение x0 = (-1.2; 1);

2) ф-я Пауэлла J(x) = (x1 +10x22)2 + 5(x3 - x4)2 + (x2 - 2x3)4 + 10(x1 - x4)4, начальное приближение x0 = (3; -1; 01);

1 2

3) двумерная экспоненциальная ф-я J(x) = ^ we-' -e~“2)-(e~“ -e~mj\,

<i=0.1,0.1

начальное приближение x0 = (1; 1).

Число итераций, необходимое для достижения точности по невязке Гтх = max| r(x)| ^ 10 , полученное при минимизации тестовых функций

двухшаговым алгоритмом ДА и методом Левенберга-Марквардта, приведено в табл. 2.

Число итераций

Таблица 2

Функция Алгоритм ДА Метод Левенберга-Марквардта

Розенброка 1 26

Пауэлла 6 30

Двумерная экспоненциальная 4 18

Рис. 1. Поверхность логарифма ф-и Розенброка (а), последовательные приближения переменных минимизации (б), полученные методом Левенберга-Марквардта (•) и алгоритмом ДА (х)

Физико-математические науки

81

Из результатов, приведенных в табл. 2, следует, что двухшаговый алгоритм ДА, как и в случае модельной задачи идентификации коэффициента фильтрации, имеет более высокую скорость сходимости по сравнению с методом Левенберга-Марквардта [9]. Далее рассмотрим более подробно процесс минимизации функции Розенброка.

На рис. 1 показан общий вид поверхности логарифма функции Розенброка и последовательные приближения переменных минимизации, полученные методом Левенберга-Марквардта и алгоритмом ДА.

Заключение. Построен квазиньютоновский двухшаговый алгоритм минимизации функции невязки. В алгоритме на каждой итерации вдали от точки минимума первый шаг делается достаточно большим вдоль дна оврага и при изменении направления дна оврага проводится подъем на его склон. На втором шаге осуществляется спуск. Это позволяет обходить изгибы дна оврага и тем самым ускорить процесс минимизации.

Список литературы:

1. Дубровский В.В., Торшина О.А. Формула первого регуляризованного следа для дифференциального оператора Лапласа-Бельтрами // Дифференциальные уравнения и их приложения. - 2002. - № 1. - С. 9-19.

2. Кушкумбаева А.С. Визуализация решений первой краевой задачи для консервативного автономного уравнения Дуффинга с использованием методов теории ветвления // Материали за 11-а международна научна практична конференция, «Научният потенциал на света», 2015. Том 5. Математика. Физика17 Съвременни технологии на информации. Здание и архитектура. Технологии. - София. «Бял ГРАД-БГ» ООД, 2015. - С. 6-11.

3. Кушкумбаева А.С. Решение краевой задачи для консервативного автономного уравнения Дуффинга // Фундаментальные и прикладные исследования: проблемы и результаты. - 2015. - № 19. - С. 125-131.

4. Кушкумбаева А.С. Численное интегрирование обыкновенного дифференциального уравнения методом Эверхарта // Достижения вузовской науки. - 2015. - № 15. - С. 131-136.

5. Торшина О.А. Алгоритм вычисления регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости // Вестник МаГУ Математика. - 2003. - В. 4. - С. 183-215.

6. Торшина О.А. Регуляризованные следы дифференциальных операторов. - Магнитогорск, 2015. - 122 с.

7. Торшина О.А. Следы дискретных операторов с частными производными // Альманах современной науки и образования. Научно-теоретический тематический журнал. - Тамбов: Грамота, 2012. - № 4 (59). - С. 220-222.

8. Торшина О.А. Численный метод вычисления поправок теории возмущений // Альманах современной науки и образования. Научно-теоретический тематический журнал. - Тамбов: Грамота, 2013. - № 12. - С. 168-170.

82

ДОСТИЖЕНИЯ ВУЗОВСКОЙ НАУКИ

9. Торшина О.А., Кушкумбаева А.С. Применение квазиньютоновского метода к решению задач // Интеллектуальный потенциал XXI века: ступени познания. - 2015. - № 27. - С. 150-155.

ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ ЗАХВАТА В РЕЗОНАНС ПРИ СПУСКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ИЗМЕНЯЕМОЙ АСИММЕТРИЕЙ В АТМОСФЕРЕ ВЕНЕРЫ

© Любимов В.В.* *, Лашин В.С.*

Самарский государственный аэрокосмический университет,

г. Самара

Рассматривается спуск твердого тела с инерционной и аэродинамической асимметрией в плотных слоях атмосферы Венеры. Производится оценка вероятности захвата траекторий системы в резонансную колебательную область при спуске твердого тела с изменяемой по экспоненциальному закону инерционной асимметрией.

Ключевые слова твердое тело, космический аппарат, атмосфера, резонанс, вероятность захвата, асимметрия, угловая скорость, угол атаки.

В ближайшие десятилетия предполагается продолжить исследование атмосферы и поверхности Венеры посредством международных космических аппаратов. В состав таких космических аппаратов входит посадочный модуль, который должен осуществить спуск в плотных слоях атмосферы с последующей посадкой на поверхность Венеры.

Известно [1], что высота плотных слоев атмосферы более чем в два раза выше, чем у земной атмосферы. В связи с этим возникает актуальная задача о выборе формы и геометрических параметров посадочного модуля, обеспечивающих штатный спуск в атмосфере Венеры.

Известно, что влияние моментов, вызванных асимметрией спускаемого аппарата может привести к захвату в резонансную колебательную область [2]. При длительном резонансе происходит значительное увеличение угла атаки, которое может явиться причиной различных аварийных ситуаций [2]. При проектирование посадочного модуля, совершающего спуск в атмосфере Венеры требуется влияние различных типов асимметрии на движение модуля относительно центра масс. Целью такой работы является исключение возможной реализации явления захвата в резонанс.

* Заведующий кафедрой Высшей математики, доктор технических наук.

* Аспирант кафедры Высшей математики.