CC BY
41
ОСЦИЛЛЯТОР С КВАДРАТИЧНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ © Кушкумбаева А.С.*
Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И.Носова, г. Магнитогорск
При решении уравнения движения осциллятора с квадратичной нелинейностью предлагается провести сравнение нелинейных приближений. В каждом приближении делаются отдельные выводы по решению данного уравнения, просматривается влияние квадратичной нелинейности на динамику осциллятора.
Ключевые слова: осциллятор с квадратичной нелинейностью, осциллятор Дуффинга, диссипация энергии, демпфированные нелинейные колебания, амплитуда.
Уравнения движения осциллятора с квадратичной нелинейностью имеют вид:
x = у;
у + ®®x + 2/иду = /u(f cos Qt -щ2),
где все обозначения ровно такие, как и в случае осциллятора Дуффинга.
Пусть и = 0, тогда система (1), как и прежде, описывает колебания гармонического осциллятора, которые описываются решением (0). Если и ф 0, есть диссипация энергии (дф 0), но отсутствует внешняя периодическая сила f = 0, то остается существенным вопрос о демпфированных нелинейных колебаниях такого маятника. Решение системы разыскивается в виде:
x(t) = A(t)sin(®t) + B(t )cos(®t) + цх\ (t); y(t) = coA(t )cos(®t) - B(t)sin(®t) + ЦУ\(t),
„ 4 dx (t) где yi(t) = —^.
dt
После подстановки (2) в систему уравнений (1) следует определить уравнения движения для новых неизвестных функций A(t), B(t) и xj(t). Очевидно, что поскольку порядок исходной системы равен двум, то переменная xi(t), представляющая собой малую нерезонансную добавку, функционально связана с двумя оставшимися неизвестными A(t) и B(t), представляющими медленно изменяющиеся амплитуды. Система (1) является нелинейной, но резонанса в первом приближении асимптотической процедуры поиска решения обнаружить не удается. В этом можно легко убедиться после приведения исходных уравнений к стандартной форме и проведения процедуры поиска среднего. Амплитудные уравнения оказываются весьма простыми:
Магистр.
Физико-математические науки
185
A = —^SA;
Б = —juSB.
Уравнение для нерезонансной добавки оказывается таким
Г(Б2 + A2) rj(B2 — A2)
2
2
cos(2at) + rAB sin(2at).
2
x, + a x =
(3)
(4)
При решении уравнения (4) следует вспомнить, что осуществляется поиск асимптотического разложения по степеням малого параметра и, согласно формулам (2). Поэтому становится очевидным, что в первом нелинейном приближении поправка x1(t) не может явным образом зависеть от параметра U Если это так, то решение уравнения (4) весьма несложно:
X = —Г- [э(б 2 + A2 )—(a2 — Б2 )cos(2at) — 2 AB sin(2at )]
6a2
где амплитуды A(t) и B(t) считаются константами, согласно решению уравнении (3), когда и = 0. Следовательно, в первом нелинейном приближении решение нелинейной системы (1) практически неразличимо с решением соответствующей линейной подсистемы, когда малый параметр и = 0. Осталось выяснить, что во втором нелинейном приближении ситуация радикально поменяется. Теперь решение системы представляется, с учетом только что полученного результата, в модифицированном виде:
x(t) = A sin cot + B(t) cos cot +
+ и~Г\з(Б2 + A2 )+(a2 — B2 )cos2at — 2AB sin2at ]+ u2x2 (t);
6a (5)
y(t) = coA cos at — юБ sin at +
+u-tn *—Б) sin 2at — 2 АБ cos 2at J + u2 JJ (t).
После подстановки (5) в систему уравнений (1) следует опять-таки определить уравнения движения для новых неизвестных функций A(t), B(t) и x2(t). Также очевидно то, что переменная x2(t), ответственная за малую нерезонансную добавку второго порядка, функционально связана с медленно меняющимися амплитудами A(t) и B(t).
Во втором нелинейном приближении в системе (1) уже выявляется резонанс, который описывается нетривиальными эволюционными уравнениями:
А = —uSA +—^- U Б( А2 + Б2);
12ю3
Б = —USB---UА(А2 + Б2),
12ю3
(6)
186
НОВОЕ СЛОВО В НАУКЕ И ПРАКТИКЕ
Эти уравнения, в случае отсутствия диссипации энергии, когда 8 = 0, легко разрешаются:
где A(0) и B(0) - начальные значения амплитуд. Можно отметить, что если не ограничиваться условием 8= 0, то решение также будет весьма примитивно. Теперь принципиальный ответ на вопрос о том, как влияет квадратичная нелинейность на динамику осциллятора, получен. Эта нелинейность, как и в случае осциллятора Дуффинга, обуславливает изменение частоты порядка очень малой величины f, но не в первом приближении, а во втором приближении применения асимптотической процедуры. Этот эффект весьма слаб, но оказывает существенное влияние на всю эволюцию динамической системы.
Список литературы:
1. Дубровский В.В., Торшина О.А. Формула первого регуляризованного следа для дифференциального оператора Лапласа-Бельтрами // Дифференциальные уравнения и их приложения. - 2002. - № 1. - С. 9-19.
2. Кушкумбаева А.С. Визуализация решений первой краевой задачи для консервативного автономного уравнения Дуффинга с использованием методов теории ветвления // Материали за 11 -а международна научна практична конференция, «Научният потенциал на света». 2015. Том 5. Математика. Физика17 Съвременни технологии на информации. Здание и архитектура. Технологии. - София. «Бял ГРАД-БГ» ООД, 2015. - С. 6-11.
3. Кушкумбаева А.С. Решение краевой задачи для консервативного автономного уравнения Дуффинга // Фундаментальные и прикладные исследования: проблемы и результаты. - 2015. - № 19. - С. 125-131.
4. Кушкумбаева А.С. Численное интегрирование обыкновенного дифференциального уравнения методом Эверхарта // Достижения вузовской науки. - 2015. - № 15. - С. 131-136.
5. Кушкумбаева А.С., Торшина О.А. Квазиньютоновский двухшаговый метод минимизации // Достижения вузовской науки. - 2015. - № 18. - С. 77-82.
6. Торшина О.А. Алгоритм вычисления регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости // Вестник МаГУ Математика. - 2003. - В. 4. - С. 183-215.
7. Торшина О.А. Регуляризованные следы дифференциальных операторов. - Магнитогорск, 2015. - 122 с.
8. Торшина О.А. Следы дискретных операторов с частными производными // Альманах современной науки и образования. Научно-теоретический / тематический журнал. - Тамбов: Грамота, 2012. - № 4 (59). - С. 238. С. 220-222.
A(t) = A(0) sin ^-3 (A2 (0) + B2(0)) t ;
B(t) = B(0)cos
Физико-математические науки
187
9. Торшина О.А. Численный метод вычисления поправок теории возмущений // Альманах современной науки и образования. Научно-теоретический / тематический журнал. - Тамбов: Грамота, 2013. - № 12. - С. 168-170.
10. Торшина О.А., Кушкумбаева А.С. Применение квазиньютоновского метода к решению задач // Интеллектуальный потенциал XXI века: ступени познания. - 2015. - № 27. - С. 150-155.
11. Антипин А.С. О сходимости и оценках скорости проксимальных методов к неподвижным точкам экстремальных отображений // ЖВМиМФ. -1995. - Т 35, № 5. - С. 688-704.
12. Антипин Л.С., Васильев Ф.П О непрерывном методе минимизации в пространствах с переменной метрикой // Изв. вузов Математика. - 1995. -№ 12 (403). - С. 3-9.
13. Антипин А.С., Будак Б.А., Васильев Ф.П. Непрерывный экстраградиентный метод первого порядка с переменной для решения задач равновесного программирования // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. - 2003. - № 1. - С. 37-41.
