CC BY
56
Физико-математические науки
207
АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ
© Щербинина И.О.
Магнитогорский государственный университет, г. Магнитогорск
В работе решается задача численного нахождения собственных значений и собственных векторов оператора гамильтониана для квантового двумерного ангармонического осциллятора, рассматриваются методы А.М. Данилевского и А.Н. Крылова. Приводятся результаты численных экспериментов, показывающие надежность и вычислительную эффективность решения поставленной задачи.
Ключевые слова собственные значения, собственные векторы, квантовый двумерный ангармонический осциллятор, оператор гамильтониана.
В настоящее время большое значение приобретает вопрос о нахождении собственных чисел и собственных векторов. Это послужило предпосылкой к созданию новых численных методов нахождения собственных характеристик для широкого класса абстрактных операторов.
Аналитическая теория собственных значений возникла благодаря замеченной аналогии между рассматриваемыми вопросами теории краевых задач математической физики с алгебраической задачей преобразования квадратичной формы к главным осям. Данная аналогия была разобрана на частном примере в 1894 году Пуанкаре.
С 1910 года по 1930 год приобретает большой интерес теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. Важной частью этой теории является спектральная теория. Во многих работах была изложена теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, например, в работах Неймана (1929 г.), М. Стоуна (1929 г.) и в книге (1932 г.) Ф. Рисса (1930 г.).
В 1957 году И.М. Гельфандом и Л.А. Диким создан метод приближенного вычисления собственных чисел оператора Штурма-Лиувилля. Идея метода состоит в применении теории регуляризованных следов дифференциальных операторов. Теоретическое обоснование этого метода не дано, а лишь рассматривается пример нахождения первых трех собственных чисел уравнения Матье с хорошей точностью. В дальнейшем С.А. Шкарин в 1995 году в статье доказал не единственность решения бесконечных линейных систем определенного вида. После опровержения С.А. Шкариным метода Гельфанда-Дикого в исходной интерпретации значительным продвижением в решении задачи нахождения первых собственных чисел оператора стали работы В.А. Садовничего, В.Е. Подольского, в которых был введен класс операторов, с помощью которых была доказана возможность нахождения соб-
208
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ственных чисел задачи с заранее заданной погрешностью вычисления. В 1994 году в работе. Садовничим В.А. и Дубровским В.В. впервые были сформулированы идеи нового метода приближенного вычисления первых собственных чисел дискретных несамосопряженных операторов (метода РС), который основывается на теории регуляризованных следов и теории возмущений. В работах В.А. Садовничего, В.В. Дубровского, С.И. Кадченко, О.А. Торшиной [1, 6] были получены оценки остаточного члена и вычислены поправки теории возмущений. Рассмотренный метод был применен для разработки модели вычисления первых собственных чисел краевой задачи Орра-Зоммерфельда.
В связи с рассмотрением задач квантовой механики возникло значительное число работ по спектральной теории дифференциальных операторов [3, 4]. Для математического изложения квантовой механики необходимым было исследование новых разделов спектральной теории линейных операторов, в том числе, построение спектральной теории неограниченных самосопряженных операторов. С развитием квантовой механики, стала весьма актуальна проблема численного нахождения собственных чисел сингулярных операторов [2, 5]. Аналитически собственные значения энергии вычисляются лишь для некоторых модельных задач. Конечно же, далеко не все задачи решаются точно, поэтому становится необходимым разработка численных методов [7].
В начале тридцатых годов нашего столетия А.Н. Крыловым был представлен метод нахождения собственных значений и собственных векторов матриц. Для определения собственных векторов матрицы необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов характеристического полинома. Работа А.Н. Крылова явилась первой в большом цикле работ, посвященных преобразованию векового уравнения к полиномиальному виду.
Похожим методом А.Н. Крылова является метод, предложенный Саму-эльсоном. Для вычисления коэффициентов характеристического полинома нужно составить прямоугольную матрицу. Составление матрицы требует n(n - 1)2 умножений.
В конце тридцатых годов этого столетия А.М. Данилевским был предложен метод вычисления собственных значений и собственных векторов. Этот метод является одним из самых экономичных среди многих методов построения собственного многочлена матрицы. В основе метода лежит преобразование векового определителя к нормальному виду Фробениуса.
Один из первых методов вычисления характеристических полиномов матриц в коммутативном кольце предложил в 1881 г. Леверье. Видоизменение этого метода, предложенное в 1943 г. Д.К. Фадеевым, позволило вычислять одновременно еще и присоединенную матрицу. Метод Леверье, основанный на формулах Ньютона для сумм степеней корней алгебраического
Физико-математические науки
209
уравнения, весьма трудоемок, так как приходится подсчитывать высокие степени исходной матрицы.
В методах, прежде всего, необходимо вычислить коэффициенты pi характеристического полинома. Коэффициенты pi являются суммами всех миноров определителя матрицы A порядка i, опирающихся на главную диагональ. Конечно же, для нахождения коэффициентов pi необходимо произвести очень большое количество операций, но благодаря многим методам, в том числе методам Данилевского и Крылова, можно обойтись без громоздких вычислений.
Рассмотрим квантовый двумерный ангармонический осциллятор с оператором гамильтониана. Оператор гамильтониана для двумерного ангармонического осциллятора имеет вид:
Н =
рх2 + ру2 2т
то)2(х2 + у2')
+ а{х* 4- у4) + Ь(х6 + у6) + сху,
где р = ~ih—;
аж
m - массса осциллятора; а - угловая частота.
Определим одно частичный потенциал:
тогда полный потенциал данной задачи будет иметь вид: V{x,y) = V(x) + У (у) + сху.
Возьмем m = 1, а = 1, a = 1, b = 0,5, c = 5, а в качестве начального приближения выберем волновую функцию основного состояния гармонического осциллятора:
тр0=е~2х2-,
тР(Х>у) =тр0(х)тр0(у)
Для определения собственных значений и собственных векторов по методу Данилевского и Крылова представим оператор гамильтониана в матричной форме. Оператор гамильтониана получим в виде матрицы размерностью [5x5]:
2.341797 1.577077
1.577077 7.799269 0 3.898666
0 0
0 0
0
3.898666
14.921037
11.039537
0
11.039537 0
79.169258 59.757082 59.757082 173.91037-1
210
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Найдем собственные значения этой матрицы и запишем их в табл. 1. Обозначим найденные собственные значения по методу Данилевского Я,, по методу Крылова А;. Каждому собственному числу соответствует один собственный вектор. Найдем собственные векторы, нормируем их и запишем в табл. 2. Также в третьем столбце таблиц оценим на сколько результаты рассмотренных методов отклоняются друг от друга. Найденные векторы по методу Данилевскому обозначим через х, по методу Крылова через х.
Таблица 1
i К h
i 1.802373 1.802380 0.000007
2 6,107164 6,107097 0.000067
3 14,415397 14,415492 0.000095
4 52,898533 52,898411 0,000122
5 202,91838 202,91839 0,00001
Таблица 2
к X X \х — Ж|
к 0,939722 0,939721 0,000001
-0,321418 -0,321418 0
0,114269 0,114270 0,000001
-0,022280 -0,022280 0
0,007736 0,007736 0
кг -0,335532 -0,335532 0
-0,801075 -0,801088 0,000013
0,483430 0,483433 0,000003
-0,103064 -0,103064 0
0,036702 0,036703 0,000001
къ 0,065892 0,065891 0,000001
0,504431 0,504444 0,000013
0,829429 0.829412 0,000017
-0,216132 -0,216129 0,000003
0,080977 0,080976 0,000001
к4 -0,000688 -0,000686 0,000002
-0,022042 -0,022008 0.000034
-0,254270 -0,254268 0,000002
-0,866938 -0,866941 0,000003
0,428105 0,428107 0,000002
кь 0,0000609 0,0000612 0.000003
0,000550 0,000531 0,000019
0,025644 0,025646 0,000002
0,436552 0,436555 0,000003
0,899301 0,899309 0,000008
Из приведенных таблиц видно, что результаты вычислений методом
А.М. Данилевского и методом А.Н. Крылова хорошо согласуются. Также
Физико-математические науки
211
можно отметить, что количество арифметических операций, необходимых для вычисления по методу А.М. Данилевского значительно меньше, чем по методу А.Н. Крылова.
Список литературы:
1. Дубровский В.В., Торшина О.А. Проблема решения задач на собственные значения для дифференциальных операторов со сложным вхождением спектрального параметра // Новые мат. методы. Электромагнитные волны и электронные системы. - 2002. - N 9, Т 7. - С. 4-10.
2. Дубровский В.В., Торшина О.А. Формула первого регуляризованного следа для дифференциального оператора Лапласа-Бельтрами // Дифференциальные уравнения и их приложения. - 2002. - N 1. - С. 9-19.
3. Торшина О.А. Алгоритм вычисления регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости // Вестник МаГУ Математика. - 2003. - В. 4. - С. 183-215.
4. Торшина О.А. О следе дифференциального оператора с потенциалом на проективной плоскости // Вестник Челябинского государственного университета. - 2003. - Т 3, № 3. - С. 178-191.
5. Торшина О.А. Оценка разности спектральных функций дискретных операторов // Альманах современной науки и образования. - 2009. - № 12-1. -С. 123-125.
6. Торшина О.А. Формула первого регуляризованного следа дифференциального оператора со сложным вхождением спектрального параметра // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. -
2003. - Т 8, № 3. - С. 467-468.
7. Торшина О.А. Формула первого регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с негладким потенциалом на проективной плоскости // Вестник Самарского государственного технического университета. Математика. Вып. 45. Дифференциальные уравнения и их приложения. N 4. - Самара: Самарский государственный университет, 2006. - С. 174. - С. 32-40.
