Решение краевой задачи для консервативного автономного уравнения Дуффинга Текст научной статьи по специальности «Математика»

Физико-математические науки

125

Если заменить в (8) и в (11) множитель rn линейной комбинацией (Crn + Dr-1-1), то полученные системы могут быть использованы при решении краевых задач для сферического слоя и области, внешней к сфере, причем в последнем случае надлежит положить C = 0.

Список литературы:

1. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т 4. Ч. 2. - М.: Наука, 1974. -547 с.

2. Араманович И.Г., Левин. В.И. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1969. - 288 с.

3. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике: учеб. пособие. - М.: Изд-во МГУ, 1993. - 352 с.

РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНСЕРВАТИВНОГО АВТОНОМНОГО УРАВНЕНИЯ ДУФФИНГА

© Кушкумбаева А.С.*

Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова, г. Магнитогорск

В статье описывается решение уравнения Дуффинга. Рассматриваются все виды особых точек, полученные при разных условиях. С помощью определено заданных начальных значений амплитуды, коэффициента, характеризующего восстанавливающую силу и коэффициента вязкого сопротивления решается уравнение осциллятора.

Ключевые слова: осциллятор, уравнение Дуффинга, фазовая плоскость, фазовый портрет, особые точки, сепаратрисы.

Для описания физических процессов в теории колебаний применяются математические модели. Осциллятор Дуффинга или осциллятор с кубической нелинейностью является одной из наиболее распространенных моделей теории колебаний. Осциллятором Дуффинга (англ. Duffing oscillator) считается простейшая одномерная нелинейная система. Особенностью осциллятора Дуффинга является возможность получения хаотической динамики. Уравнение впервые было изучено немецким инженером Георгом Дуф-фингом в 1918 году. Уравнение осциллятора имеет вид:

x + ax + fix +yx3 = 0. (1)

Это уравнение можно получить, если рассматривать колебания математического маятника при небольших углах отклонения, колебания груза на

Преподаватель кафедры Прикладной математики и информатики.

126

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

пружине с нелинейной возвращающей силой, расположенной на плоской горизонтальной поверхности. Данное уравнение также можно получить при описании движения частицы в потенциале из двух.

В связи с невозможностью отыскания точного аналитического решения уравнения Дуффинга стоит вопрос об отыскании приближенных аналитических решений и численных решений данного уравнения. В связи с этим задача, рассматриваемая в данной статье, является актуальной.

В задаче изучается движение системы одной степенью свободы с нелинейной восстанавливающей силой и вязким сопротивлением при действии на нее периодической внешней силы. Уравнение такой системы запишем в виде:

d 2 х dt

dx

+ 2а-----+ Вх = F cosVt),

dt

(2)

где F и V- амплитуда и частота внешнего воздействия, В и у- коэффициенты, характеризующие восстанавливающую силу, 2а - коэффициент вязкого сопротивления.

Рассмотрим автономные движения, которые совершает нелинейная система, описываемая уравнением (2). Эти движения удобно исследовать на фазовой плоскости

dx

Фазовой плоскостью является координатная плоскость, в которой по осям координат откладываются какие-либо две переменные (фазовые координаты), однозначно определяющие состояние системы второго порядка. Фазовая плоскость является частным случаем фазового пространства, кото-

В физике колебаний на оси абсцисс фазовой плоскости откладывается значения параметра х, а на оси ординат - первая производная x по времени.

Физико-математические науки

127

Каждая точка фазовой плоскости отражает одно состояние системы и называется фазовой, изображающей или представляющей точкой. Изменение состояния системы отображается на фазовой плоскости движением этой точки. След от движения изображающей точки имеет название фазовая траектория. Через каждую точку фазовой плоскости проходит лишь одна фазовая траектория, за исключением особых точек. Стрелками на фазовых траекториях показывается перемещение изображающей точки с течением времени. Полная совокупность различных фазовых траекторий - это фазовый портрет. Он даёт представление о совокупности всех возможных сочетаний системы и типах возможных движений в ней. Фазовый портрет удобен для рассмотрения движений макроскопических и квантовых частиц.

Запишем уравнение (2) при F = 0 в виде системы двух уравнений первого порядка:

— = -lap - fix dt

(3)

Рис. 3

128

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Исключим переменную t в системе уравнений (3). Получим нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка, решением которого является уравнение фазовой траектории F(x):

dp - lap - fix

dx p

(4)

Это уравнение не может быть решено аналитическими методами, поэтому для построения фазовых траекторий приходится использовать вычислительные машины или различные приближенные графические методы. Однако качественно вид фазовых траекторий можно исследовать и аналитическими методами. Характер фазовых траекторий определяется видом и расположением особых точек. Особой точкой называется точка фазовой плоскости, в которой система может находиться сколь угодно долго при отсутствии внешних воздействий (т.е. x = const, X = const). Особые точки могут быть следующих видов: центр (безразличное равновесие), седло (неустойчивое положение равновесия), узел и фокус (как неустойчивое, так и устойчивое положение равновесия). Особые точки, как это следует из определения, могут находиться только на оси x.

Фазовые траектории представляют собой спирали, асимптотически приближающиеся к особой точке x = 0. Такая особая точка называется устойчивым фокусом (рис. 1).

Если система консервативна a = 0, то окрестности точки x = 0 возможны стационарные периодические режимы. Этому случаю на фазовой плоскости соответствует множество замкнутых фазовых траекторий, окружающих особую точку типа центр (рис. 2).

1) в случае у > 0 особая точка х= 0 - единственная;

2) в случае у < 0, помимо устойчивого фокуса (или центра) в начале координат, имеются еще две особые точки типа седла х2, х3, расположенные на оси x симметрично относительно начала координат. В этом случае а, определяемое по формулам - положительное действительное число, равное малой окрестности особых точек х2, х3. Фазовые траектории вблизи особых точек x2, x3 представляют собой кривые, подобные гиперболам, которые имеют своими асимптотами две прямые, проходящие через особую точку. Направление движения фазовой точки по этим кривым показано стрелками на рис. 3, причем, чем ближе фазовая точка подходит к особой точке, тем меньше ее скорость. Такой тип особой точки называется седлом.

Для того чтобы восстановить ход фазовых траекторий на всей плоскости, необходимо знать координаты особых точек, их тип и ход особых траекторий - сепаратрис. Сепаратрисы - это интегральные кривые, проходящие через особую точку, они разделяют фазовую плоскость на области различных типов.

Физико-математические науки

129

На рис. 4 показан ход фазовых траекторий при у < 0, а > 0. В этом случае фазовая плоскость делится на две области. Если фазовая точка находится внутри области П, то в процессе движения система приходит в устойчивый фокус. Область П называется областью притяжения фокуса. Если фазовая точка находится вне области П, то в процессе движения система удаляется от начала координат.

Фазовый портрет, полученный из уравнения

d2 x „ dx „ ^

—— + 2a-----b px = F cos(vt),

dt dt

имеет вид:

Рис. 5

130

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Установившиеся колебания, полученные также с помощью уравнения

(2) при данных значениях

>a:=1/4: b:=3: g:=1.5: F:=8.5: nu:=1.2: eq; sys;

Имеет вид:

Итак, по осциллятору Дуффинга был получен фазовый портрет, который имеет вид спирали с устойчивым фокусом в точке (-2,0).

Список литературы:

1. Дубровский В.В., Торшина О.А. Проблема решения задач на собственные значения для дифференциальных операторов со сложным вхождением спектрального параметра // Новые мат. методы. Электромагн. волны и электронные системы. - 2002. - № 9, Т. 7. - С. 4-10.

2. Дубровский В.В., Торшина О.А. Формула первого регуляризованного следа для дифференциального оператора Лапласа-Бельтрами // Дифференциальные уравнения и их приложения. - 2002. - № 1. - С. 9-19.

3. Торшина О.А. Алгоритм вычисления регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости // Вестник МаГУ Математика. - 2003. - В. 4. - С. 183-215.

4. Торшина О.А. Следы дискретных операторов с частными производными // Альманах современной науки и образования. Научно-теоретический тематический журнал. - Тамбов: Грамота, 2012. - № 4 (59). - С. 238, 220-222.

Физико-математические науки

131

5. Торшина О.А. Численный метод вычисления поправок теории возмущений // Альманах современной науки и образования. Научно-теоретический тематический журнал. - Тамбов: Грамота, 2013. - № 12. - С. 168-170.

ИССЛЕДОВАНИЕ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНОГО ОТВЕРСТИЯ В СИСТЕМЕ MAPLE

© Щукина Н.А.*

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ), г. Москва

Рассматривается плоская задача в напряжениях. В рамках эффектов второго порядка на примере треугольного контура отверстия исследован нелинейный эффект зависимости коэффициента концентрации напряжений от уровня внешней нагрузки при одноосном растяжении на бесконечности. Алгоритм нахождения аналитического решения реализован в среде математического пакета Maple.

Ключевые слова нелинейная теория упругости, эффекты второго порядка, концентрация напряжений, краевая задача.

Поскольку в высокоэластичном состоянии резина является низкомодульным материалом и допускает большие эксплуатационные деформации, то для описания напряженно-деформированного состояния необходимо привлекать нелинейную теорию упругости. В статических задачах предполагается, что эластомер является гиперупругим материалом, то есть существует потенциал энергии упругой деформации. Проблемой, связанной с расчетом резинотехнических изделий, является учет ее несжимаемости. В отличие от сжимаемых материалов в несжимаемых материалах напряжения не определяются деформациями, по ним напряженное состояние находится только с точностью до функции гидростатического давления. Вместе с тем условие несжимаемости несет дополнительную информацию о геометрии деформирования. В работе [1] предложена приближенная математическая модель, в рамках которой условие несжимаемости выполняется автоматически, а расчет напряженно-деформированного состояния резинотехнических изделий проводится в рамках нелинейной теории гиперупругости. В качестве метода построения приближенной модели плоской деформации применяется метод возмущений, который использует разложения по степеням малого параметра объекгы, которые описывают напряженно-деформированное состояние. Эти эффекты выделяются при ограничении разложений для радиус-вектора частиц в текущей конфигурации R и функции гидростатического давления p членами

Доцент кафедры «Прикладная математика», кандидат технических наук.