CC BY
44
Физико-математические науки
153
Список литературы:
1. Вдовичев С.Н. Магнитооптические эффекты / С.Н. Вдовиченков. - Н. Новгород: Изд-во Нижегородского гос. ун-та им. Н.И. Лобачевского. - 2010. -13 с.
2. Караев А.Т. Влияние внутренних ростовых напряжений на процесс намагничивания кристаллов гематита в базисной плоскости / А.Т. Караев, Б.Ю. Соколов // Журнал технической физики. - 2003. - Т 73, Вып. 5.
3. Кринчик Г.С. Физика магнитных явлений / Г.С. Кринчик. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976. - 367 с.
4. Кринчик Г.С. Поверхностный магнетизм гематита / Г.С. Кринчик, А.П. Хребтов, А.А. Аскоченский, В.Е. Зубов // Письма в ЖЭТФ. - 1973. -Т 17, Вып. 9.
5. Малоземов А. Доменные стенки в материалах с цилиндрическими магнитными доменами / А. Малоземов, Дж. Слозунски. - М.: Мир. - 1982. -385 с.
6. Успенская Л.С. Динамические магнитные структуры в сверхпроводника и магнетиках / Л.С. Успенская. - Институт физики твердого тела Российской академии наук, 2012. - С. 36.
7. Шалыгина Е.Е. Линейные магнитооптические эффекты в ферромагнетиках в отраженном свете/ Е.Е. Шалыгина, В.Е. Зубов, Т.Б. Шалаева. -М.: Изд. МГУ 2014. - 19 с.
8. Щербаков Ю.И. Динамика одиночной плоской доменной границы в пластинках слабых ферромагнетиков YFeO3, FeBO3 И a-Fe2O3 / Ю.И. Щербаков // Вестник ТОГУ - 2007. - Т 4 (7). - С. 250.
9. Zubov VE. Surface anisotropy and helicoidal magnetic structure on the basal faces of hematite / VE. Zubov, G.S. Krinchik, VA. Lyskov // Zh. Eksp. Teor. Fiz. - 1981. - Vol. 80.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
© Нужин Д.А.*, Торшина О.А.*
Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова, г. Магнитогорск
Известно, что при математическом моделировании многих реальных физических явлений в таких областях, как динамика жидкости, теплопередача, электричество, магнетизм и др., возникают задачи математи-
* Студент ФМФ.
* Доцент кафедры Прикладной математики и информатики, кандидат физико-математических наук.
154
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ческой физики. Для решения таких задач необходимо использовать численные методы.
В работе рассматривается численное решение задачи Дирихле для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами. Используется метод переменных направлений и метод Галеркина. Осуществляется сравнительный анализ методов.
Ключевые слова: метод переменных направлений, метод Галеркина, начально-краевая задача, численные методы.
Рассмотрим решение задачи Дирихле методом переменных направлений
_д_
дх1
dU
k (х, х,)-----
1V 1 ’ дх1
_д_
дх„
dU
k2 (Х> х2 ) — + q (Х> Х2 )U + f (Х> Х2 ) = 0 (1)
2 /
Ur = о,
(2)
в области D = Кх,х2): -1 < х < 1, -1 < х -1}, где Г - граница квадрата D,
f (х, х ) = (-3/2 - 2х) (х - х\) + (-3/2 - 2х2) (х - х2 )-(1+х)(X - х\)(х - х\),
k1 (X1, х2 )= 1 + х1, k2 (x1, х2 ) = 1 + хх q (х, х2 ) = 1 + к’ U = х (1 - х х (1 - х2) -точное решение задачи (1), (2).
ПустьD = Кх,х): -1 < х < 1, -1 < х < 1},- замкнутый квадрат, Г - его граница, f(x1, x2) - заданная на множестве D достаточно гладкая функция. Задача Дирихле заключается в том, чтобы найти непрерывную на множестве D функцию U(x1, x2), которая удовлетворяет на открытом квадрате D / Г уравнению и обращается в 0 на границе квадрата.
х х
Функции к (х, х ) = 1 +"^, k2 (х, х ) = 1 +^f, q (х, х ) = 1 + х, достаточ-
2
но гладкие, и удовлетворяют условиям
0 < С1а< К (X1, х2 ) < С2а, 0 < d1 < q (X1, х2 ) < d2 ■
(3)
Задача Дирихле (1), (2) имеет единственное решение U(x1, x2). Пусть
И — 1 / М, — J(x1k, x2m),
/
V
= mh■ (4)
ll > 'sT o' II aT {( X1k , х2 m )
k, m = 1,2..N -1},
w =
w,.
'w
, (wh - множество узлов, лежащих на Г).
Заменим исходную дифференциальную задачу (1), (2) разностной задачей.
1k
2m
h
h
Физико-математические науки
155
1 [ 1 Ук+1,т Ук ,т 1 Ук ,т Ук - 1,т .
h °к+1,т h °к,т h
1 ( 2 Ук ,т+1 Ук ,т 1 Ук ,т Ук ,т-1
+ h [ °к ,т+1 h
-- а1г
h
*
Ук, m = 0 на wh
Чк ,тУк,т fкj
а1,т = К | 1 -1,1т J , а1,т = к2 [ 2к , Х2^2
fk,т = f (Х1к , Х2т ) ,
Чк,т = Ч (Х1к , Х2т )•
(5)
(6)
Введём обозначения:
1 [ 1 (7)
h 1 ак+1,т h а1 к ,т h ’}
1 ( ' 2 2 (8)
h ак,т+1 h -а, к ,т h J
ЛУк ,т = Л1 Ук ,т +Л2 Ук,т
Составим для задачи (5), (6) двухслойную разностную схему переменных направлений:
Ук, т Ук ,т
т/ 2
Ук,т - Ук-т/ 2
v-12
'с,т
1/2
Л2Ук,т Чк,тУк,т f ,т , (9)
Л2Ук,т Чк,тУк,т f ,т , (10)
г-1, v = 1,2,...
т
В разностной схеме (9), (10) шаг т по времени делится на два полушага. Разностное уравнение (9) отвечает первому полушагу, в нём величины ук-, и
Л2У'кт считаются уже известными (в частности, у\т = 0, к,т = 0,1,), а неизвестные имеют верхний индекс v - 1/2. Правая часть задана. Перепишем разностное уравнение (9), предварительно умножив его на - т/2, следующим образом:
ак ,тТ . v-1/2
2h Ук-и"
1 +-
2h
2h
,/-1/2 , +1,тТ v-1/2 _ pv-12
Ук,т r\ i 2 Ук+1,т к,т
2h
к+1,т
(11)
156
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
где
FT12 =
к ,т
(Л2 Ук,т + fk ,т + qk ,тук,т ) - Укт,
известно, и присоединим к
разностному уравнению краевые условия
Уа
3/2 _
= а,
Ум,
12 _
= а
т
т
(12)
в соответствии с условием (6).
Разностная задача (11), (12) распадается на N - 1 независимых трёх точечных разностных краевых задач, отвечающих каждому фиксированному значению т, к = 1, 2, ..., N - 1. Разностная краевая задача (11), (12) решается методом прогонки при каждом т отдельно. Прогонка осуществляется по индексу к, то есть в направлении оси х1.
После того как найдены все неизвестные yvk на промежуточном слое с
номером v - 1/2, переносим их в разностном уравнении (10), соответствующем второму полушагу, вправо. Это разностное уравнение переписываем в виде
а? -
2h
-Ук ,т
1+-
2И1
- а,
- +
к,тТ
2И1
\Ук ,т +"
2Г
-Ук ,т
= FL
(13)
к ,т+1
где FVrn = -(AiУкТ + fк,т + %,тУкТ ) - уЩ2
известно, и присоединяем к
уравнению (3.51) в соответствии с условием (6), краевые условия
Ука = а Ук,м = а (14)
Задача (13), (14) тоже распадается на N - 1 независимых трёх точечных разностных краевых задач, отвечающих каждому фиксированному к, к = 1, 2, ..., N - 1. Каждая такая задача решается методом прогонки. Прогонка осуществляется теперь уже по индексу т, то есть в направлении оси х2.
Приведем результаты численного решения поставленной задачи. Здесь (хь х2) - узлы сетки, возникшей в результате дискретизации области.
Таблица 1
Решение задачи Дирихле для линейного эллиптического уравнения методом переменных направлений
\ Х2 Х1 \ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0.008 0.014 0.018 0.021 0.022 0.021 0.019 0.014 0.008 0
2 0 0.014 0.025 0.033 0.038 0.040 0.038 0.036 0.025 0.014 0
3 0 0.019 0.036 0.044 0.050 0.052 0.050 0.044 0.033 0.018 0
4 0 0.022 0.034 0.050 0.057 0.060 0.057 0.050 0.034 0.021 0
5 0 0.023 0.040 0.052 0.060 0.065 0.060 0.052 0.040 0.022 0
6 0 0.023 0.038 0.050 0.057 0.060 0.057 0.050 0.038 0.026 0
7 0 0.018 0.036 0.044 0.050 0.055 0.054 0.044 0.036 0.018 0
8 0 0.014 0.026 0.033 0.038 0.040 0.038 0.033 0.025 0.014 0
9 0 0.008 0.014 0.018 0.021 0.022 0.021 0.018 0.014 0.008 0
10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Физико-математические науки
157
В методе Галеркина решение разыскивалось в виде ряда по линейно независимым функциям. Ниже приведены результаты применения метода Галеркина к рассмотренной задаче Дирихле. Здесь (xb x2) - координаты области.
Таблица 2
Решение задачи Дирихле для линейного эллиптического уравнения методом Галеркина
N\ Х2 Х1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0.8 0 0.008 0.015 0.018 0.021 0.021 0.022 0.018 0.013 0.007 0
0.6 0 0.015 0.029 0.033 0.039 0.041 0.037 0.033 0.025 0.013 0
0.4 0 0.018 0.033 0.043 0.049 0.051 0.049 0.043 0.033 0.018 0
0.2 0 0.020 0.037 0.049 0.057 0.061 0.057 0.049 0.037 0.020 0
0 0 0.021 0.041 0.052 0.061 0.061 0.061 0.051 0.041 0.021 0
-0.2 0 0.020 0.039 0.049 0.057 0.061 0.057 0.049 0.038 0.020 0
-0.4 0 0.018 0.033 0.048 0.049 0.051 0.049 0.043 0.033 0.018 0
-0.6 0 0.013 0.029 0.033 0.037 0.041 0.037 0.033 0.024 0.013 0
-0.8 0 0.007 0.015 0.018 0.021 0.022 0.020 0.018 0.013 0.007 0
-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Из результатов видно, что оба метода могут использоваться в решении такого рода задач. Полученные значения могут описывать скорость течения вязкой жидкости в прямоугольном канале: на границах скорость обращается в 0, а ближе к центру сечения канала скорость увеличивается.
В случае МПН, для решения поставленной задачи потребовалось исходную дифференциальную задачу заменить разностной задачей, что трудоемко и занимает много времени: счетчик количества итераций к] = 321.
С помощью метода Галеркина решение поставленной задачи затратило меньше времени, т.к. в программной реализации методов количество итераций было меньше, чем в методе переменных направлений: к] = 98. Так же метод Галеркина был более точен в примере решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
Получаем, что метод Галеркина более эффективен для решения поставленных задач. Т.к. поставленные задачи сводимы к решению дифференциальных уравнений эллиптического типа, можно сказать, что метод Галерки-на дал более точное решение задачи при меньшем счетчике количества итераций kj. Можно сделать вывод, что метод Галеркина наиболее эффективен для решения краевых задач, сводимых к решению дифференциальных уравнений эллиптического типа.
Список литературы:
1. Дубровский В.В., Торшина О.А. Формула первого регуляризованного следа для дифференциального оператора Лапласа-Бельтрами // Дифференциальные уравнения и их приложения. - 2002. - № 1. - С. 9-19.
158
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
2. Торшина О.А. Алгоритм вычисления регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости // Вестник МаГУ Математика. - 2003. - В. 4. - С. 183-215.
3. Торшина О.А. Регуляризованные следы дифференциальных операторов. - Магнитогорск, 2015. - 122 с.
4. Торшина О.А. Следы дискретных операторов с частными производными // Альманах современной науки и образования. Научно-теоретический / тематический журнал. - Тамбов: Грамота, 2012. - № 4 (59). - С. 238, 220-222.
5. Торшина О.А. Численный метод вычисления поправок теории возмущений // Альманах современной науки и образования. Научно-теоретический / тематический журнал. - Тамбов: Грамота, 2013. - № 12. - С. 168-170.
6. Торшина О.А., Кушкумбаева А.С. Применение квазиньютоновского метода к решению задач // Интеллектуальный потенциал XXI века: ступени познания. - 2015. - № 27. - С. 150-155.
