CC BY
48
СОБСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА В
ТЕТРАЭДРЕ
EIGENFUNCTION OF THE LAPLACE OPERATOR IN THE
TETRAHEDRON
Е.Г. Ситникова E.G. Sitnikova
ГОУ ВПО МГСУ
С помощью барицентрических координат строится функция, положительная внутри тетраэдра, равная нулю на его гранях и представляющая собой собственную функцию оператора Лапласа.
Using barycentric coordinates we construct a function which is positive inside the tetrahedron, which is zero on its boundary and represents eigenfunction of the Laplace operator.
B работе [2] построена собственная функция оператора Лапласа в правильном треугольнике. При этом использованы барицентрические координаты точки относительно треугольника [1].
В настоящей работе подобная задача решается в правильной треугольной пирамиде (тетраэдре).
Пусть одна из граней пирамиды — треугольник ОАВ - лежит в плоскости Оху и имеет вершины в точках (A(1/ 2, >/3/ 2, 0), B(—1/ 2, V3/ 2, 0), O(0, 0, 0), так что
длина ребра пирамиды равна единице. Тогда четвертая вершина С — точка с координатами x = 0, y = V3 /3, z = V2/V3. Обозначим через D открытую пирамиду OABC. Пусть M(x, y, z) — точка, лежащая внутри пирамиды или на ее грани. Введем барицентрические координаты а, Р, у, а:
б = Vj/V, в = V2/V, г = V3/V, у = V4/V. Здесь через V обозначен объем пирамиды OABC, V; — объемы пирамид с вершинами в точках O, A, B, M (V1), O,
B, C, M (V2), O, A, C, M (V3), A, B, C, M (V4). Имеем V = 42/12. С помощью смешанного произведения векторов находим объемы V;, i=1-4:
Vj = V3z/2, V2 = (1/6)(V2x/2 + y/V6-V3z/6), V3 = (1/6)( -V2x/2 + y/л/б -V3z/6), V4 = (1/6)[(V2/V3)(V3/2 - y) -V3z/6].
(Ясно, что а+Р+у+ст=1). Отсюда
4./2011 ВЕСТНИК _4/20|Т_МГСУ
б = л^/2, в - (1/3л/2)(л/2х/2 + у/л/6 = л/^/6), г - (1/3л/2)(-л/2х/2 + у/^6 ^V3z/6), (1)
у - (1/ 3л/2)[((л/2 / л/3)(л/3 /2 - у) - л/3 z/ 6].
Выразим декартовы координаты х, у, z точки М через ее барицентрические координаты с учетом того, что а+Р+у+ст=1:
х - в/2 - г/2, у = л/3 в/6 + л/3 г/6 - 17л/3у/6 + 2>/3/М = 72 б/л/3.
Теперь частные производные первого и второго порядков по барицентрическим координатам выразим через частные производные по х, у, z. Имеем:
^ , 3 5 .. ... 5 , /т .^ Я Я , . ... Я
— = (л/2 6/3)——, —— = (1/2) — + (73/6)—,— = (-1/2)— +
Я б о z Я в Я х Я у Я г Я х
+ (л/3/6) А, А = (-17л/3/6) А;
Я у Я у Я у
52 52 52 52 г- д2 52 = (2/3)——, —-— = (1/ 4)—— + (л/3 / 3)—--+ (1/12)-
5 б 5 z 5 в 5 x 5 x 5 y 5 y
Я2 Я2 г- Я2 Я2 Я2 Я2
" = (1/4)—— - (л/33 /3)—--+ (1/12)—-—, —-— = (172 /12)-
Я г2 Я x2 Я x Я y Я y2 ' Я у2 Я y2
Тогда оператор Лапласа
JL= ^IL.+2-^1+2-^1+(8/п2)Д
Я x2 Я y2 Я z2 Я б2 Яв2 Я г Я у2
Теорема.
Функция w = sin — 6sm —Bsm — rsm—y , б + в + г + у = 1, где б, в, г, у 2 2 2 2
связаны с координатами x, y, z формулами (1), является в тетраэдре D собственной функцией оператора Лапласа. Функция w положительна в тетраэдре D и обращается в нуль на его гранях.
Доказательство. Заметим, что функция w является произведением четырех множителей, каждый из которых зависит только от одной переменной а, Р, у, ст. Поэтому
Я2 w Я2 Я2 Я2 р2
-— =-^ =-2 =-^ =--w. Тогда по формуле (2)
Я б Я в Я г Я у 4
гт / л 2039 2
Aw(x, y, z) — — ^ ^ р w. Мы доказали, что функция w является собственной
функцией оператора Лапласа.
Известно, что барицентрические координаты точки M(x, y, z), лежащей строго внутри тетраэдра D, положительны, и каждая из них обращается в нуль на «своей» грани: а — в треугольнике OAB, р — в треугольнике OBC, у — в OAC, ст — в ABC. Из формулы (1) получаем уравнения граней в декартовых оординатах: z=0 (грань ABO),
V2x/2 + y/л/б -V3z/6 - 0(BCO), (-V2x/2) + y/Vó -V3z/6 -- 0 (ACO), (л/2/л/ЗХл/Э / 2 - y) - V3 z/6 - 0 (ABC).
Кроме того легко проверяется, что в открытом тетраэдре D каждый из сомножителей в формуле (1) является положительным. Теорема доказана.
В работе [3] получены теоремы типа Фрагмена-Линделёфа для линейного самосопряженного эллиптического уравнения второго порядка в неограниченном цилиндре
Р = {(x1, x2,...,xn) <= Rn : - да < x1 < 0 < x¡ < h, i = 2,...,n, h > 0}, каждое поперечное сечение S которого гиперплоскостью xl=const представляет собой n-1-мерный куб. При этом сначала доказывается, что решение может быть продолжено из цилиндра П на все пространство Rn. (При n=3 эти результаты могут быть использованы в теории теплопередачи. Пусть имеется бесконечная неравномерно нагретая неоднородная балка с указанным поперечным сечением. Полученные в статье [3] результаты позволяют регулировать температуру внутри этой балки, специальным образом располагая те участки ее границы, на которых поддерживается нулевая температура. Предполагается, что на остальной части поверхности балки не происходит теплообмена с окружающей средой).
Доказанная в настоящей работе теорема позволяет продолжить на все пространство R4 решение эллиптического уравнения из цилиндра, каждое сечение S которого представляет собой правильный многогранник в R3. Тем самым для эллиптического уравнения и в этом случае справедливы теоремы типа Фрагмена-Линделёфа.
Литература
1. Балк М.Б., Болтянский В.Г. Геометрия масс. М., Наука, 1987
2. Бродников А.П. Собственные функции и собственные числа оператора Лапласа для треугольников. Режим доступа: http://chillugy.narod.ru
3. Ситникова Е.Г. Несколько теорем типа Фрагмена-Линделёфа для эллиптического уравнения второго порядка // Сборник трудов «Вопросы математики и механики сплошных сред». М.: МГСУ, 1984, с. 98-104.
Literature
1. Balk M.B., Boltjanksy V.G. Geometrija mass. M., Nauka, 1987.
2. Brodnikov A.P. Sobstvennie funkzii i sobstennie chisla operatora Laplasa dlja treugolnikov. http://chillugy.narod.ru
3. Sitnikova E.G. Neskolko teorem tipa Fragmena-Lindelefa dlja ellipticheskogo uravnenija vto-rogo porjadka // Sbornik trudov "Voprosy matematiki i mehaniki sploshnih sred". M., MGSU, 1984, s. 98-104.
Ключевые слова: оператор Лапласа, краевое условие, собственная функция, правильная треугольная пирамида, барицентрические координаты
Key words: Laplace operator, boundary value, eigenfunction, tetrahedron, barycentric coordinates
Рецензент: Радкевич Евгений Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ
