CC BY
36
ВЕСТНИК 11/2014
11/2014
УДК 517.956.2
М.П. Овчинцев, Е.Г. Ситникова
ФГБОУ ВПО «МГСУ»
СОБСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА В я+1-МЕРНОМ СИМПЛЕКСЕ
Построена с помощью понятия барицентрических координат собственная функция оператора Лапласа в п+1-мерном симплексе пространства Ип(п > 2). Полученный результат позволяет получать различные теоремы о росте решения смешанной краевой задачи для линейного дифференциального равномерно эллиптического уравнения второго порядка, заданного в неограниченном цилиндре с поперечным сечением специального вида. На границе цилиндра задаются однородные условия Дирихле и Неймана.
Ключевые слова: оператор Лапласа, краевые условия, собственная функция, собственное значение, правильный п+1-мерный симплекс, гипертетраэдр, хилл-тетраэдр, барицентрические координаты, продолжение решения, рост решения.
В [1] построена собственная функция оператора Лапласа в правильном гипертетраэдре. В настоящей работе подобная задача решена в "+1-мерном симплексе с вершинами в точках А , А ..., А , В. Эти точки принадлежат пространству Я" (" > 2).
Введем в пространстве Я" декартову прямоугольную систему координат Ох1, х , ..., х . Рассмотрим открытый симплекс О с вершинами в точках
А (1, 0, ..., 0), А2 (0, 1, 0, ...,0),..., А" (0, ..., 0, 1), В {1+л/пТТ, ...,1+л/пТТ
" "
V
Расстояние между любыми двумя точками симплекса равно 42. Назовем О правильным п+1-мерным симплексом с ребром а = Нам понадобятся формулы для объема V этого симплекса, для радиуса г вписанной в О сферы, для высоты Н симплекса О:
V=а" I"+1
^2п(" +1)'
(1)
Н. = а
"+1
2п
Симплекс О имеет п+1 гипергрань, каждая из которых представляет собой правильный п-мерный симплекс. Пусть М(х1, х , ..., х) — точка, лежащая внутри симплекса О или в его "-мерных гипергранях. Мы уже обозначили через V объем симплекса О. Рассмотрим новые "-мерные симплексы О (/ = 1, ..., "+1), такие, что у каждого из них " вершин представляют собой вершины симплекса О, а "+1-я вершина находится в точке М. Как и в [1], мы хотим ввести бари-
а
г=
"
центрические координаты точки М. Для этого нам надо определить объемы V, 1 = 1, ..., п, V симплексов О . Если считать, что эти объемы уже найдены, то барицентрические координаты а , а , ..., а , а определим по формуле
=V 12 п
' V
С помощью формул для радиуса г и высоты Н из (1) получаем уравнение гиперграни А2...А В:
1 + - п2 п + 1 + у[п / ч п + 1 + л/п „
-Х1 +..,.. . (Х2 + - + хп )--= 0-
n(n + 1)
n(n + 1)
n( n + 1)
Остальные гиперграни имеют уравнение
n +1 + л/П/ \ 1 + yfn - n2
-(+x' - 2 г'-1 +
)-
n( n +1)
n +1 + 4n (
n +1 + 4n _ _ ,
(Xp + Xp+1 + ••• + Xn )--, . = 0, P = 3, n + 1
п(п +1) ч"р " Р+1 и/ п(п +1) С учетом того, что любая внутренняя точка симплекса О имеет положительные барицентрические координаты, получим:
„2 Л
sjn +1 +1 Г1+ Vn +1 - n л -. x1 + x2 +... + xn -1
1+ V n + 1
a =-
nVn + 1
yjn + 1 + 1
n + 1
7\/n + 1
1W n +1 - n2 n +1W n + 1
x -1
(2)
1 П+1
и+1 (х +•••+хп -1). Еа<=1-
V" +1 ¿=1
Выразим декартовы координаты х1, х ..., хп точки М через ее барицентри-
п+1
ческие координаты с учетом того, что ^а^ = 1:
i=1
1(л \ (л 11 + 1
X1 ^l1 -a2 -a3 -an ) + l 1--|a1 +-an
n V n I n
1
= "0-a1 -a3 -an ) + l 1--
1
a
•Jn +1
a
(3)
Ь, ч L 11 vn+i
^l1 -a1 ---an-1 ) + l 1--|an +-an
n V n I n
В правильном симплексе О и в его гипергранях рассмотрим функцию ^(а ,а , ...,а , а ) = 8т£а ... smka 8т£а где число
\ 1 2 п п+1/ 1 2 р п п+1'
k = р, если п четно (п = 2, 4, .) и k = р/2, если п нечетно (п = 3, 5, .).
2 w
Обозначим Aw = ^——. Учтем, что функция w является произведением
1=1 дхг
(п+1)-го множителя, каждый из которых зависит только от одной из барицен-
трических координат a, так что
д2 w da2
= -k w, i = 1, ..., n + 1.
x
x
Выразив частные производные второго порядка от функции ^ по барицентрическим координатам через частные производные по х (/ = 1, ..., п) и используя формулы (3), в результате получим п
Aw = n +
- )(-l 2 w).
n
При четном n это дает Aw = -| n +—— |p2w;
n+
при нечетном n — Aw = -| n +—^ w.
Теорема. Функция w = П sin pa¿ при четных n и функция w = Пsin(p / 2)a
i=i i=i
при нечетных n I = 1 I, где a, •••, a связаны с координатами x ,
V >=i У формулами (2):
1) является в правильном n+1-мерном симплексе D собственной функцией оператора Лапласа;
2) положительна в открытом симплексе D;
3) обращается в нуль в каждой из его гиперграней.
Доказательство. Утверждение 1 уже доказано. Утверждение 3 вытекает из вида функции w и из того, что каждая из барицентрических координат точки М, лежащей на соответствующей гиперграни симплекса D, обращается в нуль.
Проверим положительность последнего множителя sinka^ в выражении
для функции w внутри симплекса D. В точке B sin kan+1 = sin k . 1 y/n +1 = sin k
yjn +1
p
и sinka = sinp = 0 при n нечетном, sin ka n+1 = sin — = 1 при n четном, а внутри n+1 2 n+1-мерного симплекса Dsinka^ > 0.
Аналогично проверяется положительность остальных сомножителей sinka., i = 1, ..., n, а, следовательно, и функции w, внутри симплекса D. И утверждение 2 тоже доказано.
Построенная функция позволяет решать задачи для равномерно эллиптического дифференциального уравнения с частными производными второго порядка. Пусть, например, функция u(x, y, z) является решением такого уравнения с постоянной эллиптичности h в неограниченном цилиндре П. Пусть образующая цилиндра параллельна оси Oz, а его поперечное сечение плоскостью z = const представляет собой правильный 12-угольник. Пусть на границе цилиндра функция u удовлетворяет однородным смешанным краевым условиям Дирихле и Неймана. Тогда при некоторых дополнительных условиях решение u может быть продолжено на все пространство R3 до функции g. При этом g оказывается решением некоторого эллиптического уравнения с прежней постоянной эллиптичности h. После такого продолжения можно получать для решения u различные теоремы существования и единственности в цилиндре П и теоремы о росте решения в нем так, как это делается в [2] для цилиндра, поперечным сечением которого является квадрат. Скорость роста решения при
этом зависит от «мощности» множества, на котором задано условие Дирихле. В [3] разъясняется, как этот результат может использоваться в теории теплопередачи [4—15].
Не во всяком симплексе можно построить собственную функцию оператора Лапласа указанным нами способом. Для примера рассмотрим в пространстве Rn хилл-тетраэдр — n-мерный симплекс с такими длинами ребер, что из (n-1)! его экземпляров можно «составить» n-1-мерный куб (это понятие введено английским математиком Хиллом в 1896 г.). С помощью барицентрических координат в таком хилл-тетраэдре можно построить собственную функцию v некоторого линейного дифференциального эллиптического оператора второго порядка с постоянными коэффициентами. Это позволит получить указанные выше теоремы в n-мерном цилиндре, поперечное сечение которого представляет собой хилл-тетраэдр, сводя их доказательство к случаю, разобранному в [2]. В частности, при n = 3 можно получить такие теоремы в цилиндре, поперечным сечением которого является равнобедренный прямоугольный треугольник, что также может оказаться полезным при решении задач в теории теплопередачи.
Библиографический список
1. Ситникова Е.Г. Собственная функция оператора Лапласа в гипертетраэдре // Интеграция, партнерство и инновации в строительной науке и образовании : сб. тр. Междунар. науч. конф. М. : МГСУ, 2011. С. 755—758.
2. Ситникова Е.Г. Несколько теорем типа Фрагмена-Линделефа для эллиптического уравнения второго порядка // Вопросы математики и механики сплошных сред : сб. науч. тр. М. : МГСУ, 1984. С. 98—104.
3. Ситникова Е.Г. Собственная функция оператора Лапласа в тетраэдре // Вестник МГСУ 2011. № 4. С. 80—82.
4. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М. : Наука, 1976. 391 с.
5. Михлин С.Г. Курс математической физики. М. : Наука, 1968. 576 с.
6. Лазуткин В.Ф. Об асимптотике собственных функций оператора Лапласа // Докл. АН СССР. 1971. Т. 200. № 6. С. 1277—1279.
7. Лазуткин В.Ф. Собственные функции с заданной каустикой // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1970. Т. 10. № 2. С. 352—373.
8. Лазуткин В.Ф. Асимптотика серии собственных функций оператора Лапласа, отвечающей замкнутой инвариантной кривой «биллиардной задачи» // Проблемы математической физики. 1971. Вып. 5. С. 72—91.
9. Лазуткин В.Ф. Построение асимптотики серии собственных функций оператора Лапласа, отвечающей эллиптической периодической траектории «биллиардной задачи» // Проблемы математической физики. 1973. Вып. 6. С. 90—100.
10. Apostolova L.N. Initial Value Problem for the Double-Complex Laplace Operator. Eigenvalue Approaches // AIP Conf. Proc. 2011. Vol. 1340. No. 1. Pp. 15—22.
11. Pomeranz K.B. Two Theorems Concerning the Laplace Operator // AIP Am. J. Phys. 1963. Vol. 31. No. 8. Pp. 622—623.
12. IorgovN.Z., Klimyk A.U. A Laplace operator and harmonics on the quantum complex vector space // AIP J. Math. Phys. 2003. Vol. 44. No. 2. Pp. 823—848.
13. Fernández C. Spectral concentration for the Laplace operator in the exterior of a resonator // AIP J. Math. Phys. 1985. Vol. 26. No. 3. Pp. 383—384.
14. Davis H.F. The Laplace Operator // AIP Am. J. Phys. 1964. 32. 318 (1964). Режим доступа: http://dx.doi.org/10.1119/L1970275. Дата обращения: 25.03.2012.
15. Gorbar E.V. Heat kernel expansion for operators containing a root of the Laplace operator // AIP J. Math. Phys. Mar.1997. Vol. 38. No. 3. P. 1692. Режим доступа: http:// dx.doi.org/10.1063/1.531823. Дата обращения: 25.03.2012.
Поступила в редакцию в июле 2014 г.
Об авторах: Овчинцев Михаил Петрович — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected];
Ситникова Елена Георгиевна — кандидат физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»).
Для цитирования: ОвчинцевМ.П., СитниковаЕ.Г. Собственная функция оператора Лапласа в и+1-мерном симплексе // Вестник МГСУ. 2014. № 11. С. 68—73.
M.P. Ovchintsev, E.G. Sitnikova
EIGENFUNCTION OF THE LAPLACE OPERATOR IN л+1-DIMENTIONAL SIMPLEX
In order to find eigenfunction of the Laplace operator in regular n+1-dimensional simplex the barycentric coordinates are used.
For obtaining this result we need some formulas of the analytical geometry.
A similar result was obtained in the earlier papers of the author in a tetrahedron from R3 and in gipertetrahedron from R4.
Let П be unlimited cylinder in the space Rn, its cross-section with hyperplane has a special form. Let L be a second order linear differential operator in divergence form, which is uniformly elliptic and r| is its ellipticity constant. Let u be a solution of the mixed boundary value problem in П with homogeneous Dirichlet and Neumann data on the boundary of the cylinder. In some cases the eigenfunction of the Laplace operator allows us to continue this solution from the cylinder П to the whole space Rn with the same ellipticity constant.
The obtained result allows us to get a number of various theorems on the solution growth for mixed boundary value problem for linear differential uniformly elliptical equation of the second order, given in unlimited cylinder with special cross-section.
In addition we consider n-1-dimensional hill tetrahedron and the eigenfunction for an elliptic operator with constant coefficients in it.
Key words: Laplace operator, boundary conditions, eigenfunction, eigenvalue, regular n+1-dimensional simplex, hypertetrahedron, Hill tetrahedron, barycentric coordinates, continuation of the solution, the growth of the solution.
References
1. Sitnikova E.G. Sobstvennaya funktsiya operatora Laplasa v gipertetraedre [Eigenfunction of the Laplace Operator in the Tetrahedron]. Integratsiya, partnerstvoiinnovatsii vstroitel'noy nauke i obrazovanii: sbornik trudov Mezhdunaridnoy nauchnoy konferentsii [Integration, Partnership and Innovations in Construction Science and Education : Collection of Works of International Scientific Conference]. Moscow, MGSU, 2011, pp. 755—758. (In Russian).
2. Sitnikova E.G. Neskol'ko teorem tipa Fragmena-Lindelefa dlya ellipticheskogo uravneniya vtorogo poryadka [Several Theorems of Phragmen-Lindelof Type for the Second Order Differential Equation]. Voprosy matematiki i mekhaniki sploshnykh sred : sbornik nauchnykh trudov [Problems of Continuum Mathematics and Mechanics: Collection of Works]. Moscow, MGSU Publ., 1984, pp. 98—104. (In Russian).
3. Sitnikova E.G. Sobstvennaya funktsiya operatora Laplasa v tetraedre [Eigenfunction of the Laplace Operator in the Tetrahedron]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2011, no. 4, pp. 80—82. (In Russian).
4. Mikhaylov V.P. Differentsial'nye uravneniya v chastnykh proizvodnykh [Differential Equations in Partial Derivatives]. Moscow, Nauka Publ., 1976, 391 p. (In Russian).
5. Mikhlin S.G. Kurs matematicheskoy fiziki [Course in Mathematical Physics]. Moscow, Nauka Publ., 1968, 576 p. (In Russian).
6. Lazutkin V.F. Ob asimptotike sobstvennykh funktsiy operatora Laplasa [On Asymptot-ics of Eigenfunctions of the Laplace Operator]. Doklady AN SSSR [Reports of the Academy of Sciences of the USSR]. 1971, vol. 200, no. 6, pp. 1277—1279. (In Russian).
7. Lazutkin V.F. Sobstvennye funktsii s zadannoy kaustikoy [Eigenfunctions with Pre-assigned Caustic Curve]. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Computational Mathematics and Mathematical Physics]. 1970, vol. 10, no. 2, pp. 352—373. (In Russian).
8. Lazutkin V.F. Asimptotika serii sobstvennykh funktsiy operatora Laplasa, otvechay-ushchey zamknutoy invariantnoy krivoy «billiardnoy zadachi» [Asymptotics of Eigenfunctions Series of the Laplace Operator Matching Closed Invariant Curve of a "Billiard problem"]. Problemy matematicheskoy fiziki [Mathematical Physics Problems]. 1971, no. 5, pp. 72—91. (In Russian).
9. Lazutkin V.F. Postroenie asimptotiki serii sobstvennykh funktsiy operatora Laplasa, otvechayushchey ellipticheskoy periodicheskoy traektorii «billiardnoy zadachi» [Asymptotics Creation of Eigenfunctions Series of the Laplace Operator Matching Elliptical Periodic Path of a "Billiard problem"]. Problemy matematicheskoy fiziki [Mathematical Physics Problems]. 1973, no. 6, pp. 90—100. (In Russian).
10. Apostolova L.N. Initial Value Problem for the Double-Complex Laplace Operator. Eigenvalue Approaches. AIP Conf. Proc. 2011, vol. 1340, no. 1, pp. 15—22. DOI: http://dx.doi. org/10.1063/1.3567120.
11. Pomeranz K.B. Two Theorems Concerning the Laplace Operator. AIP Am. J. Phys. 1963, vol. 31, no. 8, pp. 622—623. DOI: http://dx.doi.org/10.1119/1.1969694.
12. Iorgov N.Z., Klimyk A.U. A Laplace Operator and Harmonics on the Quantum Complex Vector Space. AIP J. Math. Phys. 2003, vol. 44, no. 2, pp. 823—848.
13. Fernández C. Spectral concentration for the Laplace operator in the exterior of a resonator. AIP J. Math. Phys. 1985, vol. 26, no. 3, pp. 383—384. DOI: http://dx.doi. org/10.1063/1.526618.
14. Davis H.F. The Laplace Operator. AIP Am. J. Phys. 1964, 32, 318. DOI: http://dx.doi. org/10.1119/1.1970275. Date of access: 25.03.2012.
15. Gorbar E.V. Heat Kernel Expansion for Operators Containing a Root of the Laplace Operator. AIP J. Math. Phys. 1997, vol. 38, no. 3, pp. 1692. DOI: http://dx.doi. org/10.1063/1.531823. Date of access: 25.03.2012.
About the authors: Ovchintsev Mikhail Petrovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected];
|Sitnikova Elena Georgievna] — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU).
For citation: Ovchintsev M.P., Sitnikova E.G. Sobstvennaya funktsiya operatora Laplasa v n+1-mernom simplekse [Eigenfunction of the Laplace Operator in n+1-Dimentional Simplex]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 11, pp. 68—73. (In Russian).
