CC BY
35
ВЕСТНИК лщчплл
10/2014
УДК 517.956.2
М.П. Овчинцев, Е.Г. Ситникова
ФГБОУ ВПО «МГСУ»
ПРОДОЛЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПАРКЕТЫ
Получены теоремы о росте решения и в цилиндре П. Предварительно решение и продолжается (с коэффициентами уравнения Lu = 0) на все пространство R3. Для продолжения используется собственная функция оператора Лапласа в правильном треугольнике. Понятие паркета связывается с задачей о продолжении обобщенного решения смешанной краевой задачи для эллиптического уравнения Lu = 0 второго порядка, заданного в цилиндре П с R3. Поперечное сечение цилиндра П — правильный 12-угольник.
Ключевые слова: оператор Лапласа, краевые условия, собственная функция, собственное значение, математический паркет, правильный треугольник, правильный 12-угольник, барицентрические координаты, обобщенное решение, продолжение решения, рост решения.
В [1] в пространстве Я" рассматривался бесконечный цилиндр П = = {х: -да < х{ < +да, 0 < х{ < к, 7 = 2,...,"} (" > 3), где к — некоторая положительная постоянная. Сечение этого цилиндра гиперплоскостью х. = 0 представляет собой "-1-мерный куб
{х: 0 < х7 < к, 7 = 2,..., "}с Я"-1.
В цилиндре П было определено линейное самосопряженное равномерно эллиптическое уравнение второго порядка, постоянная эллиптичности которого известна. На гранях цилиндра П были заданы смешанные краевые условия Дирихле и Неймана. В [1] в цилиндре П получены теоремы о росте решения в ограниченной области, принадлежащей цилиндру, и теоремы типа Фрагме-на — Линделёфа о характере роста на бесконечности обобщенного решения указанного уравнения в зависимости от вида той части границы у, на которой заданы условия Дирихле. При доказательстве этих теорем приходится продолжать решение дифференциального уравнения (и его коэффициенты) из цилиндра П на все пространство Я" так, чтобы продолженная функция й стала слабым решением задачи Дирихле с нулевыми граничными данными [2] для некоторого дифференциального уравнения Ьй = 0 того же типа, что и данное с прежней постоянной эллиптичности; условие Дирихле при этом задается на некотором множестве, связанном с множеством у. Во всем пространстве Я" существует положительное решение g уравнения Lg = -5(х - у), у = (у1,...,уп), и для него некоторая априорная оценка [1] позволяет доказать теоремы о росте решения й.
Пусть теперь О — правильный 12-угольник в пространстве Ох2х3. В данной работе в пространстве Я3 = Ох1х2х3 рассматривается бесконечный цилиндр П = ОхОх1 и в нем — уравнение
з д
Ьй = V —
., ]=1 дх7
дй
а (х) дх;
= 0, (1)
и такая же краевая задача для него, как в [1]. Коэффициенты уравнения (1) — измеримые ограниченные функции. Постоянная эллиптичности р (в Я3 р > 3)
Z (x)
р= sup -.
xeP^ £ aft (x)X4 i ,k=1
Пусть u(x) — слабое решение уравнения (1): u e H°c(П) и выполняется интегральное тождество
JX ay (x) ^ ^ s 0
П i, j=1 dxi dxj
(2)
(3)
при любой функции ф(х) е С^, носитель которой компактно принадлежит П.
Пусть О — ограниченная область в Я3, дО — ее граница, О = О и дО, а — замкнутое множество на О. Функция ф(х) е С^ (С), если ф(х) е Сш(0 \ S)и ф(х) = 0 в некоторой окрестности множества 5. Н15(О) — пространство, полученное из С0°(О) замыканием по норме пространства Н1(О). Пусть множества Е. (их число конечно или счетно) есть замкнутые множества на дП (их расположение уточним ниже). Обозначим через Е объединение всех множеств Е .
1 1с I 3
Функция у(х) е Н1сЕ (П), если для любой ограниченной области О' с Я , такой, что граница пересечения О'пП содержится в П, ф(х) еН1-(G'пП), где Е = G' п Е.
Пусть 12-угольник О имеет вершины в точках Р , 1 = 1, 2, ..., 12, из которых
точки р
л/3 + 3
l ,0
и P
л/3 +1
l ,0
где l — некоторая положительная по-
стоянная, лежат на оси Ox2, а точки P9
л/3 + 3
и Pr
Ox Укажем координаты остальных вершин P:
Р
2^3 +1 l_ , 2
, Рз
I ( 2 + л/3),
л/3 +1
Р
Р
\ /V
( 2л/3 +1 3 + 2^/3 Л
, Р4
I (2 + V3),
л/3 +1
л/3 + 3
на оси
л/3 + 3
л/3 +1.
I, I ( 2 + V3 )|, Р7 ^1,1 (2 + V3 )|,
Р
_ 3 + 2л/3
2, ""2~
• 4 _• _}
Обозначим через /1 отрезок [Р12, Р1], а через /, 1 = 2, ..., 12, — отрезки [Р Р.]. Обозначим через Е1 грань I. х Ох1 цилиндра П. Выделим из всех граней Е{ две: Е1 и Ё7. Пусть Е ... Ек, ... — замкнутые множества, принадлежащие объединению Е1 иЕ7 (число множеств Е может быть конечно). Обозначим
12 12 через Е объединение I ^ Е.. 1и ^ Е.. I. На гранях ^ Е { х Ох1 задаются
V 1=1 ) V 1=2, 1*1 ) '=2,1*7
нулевые условия Дирихле, а на гранях (Е1 и Е7) х Ох1 смешанные условия:
ВЕСТНИК
МГСУ-
10/2014
Дирихле — на множестве
U E
Л
V j=
х Ox и Неймана — на множестве
(( u E7) х Oxx
U Ej
V j=
х Oxj
Пусть слабое решение й( х) е Н°с (П) уравнения (1) является в П обобщенным решением однородной смешанной краевой задачи
Phi
Lu = 0, ulE = 0, —= 0, dv
д
(4)
где--производная по конормали к дП, т.е. u(x) е H°CE (П) и тождество (3)
dv ,
справедливо в G п П при любой функции j(x) е C? (G) n CE (G).
Для получения теорем, аналогичных тем, которые доказаны в [1], требуется продолжить решение дифференциального уравнения из цилиндра на все пространство R3 с сохранением постоянной эллиптичности. Этому продолжению и посвящается данная работа. Нам понадобятся следующие результаты.
1 4р 1 2Р 2Р
,) = — sin—x +—cos—x sin —x является
3' 4 J3b 2 b 3 Sb
Теорема 1. Функция v (x
положительной и супергармонической в правильном треугольнике
Ox x
вершинами в точках A | 0, - bj, B f 0,b
(
C
V3
A
—b 2
(b — некоторая положи-
тельная постоянная) и обращается в нуль на сторонах этого треугольника [3].
Теорема 2. Функция w ( х1, х2, х3 ) = V (х2, х3) скЯх1 является в цилиндре q х Ох1 решением линейного однородного дифференциального уравнения Mw = w"x х +w" + (р-2^" =0. Постоянная эллиптичности оператора М
равна р.
Теорема 3. Пространство Ох2х3 можно замостить правильными многоугольниками — 12-угольниками и треугольниками, стороны которых имеют одинаковую длину Ь.
Следствием теоремы 3 является теорема 4.
Теорема 4. Пространство Ох1х2х3 можно замостить цилиндрами Ц каждый из которых есть прямое произведение либо правильного 12-угольника со стороной Ь и оси Ох1, либо правильного треугольника со стороной Ь и оси Ох1.
Обозначим через ^ множество, которое получается из множества
U E
х Ox1 при замощении пространства R3 цилиндрами Ц и через F2 — мно-
U ^
V ¿=1
х Ox,
жество, которое при таком замощении получается из множества
Пусть Ё = Е1 и ^2.
На основании теорем 1—4 получается теорема 5.
Теорема 5. Обобщенное решение й(х) задачи (4) и коэффициентов а. (х) оператора Ь можно так продолжить на все пространство Я3 до функции ^(х) и коэффициентов с.(х), соответственно, что z(x) является в Я3/Ё слабым решением задачи Дирихле
г-I -
i, j=1 0Хг
dz
a (x)d;
= 0, z ^ = 0,
где оператор L имеет ту же постоянную эллиптичности р, что и исходный оператор L, а коэффициенты c(x) являются в пространстве R3 измеримыми огра-
V
ниченными функциями.
В [1] после продолжения решения из цилиндра на все пространство R3 это пространство представляется как объединение цилиндров. Если при этом рассмотреть сечение R3 плоскостью xl = 0, то в сечении получится пространство R2, замощенное математическим паркетом, состоящим из квадратов со стороной h. По теореме 3 данной работы в нашем случае такое сечение есть паркет из правильных 12-угольников и треугольников.
Известно [4, 5], что пространство R2 можно также замостить правильными восьмиугольниками и квадратами. Это используется в [6] для продолжения решения уравнения Lu = 0 на все пространство R3 из цилиндра, представляющего собой прямое произведение Wx Ox1, где W — правильный восьмиугольник в пространстве Ox2x3 [7—15].
Указанные здесь теоремы о росте решения в цилиндре могут быть использованы в теории теплопередачи.
Библиографический список
1. Ситникова Е.Г. Несколько теорем типа Фрагмена — Линделёфа для эллиптического уравнения второго порядка // Вопросы математики и механики сплошных сред : сб. тр. М. : МГСУ, 1984. C. 98—104.
2. Ландис Е.М. О поведении решений эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях // Тр. ММО. М. : Изд-во МГУ, 1974. Т. 31. С. 35—58.
3. Бродников А.П. Собственные функции и собственные числа оператора Лапласа для треугольников. Режим доступа: http://chillugy.narod.ru/Mathematics/laplas/start/start. html. Дата обращения: 17.02.2014.
4. Колмогоров А.Н. Паркеты из правильных многоугольников // Квант. 1970. № 3. Режим доступа: http://kvant.mccme.ru/1970/03/parkety_iz_pravilnyh_mnogougol.htm. Дата обращения: 17.02.2014.
5. Михайлов О. Одиннадцать правильных паркетов // Квант. 1979. № 2. Режим доступа: http://kvant.mccme.ru/1979/02/odinnadcat_pravilnyh_parketov.htm. Дата обращения: 17.02.2014.
6. Ситникова Е.Г. Продолжение обобщенного решения краевой задачи // Вестник МГСУ 2007. № 1. С. 16—18.
7. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М. : Наука, 1976. 391 с.
8. Михлин С.Г. Курс математической физики. М. : Наука, 1968. 576 с.
9. Петровский Н.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. 3-е изд. М. : Физматгиз, 1961. 401 с.
10. Лазуткин В.Ф. Об асимптотике собственных функций оператора Лапласа // Докл. АН СССР. 1971. Т. 200. № 6. С. 1277—1279.
11. Jiaquan Liu, Zhi-Qiang Wang, Xian Wu. Multibump solutions for quasilinear elliptic equations with critical growth // AIP. J. Math. Phys. 2013. No. 54. 121501. Режим доступа: http://scitation.aip.Org/content/aip/journal/jmp/54/12/10.1063/1.4830027. Дата обращения: 17.02.2014.
ВЕСТНИК лщчплл
10/2014
12. Chavey D. Tilings by regular polygons—II: A catalog of tilings // Computers & Mathematics with Applications, 1989. Vol. 17. No. 1—3. Pp. 147—165.
13. Grünbaum B., Shephard G.C. Tilings And Pattern. New York : W.H. Freeman and Company, 1987. 700 p.
14. Berger R. The undecidability of the Domino Problem // Memoirs of the American Mathematical Society. 1966. No. 66. Pp. 1—72.
15. Penrose R. Pentaplexity : A Class of Non-Periodic Tilings of the Plane // The Mathematical Intelligencer. March 1979. Vol. 2. No. 1. Pp. 32—37.
Поступила в редакцию в июле 2014 г.
Об авторах: Овчинцев Михаил Петрович — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected];
Ситникова Елена Георгиевна | — кандидат физико-математических наук, доцент, профессор кафедры высшей математики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»).
Для цитирования: Овчинцев М.П., Ситникова Е.Г. Продолжение решения эллиптического уравнения и математические паркеты // Вестник МГСУ 2014. № 10. С. 48—53.
M.P. Ovchintsev, E.G. Sitnikova
CONTINUATION OF THE SOLUTION OF AN ELLIPTIC EQUATION AND MATHEMATICAL TESSELATIONS
In the following article the authors continue investigating elliptical equation. Let P be an unlimited cylinder in the space R3, the cross-section of which is a regular dodecagon. The authors have previously estimated linear self-conjugate uniformly elliptic equation of second order in the cylinder and obtained theorems on the growth of the solution in bounded domain. In order to prove the theorems we have to continue solving the differential equation and its coefficients for the whole space Rn.
Let L be a second order linear differential operator in a divergence form which is uniformly elliptic and h is its ellipticity constant. Let u be a solution of the mixed boundary value problem in P for the equation Lu=0 (u>0) with homogeneous Dirichlet and Neumann data on the boundary of the cylinder.
In this paper the solution for mixed boundary value problem is continued from the cylinder to the whole space R3.
The solution of the mixed problem has connection with the notion of the mathematical tessellation. This tessellation is a sum of nonintersecting regular dodecagons and triangles filling the whole space R2.
Key words: Laplace operator, boundary conditions, eigenfunction, eigenvalue, mathematical tesselation, regular triangle, regular dodecagon, barycentric coordinates, generalized solution, continuation of the solution, growth of the solution.
References
1. Sitnikova E.G. Neskol'ko teorem tipa Fragmena — Lindelefa dlya ellipticheskogo uravneniya vtorogo poryadka [Several Theorems of Phragmen-Lindelof Type for the Second Order Differential Equation]. Voprosy matematiki i mekhaniki sploshnykh sred: sbornik trudov [Problems of Mathematics and Mechanics of Continuous Media: Collection of Works]. Moscow, MGSU Publ., 1984, pp. 98—104. (in Russian)
2. Landis E.M. O povedenii resheniy ellipticheskikh uravneniy vysokogo poryadka v neo-granichennykh oblastyakh [On Solutions Behavior of High Order Elliptic Equations in Un-
bounded Domains]. Trudy MMO [Works of Moscow Mathematical Society]. Moscow, MGU Publ., 1974, vol. 31, pp. 35—58. (in Russian)
3. Brodnikov A.P. Sobstvennye funktsii i sobstvennye chisla operatora Laplasa dlya treugol'nikov [Eigenfunctions and Eigenvalues of the Laplace Operator for Triangles]. Available at: http://chillugy.narod.ru/Mathematics/laplas/start/start.html. Date of access: 17.02.2014. (in Russian)
4. Kolmogorov A.N. Parkety iz pravil'nykh mnogougol'nikov [Tesselations of the Regular Polygons]. Kvant [Quantum]. 1970, no. 3. Available at: http://kvant.mccme.ru/1970/03/par-kety_iz_pravilnyh_mnogougol.htm. Date of access: 17.02.2014. (in Russian)
5. Mikhaylov O. Odinnadtsat' pravil'nykh parketov [Eleven Regular Tessellation]. Kvant [Quantum]. 1979, no. 2. Available at: http://kvant.mccme.ru/1979/02/odinnadcat_pravilnyh_ parketov.htm. Date of access: 17.02.2014. (in Russian)
6. Sitnikova E.G. Prodolzhenie obobshchennogo resheniya kraevoy zadachi [Continuation of the Generalized Solution for the Boundary Value Problem]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2007, no. 1, pp. 16—18. (in Russian)
7. Mikhaylov V.P. Differentsial'nye uravneniya v chastnykh proizvodnykh [Differential Equations in Partial Derivatives]. Moscow, Nauka Publ., 1976, 391 p. (in Russian)
8. Mikhlin S.G. Kurs matematicheskoy fiziki [Course in Mathematical Physics]. Moscow, Nauka Publ., 1968, 576 p. (in Russian)
9. Petrovskiy N.G. Lektsii ob uravneniyakh s chastnymi proizvodnymi [Lections on the Equations with Partial Derivatives]. 3rd edition, Moscow, Fizmatgiz Publ., 1961, 401 p. (in Russian)
10. Lazutkin V.F. Ob asimptotike sobstvennykh funktsiy operatora Laplasa [On the As-ymptotics of Eigenfunctions of Laplace Operator]. Doklady AN SSSR [Proceedings of the USSR Academy of Sciences]. 1971, vol. 200, no. 6, pp. 1277—1279. (in Russian)
11. Jiaquan Liu, Zhi-Qiang Wang, Xian Wu. Multibump Solutions for Quasilinear Elliptic Equations with Critical Growth. AIP. J. Math. Phys. 2013, no. 54, 121501. Available at: http://scitation.aip.org/content/aip/journal/jmp/54/12/10.1063/1.4830027. Date of access: 17.02.2014. DOI: http://dx.doi.org/10.1063/14830027.
12. Chavey D. Tilings by Regular Polygons—II: A Catalog of Tilings. Computers & Mathematics with Applications. 1989, vol. 17, no. 1—3, pp. 147—165. DOI: http://dx.doi. org/10.1016/0898-1221(89)90156-9.
13. Grünbaum B., Shephard G.C. Tilings And Pattern. New York, W.H. Freeman and Company, 1987, 700 p.
14. Berger R. The Undecidability of the Domino Problem. Memoirs of the American Mathematical Society. 1966, no. 66, pp. 1—72.
15. Penrose R. Pentaplexity: A Class of Non-Periodic Tilings of the Plane. The Mathematical Intelligencer. 1979, vol. 2, no. 1, pp. 32—37. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/BF03024384.
About the authors: Ovchintsev Mikhail Petrovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected];
Sitnikova Elena Georgievna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU).
For citation: Ovchintsev M.P., Sitnikova E.G. Prodolzhenie resheniya ellipticheskogo uravneniya i matematicheskie parkety [Continuation of the Solution of an Elliptic Equation and Mathematical Tesselations]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 10, pp. 48—53. (in Russian)
