CC BY
41
ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ
СТРОИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ. ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ
УДК 624.04
С.Д. Алгазин
ИПМех РАН
КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАНЫ С КУСОЧНО-ГЛАДКИМ КОНТУРОМ И СМЕШАННЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ
Задача о собственных значениях для двумерного оператора Лапласа является классической в математике и физике. Однако вычислительные методы для вычисления собственных значений имеют все еще много проблем, особенно в применениях к акустическим и электромагнитным волноводам. Исследованы двумерные спектральные уравнения для оператора Лапласа, ранее рассматривавшиеся автором только в гладких областях. Решения этих задач (собственные функции) бесконечно дифференцируемы либо даже аналитичны, и поэтому для создания эффективных алгоритмов необходимо учесть эту колоссальную априорную информацию. Традиционные методы конечных разностей и конечных элементов почти не используют информацию о гладкости решения, т.е. это методы с насыщением. Методом вычислительного эксперимента исследована задача о колебаниях мембраны с кусочно-гладким контуром для двумерной области, получающейся конформным отображением квадрата. Показано, что собственные функции бесконечно дифференцируемы. Следовательно, применимы численные алгоритмы без насыщения. Разработан алгоритм вычисления собственных значений в этой двумерной области, который позволяет на сетке 10*10 определить до 10 собственных частот с приемлемой для практики точностью.
Ключевые слова: уравнение Лапласа, свободные колебания мембраны, вычислительный эксперимент, краевые условия
В [1] описана методика численного решения задачи на собственные значения для оператора Лапласа. Эти результаты основаны на идеях К.И. Ба-бенко [2]. Первая публикация автора на эту тему в соавторстве с коллегами состоялась в 1975 г. [3]. Программы опубликованы в [4]. Настоящая работа посвящена обобщению этих результатов на области с кусочно-гладкой границей и смешанные краевые условия. В [2] при рассмотрении задач на собственные значения в гладкой области на первом этапе строилось конформное отображение единичного круга на эту область. Ниже в качестве канонической области выбирается квадрат (или прямоугольник). При конформном отображении квадрата получаем область с углами (кусочно-гладким контуром). Задавая различные краевые условия на сторонах квадрата, получаем задачу со смешанными краевыми условиями в рассматриваемой области. Для примера рассмотрена задача Дирихле — Неймана. Обобщения на другие краевые условия очевидны.
ВЕСТНИК 11/2015
11/2015
1. Методические эксперименты (двумерное уравнение Лапласа с краевыми условиями Дирихле в прямоугольнике)
Рассмотрим задачу на собственные значения:
Ли + Хри = 0, и = и(х, у), р = р(х, у) > 0; (х, у) е Г{[0, а] х [0, 6]},
и = о
1эг
или
д2и д2и Л . . „ . . ...
—т+ —т + Хр(х, у)и = 0, и = и(х, у). (2)
дх ду
Дискретизация краевой задачи (1) описана в [1]. В результате получаем дискретную задачу в виде
(А ®!т +К ® А) и = Хя«~, 2 (3)
„ й и где и 2 — матрица дискретного оператора:--- размера пхп; ® — знак кроне-
2 йу2
керовского произведения матриц; I 1п — единичные матрицы размера тхт и
^ й 2и
пхп соответственн; и — матрица дискретного оператора:--т- размера тхт;
йх
и — вектор длины N = тп, содержащий приближенные значения собственной функции и = и(х, у) в узлах сетки; Х — приближенное собственное значение; Я — диагональная матрица, содержащая на диагонали значения функции р = р(х, у) в узлах сетки; т — число узлов дискретизации по х; п — число узлов
(2п -1) п 1 + 008 -—
дискретизации по у. По х выбирается сетка: хп = а- 2т—, V = 1, 2, ..., т.
л (2 т-1) п
1 + 008 -——-—
По у выбирается сетка: ут = Ь- 2п-, т = 1, 2, ..., п. В прямоугольнике узлы нумеруются сначала по х = хп, V = 1, 2, ..., т, затем по у = у т = 1, 2, ..., п. Матрицы А1 и А2 строятся программой для решения одномерной задачи Штурма — Лиувилля [1].
При р = 1 собственные значения краевой задачи (1) известны в аналитическом виде:
( „2 2 Л
Х2 =п2
Г 5
V ^ + У
Г, 5 = 1, 2, 3,
1.1. Примеры расчета для квадрата а = Ь = 1. На сетке 5 х 5 проведены тестовые расчеты для квадратной пластины а = Ь = 1: Собственные значения:
0.19737471923Е+02 0.50313455094Е+02 0.50313455094Е+02 0.80889438264Е+02 0.92161641146Е+02 0.92161641146Е+02 0.12273762432Е+03 0.12273762432Е+03 0.16458581037Е+03 0.76942401683Е+03 0.76942401683Е+03 0.80000000000Е+03 0.80000000000Е+03 0.84184818605Е+03 0.84184818605Е+03 0.91770709481Е+03 0.91770709481Е+03 0.94828307798Е+03 0.94828307798Е+03 0.99013126404Е+03 0.99013126404Е+03 0.15191105617Е+04 0.16673936397Е+04 0.16673936397Е+04 0.18156767177Е+04.
Теоретические собственные значения: 19.7392088021787 49.3480220054468
256.609714428323 128.304857214162 98.6960440108936 246.740110027234 197.392088021787 404.653780444664 335.566549637038
167.783274818519 78.9568352087149 286.218527631591 177.652879219608 167.783274818519 315.827340834859 286.218527631591 493.480220054468.
1.2. Результаты численного исследования свободных колебаний мембраны, если известно конформное отображение квадрата на контур мембраны. Давайте сделаем простую, но нетривиальную задачу. Рассмотрим конформное отображение
98.6960440108936 49.3480220054468 197.392088021787 128.304857214162 335.566549637038 246.740110027234 256.609714428323 404.653780444664
w = tan | —
который отображает квадрат S: [-л/2, л/2] х [-л/2, л/2] в z — плоскости на область R в w -плоскости, ограниченной дугами круга единичного радиуса и парой ортогональных кругов (рис. 1). Если z = x + iy, w = u + iv, то sin x sin hy
u = -
cosx+coshx' и граница R задана так
v = -
cos x + cos hy'
и
u2 + v2 =1.
sec^ — < lul <1, 2
u2 +1 v ± cot h— = csc h
| u |< sech-
У
Рис. 1. Функция м> = tan(z/2) отображает квадрат в г-плоскости на круглый волновод с круглыми выступами
V
Это представляет круглый волновод с круглыми ребрами. Так как
dw 1
— =—вес" I — dz 2 I 2
Имеем
dw
dz
1
cos х + cos hy и (1) на R эквивалентно -DU = IpU в S,
p = (cos х + cos hy)-2.
Проводилось сравнение с результатами [5] по методике, описанной в [1]. Результаты расчетов приведены в табл. 1.
Табл. 1. Сравнение результатов
№ M = N = 20 M = N = 40 M = N = 80
1 0.75695769019E+01 0.75695769018E+01 0.75695769018E+01
2 0.15219280203E+02 0.15219280203E+02 0.15219280203E+02
3 0.22195760365E+02 0.22195760360E+02 0.22195760361E+02
4 0.29115433426E+02 0.29115433426E+02 0.29115433426E+02
5 0.29163772314E+02 0.29163772305E+02 0.29163772305E+02
6 0.448401273E+02 0.44840126924E+02 0.44840126924E+02
7 0.461186089E+02 0.46118609295E+02 0.46118609299E+02
8 0.463626607E+02 0.46362660134E+02 0.46362660130E+02
9 0.512202123E+02 0.51220211630E+02 0.51220211631E+02
10 0.6640982E+02 0.66409845888E+02 0.66409845895E+02
11 0.6785256E+02 0.67852542361E+02 0.67852542355E+02
12 0.7313516E+02 0.73135244768E+02 0.73135244766E+02
13 0.74499419E+02 0.74499411607E+02 0.74499411606E+02
14 0.774775E+02 0.77477590429E+02 0.77477590430E+02
15 0.900979E+02 0.90097464197E+02 0.90097464198E+02
16 0.938956547E+02 0.93895794495E+02 0.93895794496E+02
17 0.1025166E+03 0.10251629181E+03 0.10251629181E+03
18 0.104633E+03 0.10462998229E+03 0.10462998229E+03
19 0.105474E+03 0.10547510947E+03 0.10547510947E+03
20 0.109529635E+03 0.10952640408E+03 0.10952640408E+03
21 0.118091E+03 0.11809588259E+03 0.11809588259E+03
22 0.1232597E+03 0.12325949518E+03 0.12325949517E+03
23 0.133056E+03 0.13306354528E+03 0.13306354528E+03
24 0.1370842E+03 0.13708379695E+03 0.13708379695E+03
25 0.13879E+03 0.13885033419E+03 0.13885033419E+03
26 0.14622E+03 0.14627638060E+03 0.14627638060E+03
27 0.14713E+03 0.14710201032E+03 0.14710201032E+03
28 0.15039E+03 0.15036302873E+03 0.15036302873E+03
29 0.15620E+03 0.15630589506E+03 0.15630589507E+03
30 0.16789E+03 0.16778614238E+03 0.16778614238E+03
31 0.172896E+03 0.17289651171E+03 0.17289651170E+03
Окончание табл. 1
№ M = N = 20 M = N = 40 M = N = 80
32 0.17696E+03 0.17692420947E+03 0.17692420947E+03
33 0.17760E+03 0.17717175815E+03 0.17717175815E+03
34 0.18605E+03 0.18616908594E+03 0.18616908594E+03
35 0.1886E+03 0.18805849772E+03 0.18805849773E+03
36 0.1931E+03 0.19293237085E+03 0.19293237084E+03
37 0.1956E+03 0.19611571228E+03 0.19611571228E+03
38 0.2065E+03 0.20735460952E+03 0.20735460952E+03
39 0.21278E+03 0.21274380827E+03 0.21274380827E+03
40 0.2167E+03 0.21742833684E+03 0.21742833684E+03
2. Двумерное уравнение Лапласа с краевыми условиями Дирихле — Неймана в квадрате: [-п/2, ж/2]* [-п/2, п/2]
Пусть на боковых гранях задано однородное краевое условие Дирихле, а на верхней и нижней гранях краевое условие Неймана. Результаты расчетов первых 10 собственных значений представлены ниже. Собственные значения: М = 10, N = 10
0.99999999996Е+00 0.19999692309Е+01 0.39999998788Е+01 0.49999691097Е+01 0.50011968578Е+01 0.80011967366Е+01 0.90001171418Е+01 0.99670525980Е+01 0.10000086373Е+02 0.12967052477Е+02. Собственные значения: М = 20, N = 20
0.10000000000Е+01 0.19999984680Е+01 0.40000000000Е+01 0.49999927811Е+01 0.49999984680Е+01 0.79999927811Е+01 0.90000000000Е+01 0.99999100781Е+01 0.99999984680Е+01 0.12999910078Е+02. Для дискретизации одномерной задачи:
и"(х) + 1и(х) = 0, и'[-П) = и'(п) = °
применим вариационный принцип. Задача эквивалентна минимуму функционала:
.+1/^ \2 _ 1
J(u) = —[\—u'( v) I dy-lní u 2( y)dy «ПУс I—u'( y) I -1ПЁ(
W 2ÍU J 2- — m 1 U Jy-=y —
J = J( ..., un) p = 1, 2, ..., n,
I f n-1
dJ 4*
dUp n j=1 ■
jii
Dj,} nCpUp = 0,
где Cj = -
1 +
V k =2(2)
Z 1
=2(2)
- k 2
-cosk0.
2 j -1 2n
n, j = 1, 2, ..., n;
() 2 1 cos/0n sin /0,,
D = -E-^-m n = 1, 2, ..., n.
mtl sin 0,
Коэффициенты квадратурной формулы и матрица численного дифференцирования на отрезке [-1, 1], которые поучаются интегрированием и дифференцированием интерполяционной формулы:
Tn (XK
1 n( -1)n
8Ш 0,,
(X - Xv)
о 2у-! д
q = ——п, xv =cos 0V 2n
= u(Xv), v = 1, 2, ...,
2.1. Результаты численных расчетов. Результаты расчетов первых 10 собственных значений приведены в табл. 2. Вычисление собственных значений матриц конечномерной задачи производилось с помощью пакета ЕКРАСК: подпрограммами ELMHES, ELTRAN,
Табл. 2. Конформное отображение квадрата: [-п/2, п/2] смешанные краевые условия (Дирихле, Неймана), - Х10
Собственные значения
[-п/2, п/2], w = tan(z/2),
№ M = N = 10 M = N = 20 M = N = 40 M = N = 80
1 2.71355 2.7134952 2.71349599 2.7134960303
2 4.31836 4.318337 4.3183482 4.3183488316
3 12.335 12.34285 12.342860 12.342861088
4 13.196 13.20732 13.207360 13.207361606
5 14.265 14.26272 14.262789 14.262792403
6 25.9 25.6843 25.68456 25.684575693
7 27.0 26.7088 26.708860 26.708863296
8 29.48 29.4432 29.44363 29.443653477
9 29.56 29.5543 29.554453 29.554458977
10 40.3 41.8275 41.82811 41.828139920
Собственные формы приведены на рис. 2—11:
Выводы. Из рассмотрения результатов расчетов видно, что рассматриваемая задача о колебаниях мембраны в кусочно-гладкой области может быть решена на сетке 10*10 с достаточной для практики точностью.
Рис. 2. Конформное отображение Рис. 3. Конформное отображение
квадрата: [-п/2, п/2] * [-п/2, п/2], w = tan(z/2), квадрата: [-п/2, п/2] * [-п/2, п/2], w = 1ап^/2),
смешанные краевые условия (Дирихле, Ней- т = 20, п = 20, смешанные краевые условия
мана) т = 20, п = 20, I = 0.27134951830Е+01 (Дирихле, Неймана), I = 0.43183365485Е+01
n
X
1 Netlib Repository at UTK and ORNL. Режим доступа: htpp://www.netlib.org/eispack/.
Рис. 4. Конформное отображение квадрата: [-п/2, п/2] х [-п/2, п/2], w = tan(z/2), смешанные краевые условия (Дирихле, Неймана) т = 20, п = 20, I = 0.12342846790Е+02
Рис. 6. Конформное отображение квадрата: [-п/2, п/2] х [-п/2, п/2], w = tan(z/2), т = 20, п = 20, смешанные краевые условия (Дирихле, Неймана), I = 0.14262717891Е+02
Рис. 8. Конформное отображение квадрата: [-п/2, п/2] х [-п/2, п/2], w = tan(z/2), т = 20, п = 20, смешанные краевые условия (Дирихле, Неймана), I = 0.26708798275Е+02
Рис. 5. Конформное отображение квадрата: [-п/2, п/2] х [-п/2, п/2], w = 1ап^/2), т = 20, п = 20, смешанные краевые условия (Дирихле, Неймана), I = 0.13207320413Е+02
Рис. 7. Конформное отображение квадрата: [-п/2, п/2] х [-п/2, п/2], w = 1ап(г/2), т = 20, п = 20, смешанные краевые условия (Дирихле, Неймана), I = 0.25684287050Е+02
Рис. 9. Конформное отображение квадрата: [-п/2, п/2] х [-п/2, п/2], w = 1аП>/2), т = 20, п = 20, смешанные краевые условия (Дирихле, Неймана), I = 0.29443203180Е+02
Рис. 10. Конформное отображение Рис. 11. Конформное отображе-
квадрата: [-п/2, п/2] х [-п/2, п/2], м> = 1ап(г/2), ние квадрата: т = 20, п = 20, смешанные
т = 20, п = 20, смешанные краевые условия краевые условия (Дирихле, Неймана), X =
(Дирихле, Неймана), X = 0.29554326016Е+02 = 0.41827517851Е+02
Библиографический список
1. Алгазин С.Д. Численные алгоритмы классической математической физики. М. : Диалог-МИФИ, 2010. 240 с.
2. Бабенко К.И. Основы численного анализа. 2-е изд., испр. и доп. / под ред. А.Д. Брюно. М. ; Ижевск : РХД, 2002. 847 с.
3. Алгазин С.Д., Бабенко К.И., Косоруков А.Л. О численном решении задачи на собственные значения. М., 1975. 57 с. (Препр. ИПМ; № 108 за 1975 г.).
4. Вычисление собственных чисел и собственных функций оператора Лапласа (Lap123) // СВИДЕТЕЛЬСТВО о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012617739. Автор Алгазин Сергей Дмитриевич (RU). Зарегистрирована в Реестре программ для ЭВМ 27 августа 2012 г, 18 с.
5. Kuttler J.R., Sigillito V.G. Eigenvalues of the laplacian in two dimensions // SIAM Review. Apr. 1984. Vol. 26. No. 2. Pp. 163—193.
Поступила в редакцию в сентябре 2015 г.
Об авторе: Алгазин Сергей Дмитриевич — ведущий научный сотрудник, Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук (ИПМех РАН), 119526, г. Москва, пр-т Вернадского, д. 101, корп. 1, algazinsd@mail.ru.
Для цитирования: Алгазин С.Д. Колебания мембраны с кусочно-гладким контуром и смешанными краевыми условиями // Вестник МГСУ 2015. № 11. С. 29—37.
S.D. Algazin
FLUCTUATIONS OF THE MEMBRANE WITH PIECEWISE SMOOTH CONTOUR AND MIXED BOUNDARY CONDITIONS
The eigenvalue problem for the two-dimensional operator Laplace is classical in mathematics and physics. However, computing methods for calculation of eigenvalues have still many problems, especially in applications to acoustic and electromagnetic wave guides. The investigated below two-dimensional spectral for the Laplace operator have been previously considered by the author only in smooth areas. The solutions of these tasks (eigen functions) are infinitely differentiated or. even analytical and therefore in order to create effective algorithms it is necessary to consider this enormous a priori
information. Traditional methods of finite differences and finite elements almost do not practically use the information on smoothness of the decision, i.e. these are methods with saturation. The term "saturation" was entered by K.I. Babenko. Using the method of computing experiment the author investigates the task about fluctuations of the membrane with the piecewise smooth contour for two-dimensional area, obtained by conformal representation of the square. It is shown that eigen functions are infinitely differentiated. Therefore, numerical algorithms without saturation are applicable. In article the calculation algorithm of eigenvalues in this two-dimensional area is developed, which allows determining up to 10 natural frequencies with the accuracy acceptable for practice on the grid 10*10.
Key words: Laplace equation, free oscillations of a membrane, computing experiment, boundary conditions
References
1. Algazin S.D. Chislennye algoritmy klassicheskoy matematicheskoy fiziki [Numerical Algorithms of Classical Mathematical Physics]. Moscow, Dialog-MIFI Publ., 2010, 240 p. (In Russian)
2. Babenko K.I. Osnovy chislennogo analiza [Fundamentals of Numerical Analysis]. 2nd edition, revised and enlarged. Moscow; Izhevsk, RKhD Publ., 2002, 847 p. (In Russian)
3. Algazin S.D., Babenko K.I., Kosorukov A.L. O chislennom reshenii zadachi na sobst-vennye znacheniya [On the Numerical Solution of the Task on Eigenvalues]. Moscow, 1975, 57 p. (Preprint. IPM; no. 108, 1975). (In Russian)
4. Algazin S.D. Vychislenie sobstvennykh chisel i sobstvennykh funktsiy operatora Laplasa (Lap123) [Calculation of Eigenvalues and Eigenfunctions of Laplace Operator]. SVIDETEL''STVO o gosudarstvennoy registratsii programmy dlya EVM № 2012617739. Za-registrirovana v Reestre programm dlya EVM [Certificate on State Registration of the Computer Program № 2012617739. Registered in Software Registration Book]. August 27, 2012, 18 p. (In Russian)
5. Kuttler J.R., Sigillito V.G. Eigenvalues of the Laplacian in Two Dimensions. SIAM Review. Apr. 1984, vol. 26, no. 2, pp. 163—193. DOI: http://dx.doi.org/10.1137/1026033.
About the author: Algazin Sergey Dmitrievich — leading research worker, chief research worker, Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences (IPMekh RAN), 101-1 Prospekt Vernadskogo str., Moscow, 119526, Russian Federation, algazinsd@mail.ru.
For citation: Algazin S.D. Kolebaniya membrany s kusochno-gladkim konturom i sme-shannymi kraevymi usloviyami [Fluctuations of the Membrane with Piecewise Smooth Contour and Mixed Boundary Conditions]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 11, pp. 29—37. (In Russian)
