CC BY
70
УДК 519.63
И.С. Полянский
БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ ПУАССОНА ДЛЯ МНОГОМЕРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ СКАЛЯРНОГО ПОТЕНЦИАЛА ВНУТРИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ (Часть 2)
С учетом сформированного в первой части статьи геометрического представления в работе задана процедура определения барицентрических координат Пуассона внутри выпуклой области в трехмерном пространстве. На примере решения скалярного уравнения Лапласа разработан способ аппроксимации скалярного потенциала внутри вогнутой области с использованием барицентрических координат Пуассона высоких порядков. Приведены результаты аппроксимации потенциала внутри произвольных областей по предложенному способу в сравнении с аппроксимацией методом конечных элементов.
Барицентрические координаты Пуассона, вогнутая область, аппроксимация скалярного потенциала.
I.S. Polyansky
POISSON BARYCENTRIC COORDINATES FOR MULTIVARIATE APPROXIMATION OF SCALAR POTENTIAL WITHIN AN ARBITRARY AREA (Part 2)
Considering the geometric presentation presented in the first part of the article, the determination procedure of Poisson barycentric coordinates within a convex area in a three dimensional space is specified. Based on the Laplace scalar equation, the method of approximating the scalar potential inside the convex region using the high-order Poisson barycentric coordinates is designed. The provided results of approximation of the potential inside the arbitrary domains by the proposed method are compared with approximation of the finite elements method.
Poisson barycentric coordinates, concave region, approximation of the scalar potential
Введение
В первой части статьи сформировано геометрическое представление нахождения барицентрических координат (БЦК) Пуассона, являющихся псевдогармоническими внутри выпуклого полигона. На основе заданного геометрического представления определим БЦК Пуассона внутри выпуклой области в трехмерном пространстве, а также сформируем способ аппроксимации скалярного потенциала внутри вогнутой области.
Целью второй части статьи является обобщение Пуассоновских БЦК для произвольных дискретных областей анализа, заданных в трехмерном пространстве.
Барицентрические координаты Пуассона внутри выпуклой области в трехмерном пространстве
Геометрия задачи определения БЦК Пуассона для выпуклого пятигранника, заданного в трехмерной системе координат, представлена на рис. 1. Нахождение БЦК для произвольной точки Р
сводится к проекции граней Ту ={Р/Rj; Rj+1} многогранника О на сегмент Г у = {руру; ру+1] единичной сферы В^ с центром в кх (рис. 16).
Рис. 1. Геометрическое представление определения проекции граней выпуклой области О на сегмент единичной сферы В^ для барицентрических координат Пуассона
В указанном геометрическом представлении (рис. 1а) барицентрических координат Пуассона в трехмерном пространстве величины весовых функций ^у (р) определяются через соответствующие проекции на единичную сферу (рис. 16) граней многогранника одной из вершин которых является точка Ру . Согласно [1], с одной стороны, поскольку анализируемая область О является выпуклой
и точка Р лежит внутри О , тройка векторов (ру — -р), (ру -р), (ру+1 -р) образует базис, в котором
через некоторые коэффициенты и у (. = 1,3) может быть выражена внешняя единичная нормаль Ту к
сегменту единичной сферы Ту выражением
3
О = I и) (ру +.-2 -р).
I=1
(1)
С другой стороны, весовые функции Wj (р) определяются суммой коэффициентов ик,г для к-
х
(к = 1, К) к-х граней многогранника, в которых одной из вершин является точка ру, [1]:
К 3
(р)=II
к ,1
(2)
к=1.=1
В этой связи ключевым моментом определения весовых функций (р) барицентрических
N
координат £у (р) = ^^ (р) / I м>т (р) выпуклого многогранника, заданного в трехмерном простран-
т=1
-к
стве, является нахождение внешних единичных нормалей Тк к-м (к = 1, К) сферы для фиксированного к в виде суммы [1]
сегментам единичной
б
а
— = 42й7 + ¡2 ^ + ¡3Дл7 ,
(3)
где п. (/ = 1,3) - внутренние единичные нормали к плоскостям, заданным соответствующими треугольниками д(Р,Ру_1, Pj), а(Р,Pj,Ру+1), а(Р, Ру+1, Ру-1) (см. рис. 16. Вычисляется по правилу
19 о ^ о 1
определения нормали к плоскости через три точки); ¡у, '3, - площади секторов единичного круга, образованного сечением единичной сферы В^ плоскостями, определяемые через соответствующие тройки точек (Р', р..-1, Р'j), (Р', Р'j, ), (Р', Р.+1, Rj-l). Точка проекции
т
р. =(X' У. 1 ) определяется решением системы трех уравнения пересечения вектора (Р ■ - р) с единичной сферой В^ . Корнями этой системы уравнений являются координаты:
' = ^ (ф) х + (к х )3 - г) tg (ф) + ^ (0) х + (к х )2 - у) tg (0)+(к х )1 ±4В
Х■ =
где
tg 2 (0) + tg 2 (ф) +1 У. = (X. - х) tg (0) + у; 1 . = (X. - х) tg (ф) + г,
tg (0) = (у. - у)/(X. - х); tg(ф) = ( - г)/(X. - х);
В = tg2 (0) + tg2 (ф) +1 -[(г-(кх)3)tg (0)-(у-(кх)2)tg(ф)
п2
(х-(кх )1) ^ (ф)-( г-(кх )3 ) - (х-(кх )1) ^ (0)-(у-(кх )2 )
(4)
(5)
Точка проекции Р. из пары корней (4) выбирается аналогично двумерному решению (см. часть 1 статьи): из условия минимального расстояния до вершины Р. .
На рис. 2 представлены примеры аппроксимации потенциала внутри трехгранника, состояще-
— т — т
го из пяти вершин с соответствующими координатами Р1 =(0; 0; 0) ; Р2 =(0; 50; 5) ;
Р3 =(0; 25; 50)Т; Р4 =(25; 25; 25)Т; Р5 =(-25; 25; 25)Т , для различных срезов БЦК Пуассона в случае равенства единицы его значений для одной вершины и нулю для всех остальных.
Рис. 2. Аппроксимация потенциала барицентрическими координатами Пуассона внутри трехгранника
Способ аппроксимации барицентрическими координатами Пуассона высокого порядка потенциала внутри вогнутой области
Хотя БЦК Пуассона для любых выпуклых областей задают аналогичную (близкую) к гармоническим координатам псевдогармоническую аппроксимацию, распределение потенциала внутри вогнутой области анализа определяется ошибочно. При этом в некоторых точках вогнутой области
2
БЦК Пуассона принимают отрицательные значения, что не удовлетворяет условию положительного определения БЦК.
С учетом того, что любой вогнутый многоугольник можно представить минимальным набором выпуклых, например, с помощью векторов сторон и их векторных произведений или используя положения вершин относительно линии продолжения одной из сторон, найти, какие вершины находятся по одну сторону от этой линии, а какие - по другую, определим следующий способ аппроксимации потенциала внутри вогнутой области, рассмотрев для нее решение скалярного уравнения Лапласа:
Du = 0, (6)
где u - скалярный потенциал, определяемый внутри анализируемой области Q в виде функции u (x, y) от прямоугольных координат.
Способ аппроксимации потенциала БЦК Пуассона высокого порядка для вогнутой области:
1) дискретизировать вогнутую область анализа Q на минимально возможное число выпуклых областей (многоугольников);
2) задать граничные условия путем определения значений потенциала для узловых точек, расположенных на границе области анализа Q (число узловых точек определяется мощностью множества мультииндексов, т. е., по сути, порядком аппроксимации m) Значения для i'-х узловых точек расположенных на границе относительно исходной вогнутой области, определяются кусочно-линейной зависимостью (см. часть 1 статьи, 4-е свойство барицентрических координат) относительно заданных значений потенциала в соответствующих смежных вершинах вогнутого многоугольника, между которыми лежит узловая точка;
3) для каждого t-го выпуклого многоугольника, дискретизирующего область анализа Q, определить элементы матрицы Дирихле Sf для всех пар мультииндексов с учетом повторения прямоугольных координат [2];
4) для каждого выпуклого многоугольника выполнить аналогичную МКЭ первого порядка
процедуру сшивания потенциала правилу Sf = СTStCt, где С - матрица сшивания t-го выпуклого многоугольника [2];
5) выполнить аналогичную МКЭ высоких порядков процедуру сшивания матрицы Дирихле S = С TS' с
для всей вогнутой области анализа. Здесь С - обобщенная матрица сшивания вогнутого многоугольника, S - блочно-диагональная матрица Дирихле, на главной диагонали которой расположены матрицы S f [2];
6) выполнить решение линейной системы уравнений вида, формируемой в приближении метода Галеркина для задачи (6) при аппроксимации потенциала БЦК Пуассона высокого порядка.
Рассмотрим более подробно предложенный способ аппроксимации решения задачи (6) БЦК Пуассона высоких порядков для выпуклой области с учетом указанных ранее новых понятий (муль-тииндекс, матрица Дирихле и др.).
Из [2] и других работ известно, что нахождение u (x, y) в постановке задачи (6) осуществляется путем решения задачи минимизации функции Дирихле:
W (u) = - J |Vu|2 dS ® min, (7)
2 W
для заданных граничных условий, исходно определяющих значение потенциала в вершинах вогнутого Л-угольника.
Решение задачи (7) для вогнутой области Q предлагается осуществлять путем параллельного решения набора задач аналогичного вида для первоначально изолированных t-х (t = 1,T) выпуклых
областей (многоугольников), дискретизирующих Q. Для нахождения решения (6) в применении к выпуклой области Q в приближении метода Галеркина зададим аппроксимацию потенциала u внутри произвольного выпуклого Л-угольника в прямоугольной системе координат выражением
u(t)(X У)= Z ui(X У), (8)
i 'eM.,
где т - целое неотрицательное число, определяющее порядок аппроксимирующего полинома; Мт' -упорядоченное множество мультииндексов г мощности Л', такое, что [3]
Мт' =
(9)
г = (/ь i2,•••, V N): V е Я , V ^ 0 Е V = т'
п'е[1; N ]
В выражении (8) а,' (х, у) - интерполяционная функция (специальный Л-мерный сплайн ла-гранжевого типа [3] степени т) определяемая выражением
Л
аг' (x, У ) = П (т^ Сп),
п=1
(10)
где Сп' = Сп' (х, У) - БЦК Пуассона (4); Я^ (т', Сп') - член семейства вспомогательных полиномов с номером Ч для соответствующего мультииндекса, определяемый равенством [2]
ЯС (т', Сп' ) =
(11)
П( т'Сп - к + 1)/к, при гп' > 0;
к=1
1, в противном случае^
С учетом заданной аппроксимации (8) потенциала условие (7) решения задачи (6) для *-го выпуклого Л'-угольника запишется в виде
Ш* (и) = 0,5щБщ ® шт,
(12)
где и* - вектор коэффициентов в разложении (8), элементы которого определяют значения потенциала в узловых точках *-го многоугольника; ¡§. = (, ,) - матрица Дирихле, элементы которой
* ^ ¡Мт'|*К'|
определяют неразрывность потенциала внутри области О' *-го выпуклого Л-угольника при переходе
от
узла г' к узлу у' (г' , / е Мт') и задаются выражением
4' )■ ' = I (Уаг',Уа ]')а о'= I
Эа/Эа ■ ' Эа,- 'Эа у л
У.+ - г
О'
О
Д Эх Эх Эу Эу )
й О' =
Г Г Е Г Эа/ ЭСп: 1Е ГЭ^ Эк. 1 + Е ГЭо: Эк. 1Е ГЭ^ эс
(13)
й О' •
О' Vп =Л ЭСп Эх )п=ЛЭСп Эх ) п=14 ЭСп Эу ^п'=1^ ЭСп Эу ))
Вычисление интеграла (13) предлагается производить численно методом Гаусса^
Ввиду наличия особенности барицентрического метода, заключающейся в том, что для некоторых многоугольников разным мультииндексам могут соответствовать одинаковые координаты узловых точек, необходимо отметить, что расчет матрицы Дирихле Б* для *-го многоугольника предполагает нахождение элементов матрицы Б* для всех пар мультииндексов по правилу (13) с последующей реализацией процедуры сшивания аналогичной [2] После параллельного вычисления матриц Дирихле Б* для всех *-х многоугольников, дискретизирующих исходную анализируемую область, для задания непрерывности потенциала между ними необходимо выполнить аналогичную методам конечных элементов высоких порядков [2] процедуру сшивания, определяющую переход от блочной матрицы Дирихле Б при изоляции выпуклых *-х дискредитирующих областей к искомой матрицы Дирихле Б вогнутого многоугольника ^ Аналогичным образом осуществляется сшивание векторов коэффициентов щ для *-х треугольных областей в итоговый вектор и •
Нахождение узловых потенциалов, определяющих значения элементов вектора и, осуществляется решением системы уравнений для всей анализируемой области:
ЭШ (м)/Эи = а (14)
При этом, чтобы исключить тривиальное решение (14) при и = 0 согласно [2] нумерация узлов выполняется так, чтобы все узлы, в которых потенциалы могут варьироваться иу (расположен-
ные внутри вогнутой области О), нумеруются первыми, а все узлы с заданными потенциалами Up
(расположенные на границе вогнутой области О) - последними. В этом случае систему уравнений (14) для рассчитанной матрицы Дирихле 8 после проведения процедуры сшивания для заданной нумерации узловых точек представляют в блочной форме и после реализации процедуры дифференцирования сводят к виду [2]:
га/
8 £[ 8 ^
ur
= 0.
Формальное решение системы уравнения (15) определяется выражением в блочной форме
u =
-8# • 8^ •0
(15)
(16)
На рис. 3 представлен пример аппроксимации потенциала внутри вогнутого семиугольника гармоническими координатами, БЦК Пуассона и БЦК Пуассона высокого порядка при дискретизации исходной вогнутой области двумя выпуклыми многоугольниками (граница разделения показана штрихованной линией), для заданного порядка аппроксимирующего полинома m' = 1, 4, 6 с указанными значениями потенциала в вершинах многоугольника.
0 1 Б
m, = 1
m' = 4 В
mf = 6
а
Рис. 3. Пример аппроксимации потенциала внутри вогнутого семиугольника БЦК Пуассона: а - гармонические координаты; б - БЦК Пуассона; в - БЦК Пуассона высокого при дискретизации исходной области
Заключение
В заключение следует отметить, что приведенные отношения нахождения БЦК Пуассона в трехмерном пространстве с учетом (1) справедливы для выпуклой области, гранями которой являются треугольники. В целом на основе заданных в работе геометрических представлений аналогичным образом могут быть найдены барицентрические координаты Пуассона для выпуклой области, заданной в многомерном (п > 3) пространстве. Полученные результаты (рис. 3) определяют подход к решению краевых задач (электродинамики, теплопроводимости, упругости и др.) в произвольных областях анализа с применением барицентрического метода. Из рис. 3в следует, что точность аппрокси-
мации потенциала увеличивается с возрастанием порядка аппроксимирующего полинома m' (обусловливается ростом числа узловых точек). Последнее позволяет формировать аналогичную гармоническим координатам интерполяцию без дискретизации области анализа в случае, если она выпуклая, и с минимальной, если область вогнута, исключая ошибки вычисления в точках, расположенных близко к границе области анализа (см. рис. 3а).
ЛИТЕРАТУРА
1. Ju T. A general geometric construction of coordinates in a convex simplicial polytope / Tao Ju, Peter Liepa, Joe Warren // Computer Aided Geometric Design. 2007. № 3 (24). P. 161-178.
2. Сильвестр П. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-энергетиков: пер. с англ. / П. Сильвестр, Р. Феррари. М.: Мир, 1986. 229 с.
3. Родионов В.И. О применении специальных многомерных сплайнов произвольной степени в числовом анализе / В.И. Родионов // Вестник Удмуртского университета. Компьютерные науки. 2010. Вып. 4. С. 146-153.
Полянский Иван Сергеевич -
кандидат технических наук, научный сотрудник Академии Федеральной службы охраны Российской Федерации
Ivan S. Polyansky-
Ph.D., Research Fellow
Academy of Federal Security Guard Service
of the Russian Federation
Статья поступила в редакцию 11.01.15, принята к опубликованию 10.02.15
