CC BY
14
УДК 517.9
Н. В. Арделян1, К. В. Космачевский2, М. Н. Саблин3
О СВОЙСТВАХ СЕТОЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ФУНКЦИЙ, ОПРЕДЕЛЕННЫХ В ЯЧЕЙКАХ И НА ГРАНЯХ СЕТКИ
В работе представлены результаты исследования свойств сеточной задачи варианта МЕБ-метода на полиэдральной сетке, в котором сеточные скаляры определены в ячейках сетки, а сеточные потоки заданы своими локальными нормальными координатами на плоских гранях ячеек. В области с криволинейной границей рассматривается сеточная неоднородная краевая задача для стационарных уравнений диффузионного типа. Дана операторная формулировка сеточной задачи, изучена локальная аппроксимация уравнений и краевых условий.
Ключевые слова: полиэдральная сетка, ячейки, грани, сеточные операторы, сеточные функции, погрешность аппроксимации.
1. Введение. В области П с Кп, п = 2,3, с достаточно гладкой границей <ЭП, П = П + <ЭП, в декартовой системе координат, рассмотрим краевую задачу для системы уравнений диффузионного типа:
Здесь V — набла-оператор Гамильтона, n = п (х) — вектор внешней единичной нормали к границе <ЭП. В уравнениях (1) u = и(х) : ii —> Мп, р = р(х) : О ^ Ж1 — искомые функции, к(х.) ^ к® > О, g(x) ^ 0, /(х) — известные функции, определенные в рассматриваемой области (при х G О). В краевых условиях (2) а(х) ^ 0, /3(х) ^ 0, /х(х) — известные функции, определенные на границе <ЭП. Функции а, /3 не обращаются в ноль одновременно. Здесь и далее векторы (величины из Ша) обозначаем жирным шрифтом. Достаточная гладкость границы dil означает, что она удовлетворяет требованиям, возникающим при дальнейшем анализе.
Работа продолжает исследование предложенного в статье [1] MFD-метода (Mimetic Finite Difference method) для сетки, которая состоит из многогранников или многоугольников. В [1] рассмотрен вариант этого метода для задачи (1), (2), в котором сеточные скаляры определены в ячейках сетки, а сеточные потоки (векторы) задаются своими локальными нормальными координатами на гранях сетки. В этой статье и цитируемых в ней работах сформулирована сеточная задача, для которой доказаны априорные оценки сходимости при однородных краевых условиях первого рода. Построение сеточной задачи основано на использовании специального локального скалярного произведения сеточных векторов, сводящего объемный сеточный интеграл к сумме локальных сеточных интегралов по ячейкам.
Целью настоящего исследования является изучение на основе классической теории разностных схем [2] сеточных неоднородных краевых задач указанного варианта MFD-метода в области с криволинейной границей. В работе [3], посвященной данной тематике, были рассмотрены свойства сеточных аналогов дифференциальных операторов V, (V-) и сеточных граничных операторов, получены сеточные аналоги теорем вложения. Здесь же рассматриваются операторная формулировка сеточной задачи и ее аппроксимационные свойства. Получение априорных оценок устойчивости и сходимости являются предметом отдельного исследования. В [1] не рассматривались вопросы локальной аппроксимации, так как это не требовалось для используемого метода исследования сходимости. Вопросы построения и локальной аппроксимации потокового уравнения (второе уравнения из (1)) не являются тривиальными, так как в рассматриваемом методе векторы потока и и градиента Vp представлены сеточными локальными координатами по направлениям, не совпадающим на нерегулярной сетке.
1 Факультет ВМК МГУ, вед. науч. сотр., д.ф.-м.н., e-mail: ardelQcs.msu.su
2 Факультет ВМК МГУ, ст. науч. сотр., к.ф.-м.н., e-mail: kosmaQcs.msu.su
3 Факультет ВМК МГУ, мл. науч. сотр., к.ф.-м.н., e-mail: sablinQgarant.ru
qp + V • u = /, u + kVp = 0, x = (xi,..., xn) G O, ap — /3u • n = /x, x G <9fi.
(1) (2)
2. Сетка, сеточные функции и операторы. Здесь приводятся необходимые обозначения и определения сеточных операторов (см. также [3]). Предполагается, что вводимая сетка удовлетворяет геометрическим требованиям, сформулированным в [1].
2.1. Обозначения для сетки.
1. шс, ш]?, шар = — сетки: множества ячеек С, их граней Р. граничных граней, внутренних граней соответственно, ш = шс + шР. Ячейки С £ шс пронумерованы.
2. дА — граница любой области Ас1", Л А + дА.
3. Пс = С — сеточная область, Р С дО,с для граничных граней Р € иРЕ. Вершины гранич-
сешс
пых граней лежат на границе <ЭП исходной области П.
4. -Р(С) = {.Р С дС} — множество граней ячейки С € шс.
5. С(Р) — множество ячеек с гранью Р, С(Р) = для внутренних граней Р € ш®, С(-Р) = {С[} для граничных граней Р € Номер ячейки Сf меньше номера ячейки (.
6. /г — параметр сетки, к > 0.
7. с (возможно с индексами) — не зависящая от к постоянная.
8. | А\ — мера размерности к € {1, 2, 3} любого множества той же размерности. Для ячеек и граней сетки \С\ = сскп и = сРкп~1.
д, р(Л.) — диаметр множества А. Для ячеек и граней сетки р(С) = с§к, р(Р) = Срк. 10. шс{С) = ш^, и шР{С) =Шр — локальные сетки, состоящие из одной ячейки С € шс и ее граней соответственно: ш£ = {С}, = {Р € -Р(С)}, шс = + Шр ■
2.2. Обозначения для сеточных функций и их множеств.
1. Вс, ВР, Вг — конечномерные линейные пространства скалярных сеточных функций, определенных в ячейках С €. шс, гранях Р € граничных гранях Р € соответственно,
В с = В с СВ в р .
2. В( . В,. В, — конечномерные линейные пространства векторных сеточных функций, определенных на соответствующих сетках.
3. В% = В( ■{('). Вр = Вр(С) и В'( = В< ■(('■). В', = Вр(С) — линейные пространства скалярных и векторных функций, определенных на локальной сетке шс.
4. дс € Вс, др € Вг, д7 € В,.. дс = {дс, д1} 6 Вс — скалярные сеточные функции.
5. € В, . € ВР, ^ € В) — векторные сеточные функции.
6. др(С) = др{С) € Вр — локальные сеточные функции, определенные на локальной сетке
7. д'г = //' (С '). //,' = //' (/-'). д1 = д~ (/-') — значения сеточных функций на конкретных элементах С € шС1 I' ^ Р £ ш]. сетки ш.
8. € ВР — сеточная вектор-функция, ее значение п{; на каждой грани ? е шр есть вектор единичной нормали к ней, направленный в сторону ячейки (•'._!'. Для граней Р € нормаль п^ является внешней к сеточной области Пс.
9. пр(с) € Вр — локальный сеточный вектор внешних единичных нормалей к граням ячейки С € шс. Для С = ('/„ справедливо: Пр(с) = (^1)то_1Пр.
10. х , — барицентр области А С Кп, хА = х( Л) = Л 1 ^х<1\\. V, — соответствующая мера.
А
Считаем, что х(Л.) € Л. для А = С, Р, х(С|') = х(Р) для ^ € ш],.
11. = ха — щ — направленный вектор, соединяющий точки ха, щ.
12. Ь'^". Ь'. € бр — сеточные функции, Ь£'т = Ьр = Ь^2 — Ъ!,л.
13. д£ £ ВА — проекция функции д(х.) на сетку шА (А = С): д£(А) = д(х.А)-
14. и'г (г В,. — проекция на сетку шР локальных нормальных координат вектор-функции: (ир)р = = Пр • и(Хр).
Элементы пространств Вс, Вс интерпретируются как сеточные скаляры, элементы пространства Вр — как сеточные векторы, заданные на гранях локальными нормальными координатами по направлениям Р € шР.
2.3. Определения сеточных операторов.
1. Скалярные произведения и нормы в пространствах сеточных функций:
= (рс\дсГ= £ \С\р%д%,
Сешс Сешс
решр FewJ,
с _ с
Кл./-, » ^ »
Скалярные произведения в локальных пространствах Вс есть сужения указанных скалярных произведений на локальную сетку шс. Будем опускать верхний индекс в формулах скалярных произведений и норм, когда по обозначению сеточных функций ясно, какие формулы используются.
2. Скалярное произведение и норма, индуцируемые оператором:
А = А* > 0, Ае£(Б~>В), (и, у)А = (Аи, у), 1М1А = \/{А'и,у) Уи,у е В.
3. Сеточные аналоги (\7СР-) € £(ВР —> Вс), Х7РС € С{Вс —> ВР) дифференциальных операторов
(V-) и V (С = ('/„ в определении для оператора (\7СР-)):
11 1 р|
рс{С2) = р% для граничных граней ^ € ш"Р.
4. Граничный сеточный оператор Ф7 € —> ВР) и сопряженный к нему:
(Ф7р7)р = 0 для внутренних граней Р € ш
5. Сеточный аналог УРС € С{Вс ВР) градиента при нулевом значении функции на границе. Определяется формулой из п. 3 для оператора \7РС при р7 = 0, УРСрс = VРСрс + Ф7р7.
6. Сеточный оператор ПСР € £(ВР —> Вс) и его сопряженный = К* р (С = ('/„ в определении оператора
1 то
1(71
1 1 FeF(C)
Р и.
(КРСис)Р — —— (и^р • р — и^р •
Оператор КСР интерпретируется [3, 5] как оператор реконструкции сеточного векторного поля в ячейках по локальным нормальным координатам на гранях. Очевидно, что подпространство кег(КСР) содержит ненулевые функции. 7. Сеточный оператор € С(ВР —> Вс) и его сопряженный
1 ^
' ' FeF(C)
(КРСис)Р - • (|ьс|>| + |ьсГ,р| иссР)
I г I
Очевидно, что подпространство кег(КСР) содержит ненулевые функции. 8. Локальный оператор = ПСР(С) € £(ВР —> 13%) и Н£с = (Щ^)*:
Р с с с 1 с
I I РеР(с) I
Оператор есть сужение оператора ПСР на сетку шс для всех С € шс. 3 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 3
9. Локальный оператор NgF = Ncf(C) € £{В% —> и NpC = (NgF)*:
С F(C) 1 F (С) F (С) С С F (С) С
NCFu = , , / j l-P1) |Lc,f| nF uF , (Nfc,ííc)f = nF • uc.
' ' F£F(C)
Оператор N£f есть сужение оператора NCF на сетку шс для всех С € шс. 10. Локальный оператор € ^ и индуцируемый им нелокальный оператор Nc €
G £{ВС -)• Вс):
— N^pч ^UNT^*и ^ Q — и.
Очевидно, что ker(NFC) = {0}, откуда следует: = (N£)* > О, Nc = (Nc)* > 0. Верхний
индекс С используется при обозначении и других локальных операторов.
Сеточные операторы (VCF-), VFC, Ф7 согласованы [3, 4] в смысле выполнения сеточного аналога (рс, VCF • uF)c + (yFCpc,uf)f = (Ф7р7,uF)F интегрального следствия формулы V • (ри) = = pV ■ и + и ■ Vp. Поэтому (VCF-)* = ^VFC с учетом определений из пп. 3-5. Сеточные операторы R, N из пп. 6-10 необходимы [1, 3] для операторной формулировки сеточного потокового уравнения.
3. Сеточная задача. Для сеточных функций рс = {рс,р7} G Вс, uF € BF сформулируем в операторной форме сеточные уравнения [1], соответствующие системе (1), (2):
JP |Ф|
qcxpc + VFC-uF = fZ, M,V+V,•,.,/' П. а7р7 — т^ту (Ф7)*ир = /¿7. (3)
Оператор М,. € £(ВР —> ВР) [1] в сеточном потоковом уравнении из (3) строится так, чтобы он был самосопряженным и положительно определенным, и обеспечивал сходимость сеточной задачи. В сеточном краевом условии из (3) |Ф|7 ^ В]. — сеточная функция, € ш]р |Ф|^ = |Ьр|-1.
В сеточно-операторной задаче (3) а7, /З7, ¿¿7 — заданные сеточные функции. Функции
дС^ ¡с — точечные проекции (см. раздел 2.2, п. 13) на сетку функций д, / из исходной задачи (1), (2). Граничные сеточные функции д7 € {а7,/37,/х7} на каждой граничной грани Р € ш]р определяются равенством д% = д(хр), где точка хР € <ЭП такова, что ее проекция на граничную грань Р является барицентром хр этой грани. Здесь и далее при операторной записи мы не вводим отдельные обозначения для операторов, индуцируемых операциями умножения на заданную сеточную функцию.
Оператор М,. [1] в сеточном потоковом уравнении из (3) в терминах определений раздела 2.3 задается так:
М, М',0)+ А,/М',1). м£0) = К*.С(КС)-1Н.С*., М^ = 1Р - М^]*-1]*^, (4)
где Ам > 0 — не зависящая от к достаточно большая постоянная, обеспечивающая положительную определенность оператора М,.. В формуле (4) операторы Кс € С{Вс —> Вс), 1Р € £{ВР —> ВР) индуцированы произведением на соответствующие сеточные функции: Ксис = к^ис, IРир = = (¡Ь^1) + /\ЬР\и".
Очевидно, что оператор М,. является самосопряженным. Нетрудно видеть, что норма ,
в силу локальности определений операторов КСр, 1МсР, сводится к сумме по ячейкам локальных норм:
11ир112 — ЦК ур\\2 1 + А (\\ьр\\? ^ ИТЧГ ир||2 Л - V ||„^)||2 ,
Сешс
Мр = (М^)® + Ам(Мр)<-1\ (5)
Здесь 1р — тождественный оператор в локальном пространстве Вр. В преобразованиях (5) использованы определения (4) и формула = X) ||иР(с)||2, следующая из соотношения
СЕшс
12 IF
íf = Y1 ifI (\LcfA + |lcf,f|J «)2 = Y1 I^iilc,f|«)2= Y1
FEWF CEwc F£F(C) CEWC
В силу (5) условие положительной определенности в виде М,. ^ см 1Р > 0, где см = тт см(С),
Сешс
есть следствие положительной определенности М® ^ см(С) > 0 локального оператора.
Приведем кратко этапы доказательства операторного неравенства М® ^ см(С) > 0, повторяющего в принципиальных моментах доказательство предложения 3.1 из работы [1], выполненное в матричных терминах.
1. В силу = имеют место разложения: = ¡ш ф кег
и ^кег ' ^ 1Ш З^Гр^-,, ^кег ^ кбГ , ~~^кег
2. Операторы (М^)^', являются проекторами на подпространства кегЗМ^р, ¡ш соответственно. При этом Цг/^'Имс = + Ам Ц^кег'Ц2-
3. Используя неравенство треугольника, е-неравенство с е = 0.5 и ортогональное разложение п. 1, получим ЦН^иЛ^Ц2 ^ 0.5||к^л^с)||2 - ||11£р||2 Ц^Ц2.
4. Используя формулу = Iе [1, 3], где Iе — тождественный оператор в В^, и формулу проектора на подпространство ¡ш (п. 2), получим
111° г/(с)1
Р^ср-^РС] Г^рИ
> Шс II"111г/(с)1
^ П^рси 11 1гп |
5. Учитывая неравенство (К£) 1 ^ ||К£|| и пп. 3, 4, из п. 2 получим
II Р(С)||2 ^ > о к нкчг1 111ЧГС II"2 И^^'И2 + (х — ПК0!!"1 Шс Н2^ II^I IIй Нм£ ^ и-°11^с11 П^рсП || ип II ^ улм Ц-^сП П^-срП у || кег |
Отсюда следует искомое операторное неравенство М® ^ см(С) при
|-1 /пс- 11ТЧ.ТС II—2 , И ц2
см(С) = 0.5 ЦК^Ц-1 ||^с||"2 , Хм = шах [ ЦК^Ц"1 Го.5 ^
Сешс I- V
"РСН 1 11^*"СР1
4. Аппроксимационные свойства. Подставляя в уравнения (3) точечные проекции » € В,..
Рх = {РхчРх} £ Вс = Вс ф В], на сетку решения и, р исходной задачи (1), (2), определим сеточные функции (Е Вс, (Е ВР, (Е В],:
Фр = ЯхРх + ^рС • < ~ /х. С = + Ф1 = а7Р2 ~ Щу (Фср)*< ~ (6)
Здесь и далее считаем, что решение и, р имеет ограниченные вторые производные в каждой точке области П. В случае границы, вогнутой внутрь области П, когда существуют граничные грани ^ 6 ш]^, такие, что ^ ^ П, считаем, что решение задачи (1), (2) продолжаемо с сохранением гладкости на сеточную область Пс.
4.1. Погрешность аппроксимации уравнений. Так как (др + V • и - /)% = 0, то погрешность аппроксимации ф^ (6) выражается [1, 3] через погрешность аппроксимации дивергенции сеточным оператором (\7рС-): ф^ = \7РС • и£ — (V • и)£ = О(к).
Представим погрешность аппроксимации ф^ (6) потокового уравнения в виде суммы двух слагаемых:
/ р _ / р , / р / р _ Т»/г(0) р , -С / Р _ т»/г(1) Р
Ги — Ги,0 + У и,11 г и,О ~ 1УАР их + у< ' !>Х ■ Ч> и,1 — 1УАР их-
Покажем, что ф[ 0 = О (Л.), = О (Л.), а следовательно, и ф^ = О(к). Обозначая йс = ИСРи^ для величины ф^ 0 получим
= (й.с^)-1^,«:), + (VcpPx)p =
= {Ьс2р,р • [кх(с2)} 1йсср - ЬСР,Р • [к^(С[)} +
+ \К\-1{[р-(С2П^ррх(Р)} + ШР)^рсх(СП}} VF6Ы, (7)
Перегруппировав слагаемые в правой части (7), будем иметь
С.оОП = 114Г1 {ьс,, • + -р^)]} -
Рассмотрим первое слагаемое в правой части (8), используя аппроксимационное соотношение й',.* и',.* + О (к) [3, 5] для реконструкции йс = ИСРир векторного поля в ячейке, формулу Тейлора и уравнение и + кУр = 0:
14Г1 {ьс,, • [ксх{ср))~1пссР + [рсх(с2р)^ррх(р)}} =
= МГ1^,, • + Ур(с2п} + о(к) = О(к). (9)
Точно так же можно показать, что второе слагаемое в правой части (8) есть величина порядка к. Тем самым доказано, что фр 0 = О(к). Этот вывод остается верным, когда, как и в [1], коэффициент к(х) может быть разрывным на гранях сетки.
Используя определения из (4), (5), рассмотрим для любого Р € шР величину
гил{р) = - 1КГ1 К • (|ьс|>| К (СЛ) + \ъс[,р| {< (СП}) + О(к) =
= 114Г1 (|ьсГ,р| + |ьсГ,р|) [<(р) - п• <(р)] + о(к) = о{к).
В силу (11) величина йс = может рассматриваться в качестве обладающей локаль-
ной аппроксимацией реконструкции векторного поля в ячейке, построенной с помощью операторов К, в отличие от введенной ранее реконструкции йс = ИСРир.
4.2. Погрешность аппроксимации краевого условия. Наряду с сеточными функциями р7, ир, определяемыми через значения функций р, и в барицентрах хр граничных граней, введем сеточные функции рЦ!,йЦ! € ВI. определяемые формулами
Точки хр € дП таковы, что их проекции на грани Р € являются барицентрами хр.
Используя краевое условие (2) в точках хр и учитывая то, что сеточные функции а7, /З7, /х7 определяются через значения функций а, /3, /х в этих точках, представим погрешность ф7 (6) аппроксимации краевого условия в виде разности:
В том случае, когда часть границы дП плоская и граничная грань Р лежит на ней (Р € ш]р, Р С <ЭП), очевидно, что хр = хр и ф7(Р) = О, Ф2(Р) = О-
В случае криволинейной границы для каждой грани Р € ш"Р введем декартову локальную систему координат {X, У, И}, сохраняющую расстояния пространства Жп, с началом координат в барицентре хр € Р так, что грань Р лежит в плоскости И = 0, ось И направлена наружу сеточной
Используя определения операторов (см. пп. 9, 10 в разделе 2.3), получим
У^еш^: ир(с)(Р) = пр(с) ■ ир(с)(Р) = N %и%{С) + О(к)
ЩРир(с> = %(С) + О (К) = N^(<7) + О (к). (И)
Подставляя (11) в (10), получим требуемое аппроксимационное соотношение
\/Р € ш7 : р2{Р) = р(хр), й7(Р) = и(хр) • п(хр).
1
ф7 = а'ф7 - /З7^7, Ф1=р1- р2, Ф1 = т-^у (Ф7)*< -й7 = и7^й:
.7
'х'
области Ùc. Далее в этом пункте считаем координаты точек локальными: х = (X,Y,Z). Для любого вектора v используем обозначения vx, vY, vz для его локальных координат, vz = (vx,vY)-При этом уравнение криволинейной границы и вектор нормали к ней имеют вид
Z = ip(xz), n= [l + (V^)2]-°-5 l), xzgf.
На каждом ребре Е G dF найдется точка, в которой Lе • = О (Le — направляющий вектор ребра Е) в силу гладкости функции (р и равенства ее нулю в узлах сетки, соединяемых этим ребром. Отсюда с учетом формулы Тейлора для Vcp следует, что |Vv?(xz)| = О (h) для любого xz G F при ограниченных вторых производных функции (р. Далее, обозначая х0 G дП П dF узел сетки — вершину многоугольника F, из формулы Тейлора <р(х) = <р(х0) + (х — х0) • V<p(xo) + 0(|х — х0|2), равенства (р(х0) = 0 и соотношения = О (h) получаем, что <р(х) = 0(h2) при х = xz G F.
В частности, в локальной системе координат xF — xF = (0,0,0) — (0,0,^(0,0)) = 0(h2). Отсюда следует = p(xF) — p(xF) = (xF — xF) ■ Vp(xF) + 0(h2) = 0(h2).
Учитывая приведенные выше оценки = О (h), |<у?| = 0(h2) и аппроксимационные соотноше-~ 9<х") /9(х) +0<"2) и для 9 = ^ u(x") - u(x") = 0<"2)'получии для ™ой
F
функции = uj — üj :
('Фи) F = u(xF) • ïlp — u(xF) • n(xF) = u(xF) • [ïlp — n(xp] + 0(h2) =
= [1 + (V^)2] "°'5 uz(xF) • V^(xp) + uz(xp) (1 - [1 + (V^)2]"0'5) + 0(h2) = = uz(xp) • V^(xp) + 0(h2) = uz(xp) • |F|_1 J V<p(x) dVF + 0{h2) =
F
= uz(xp) • |F|_1 J <p(x)nzdl + 0{h2) VFewJ.
dF
Здесь dl элемент длины дуги для линии dF, nz — вектор внешней нормали к границе dF в плоскости грани F G uj. В двумерном случае грани F являются отрезками, а функция (р равна нулю на их концах. Отсюда следует, что ф^ = 0(hs), где s = 2 в двумерном случае и s = 1 — в трехмерном. В данной аппроксимационной оценке требуется наличие ограниченных третьих производных функции (р.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Lipnikov K.N., Manzini G., ShashkovM.J. Mimetic finite difference method // J. Comput. Phys. Part B. 2014. 257. P. 1163-1227.
2. Самарский A.A. Теория разностных схем. M.: Наука, 1977.
3. Арделян H. В., Космачевский К.В., СаблинМ.Н. О свойствах согласованных сеточных операторов для сеточных функций, определенных в ячейках и на гранях сетки // Прикладная математика и информатика. № 54. М.: Издательский отдел ф-та ВМК МГУ, 2017. С. 14-35.
4. Саблин М.Н., Арделян Н.В., Космачевский К.В. Согласованные сеточные операторы при ячеечно-узловом определении сеточных функций // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2017. № 1. С. 3-12. (Sablin M.N., Ardelyan N.V., Kosmachevskii К. V. Consistent grid operators with the cell-nodal definition of grid functions // Moscow Univ. Comput. Math, and Cybern. 2017. 41. N 1. P. 1-10.)
5. Cangiani A., Manzini G. Flux reconstruction and pressure post-processing in mimetic finite difference methods // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 2008. 197. P. 933-945.
Поступила в редакцию 05.03.17
