CC BY
14
УДК 517.9
М. Н. Саблин1, Н. В. Арделян2, К. В. Космачевский3 СОГЛАСОВАННЫЕ СЕТОЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
ПРИ ЯЧЕЕЧНО-УЗЛОВОМ ОПРЕДЕЛЕНИИ СЕТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
Рассматривается принцип согласованности сеточных операторов, обеспечивающий корректность сеточно-операторных неоднородных краевых задач. На нерегулярной треугольной сетке строятся сеточные аналоги дифференциальных операторов первого порядка и граничных операторов, согласованные в смысле выполнения сеточных аналогов интегральных соотношений — следствий формулы Остроградского-Гаусса для дивергенции векторных полей, являющихся произведением скаляра на вектор, векторным произведением векторов, внутренним произведением вектора на диадик. В каждом сеточном соотношении одна из функций определена в узлах, другая — в ячейках. Построение проводится путем сеточно-операторной интерпретации следствий интегральных соотношений, справедливых, когда одна из функций является кусочно-линейным восполнением узловой сеточной функции, другая — кусочно-постоянным восполнением ячеечной сеточной функции.
Ключевые слова: сеточные, дифференциальные, граничные операторы, узлы, ячейки, треугольная сетка.
1. Введение. В открытой ограниченной области П с К3 с кусочно-гладкой границей <ЭП для скаляра р, векторов г'. /•,'. // и диадика_[тензора ранга 2) 17, компоненты которых как функции переменной х = {ж, у, х} принадлежат С1 (П), имеют место интегральные соотношения:
Здесь дУ — элемент объема в области П, йа — элемент площади поверхности <ЭП, п — вектор внешней единичной нормали к этой поверхности. В круглых скобках приведены эквивалентные варианты записи поверхностного интеграла, в которых выделены используемые далее операции умножения тензоров на нормаль к границе. В формулах (1)-(3) знаки •,••, х означают скалярное произведение векторов, двойное скалярное произведение диадиков [1], векторное произведение векторов соответственно.
Соотношения (1)-(3) получаются интегрированием формул дифференцирования произведения двух функций:
У-(/«0 г-Чр + 1>Ч-г. V • (Л ■ V) = V • V • и + и ■ -Чг. V ■ (Ё х Н) = Н -V х Ё ^ Ё -V х Н,
с использованием формулы Остроградского-Гаусса [1]
(1)
(3)
з
2
Факультет ВМК МГУ, мл. науч. сотр., к.ф.-м.н., e-mail: sablinQgarant.ru Факультет ВМК МГУ, вед. науч. сотр., д.ф.-м.н., e-mail: ardelQcs.msu.su Факультет ВМК МГУ, ст. науч. сотр., к.ф.-м.н., e-mail: kosmaQcs.msu.su
Каждая из формул (1)-(3) связывает пару дифференциальных операторов (дивергенция вектора и градиент скаляра для (1), градиент вектора и дивергенция диадика для (2), два оператора ротор вектора для (3)) и пару граничных операторов, реализующих на границе области разного типа произведения следов этих функций на граничную нормаль. Формулы (1)-(3) означают взаимосопряженность дифференциальных операторов из указанных пар на определенных классах функций, для которых подынтегральные выражения в правых частях равны нулю.
Определение 1. Согласованными сеточными аналогами пары дифференциальных операторов и соответствующей пары граничных операторов для каждой из формул (1)-(3) мы называем сеточные операторы, для которых выполнен сеточный аналог этой формулы.
Согласованные сеточные дифференциальные и граничные операторы в линейных конечномерных пространствах ячеечных и узловых сеточных функций (определенных в ячейках и узлах нерегулярной треугольной сетки), получены в работах [2-4]. С использованием этих операторов построены полностью консервативные сеточные задачи магнитной газовой динамики (МГД) с учетом диссипативных процессов [3-5], разработан неявный свободно-лагранжевый метод численного решения МГД-задач [6-8]. Эти исследования были проведены в контексте создания эффективного метода для численного моделирования течений плазмы магнитоплазменных компрессоров [9—11]. В дальнейшем метод использовался при численном моделировании различных задач плазмодина-мики и астрофизики. Выбор треугольной сетки для построения метода обусловлен наличием локальной аппроксимации для сеточных операторов и возможностью эффективной реструктуризации сетки. В реализованном подходе единообразно определяются все сеточные операторы — аналоги инвариантных дифференциальных и граничных операторов из соотношений (1)-(3), что позволяет строить на нерегулярных треугольных сетках аппроксимации для неоднородных начально-краевых задач механики сплошной среды (например, задач МГД), содержащих эти операторы.
Согласованные сеточные аналоги дифференциальных операторов на нерегулярной многоугольной сетке получены в работах [12, 13] при построении сеточных задач МГД на основе вариационного подхода. Для построения таких операторов разработан метод опорных операторов [14-16], в котором один из сеточных операторов (основной) строится путем непосредственной аппроксимации, а другой (опорный) — как сопряженный основному. В методе опорных операторов граничные согласованные сеточные операторы не рассматриваются. Строятся только сеточные дифференциальные операторы при равенстве нулю подынтегральных выражений в правых частях (1)-(3). Вопрос сеточной постановки неоднородных краевых условий решается отдельно на стадии построения конкретных сеточных задач (см., например, [17]).
Проводимое здесь и в наших предыдущих работах [2-4] построение согласованных сеточных граничных операторов наряду с дифференциальными дает полный набор средств, необходимых для последующей операторной постановки сеточных неоднородных краевых задач: краевые условия формулируются в виде операторных уравнений с граничными сеточными операторами; на операторном уровне проводится аппроксимация дифференциальных уравнений при неоднородных краевых условиях путем непосредственной замены дифференциальных операторов сеточными, в том числе на сеточной границе; в соответствии с принципами классической теории разностных схем [18] решаемая сеточная задача формулируется также на операторном уровне, как правило, путем подстановки сеточных краевых условий в сеточные дифференциальные уравнения. Важно, что в реализуемом подходе сформулирован общий метод операторной постановки различных сеточных неоднородных краевых задач, который является прямым следствием свойств предварительно определяемых согласованных сеточных дифференциальных и граничных операторов [7, 19-21].
Согласованные сеточные дифференциальные операторы на треугольных сетках обладают свойством локальной аппроксимации, в то время как на нерегулярных многоугольных сетках это свойство теряется для одного из операторов, что отрицательно влияет на сходимость сеточных задач. В цикле работ, рассмотренных в обзоре [22] и развивающих метод опорных операторов на произвольных нерегулярных многоугольных и полиэдральных сетках, для определенных типов сеточных функций предложена модификация сеточных операторов, при использовании которой продемонстрирована хорошая точность численного решения и доказана сходимость соответствующих сеточных задач с однородными краевыми условиями первого рода.
В случае использования только узловых сеточных функций согласованные сеточные операторы получаются непосредственно в результате сеточно-операторной интерпретации интегральных соотношений (1)-(3) с подставленными в них кусочно-линейными восполнениями сеточных функ-
ций [21]. Это возможно, так как непрерывные кусочно-линейные функции удовлетворяют условиям теоремы о следе [23] и для них справедливы интегральные соотношения (1)-(3).
В наших предшествующих работах [2-4] при ячеечно-узловом определении сеточных функций согласованные сеточные операторы строились сеточным методом. На первом этапе, как и в методе опорных операторов, путем непосредственной аппроксимации определялся основной сеточный дифференциальный оператор, второй (опорный) сеточный оператор строился как сопряженный основному при нулевых граничных значениях. Далее определялись граничный и второй дифференциальный сеточные операторы при ненулевых граничных значениях, исходя из требований локальной аппроксимации операторов на границе сетки и аппроксимации интегральных соотношений (1)-(3).
В данной работе показано, что при ячеечно-узловом определении сеточных функций формулы для согласованных сеточных операторов являются прямыми следствиями интегральных соотношений (1)-(3). Для доказательства используются полученные следствия этих соотношений, справедливые, когда в них одна из функций является принадлежащим (О) кусочно-линейным восполнением узловой сеточной функции, а вторая функция может принадлежать Ь2 (О) внутри области и Ь2 (дП) на ее границе. В качестве второй функции подставляется кусочно-постоянное восполнение ячеечной сеточной функции внутри области, а на границе — кусочно-линейное восполнение узловой граничной сеточной функции. После этого проводится сеточно-операторная интерпретация полученных соотношений.
2. Параметризация инвариантных дифференциальных и граничных операторов.
Присутствующие в формулах (1)-(3) дифференциальные инварианты \7р, V • V, У«, V • I/, V х Е, V х Я определяются путем формального умножения разными способами тензоров рангов 0, 1, 2 слева на набла-оператор Гамильтона V [1, с. 515], который в декартовой системе координат имеет
д
вид V = (д/дх)их + (д/ду)йу + {д/дх)йг, где йх, йу, иг — единичные базисные векторы (здесь и далее в работе тензоры записываются с использованием физических компонент и единичных базисных векторов). Дифференциальные операторы, посредством которых определены указанные дифференциальные инварианты, однозначно задаются способом умножения оператора Гамильтона на тензор и рангом этого тензора. Как и в [21], для удобства дальнейшей работы с этими дифференциальными операторами определим зависящий от набора параметров
(*,М) е {(°! 0,1), (•, 1, 0), (о, 1, 2), (•, 2,1), (х, 1,1)} (5)
оператор V (*, к, I), который действует на тензор ранга к € {0,1, 2} по правилу
= V**'. (6)
Символ о в (5) и далее означает внешнее произведение тензоров ранга больше нуля или обычное произведение на скаляр. Кроме того, для наборов параметров (5) определим, как и в [21], необходимый в дальнейшем инвариантный граничный оператор \77 (*,к,1), действующий на тензор ранга к € {0,1, 2} по правилу
\/х(ЕдП:У1(*,к,1)Р = п*Р. (7)
В семейство (5) включены наборы параметров, определяющие операторы из соотношений (1)-(3). В каждом наборе первый параметр * задает способ умножения тензора ранга к (второй параметр) слева на оператор Гамильтона V (в формуле (6)) и на вектор п (в формуле (7)), а значение третьего параметра I равно рангу результирующего тензора. Параметр I однозначно определяется параметрами *, к, но указывается явно из соображений удобства дальнейшего изложения. Знак о в формулах (1)-(3) опущен.
С помощью введенных в (6), (7) операторов формула Остроградского-Гаусса (4) и другие соотношения, связывающие объемные и поверхностные интегралы [1, п. 5.6-1], записываются в виде одного параметризованного интегрального тождества
Jv(*,k,l)FdV = Jvl(*,k,l)Fda, (8)
П дП
где (*,&,/) принадлежит семейству параметров (5), ^ — тензор ранга к.
В соответствии с формулой (8) каждому дифференциальному оператору (6) с параметрами из семейства (5) соответствует граничный оператор с теми же параметрами.
В дальнейшем нам также понадобится проверяемая непосредственно формула
V (*, к, I) (Fg) = gV (*, k,l)F + (Vg) * F (9)
дифференцирования произведения достаточно гладких тензора F и скалярной функции д, верная для параметров из семейства (5), и ее интегральное следствие
I (д, F) = J gV (*, к, I) F dV = -Iv (д, F) + Ц {д, F), (10)
п
IV (д, F) = J (Vg) * F dV, Ц {д, F) = J 5V7 (*, к, I) F da,
n an
получаемое с учетом формулы (8). Интегральное соотношение (10) и введенные в нем обозначения используются при ослабленных требованиях к гладкости компонент тензора F для определения сеточных операторов, действующих на ячеечные сеточные функции. В обозначениях интегралов I не указывается всегда однозначно определяемая контекстом зависимость от области интегрирования и от параметров (*,к,1).
3. Интегральные соотношения для функций из H'.J (П). Требования к гладкости компонент подынтегральных функций в (1)-(3), (8), (10) можно ослабить. Имеет место следующее утверждение.
Утверждение 1. Соотношения (1)-(3) и формулы (8), (10) с параметрами из семейства (5) имеют место, если компоненты участвующих в них тензоров принадлежат пространству И'-J (П) (соответственно, производные в этих формулах — обобщенные) и область П мож-
N
но покрыть конечным числом областей fij с гладкими границами: П = |J fij (области fij могут
г= 1
пересекаться).
Интегралы по границе в правых частях (1)-(3), (8) и в (10) определяются с использованием следов в Ь2 (дП) соответствующих функций из H'.J (П), существующих согласно теореме о следе [23].
Утверждение 1 доказывается путем приближения в областях fij компонент подынтегральных функций последовательностями элементов из С1 (П) способом, аналогичным использованному в [23, с. 75] при доказательстве формул интегрирования по частям. Как указано в [23, с. 76], вместо областей с гладкими границами можно взять различного вида многогранники.
4. Случай осевой симметрии. В данной работе рассматривается двумерный случай осевой симметрии в цилиндрической системе координат {г, (р, z},
x = rcoscp, y = rsmip, z = z, r ^ 0, (11)
когда функции не зависят от угла (р. В осесимметричном случае имеют место интегральные соотношения (1)-(3), если в них задать параметры интегрирования следующим образом:
п = s, dV = rdrdz, da = rdl, дП = 0E. (12)
Здесь S — двумерная односвязная ограниченная область с кусочно-гладкой границей дП, лежащая в полуплоскости П = {г ^ Re = const >0, ср = (ро = const, z}, dl — скалярный элемент длины дуги контура дТ,.
В дальнейших рассуждениях по умолчанию предполагается, что формулы (1)-(3) и другие интегральные соотношения рассматриваются в осесимметричном случае (11) с параметрами интегрирования (12). Символами йа (а = г, (р, z) обозначаются локальные единичные базисные векторы в цилиндрической системе координат.
Обобщенная формула Остроградского-Гаусса (8) для наборов параметров из семейства (5) принимает вид
J V (*,k,l)FdV = J V7(*,k,l)Fda + J ^Г (*,k,l) F d,V, Г (*, к, I) F = (uv * F). (13)
e as s
Наличие операторов Г в формуле (13) обусловлено зависимостью от угла ср базисных векторов йг, Up, параметры (*,к,1) принимают те же значения (5), что и параметры операторов (6), (7). Для этих наборов параметров, скаляра р, векторов v. /•, и диадика U операторы Г (*,&,/) определяются следующим образом:
Г (•, 1, 0) w = О, Г (о, 0,1 )р = -йгр, Г (х, l,l)E = uvEz,
Г (•, 2,1) U = uvUvr — UrU^y,, Г (о, 1, 2) v = —urv — uruvvv.
Интегральное следствие (10) формулы (9) дифференцирования произведения достаточно гладких тензора F и скалярной функции д, с учетом (13) и определений интегралов в (10) для области S, запишется в виде
I (д, F) = -IV Сд, F) + /г (д, F) + Ц (д, F), Ir (д, F) = J V (*, к, I) F dV. (14)
Е
Запись соотношений (1)-(3) с параметрами интегрирования (12) и соотношений (8), (10) в виде (13), (14) получается путем выбора области интегрирования П = S х dip с последующим переходом к пределу при dp ^ 0 (см., например, [4]), с учетом независимости компонент тензоров от угла (р.
В случае осевой симметрии утверждение 1 принимает следующий вид.
Утверждение 2. Интегральные соотношения (1)-(3), (13), (14) справедливы в обозначениях (12), если компоненты участвующих в них тензоров принадлежат пространству И'.! (S) и двумерную область S С П можно покрыть конечным числом областей с гладкими границами.
Осесимметричный случай рассматривается в данной работе, так как он часто используется нами при двумерном численном моделировании, а также включает особенности, характерные для любой ортогональной криволинейной системы координат.
5. Сетка и узловые сеточные функции. Зададим в области £ треугольную сетку, ПрИ-
^д
близив эту область объединением О = У Дг треугольных ячеек А^, удовлетворяющим свой-
г=1
ству неперекрытия ячеек и отсутствия пустот: треугольники могут пересекаться только в общей вершине либо по общей стороне; все вершины треугольников, лежащие на границе области С?, принадлежат границе исходной области Множество треугольных ячеек обозначим символом шд = {Д^ г = ..Жд), множество их вершин (узлов сетки) — шх = {xj, ] = 1,..., Л^}, множество граничных узлов х^ € шх П дО — ш7. Символом О^ обозначаем область — объединение ячеек, одной из вершин которых является узел х:-} € шх.
Введем конечномерные линейные пространства В1'.'. т € {0,1,2), сеточных скалярных (ранга т = 0), векторных (ранга т = 1) и тензорных (ранга т = 2) функций, определенных в узлах Ху € шх. Элементами этих пространств являются наборы чисел:
рх = {рх, Хз б шх} ,
/ж ев^ ¡х = {/; = {(¡а)* , а = г, <р, г}, Хз€шх},
I' '' (г В;. < > I = {(1Гар)*, а,/3 = г,<р,г}, х5
Для обозначения узловых сеточных функций и их значений используется верхний индекс х.
Локальные скалярные произведения значений сеточных функций в узлах сетки будем обозначать теми же символами, что и скалярные произведения тензоров:
Ур*, дхеВ°х: рх о д* = Ьх € В1Х : Щ • Щ = (аа)* (Ьа)* ;
У/-''''. Г''' е- И'г : /•}'' • •)'■'' (/%,;); (К, О;: Щ € а,Р = г,(р,г.
Здесь и далее проводится суммирование по повторяющимся индексам а, /3.
Согласно [24] определим в области О систему {(р^, х:-} € шж} кусочно-линейных (линейных на каждом треугольнике Дг € шд) базисных функций с локальным носителем таких, что
Vж,•, % € шх : (ру (х:Н) = 6:):Н; яирр ^ = Су
Здесь 8 — символ Кронекера. Кусочно-линейными восполнениями узловых сеточных функций (для их обозначения наряду с верхним индексом х используется знак тильда) будем называть определенные в области О скаляры, векторы и тензоры, компоненты которых являются кусочно-линейными восполнениями соответствующих сеточных функций:
\/Рх V/* е /;' !х = %йа, Iх = ^ (/«);
(15)
тх (г И;. IIх = и^рйаЩ, й1р = 2 (иар)* Ч>3; а,Р = г, (р, г.
6. Следствия интегральных соотношений. Получим следствия соотношений (I) (3) для области С?, позволяющие построить согласованные сеточные операторы при ячеечно-узловом определении сеточных функций. Область О и кусочно-линейные восполнения (15) удовлетворяют требованиям утверждения 2. Поэтому можно воспользоваться преобразованными соотношениями (1)-(3) в случае, когда в каждом из них одна из подынтегральных функций является принадлежащим И'-! (О) кусочно-линейным восполнением узловой сеточной функции вида (15).
Рассмотрим сеточные функции рх € В®, Vх, Ех е и'. их £ и их кусочно-линейные восполнения рх, Vх, IIх. При подстановке р = р или V = Vх в (1), 17 = IIх или V = Vх в (2) и Е = Ех в (3), получается пять разных интегральных соотношений. Формула с кусочно-линейным восполнением II' не рассматривается, так как с точностью до знака и обозначений совпадает с формулой
для Ех. Во избежание неоднократного повторения структурно одинаковых преобразований, запишем упомянутые формулы в виде одной параметрической формулы, используя операторы (6), (7) из семейства (5).
Общая для соотношений (1)-(3) параметрическая интегральная формула для области С?, в которых одна подынтегральная функция — кусочно-линейное восполнение вида (15), имеет вид
I а*3 У {*ъ1к)Ьх йУ + I ЬХ*4У (*2,к,1)адУ = | Г*4У7 (*2, к, I) айо. (16)
в в дв
В формуле (16) параметры *3,*4 € {о,-,--} означают скалярные произведения тензоров ранга к,1 соответственно, параметры *1;*2 € {о,-,±х} — варианты произведения для операторов (6), (7) из семейства (5), параметры а,Ь — тензоры ранга к,1 соответственно. Пять отмеченных выше вариантов формулы (16) задаются следующими наборами этих параметров:
/ , , п ^ /(рД',0,0,', 1,0), (у,р, о,-,о, 0,1), (ВД о,1,2), \
(а, Ъ, *2, *3, *4, I) € ^ ^ ^ ^ ^ 2; 1}; (я, Д х, , , 1,1) / ' (1?)
Преобразуем второе слагаемое в левой части (16), используя определение (15) кусочно-линейных восполнений:
/ ЬХ*4У (*2,к,1)аёУ = / (Ьа1...а1УЧ^з\иа1 ■ • •ЙСК)*4\7 (*2,к,1) адУ =
а а
= £ >»......,); / ,ММв1...в| ¿V] = Е 1 (18)
Используя интегральное соотношение (14) для области О и параметров (*2, к, I) из семейства (17), преобразуем интеграл под знаком суммы в правой части (18):
I (*2 ,к,1)а<]У = 1(1рз,а) = 1Г (<Рз,а) - 1у {ч>з,а) + Ц ■ (19)
в
Замечание 1. Граничный интеграл /7 {(р^, а) (см. (10)) в правой части (19) отличен от нуля только для граничных узлов х:-} в силу равенства нулю на границе дО базисных функций (р^
-» П Д X
для внутренних узлов х^ € = ц;ж\ц;7.
Подставляя (19) в (18), получаем искомую формулу для второго слагаемого в левой части (16):
1'ъх*4 V (*2, к,1) а дУ = Ц *4 [/г (<Рз, а) - 1у (щ, а) + (Iх) .] , (20)
а Хз£и1х
где (Щ) ^ = 1-у Учитывая выражение (20) и записывая интеграл по границе в правой ча-
сти (16) аналогично (18) в виде суммы по узлам сетки, получим следствие соотношения (16) и соотношений (1)-(3):
I а* з V (*!,*, к) Iх ¿V + ^ Ъз *4 [/г {<Рз, а) - 1у а) + (Iх) .] = Ц *4 (Ц) у (21)
В левой и правой частях соотношения (21) присутствуют одинаковые суммы по узлам х:-} € шх со слагаемыми, содержащими величины (Iх) .. При сокращении этих граничных сумм получается соотношение
I а* з V (*!,*, к) У"" (IV + ^ Ьз *4 [1г (<Рз,а) - 1у (щ, а)] = 0, (22)
а Хз<Еи)х
не содержащее граничные значения тензорной функции а. Отсюда, в частности, следует
Замечание 2. В соотношении (21) граничные интегралы (Ц)^ = 1у (^л а) можно заменить любой сеточной узловой тензор-функцией ранга I, равной нулю во внутренних узлах сетки.
Утверждение 3. Соотношение (22) имеет место, если компоненты тензорной функции а принадлежат Ь2 (£?). Соотношение (21) имеет место при тех же условиях для любой сеточной функции Iх € В'х, равной нулю во внутренних узлах сетки.
Первая часть утверждения 3 доказывается путем приближения в норме 1. < (О) принадлежащих 1.< (О) компонент тензорной функции а гладкими функциями. При этом существенно, что линейные операторы, применяемые к функции а в интегралах под знаком суммы в левой части (22), не являются дифференциальными. Вторая часть утверждения 3 очевидно следует из первой части и замечания 2.
Далее на основе утверждения 3 строятся согласованные сеточные операторы для случая ячеечно-узлового определения сеточных функций. При этом в соотношениях (21) компоненты тензорной функции а внутри области О приближаются кусочно-постоянными функциями из пространства !. < (£?), а компоненты следа а7 в граничном интеграле (Iх) . = /7 {¡р^, а) (см. (10)) — кусочно-
линейными функциями из пространства 1. < (дО). Соотношение (22) позволяет строить сеточный аналог дифференциального инварианта \7(*2,&, I) а (см. (16)) только в случае равенства нулю на границе дО выражения \77 (*2, к, I) а.
7. Ячеечные и граничные сеточные функции. Введем конечномерные линейные пространства _Вд, т € {0,1,2), сеточных скалярных (т = 0), векторных (т = 1) функций, диадиков (т = 2), определенных в ячейках А^ € шд. Элементами этих пространств являются наборы чисел:
рА £ В% рА = {рА, Д^шд},
/Ае^^ЯА = {лА = {(/а)гА , а = г, ¥>,*}, Д^Ц, 11А £ В2А 11А = [игА = , а,/3 = г, ¥>,*}, А? € шд|.
Для обозначения ячеечных сеточных функций (определенных в ячейках Aj G шд) и их значений используется верхний индекс А.
Определим в области G систему {ij^, Aj G шд} постоянных на каждой ячейке базисных функций с локальным носителем А^:
VAj G шд : Уж G Ai 'фг (ж) = 1, Уж ^ Д* ^ (ж) = 0.
Кусочно-постоянными восполнениями сеточных функций из пространств Вг£ (для их обозначения наряду с верхним индексом А используется знак тильда) будем называть определенные в области G тензорные функции, числовые компоненты которых являются кусочно-постоянными восполнениями компонент соответствующих сеточных функций:
VpAG!?i Y. Р^Фг-, VfA£Bi /Л = fâiïa, /«A=E(/«)f^
Лшд (23)
VrA G ÛA = Û^uaup, 11Ар = Е a,P = r,<p,z.
ДгЁШд
Символом И'" обозначим пространства
В'"1 = {F7 G : Уж,- G = F] = 0} (24)
граничных узловых сеточных функций, которые принимают нулевые значения во внутренних узлах сетки. Очевидно, граничные пространства (24) являются подпространствами узловых пространств: И'" С И'". Нам также понадобятся пространства
Бд = Бд ф В'"\ Fa G -Вд Fa = { Fa G ЯД , F7 G В'"''} сеточных функций, определенных фактически в ячейках и граничных узлах (на сетке шд + ш7).
8. Сеточные операторы и аналоги интегральных соотношений. В контексте соотношения (21) рассмотрим сеточные функции аА G В\ и a7 G кусочно-постоянное восполнение аА G L2(G) (см. (23)) и кусочно-линейное восполнение à7 G (G) (см. (15)). Положим в формуле (21) а = аЛ, {Iх) ^ = (lPj-,â"/). Разбивая первый интеграл в левой части (21) на сумму интегралов по ячейкам сетки, получим
£ оА *3 J V {*ъ1к)Ъх dV + Y, [/rb,àA)^/yb,àA)+/7(^,à7)] =
Л^ЁШд д. Xj£lOx
= Y^ b:j *4I1((Pj,a'). (25) Введем в пространствах И'". Бд, m = 0,1, 2, скалярные произведения:
У/-'•''. )'J G В"; (FxXx)™'= Y1 VÏF!*mYx, Vх = JcpjdV,
XjtUlx Q
VFa,Fa G B2 (a, Ь)д = £ VAFA*mYA, VA Л f v^lV. (26)
л /-, , .
Д{£шд q
*0 = *1 = *2 =
Определим линейные операторы: \7Ж (*,&,!) С I) С
\7д (*,&,/) С Ф7 (*,&,/) С £{В^^В1у) — сеточные аналоги дифференциальных
и граничных операторов (6), (7) с параметрами из семейства (5):
У¿^ б /;.!:. Аг е Шд : [Уд (*, I) ¿^ = ^д У (V (*, А;, I)
8 Ai
з
з
УЁА Е Бд = Бд Ф В^ : Уж (*, к, I) ЁА = V0. (*, к, I) ¿?А + Ф7 (*, к, I) Уж (*, к, I) = VI (*, к, I) Ф Ф7 (*, к, I).
Нижний индекс (ж, А, 7) в обозначениях сеточных операторов соответствует элементам сетки (ж — узлы, А — ячейки, 7 — граничные узлы), в которых определен результат применения каждого оператора. В последней строке (27) мы использовали знак ф для сокращенной записи определения
оператора \7Ж (*, к, I) на прямой сумме В\ = В^фВ^. Результат применения граничного оператора Ф7 равен нулю во внутренних узлах сетки в силу замечания 1. Свойства локальной аппроксимации сеточных операторов \7Ж (*,&,/), \7д (*,&,/), Ф7 (*,&,/) рассмотрены подробно в работах [2, 4, 19].
Учитывая определения (26), (27) скалярных произведений и сеточных операторов, запишем соотношение (25) в сеточно-операторной форме: УаА Е Вд, Ьх Е В1Х
(аА, Уд К,*, к) + (Г, Уж (*2, I) аА)'х = Г, Ф7 (*2, к, I) аГ<)1х . (28)
Из формулы (28) и определения оператора \7Ж (*,&,/) следует сеточно-операторная форма записи соотношения (22) при а = аА:
(аА, Уд (*!,*, к) Ъх)кА + (Г, Vй. (*2, к, 1)аА)1х = 0 ^ [Уд (*ь I, к)]* = -VI (*2, к, I). (29)
В соотношениях (28), (29) пять вариантов наборов параметров (а, Ь, *2, к, I) определяются семейством (17).
Замечание 3. Выполненные сеточные построения, определения (27) согласованных сеточных операторов и их свойства (28), (29) остаются верными в декартовой системе координат на одномерной, треугольной и тетраэдральной сетках, если формально положить /г = 0.
Общий метод операторной постановки сеточных неоднородных краевых задач в случае ячееч-но-узлового определения сеточных функций, основанный на свойствах (28), (29) согласованности сеточных операторов, описан в работах [4, 7, 19, 20]. В этом контексте принципиальными являются перечисленные ниже свойства.
• Сеточный оператор (¿_1Ф7 (*,&,/), <1 = (/ аппроксимирует граничный оператор
да
\77 (*, к, I) и используется для постановки краевых условий.
• Полный сеточный аналог (28) интегральных соотношений (1)-(3) содержит сеточный оператор \7Ж (*,к,1), аппроксимирующий дифференциальный оператор V (*,к,1) в том числе в граничных узлах сетки при ненулевых граничных значениях. Этот оператор участвует в аппроксимации дифференциальных уравнений на границе.
• Оператор \7Ж (*,&,/) определяется как специальная сумма (см. (27)) пространственного и граничного операторов: \7Ж (*, к, I) = \7Ж (*, к, I) фФ7 (*, к, I). Это позволяет эффективно учитывать сеточные краевые условия при постановке сеточных неоднородных краевых задач. При этом сеточная краевая задача формулируется с использованием взаимосопряженных операторов Уд(*1,1,к),-Ч°х(*2,к,1) (см. (29)) иФ7(*,А;,0,[Ф7(*,М)Г.
Указанные свойства позволяют осуществлять на операторном уровне постановку сеточных неоднородных начально-краевых задач, исследование их устойчивости и сходимости, построение и анализ методов их решения, их алгоритмизацию и программирование.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973.
2. А р д е л я н Н. В. О сеточных аналогах основных дифференциальных операторов на нерегулярной треугольной сетке // Разностные методы математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1981. С. 49-58.
3. Арделян Н. В., Гущин И. С. Полностью консервативная разностная схема для расчета двумерных осесимметрических течений магнитной гидродинамики // Разностные методы математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1981. С. 59-68.
4. Арделян Н.В., Космачевский К.В., Черниговский С.В. Вопросы построения и исследования полностью консервативных разностных схем магнитной газодинамики. М.: Изд-во МГУ, 1987.
5. Арделян Н. В., Гущин И. С. Об одном подходе к построению полностью консервативных разностных схем // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1982. № 3. С. 3-10.
6. Арделян Н. В., Космачевский К.В., ЧувашевС.Н. К вопросу о расчете двумерных газодинамических течений на меняющейся лагранжевой сетке // Библиотека программ для решения краевых задач разностными методами. М.: Изд-во МГУ, 1983. С. 137-147.
7. Ardelyan N. V., Kosmachevskij К. V. Implicit free-lagrange method for computing two-dimensional magnetogas-dynamic flows // Computational Mathematics and Modeling. 1995. 6. N 4. P. 209-224.
8. Ardelyan N. V., BychkovV.L., К os mac he v s k i i К. V., SablinM.N. Numerical simulating 2D plasma dynamics problems on the base of implicit free-Lagrange method // Proceedings of WEHSFF 2007 (ECCOMAS Thematic Conference). Moscow, Russia, 2007. URL: http://wehsff.imamod.ru/pages/s7.htm
9. Арделян H.B., Камруков А. С., Козлов H. П. и др. Магнитогазодинамические эффекты при взаимодействии с газом эрозионных плазменных потоков магнитоплазменного компрессора // ДАН СССР. 1987. 292. № 1. С. 78-81.
10. Арделян Н.В., Камруков А.С., Козлов Н. П. и др. Численное моделирование излучающих плазмодинамических разрядов магнитоплазменного компрессора эрозионного типа // ДАН СССР. 1987. 292. № 3. С. 590-593.
11. Арделян Н.В., Космачевский К.В., Козлов Н. П. и др. Численное моделирование и теоретические исследования излучающих плазмодинамических разрядов // Радиационная плазмодинамика. Т. 1. М.: Энергоиздат, 1991. С. 191-250.
12. Го л о виз нин В. М., КоршияТ. К. и др. О вариационно-разностных схемах двумерной магнитной гидродинамики // Препринт ИПМ АН СССР. № 57. М.: ИПМ АН СССР, 1977. С. 1-67.
13. Головизнин В.М., Самарский А. А., Фаворский А. П. Вариационный подход к построению конечно-разностных математических моделей в гидродинамике // ДАН СССР. 1977. 235. № 6. С. 12851288.
14. Самарский А. А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Операторные разностные схемы // Дифференц. уравн. 1981. 17. № 7. С. 1317-1327.
15. Самарский А. А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. О представлении разностных схем математической физики в операторной форме // ДАН СССР. 1981. 258. № 5. С. 1092-1096.
16. Самарский А. А., Колдоба А.В., Повещенко Ю.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Разностные схемы на нерегулярных сетках. Минск.: ЗАО "Критерий", 1996.
17. Ну man J. М., Shashkov M.J. Approximation of boundary conditions for mimetic finite-difference methods // Computers & Mathematics with Applications. 1998. 36. N 5. P. 79-99.
18. Самарский А. А. Теория разностных схем. M.: Наука, 1977.
19. Арделян Н. В. Сходимость разностных схем для двумерных уравнений акустики и Максвелла // ЖВМ и МФ. 1983. 23. № 5. С. 1168-1176.
20. Ardeljan N.V., Kosmachevskii K.V. An implicit free Lagrange method with finite element operators for the solution of MHD-problems // Finite Elements in Fluids, New Trends and Applications. IACM Special International Conf. Part 2. Venezia, Italy, 1995. P. 1099-1108.
21. Саблин M. H., Арделян H. В., Космачевский К. В. Согласованные сеточные аналоги инвариантных дифференциальных и граничных операторов на нерегулярной треугольной сетке. Узловая ап-проксимция // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2015. № 2. С. 3-10. (S abli n М. N., Ardelyan N. V., Kosmachevskii K.V. Consistent grid analogs of invariant differential and boundary operators on an irregular triangular grid in the case of a grid nodal approximation // Moscow Univ. Comput. Math, and Cybern. 2015. 39. N 2. P. 49-57.)
22. Lipnikov K.N., ManziniG., Shashkov M.J. Mimetic finite difference method//J. Comput. Phys. Part B. 2014. 257. P. 1163-1227.
23. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
24. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.
Поступила в редакцию 15.04.16
