CC BY
12
УДК 517.9
М. Н. Саблин1, Н. В. Арделян2, К. В. Космачевский3
СОГЛАСОВАННЫЕ СЕТОЧНЫЕ АНАЛОГИ ИНВАРИАНТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И ГРАНИЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА НЕРЕГУЛЯРНОЙ ТРЕУГОЛЬНОЙ СЕТКЕ. УЗЛОВАЯ АППРОКСИМАЦИЯ
На нерегулярной треугольной сетке строятся сеточные аналоги инвариантных дифференциальных операторов первого порядка и граничных операторов, согласованные в смысле выполнения сеточных аналогов интегральных соотношений — следствий формулы Остроградского-Гаусса для дивергенции векторных полей, являющихся произведением скаляра на вектор, векторным произведением векторов, внутренним произведением вектора на диадик. Построение проводится путем сеточно-операторной интерпретации интегральных соотношений, записанных для кусочно-линейных восполнений сеточных функций, определенных в узлах сетки. Показано, как использование согласованных сеточных операторов позволяет строить на операторном уровне корректные сеточные аппроксимации неоднородных краевых задач.
Ключевые слова: сеточные, инвариантные, дифференциальные, граничные операторы, треугольная сетка.
1. Введение. В теории разностных схем [1] важную роль играют разностные аналоги формулы дифференцирования произведения и ее интегральных следствий — формулы интегрирования по частям, первой и второй формулы Грина. Эти формулы лежат в основе операторного представления (в виде операторных уравнений в конечномерных пространствах сеточных функций) и исследования разностных схем для одномерных задач и двумерных краевых задач на прямоугольной сетке [1].
При использовании нерегулярных двумерных сеток, как правило, не имеют места аналоги формул дифференцирования произведения в силу их локальности, что привело к построению и использованию сеточных операторов, для которых выполнены сеточные аналоги интегральных следствий "базовых формул дифференцирования произведения" [2-6].
В контексте построения сеточных аппроксимаций задач магнитной газовой динамики (а также других задач механики сплошной среды) на нерегулярных сетках "базовыми формулами дифференцирования произведения" являются следующие формулы для дивергенции векторных полей, являющихся вариантами произведений скаляров, векторов, диадиков (тензоров ранга 2):
V • (ру) = V • \7р + рЧ ■ V,
V • (II- V) = V • V • и + и • (!) V- (/■; • /Л //• V • к- к-ч • //.
справедливые для достаточно гладких скаляра р, векторов V, Е, //. диадика II — функций переменной х € Ж3, где V — инвариантный дифференциальный набла-оператор Гамильтона [7, с. 515]. В формулах (1) и далее в работе (•), (х), (••) — знаки внутреннего (скалярного для векторов), векторного, двойного скалярного произведения [7, с. 510] соответственно.
Интегрируя равенства (1) по односвязной ограниченной области П С К3 с достаточно гладкой границей дО, с последующим использованием формулы Остроградского-Гаусса, получаем нужные интегральные соотношения:
J (р\7 • у) ¿V + J (у -Ур) ¿V = J (п ■ у)рёа = ! (пр) ■ V ёа, (2)
П П дП дП
1 Факультет ВМК МГУ, мл. науч. сотр., к.ф.-м.н., e-mail: sablinQgarant.ru
2 Факультет ВМК МГУ, вед. науч. сотр., д.ф.-м.н., e-mail: ardelQcs.msu.su
3 Факультет ВМК МГУ, ст. науч. сотр., к.ф.-м.н., e-mail: kosmaQcs.msu.su
J (и • -W) dV + J (v-V-и) dV = J (n ■ U) ■ v do = J (nv) ■ -U do, (3)
п n an an
J ff • V x EdV ^ j E-V xHdV = J (пхЁ) ■ H do = ^ J (n x ff) -Edo. (4)
п n an an
В формулах (2)-(4) dF — элемент объема в области fi, dcr — элемент площади поверхности <9fi, п — вектор внешней единичной нормали к этой поверхности.
Интегральные соотношения (2)-(4) представляют собой равенства для скалярных величин, используемые при получении энергетических соотношений для соответствующих задач. Эти соотношения, в частности, являются определяющими при получении законов сохранения для системы уравнений магнитной газовой динамики в лагранжевых координатах [6, 8].
На интегральных соотношениях (2)-(4) основаны важные свойства пар дифференциальных операторов (дивергенция вектора и минус градиент скаляра, градиент вектора и минус дивергенция диадика, ротор вектора и ротор вектора), например, такие, как их взаимосопряженность и самосопряженность (и неотрицательность) их суперпозиции на классах функций, для которых обращаются в ноль подынтегральные выражения в правых частях (2)—(4). Граничные операторы взятия следов и умножения на нормаль к границе, фигурирующие в правых частях (2)-(4), используются при постановке основных краевых задач для уравнений с указанными парами дифференциальных операторов.
В настоящей работе на нерегулярной треугольной сетке строятся сеточные аналоги дифференциальных и граничных операторов, согласованные в смысле выполнения сеточных аналогов интегральных соотношений (2)-(4). Метод построения состоит в подстановке кусочно-линейных восполнений сеточных функций в интегральные соотношения (2)—(4) и сеточно-операторной интерпретации получаемых соотношений в конечномерных линейных пространствах сеточных функций. Этот метод проще, нагляднее и компактнее используемого нами ранее способа непосредственной сеточной аппроксимации операторов, интегральных формул и согласования получаемых сеточных соотношений [5, 6, 9-12].
В работе также описан метод корректной постановки неоднородных сеточно-операторных краевых задач, существенно использующий свойства сеточных операторов, задаваемые аналогами соотношений (2)-(4). В итоге получаются сеточно-операторные задачи с самосопряженными и взаимосопряженными операторами.
Рассмотрен случай узловой аппроксимации функций в соотношениях (2)-(4), когда используются кусочно-линейные восполнения функций, определенных в узлах треугольной сетки. В изучаемом ранее случае ячеечно-узловой аппроксимации [5, 6, 9, 13] используются кусочно-линейные и кусочно-постоянные восполнения для функций, определенных в узлах и ячейках сетки соответственно. Чисто узловая аппроксимация изучается нами [10-12] в контексте устранения эффекта ухудшения локальной аппроксимации вблизи оси симметрии в осесимметричных двумерных задачах, характерного для более экономичной ячеечно-узловой аппроксимации.
Рассмотрение проводится в двумерном аксиально-симметричном случае (независимость функций от угловой координаты (р) в цилиндрической системе координат {г, (р, z}. При этом интегральные соотношения (2)-(4), будучи скалярными, записываются так же, с точностью до определения параметров интегрирования:
fi = £, dV = rdrdz, do = г dl, дП = дЯ. (5)
В (5) £ — двумерная односвязная ограниченная область с достаточно гладкой границей дИ, лежащая в полуплоскости П = {г ^ 0, (р = (ро = const, z}; dl — скалярный элемент длины дуги контура дИ.
Здесь и в других работах по сходной тематике мы используем локальные единичные базисные векторы йа (а = r,(p,z) и физические компоненты тензоров [7, с. 508], в формулах для тензорных величин по повторяющемуся индексу проводится суммирование. Так, например, в (2)—(4)
v = vaua, U = Uapuaup, II //„»„. Е = Eaua (a,/3 = r,(p,z).
2. Параметризация инвариантных дифференциальных и граничных операторов. Дифференциальные инварианты \7р, V • V, Уу, V ■ I'. V • !•.. V • // н интегральных соотношениях (2)-(4) определяются через разные способы "умножения" слева набла-оператора Гамильтона V на тензорные
функции рангов 0, 1, 2. В функциональном смысле здесь участвуют пять дифференциальных операторов, определяемые способом умножения набла-оператора и рангом тензора. Для работы с ними удобно определить зависящий от параметров оператор \7(*,&), действующий на тензор А ранга к € {0,1,2} по правилу
Щ*,к)А = Ч*А, (*,*)€{(о, 0), (-, 1), (о, 1), (-, 2), (х, 1)>, (6)
где (*) € {(о), (•), (х)} — знак операции умножения. Символ (о) обозначает внешнее произведение либо обычное произведение в случае скаляра, (•) — внутреннее (скалярное) произведение, (х) — векторное произведение. Второй формулой в (6) указано семейство значений параметров (*, к), задающих используемые нами дифференциальные операторы, присутствующие в соотношениях (2)-(4).
Аналогично определим инвариантный граничный оператор \77 (*,&), действующий на тензор А ранга к € {0,1, 2} по правилу
Ух б дП : У7(*, к)А = п * А, (*, к) € {(о, 0), (•, 1), (о, 1), (., 2), (х, 1)}. (7)
Указанное в (7) семейство параметров задает присутствующие в правых частях интегральных соотношений (2)—(4) варианты умножения на нормаль к границе.
3. Сетка и сеточные функции. Зададим в области Е треугольную сетку, приблизив эту
АГд
область объединением О = У Дг треугольных ячеек Д^, удовлетворяющим свойству неперекры-
г= 1
тия ячеек и отсутствия пустот: любые два пересекающихся треугольника пересекаются либо в общей вершине, либо по общей стороне; все вершины треугольников, лежащие на границе дО области С?, принадлежат границе исходной области Е. Множество треугольных ячеек обозначим через шд = {Д^ г = 1,..., Жд}, множество их вершин (узлов сетки) — через шх = {xj, ] = 1,..., Л^}, множество граничных узлов х^ £шгП дО обозначим через ш7. Через О^ обозначаем область — объединение ячеек, одной из вершин которых является узел х^ € шх.
Введем конечномерные линейные пространства Д,../,.. к = 0,1,2, сеточных скалярных (к = 0), векторных [к = 1) функций и диадиков (к = 2), определенных в узлах х € шх. Элементами этих пространств являются наборы чисел:
р € Вх,0 4^р= {Ру, ж,- € шж} ,
V € В.г Л = {и,- = {(уа):), а = г,<р,г}, х) € , и € Вх,2 = |Щ = {{иаР)5 , а,/3 = г,(р,г}, х) € .
4. Кусочно-линейные восполнения сеточных функций. Согласно [14], определим в области О систему {(р:],х:] € шж} кусочно-линейных (линейных на каждом треугольнике Д^ € шд) базисных функций с локальным носителем таких, что
Ух,, % б шх : щ (жл) = ; яирр щ = О^. (8)
Здесь 6 — символ Кронекера.
Кусочно-линейными восполнениями сеточных функций будем называть определенные в области О тензоры, числовые компоненты которых являются кусочно-линейными восполнениями компонент соответствующих сеточных функций, для их обозначения используем знак "тильда":
(9)
II = йа1}йащ, иаР = ^(иаР)^, а,@ = г,(р,г.
3 = 1
5. Сеточные аналоги операторов и интегральных соотношений. В этом разделе дается общее определение сеточных аналогов операторов из семейств (6), (7) и формулируются в общем
виде сеточные аналоги соотношений (2)-(4). Их обоснование проводится по единой схеме и излагается в следующем разделе на примере относительно сложного соотношения (3). В пространствах ../,.. к = 0,1, 2, определим скалярные произведения
Д
Ча,ЪеВх,к: = (*)о = (°), (*)! = (•), (*Ь = (-), (Ю)
3 = 1
где "объем узла" V* — заданная на сетке шх скалярная величина — определяется формулой
Уxj € шх : V? = ! <pjrdrdz. (11)
в
Обозначая здесь и далее через п = п(*, к) ранг тензора — результата применения операторов \7(*,&), \77(*,&), определим единообразно сеточные операторы
х,к ^ Вх,п)
при всех значениях параметров (*,&), указанных в (6), (7): \/А € ж, €
(V, (*, А;) А),. = ^ I (V (*, А;) 1) ^г (12)
в
(Ф7(*,А;)А).^ I <р,(ут(*,к)А) г Л. (13)
3 дв
В силу локальности базисной функции (8) интегралы в правых частях (12), (13) сводятся к интегралам по области О-], кривой дО:1 соответственно. Базисная функция ц)^ для внутренних узлов (ж, € шх\ш7) равна нулю на границе дО, поэтому результат применения граничного оператора (13) равен нулю во внутренних узлах сетки.
Вычисление "объема узла" по формуле (11) обеспечивает локальную аппроксимацию для сеточного оператора (12), граничный сеточный оператор (13) аппроксимирует локально соответствующий
оператор умножения на нормаль к границе с точностью до множителя I § (р^г д1\ V?.
Кдв / /
Интегральные определения (12), (13) сеточных операторов можно назвать проекционно-сеточны-ми, по аналогии с проекционно-сеточными методами построения сеточных задач для уравнений математической физики [14]. Детальное выражение этих определений через параметры сетки, используемое при алгоритмизации, дано в работе [12].
Сеточно-операторные аналоги интегральных соотношений (2)-(4) формулируем в общем виде:
АиФг € £{ВхМ ВхМ)- А2,Ф2 £ С(Вх,к2 ^ Вх,к1);
(14)
Va € Вх,к Ь € Вх,к2 : (а,А2Ъ)хкг + (А1а,Ь)х^2 = (Ф2Ъ,а)хк1 = (Ф\а,Ъ)хк2 .
Параметры, задающие варианты формулы (14), аппроксимирующие интегральные соотношения (2)-(4), приведены в таблице.
№ к\ А\ #1 к2 а2 Ф2
1 0 Ух(о,0) Ф7(о,0) 1 Ф7(-,1)
2 2 Ф7(-,2) 1 Ух(о,1) Ф7(о, 1)
3 1 -Ух(х,1) -Ф7(х,1) 1 Ух(х,1) Ф7(х, 1)
Из формул (14) следуют свойства операторов:
(Ф2)*=ФЬ (Ф1)*=Ф2, ~(А2)* =А°1йА1- Фь -(А!)*=А°^А2- Ф2. (15)
6. Обоснование сеточных аналогов интегральных соотношений. В этом разделе получим сеточный аналог интегрального тождества (3) (вариант 2 из таблицы формул (14)). Сеточные аналоги соотношений (2), (4) получаются полностью аналогично.
Для кусочно-линейных восполнений v, U сеточных функций v, U запишем интегральное соотношение (3) в области G:
/ (» • -v>)''iriz ЧН*-ú)г ***=./' ("' 0) I И ' (16)
a а да да
Преобразуем первое слагаемое в левой части (16), используя определение (9) кусочно-линейного восполнения U, вынося сумму по узлам сетки и постоянные компоненты {Uap)- сеточной функции U в узле Xj за знак интеграла:
Ü ■ -Vvj rdrdz = J (üapüaüfrj • • (Vv) rdrdz = J (y] (ua¡3)j • • (Vv) r drdz =
a j=1
Nx r Nx
p r drdz У1 1 '.i ■ ■ I К/ (V1") r drdz. (17)
i=l q i=l G
Определяя сеточный аналог Vx (о, 1) e £{BXji —> Bx¿) оператора V(o, 1) (градиент вектора, см. (6)) по формуле (12) при (*,&) = (о, 1) и скалярное произведение в пространстве Bx¿ по формуле (10) при к = 2, записываем результирующую сумму в (17) в операторной форме:
r Nx
/ (ll • • W) Г drdz = • • / Pj (w) r drdz = (U, Vxv)x¿ . (18)
a j=1 a
Подобно (17) преобразуем к сумме по граничным узлам сетки последнюю правую часть в (16):
J (nv) • -Ür di = J (üafsUaUfs^ • • (ñv) r di = J (^ (uap)j (Pj^üaüfs • • (ñv) Г di =
да Я] еы~/
J <Pj(nv)^rdl = Ui" f V:j(nv)rdl. (19)
a a a
Nx „ N.
da da oa
да ХзвШу да
Здесь использовано то, что базисные функции (8) равны нулю на границе дО для внутренних узлов сетки (ху € шж\ш7). Определяя сеточный аналог Ф7(о, 1) € С(ВХ^ —> ВХу2) оператора У7(о, 1) (внешнее умножение вектора слева на нормаль к границе, см. (7)) по формуле (13) при (*,к) = (о, 1), запишем результирующую сумму из (19) в операторной форме:
J (тй?) • -й <1сг = ^ из ' ' I <Рз (Ь = ф7 !) й)х,2 ■ (2°)
да Х]Еш7 да
Полностью аналогично (17)-(20) к сумме по узлам сетки преобразуются второе слагаемое в левой части и первая правая часть в (16), в итоге получается сумматорное тождество, записанное в операторной форме через скалярные произведения (вариант 2 из таблицы):
¥Г е В,7-е В.,-л :
(и, V, (0,1) + (V, (., 2) и, у)хА = (Ф7 (., 2) и, у)хА = (и, Ф7 (0,1) у)ха .
7. Определение сеточных операторов с выделением граничного оператора. Из свойств операторов (15) следует формальное представление сеточных аналогов дифференциальных операторов в виде суммы двух операторов, один из которых является граничным:
Ух(*,к) = У°х(*,к) + Ф1(*,к), к= 1,2. (21)
Такое представление может быть получено естественным образом из определения (12) с использованием следующей формулы "дифференцирования произведения":
V(*, к) (ipjA) = (V(*, к)A) tpj + [V(o, 0)^] * А. (22)
Подставляя выражение (v(*,k)A^j <pj из (22) в определение (12), получим в итоге [13]
Vf(Vx(*,k)A)j^ J (v(*,fc)i) ípjrdrdz =
G
= - J [v(o,0)(pj}* Árdrdz + j <pjT(*, k)Ádr dz + J ñ*A<pjrdl, (23)
G G dG
где Г(*, к) — линейный оператор, действующий на произвольный тензор А ранга к по правилу
д
Г(*,к)А = Aiu_¿k — (%, ...щк). (24)
Для значений параметров (*,&), определяющих операторы рассматриваемого семейства (6), формула (24) принимает следующий вид:
Г(о,0 )р=—риг, Г(-, l)v = 0, Г(х,1 )v = vzuíp, Г(о, l)v = —urv — v^Urii^, Г(-, 2)А = AtprU/p —
где р — скаляр, v — вектор, А — диадик.
Два последних слагаемых в правой части (23) получаются при сведении интеграла от величины V(*,k) (pjAj (см. (22)) по трехмерной области G х dip, получаемой вращением области G на угол dip ^ 0, к поверхностному интегралу по границе d(G х dip):
Lim ± f V(.,*)M=
J V / dip^o dip J V /
G Gxdifi
= lim -— [ ñ * Aid~r dl dip + lim -— / uw*Aipjd,rdz difi^-a dip J J difi^-a dip J ^ J
dGxdip G
ipo+dip
Vo
= I ri * Aipjr dl + J (uv * Acpj^J drdz = V-"($1(*,k)A)j + J ip:jF(*,k)Adr dz. (25)
dG G G
В преобразованиях (25) использована независимость от угла ip компонент тензора А и базисной функции (pj, а также равенство п = п = v,v на частях G(ipo), G(ipo + dip) поверхности d(G х dip) соответственно.
Сравнивая (21) и (23), с учетом определения (13) граничных операторов получаем явное неформальное определение оператора € С(ВХ^ —> ВХуП) в (21): VA G /i., ./,. Xj G шх
V?Vl(*,k)A= - J [V(o,0)<pj] * Ar dr dz + J ipjT(*, k)Adr dz. (26)
G G
При замене ipj на функции, принадлежащие классу аксиально-симметричных основных функций в Ж3, правая часть формулы (26) является определением обобщенной производной V(*,k)A, а формула (23) связывает обычную и обобщенные производные функции А, равной нулю вне замкнутой области G [15, с. 46].
Формулы (21), (26) можно назвать "слабым" определением сеточного аналога Vx(*,k) дифференциального оператора V(*,k) по аналогии со слабой формулировкой проекционно-сеточных задач [14], оно может использоваться для определения сеточных операторов в случае, если восполнение А не является непрерывным.
8. Операторная постановка сеточных краевых задач. В этом разделе формулируется метод корректной постановки сеточно-операторных краевых задач с согласованными сеточными операторами. Изложение проводится в общем виде в обозначениях и при выполнении свойств (14), (15). Рассмотрим модельную систему сеточно-операторных уравнений
У1 + А2у2 = 1ъ Уъ/1 е ВхМ; у2 + Агуг = /2, у2, /2 € Вх,к2, (27)
и дополнительные (граничные) уравнения:
о) Ф1У1 — Ф1«2Ф2у2 = /х2; Ь) Ф2у2 - Ф2«1Ф1У1 = /ц. (28)
В (27), (28) /1, /2, а ^ 0, /х — заданные сеточные функции, величины а, /х равны нулю во внутренних узлах сетки. Сеточные операторы Ф1«2Ф2 и Ф2«1Ф1 являются самосопряженными и неотрицательными в силу свойств (15).
Уравнения (27), (28) аппроксимируют соответствующие модельные системы уравнений в частных производных и краевые условия для них. Например, для простейшего из рассмотренных, варианта 1 из таблицы, уравнения (27) аппроксимируют систему уравнений в частных производных р + V • V = V + \7р = !■■>• записанную в области 1!, где р. — скаляры; г'. — векторы; 1-\. Р2 — заданные функции. Граничные уравнения (28) аппроксимируют краевые условия третьего рода:
а) пр — йа„п • V = пир р — а„п • V = ь>р; Ь) п - V — п - арпр = щ п ■ V — арр = щ,
переходящие в условие первого рода (р = ир) при аг) = 0 для варианта айв условие второго рода (п - V = щ) при ар = 0 для варианта Ь.
Построим на основе соотношений (27), (28) корректную сеточно-операторную задачу, имеющую смысл с точки зрения численного решения соответствующих краевых задач. Подставляя величину Ф1У1 из граничного условия (28), а во второе уравнение (27) либо величину Ф2у2 из (28), Ь в первое уравнение (27) и учитывая свойства Ак = Ак + Ф^, к = 1,2 (см. (15)), получим систему сеточно-операторных уравнений с самосопряженными и взаимосопряженными операторами:
Л,,,/ (г -г т,1 = 1,2;
2/1 + А\2у2 + Ацу\ = /1, у2 + А21у1 + А22у2 = /2; (29)
А\2 = — (А21) , Атт = (Атт) ^ 0.
Граничным уравнениям (28), а, Ь соответствуют следующие варианты определения операторов и правых частей в общей задаче (29):
a) А12 = А2, Аи = О, /1 = Л; А21 = А°, А22 = Ф1а2Ф2, /2 = /2 - /х2;
П -
b)А12 = А%, А11=Ф2а1Ф1, /1 = /1 - /Х1; А21 = Аи А22 = 0, /2 =/2.
Разрешимость системы операторных уравнений (29) относительно у\, у2 следует из положительности оператора этой задачи, рассматриваемой как одно уравнение на прямой сумме Д,Ф Д,./,.. пространств.
Пусть у1,у2 — проекция на сетку шх решения краевой задачи, аппроксимируемой уравнениями
д
(27), (28), а либо (28), Ь. Покажем, что погрешность гк = ук — ук, (к = 1,2) удовлетворяет системе операторных уравнений (29) с правыми частями, выражаемыми через погрешность аппроксимации. Определим стандартным образом [1] погрешности аппроксимации для уравнений (27), (28):
ф1=У?+А2у%-/1, Ф2 = У2 + А1У1 — /2, (31)
а) Фа = Ф1У1 - Ф1«2Ф2У2 - /¿2, ь) фъ = ФгУ2 - Ф2ОС1Ф1У1 - (32)
Как и при получении (29), подставим величину Ф1 у^ из уравнения (32), а во второе уравнение (31) либо величину Ф2у2 из (32), Ь в первое уравнение (31):
//Г + А\2у2 + Лп/я = ./', + фи у% + А21уЧ + А22у% = Ь + ф2. (33)
Здесь операторы А и величины /2 определены в (30), ф\ = фг, ф2 = ф2 — Фа Для варианта а граничных соотношений (28), (32) и ф\ = ф\ —фь, Ф2 = Ф2 — для варианта Ь. Вычитая уравнения (33)
из соответствующих уравнений (29), получим задачу для погрешности, совпадающую с задачей (29) с точностью до правых частей:
z 1 + A12z2 + Anzi = z2 + A2iZI + A22Z2 = —•
Таким образом, показано, что исследование сеточных задач с согласованными сеточными операторами в случае узловой аппроксимации функций на нерегулярной треугольной сетке может проводиться стандартными методами теории разностных схем [1]: вопрос близости решения сеточно-операторной задачи (29) к проекции на сетку решения краевой задачи, аппроксимируемой уравнениями (27), (28), сводится к получению априорных оценок устойчивости задачи (29) и исследованию погрешности аппроксимации. Такие исследования сеточно-операторных задач в случае ячеечно-узловой аппроксимации функций проводились в [16, 17] и других работах.
Рассмотренный в настоящей работе метод построения согласованных сеточных операторов применим в произвольной ортогональной системе координат, в одномерном и трехмерном (на тэтраэдраль-ных сетках) случаях. В одномерном случае получаются центральноразностные сеточные аналоги дифференциальных операторов. В декартовой системе координат применение метода упрощается в связи с постоянством локальных базисных векторов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.
2. Самарский A.A., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Операторные разностные схемы // Дифф. уравн. 1981. 17. № 7. С. 1317-1327.
3. Самарский A.A., Колдоба A.B., Повещенко Ю.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А. П. Разностные схемы на нерегулярных сетках. Минск: ЗАО "Критерий", 1996.
4. Галанин М. П., Попов Ю.П. Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородых средах. Математическое моделирование. М.: Наука; Физматлит, 1995.
5. Арделян Н. В. О сеточных аналогах основных дифференциальных операторов на нерегулярной треугольной сетке // Разностные методы математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1981. С. 49-58.
6. Арделян Н.В., Космачевский К.В., Черниговский С.В. Вопросы построения и исследования полностью консервативных разностных схем магнитной газодинамики. М.: Изд-во МГУ, 1987.
7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973.
8. Арделян Н. В., Гущин И. С. Об одном подходе к построению полностью консервативных разностных схем // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1982. № 3. С. 3-10.
9. Арделян Н. В., Космачевский К. В. Неявный свободно-лагранжевый метод расчета двумерных маг-нитогазодинамических течений // Программа "Университеты России". Математическое моделирование. М.: Изд-во МГУ, 1993. С. 25-44.
10. Саблин М.Н., Арделян Н.В. Двумерная операторно-разностная схема газовой динамики в лагран-жевых координатах на нерегулярной треугольной сетке, обладающая свойством локальной аппроксимации вблизи оси симметрии // Прикладная математика и информатика. № 10. М.: МАКС Пресс, 2002. С. 15-33.
11. Саблин М.Н., Арделян Н.В. Операторная сеточная аппроксимация задач двумерной газовой динамики в подвижных координатах на нерегулярной сетке // Прикладная математика и информатика. № 11. М.: МАКС Пресс, 2002. С. 5-37.
12. Арделян Н. В., Саблин М. Н. Структурные свойства сеточных операторов в узловых неявных операторно-разностных схемах двумерной газовой динамики на треугольной сетке и вопросы повышения вычислительной эффективности объектно-ориентированных алгоритмов // Вычисл. методы и программирование. 2012. 13. С. 352-365.
13. Ardeljan N. V., Kosmachevskii K.V. An implicit free Lagrange method with finite element operators for the solution of MHD-problems // Finite Elements in Fluids, New Trends and Applications. IACM Special International Conf. Pt 2. Venezia, Italy, 1995. P. 1099-1108.
14. Map чу к Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.
15. Шилов Г. Е. Математический анализ: Второй специальный курс. М.: Наука, 1965.
16. Арделян Н.В. Сходимость разностных схем для двумерных уравнений акустики и Максвелла // ЖВМиМФ. 1983. 23. № 5. С. 1168-1176.
17. Арделян Н.В. Разрешимость и сходимости нелинейных разностных схем // ДАН СССР. 1988. 302. № 6. С. 1289-1292.
Поступила в редакцию 07.11.14
50
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИБЕРН. 2015. № 2
CONSENTIENT GRID ANALOGUES OF INVARIANT DIFFERENTIAL AND BOUNDARY OPERATORS ON UNSTRUCTURED TRIANGULAR GRID. NODAL APPROXIMATION
Sablin M. N., Ardelyan N. V., Kosmachevskiy K. V.
Grid analogues of invariant first order differential and boundary operators consentient in the sense of fulfillment of the grid analogues of integral relations, which are a consequences of the Gauss-Ostrogradsky formula for the divergence of the vector fields, which are the product of scalar by vector, the vector product of vectors, the inner product of a vector by a dyadic, are constructed on an irregular triangular mesh. The construction is carried out by means of grid-operator interpretation of integral relations formulated for piecewise linear replacements of grid functions defined in the mesh nodes. It is shown how the use the consentient grid operators allows to build on the operator level correct grid approximations of inhomogeneous boundary value problems.
Keywords: grid, invariant, differential, boundary operators, triangular mesh.
