Смешанные формы объема и комплексное уравнение типа Монжа - Ампера на торе Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2009. № 8(74)

УДК 514.772

35

СМЕШАННЫЕ ФОРМЫ ОБЪЕМА И КОМПЛЕКСНОЕ УРАВНЕНИЕ ТИПА МОНЖА - АМПЕРА НА ТОРЕ1

© 2009 В.Н. Кокарев2

Рассматривается обобщение проблемы Калаби. В аналитической трактовке оно приводит к комплексному уравнению Монжа - Ампера на кэлеровом многообразии, содержащему смешанный дискриминант данной и искомой метрик. В случае, когда кэлерово многообразие является плоским комплексным тором, получены достаточные условия разрешимости.

Ключевые слова: кэлерово многообразие, уравнение Монжа - Ампера.

1. Обобщение проблемы Калаби

Одна из эквивалентных формулировок проблемы Калаби такова [1, т. 1(2.101); т. 2(11.33)]: пусть (М,д0) — компактное кэлерово многообразие комплексной размерности п. Любая ли 2п-форма у, индуцирующая ориентацию М, является формой объема некоторой кэлеровой метрики д на М? При этом кэлеровы формы шо и ш метрик д0 и д должны быть когомологичны.

Локально форма объема для кэлеровой метрики д0 равняется

г"2 ёе1 д°(1хх Л ... Л (г" Л (г1 Л ... Л (г" = ш"/п!.

Обозначим ее через вУдо. Форма у пропорциональна с положительным коэффициентом форме объема для метрики д0, то есть у = г" ёе1 д0(,г1Л Л ... Л (г" Л (г1 Л... Л (г", а форма объема метрики д есть г" ёе1 дйг1 Л... Л Л(1х" Л (г1 Л... Л (Шп = и"/п!. Так как формы ш и шо когомологичны, то на многообразии М существует такая вещественная функция р, что ш = шо + + 2ддр. Поэтому получается уравнение (шо + 2ддр)" = ерш" с условием, что шо + 2 ддр есть кэлерова форма положительно определенной кэлеровой

хРабота выполнена при поддержке РФФИ (грант № 08-01-00151) и АВЦП (грант № 3341).

2Кокарев Виктор Николаевич ([email protected]), кафедра алгебры и геометрии Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

метрики. Локально уравнение выглядит следующим образом:

в+)=в). Разрешимость этого уравнения относительно функции !, эквивалентная положительному ответу в проблеме Калаби, была доказана С.Т. Яу в [2].

Пусть теперь д1 ,...,дп — кэлеровы метрики на кэлеровом многообразии М, ш1,...,шп — соответствующие кэлеровы формы. Так как формы четной степени при внешнем перемножении коммутируют, то ш1Л. ..Лшп/п! является множителем при Л1Л2 ... Лп в выражении (А1Ш1 + ... + Лгашга)га/п!. По аналогии со смешанными дискриминантами и смешанными объемами естественно называть ш1Л.. .Лшп/п! смешанной формой объема для метрик д1,...,дп или их кэлеровых форм ш1,...,шп. В частности, ш™ Л шП-™/п! будем называть смешанной формой объема т-го порядка для метрик д1 и д2. Очевидно, локально ш1 Л ... Л шп/п! = гп О(д\... , д"-)^1 Л ... Л ^гаЛ Л^?1 Л.. , где О обозначает смешанный дискриминант форм д1,... ,дп.

Сформулируем обобщение проблемы Калаби. Пусть М, до — компактное кэлерово многообразие комплексной размерности п. Любая ли 2п-форма индуцирующая ориентацию на М, является смешанной формой объема т-го порядка некоторой кэлеровой метрики д и данной метрики до? Кэлеровы формы метрик д и до также должны быть когомологичны.

Опять обозначив кэлеровы формы для метрик д и д0 через ш и шо соответственно и взяв ^ = ерш^/п!, с учетом когомологичности ш и шо получаем уравнение

(шо + 2-99!)™ Л шП-т = е^(1) относительно неизвестной вещественной функции ! такой, что форма (да- + дД д-вположительно определена. Будем считать, что функция ^ и метрика до принадлежат классу С^>а(М),к ^ 2, 0 < а < 1.

2. Необходимое условие разрешимости уравнения (1)

Пусть шо = 22даЛ — кэлерова форма метрики до. Пусть р = = 4 (с?! — д!). Как известно, форма шо замкнута, если метрика до кэлерова. Кроме того, ^р = "2дд?!. Значит,

(шо + 2д?!)™ Л шП-™ = (шо + Ж^)™ Л шП-™. (2)

Далее, (шо + ¿р)™ Лш^-™ = (шо + ^р)™-1 Лш^^1 + ^рЛ (шо + ^р)™-1 Лш£-™ = = (шо + ¿р)™-1 Л + ¿(р Л (шо + ^р)™-1 Л шП-™).

Продолжая этот процесс, получаем, что форма в (2) и форма

шП = (3)

когомологичны. Форма йУдо является формой объема многообразия М для метрики до. Интегрируя (1), получаем с учетом когомологичности форм (2) и (3), что объем многообразия М относительно метрики д0

Уо1дс (М) = / вр(Удо. (4)

■Ш

Это необходимое условие разрешимости уравнения (1). Для случая т = п (проблема Калаби) оно является достаточным [2]. Как мы увидим ниже, для т < п это уже не так.

3. Единственность решения уравнения (1)

Здесь мы докажем, что форма и, удовлетворяющая уравнению итЛ ЛиП—т = еРиЩ, единственна при условии, что классы когомологий [и] и [ио] совпадают, и и является кэлеровой формой положительно определенной метрики.

Греческие индексы у нас будут принимать значения от 1 до п. Дифференцирование по переменным га, 3е,... в соответствующей карте будем обозначать запятой и индексами а, д,... внизу.

Пусть уравнение (1) имеет два таких решения ф и ф, что формы (д°ар+ф,ар )(га(3е и (д0,в+ф,ав )йга(3в положительно определенные. Тогда, обозначив р = 4 (дф — дф), из (2) получим

0 = (ио + ((р)т Л ип-т — (ио + йр)т Л ип-т =

т— 1

= £ (ио + (р)к Л (ио + (р)т—к—1 Л ип—т Л ((р — (р). (5)

к=0

В силу канонического изоморфизма /\п—1'и—1(М) ~ Л*1'1 ®Лп'п(М) уравнение (5) в локальных координатах можно записать так

т— 1

£ М?(ф — ф)п& = 0.

к=о

Докажем, что (М^) является матрицей эрмитовой положительно определенной формы для любого к.

Если Ф = фа^га Л (3е, то (ио + (т)к Л (ио + (и1)т—к—1 Л ип—т Л Ф =

= М^ф^йг1 Л ... Л (гп Л (31 Л ... Л (3п, где М"^ ф^ равняется смешанному дискриминанту соответствующих форм (см. п. 1). Тогда эрмитовость матрицы (М^) следует из того, что этот смешанный дискриминант является действительным числом для любой эрмитовой матрицы (фар), а положительная определенность имеет место в силу того, что он положителен для любой эрмитовой положительно определенной матрицы (фар).

Тогда матрица m—1 M^) тоже положительно определенная. Отсюда и из компактности многообразия M получаем, что эллиптическое на решении ф — ф уравнение (5) может иметь решениями только константы, то есть ф — ф = const. Если на решение (1) наложить условие min^ ф = 0, то ф = ф. Единственность решения уравнения (1) доказана.

4. Априорные оценки решения уравнения (1) на плоском комплексном торе

Пусть многообразие M плоское. Так как любое плоское компактное кэлерово многообразие голоморфно накрывается комплексным тором [1, форм. (2.60)], то без ограничения общности можно считать, что M комплексный тор. При доказательстве разрешимости уравнения (1) при 1 < < m < n будет использован метод продолжения по параметру. Для применения этого метода требуется наличие априорных оценок искомого решения в метрике C 2,«0

с некоторым а0 € (0,1). В этом параграфе мы найдем достаточные условия, которые будут гарантировать существование нужных оценок.

Введем на M еще одну метрику g (вообще говоря не кэлерову), определив координаты контравариантного метрического тензора формулой

m

^ _ ^cgO/ir."-^, ga £,..., ga £) i

g к =

дцз ,..., ga/з)'

т

где в правую часть нужно подставить gQ,(- = ga- + .

Введем в окрестности фиксированной точки р £ М голоморфные координаты г1,...,г" так, что g0 = а в точке р = ¿„д . Тогда в точке р матрица - + ) = diag{1 + <£,ц ,..., 1 + ^>,пп }. В силу положительной определенности метрики g 1 + > 0. Обозначим

1 + = Яа.

Уравнение (1) в точке р принимает вид

с = с

ст — сп е , - —1 —п а матрица ) = diag{ —^р-1,..., }, где Ст - т-я элементарная симметрическая функция от Я1,..., Яп, 5т_ 1 - (т — 1)-я элементарная симметрическая функция от Я1,..., Яп кроме Яа. Пусть А — оператор Лапласа — Бельтрами относительно метрики g0 . Тогда

п

А^ = gaв^ = Е ^,77 .

7=1

Введем лапласиан А формулой

АФ = gaвФ,„в .

Тогда получим

п па/ _ п па св

\ л 7-1 \ ^ ¿т—2ф,аа1 ф,/77 . ^ ^т— 1ат- 1 ф,аа7 ф,в/?7 .

А(Аф) — А^ > — -а-— + 2^-32- +

+ 3т-2ф,в71 ф,/77 (6)

Бт

Далее

аф=д-Ф,77 =зт—1(ф977 +1 —1) = 3- [вт—Е зт—1

\ 7=1

(п — т + 1)Вт—1 /-Ч

= т--в-. (7)

Положив в неравенстве А.Д. Александрова [3]

Бт—1(^1.._11, е,...,е) > В(е1__^11, е,..., е)£т-2(£__/, е,...,е)

т т т

f = diag{R1,..., Еп}, е = diag{1,..., 1}, получим для средних рт—1 >

^ 1/т—1 (т—2)/(т— 1) т а I л

> Р\ Рт . Тогда, учитывая, что 31 = п + Аф, получаем

(п — т + 1)Вт-1 > т(п + Аф\ 1/т 1 е—Р/,

-Е/т-1

Бт \ п

Отсюда и из (7)

Аф < т( 1 — (п+Афут—1 е—Е/т—1^ . (8)

Используя неравенство Коши, получаем

А(е-С^(п + Аф)) > —е-с^(п + Аф)-У7(Аф),7 (Аф),7 — —ее—С^Аф(п + Аф) + е-С^А(Аф).

Отсюда, используя (6)—(8), получаем

(п а! ( п \ ( п \

— Е /О-1 Е ф,а7^Ц Еф,аа7 —

7=1 т \а=1 ) \а=1 )

I . д \ Л (п + Аф"\ 1/т-1 -Е/т- Л ^ Бт-2ф,аа1 ф,/71.

—с(п+Аф)т^1 — е / ) —е —^—+

™ зт-^т-^^ач ф,/77 , ^ Бт-2ф>,в71 ф,в77 , Аг1 СгЛ

+ 2>-32-+ 2> -Б-+ АМ . (9)

7=1 3т / ,1=1 3т )

Здесь квадратичное по третьим производным выражение в правой части неотрицательно.

В силу компактности многообразия М функция е + Др) достигает максимума в некоторой точке ро, в которой получаем

п + Др А Л ( п + )1/т-1 е-^/т-Л + Д^

-шп^ гс ^ ^ - п ^ + — < 0,

где значения всех функций надо считать в точке ро. Обозначив

^ )1/т-1 (Ро)= У, (Ю)

получим

Обозначим

Л F

yme-F/rn-l - Wm-1 + - < 0. (11)

mnc

/|ЛЛ |F|

е = ma^ ma^-, max->. (12)

I m V mn M m - 11

Выберем c = е. Будем пока считать е < ^^. Впоследствии на е придется наложить более жесткие ограничения. Из (11) получаем

(1 - e)ym - ym-1 - е < 0.

Отсюда

ym-1 < 1 + 3(m - 1)е. (13)

Действительно, если ym-1 ^ 1 + 3(m - 1)е, то ym = (ym-1)m/m-1 > 1 + 3те и (1 - е)ут - ym-1 - е > е(1 - 3те) > 0 при е < ^. Из (13) получаем, что для любой точки p G M

e-£^(1 + )(p) < e-£^(1 + )(po) < e-£^(po) (1 + 3(m - 1)е). n n

Отсюда, считая, что min ^ = 0, получаем

1 + Л^ < (1 + 3(m - 1)е) e£maXM (14)

n

■n

C;

о / о \ 1/m

Так как n + Л^> = S1, а S1 ^ (|Ы = eF/m, то

Др ^ п(е^/т - 1) ^ п(е£(1-т)/т - 1) ^ ^—. (15)

ш

Пусть ¿1 ^ ... ^ ¿2п - длины замкнутых геодезических 71,... ,72«, пересекающихся в точке р. Хотя бы одна из них 7д не касается поверхности

£« (1_) х 2

р = р(р). Построим функцию ш = — 2т к для 0 ^ жд ^ ¿д + в1,где жд -декартова координата в направлении 7д. Тогда Д(р - ш) ^ 0. Следовательно, функция р - ш достигает максимума на границе, заданной уравнением р = р(р). Отсюда получаем оценку

р < £П(Ш - 1)Я2". (16) ^ 2ш

Подставив ее в (14), получаем оценку сверху на Др.

Теперь, имея из (14), (15) оценку на |Др| и оценку |р| [4, § 5.5, теорема 4], получаем оценку |Ур|. Итак, получена С2 - оценка решения уравнения (1). Но для эллиптичности уравнения (1) нужно, чтобы все были положительны. Для этого достаточно, чтобы

с А 1/ш ( п А 1/ш "ш \ 1П

* < <"- НСШ) (п-ш) • (17)

Действительно, если ^ ... ^ = 0, то средние для Й1,...,Лга-1

о ( о \1/ш

удовлетворяют неравенству «Оу ^ I ) . Следовательно, "1 ^ (п -( о ст \ 1/ш

-1) ( с™с™ ) , что противоречит (17). Из определения е получаем, что для выполнения (17) достаточно, чтобы

( п А 1/ш

п + Др < (п - 1)е£(1-ш)/ш .

\п - ш/

Из (14), (16) получаем, что последнее неравенство выполняется при

1/ш

n(1 + 3(m - ^е^2"^™-1^2^2™ < (n - 1)e£(1-m)/m f

n - m

Для выполнения последнего неравенства достаточно, чтобы

1 ( \ е< 3(L2n + m)2n3. (18)

При выполнении условия (18) уравнение (1) будет эллиптическим на искомом решении. Существование C2'а° — оценки для функции р теперь следует из [5, теорема 7.2].

5. Условие разрешимости уравнения (1)

При 1 < m < n разрешимость уравнения (1) будем доказывать методом продолжения по параметру. Включим уравнение (1) в семейство уравнений

(wo + |d9p)m Л w0i-m = (teF + 1 - iK (19)

t G [0,1]. При t = 1 уравнение (19) превращается в уравнение (1). При t = = 0 уравнение (19) при условии min р = 0 имеет единственное решение р = = 0 (см. п. 3). При выполнении необходимого условия (4) на правую часть уравнения (1) такое же условие выполняется для правой части уравнения (19):

Volg° (M) = / (ieF + 1 - t)dVg°. JM

Пусть = teF + 1 - t, Ф = ln(teF + 1 - t). Обозначим

^ln(teF + 1 - t)| | ln(teF + 1 - t)|

е^ = ma^< ma^-, max-

m V mn m m — 1

и потребуем, чтобы для et выполнялось условие (18). Тогда решения уравнения (19) при t G [0,1] допускают C2'а° оценку, и это позволяет как, в [6, 7], гарантировать его разрешимость при t = 1. Таким образом, доказана

Теорема. Пусть M — n-мерный плоский комплексный тор с кэлеровой формой Wo. Чтобы форма ß = eFWo являлась формой смешанного объема m-го порядка (1 < m < n) для единственной из того же класса, что и Wo кэлеровой формы w и формы Wo, достаточно выполнения условий

1) Im eFWo = IM Wo,

2) ^ < 3(L2„Hlm)2n3 ,t G [0, 1],

/ /|Aln(teF+ 1-t)| | ln(teF+1-t)| 1 где et = шам ma^/ 1---1--, max1—^--,—a > ,

^ ' \ M V mn ' M m-1 J

L2n — длина 2 n-й в порядке возрастания замкнутой геодезической. Если wo, F G Ck,a(M), k ^ 2, 0 < a < 1, то w G Ck'a, если wo и F вещественно аналитические, то форма w вещественно аналитическая.

Литература

[1] Бессе А. Многообразия Эйнштейна: в 2 т. М.: Мир, 1990. Т. 1, 2. 704 с.

[2] Yau S.T. On the Ricci curvature of a compact Kahler manifold and the complex Monge - Ampere equation, I // Comm. Pure Appl. Math. 1978. V. 31. P. 339-411.

[3] Александров А.Д. Смешанные дискриминанты и смешанные объемы // Матем. сб. 1938. Т. 3. № 2. С. 227-251.

[4] Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966. 352 с.

[5] Ивочкина Н.М. Решение задачи Дирихле для уравнений кривизны порядка m // Матем. сб. 1989. Т. 180. № 7. С. 867-887.

[6] Погорелов А.В. Многомерная проблема Минковского. М.: Наука, 1975. 96 с.

[7] Миранда К. Уравнения в частных производных эллиптического типа. М.: Иностр. лит., 1957. 256 с.

[8] Кокарев В.Н. Комплексное уравнение типа Монжа - Ампера на торе // Геометрия в Одессе — 2009: тез. докл. международной конференции. Одесса, 2009. С. 50.

Поступила в редакцию 6/V7//2009; в окончательном варианте — 6/V77/2009.

MIXED VOLUME FORMS AND COMPLEX EQUATION OF MONGE - AMPERE TYPE ON A TORUS

© 2009 V.N. Kokarev3

In this article a generalization of a Calabi problem is considered. In the analytical treatment it leads to the complex Monge - Ampere equation on Kahler manifold containing the mixed discriminant of the given and retrieved metrics. For the case when Kahler manifold is a flat complex torus, sufficient conditions for solvability are obtained.

Key words: Kahler manifold, Monge - Ampere equation.

Paper received 6/V7//2009. Paper accepted 6/VT7/2009.

3Kokarev Viktor Nikolaevich ([email protected]), Dept. of Algebra and Geometry, Samara State University, Samara, 443011, Russia.