О $\overline{\partial}\partial$-УРАВНЕНИИ НА ПОЛОЖИТЕЛЬНОМ ПОТОКЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2015. Том 22, №2

УДК 517.55

О <д-УРАВНЕНИИ НА ПОЛОЖИТЕЛЬНОМ ПОТОКЕ Т. Н. Никитина

Аннотация. Изучается индуцированное <9<9-уравнение на положительном потоке на комплексном многообразии. Показывается, что L2 -оценки выполняются для дд-уравнения на замкнутом потоке бистепени (1, 1) в псевдовыпуклой области из Cn. Рассматриваются также потоки высшей бистепени.

Ключевые слова: <9<9-уравнение, положительный поток, дифференциальная форма, комплексное многообразие, примитивная форма, определенные квадратичные формы, дифференциальные операторы на потоке, теоремы существования для дд на замкнутых потоках, потоки высшей бистепени,

T. N. Nikitina. <9<9-Equation on a positive current. Abstract: We study the induced <9<9-equation on a positive current in a complex manifold. We show that L2-estimates are satisfied for <9<9-equation on a positive closed current of bidegree (1, 1) on a pseudoconvex domain in Cn. We also discuss a currents of higher bidegree.

Keywords: <9<9-equation, positive current, differention form, complex manifold, primitive form, definite quadratic forms, differention operators on current, existence theorems for дд on closed current, currents of higher bidegree.

1. Введение

Пусть M — комплексное многообразие и T — положительный поток на M. Если и и f — гладкие дифференциальные формы на M, говорят, что

дди = f на T, если дди Л T = f Л T.

Первоначально дд-оператор, таким образом, определен только на гладких формах, но позже может быть продолжен (различными способами) на формы, которые определены только на T. В этой статье изучается вопрос: можно ли разрешить дд-уравнение на T, и если это так, какого рода оценки можно найти для решения?

Разрешимость дд-уравнений является классической (см. [1-8]). Аналогично можно также рассматривать гладкие (1,1)-потоки, которые строго положительны в подобласти D из M и обращаются в нуль вне D, что означает, что мы изучаем наше уравнение в D.

Пусть V — комплексное векторное пространство размерности n. (q, q)-Форма v строго положительна, если она принадлежит конусу, порожденному формами ia 1 Л ai Л ... Л iaq Л aq, где aj £ A1,0(V*).

Форма и £ Kp,p(V*) положительна тогда и только тогда, когда uЛv положительна для каждой строго положительной формы v бистепени (q, q) с q + p = n.

© 2015 Никитина Т. Н.

На комплексном многоообразии М дифференциальная форма и € Сркр(М) строго положительна (соответственно положительна), если и(г) для каждой г € М строго положительна (соответственно положительна) как элемент ЛР'Р(Т*М).

Пространство ^ (М) потоков биразмерности (г, в) на М по определению дуально пространству (М) основных форм на М бистепени (г, в) отно-

сительно обычной топологии индуктивного предела на пространстве основных форм.

Поток Т биразмерности (р,р) положителен (строго положителен), если <Т,и> > 0 для всех основных форм и € ^(р,р) (М), которые строго положительны (положительны).

Пусть Сд = (-1)д(д+1)/2гд = (-¿)92 .

Операторы д и д действуют на потоках. Поток Т замкнутый, если ¿Т = 0.

2. Линейная алгебра и ^-пространства на потоках бистепени (1,1)

Для дд-задачи на потоках высшей биразмерности сначала более детально обсудим линейную алгебру форм на потоке. Это нужно, чтобы развить версию тождеств Кэлера на потоке, которая будет позже использована в доказательстве априорной оценки Кодаиры — Накано — Хермандера.

Начнем с обсуждения форм и потоков в фиксированной точке, т. е. рассмотрим Т — неотрицательный элемент в Л1'1(С"+1), и формы f € Л*'*(С"+1). Пространство (р, д)-форм на Т, обозначаемое через ЛТ'д, определяется как пространство всех / € Лр'д (Сп+1) по модулю подпространства форм таких, что /ЛТ = 0. Чтобы избежать слишком обременительного обозначения, используем тот же самый символ для обозначения элемента из Лр,д (Сп+1) и соответствующего элемента из ЛТ'д.

На многообразии пространство (0, д)-форм есть внешняя алгебра пространства (0,1)-форм, но важно ясно понимать, что это не так в нашем случае [9].

В любом случае, чтобы определить нормы на Лт также нужна вспомогательная (1,1)-форма ш > 0, которая будет определять метрику на Т. Пусть = шк/к!.

Пусть <гт — след Т относительно ш, рассматриваемый как форма максимальной степени, т. е. ат = Т Л шп. Это означает, что ат = ^(Т)шп+1, где ^(Т) есть след, рассматриваемый как число.

Можно доказать (см., например, [10, с. 170]), что к-форма / на п-мерном многообразии примитивна тогда и только тогда, когда к < п и / Л шп-к+1 = 0. Это условие имеет смысл на Лт.

Определение 1. [9]. к-Форма / примитивна на Т, если к < п и / Л ш„-к+1 Л Т =0.

Следующее предложение является решающим в доказательстве априорного неравенства для дд-оператора.

Пусть в1,... , еп+1 — базис для пространства (1, 0)-форм в Сп+1. Запишем 7 = ^ 7-ке- Л ек и разобьем 7 на сумму т + а, зависящую от того, J принад-

лежит К (т-часть) или нет:

7 = Е ■ ■ ■ Е /к Л ¿к

е к зР е к

+ ( Е ■ ■ ■

\г=1 |м|=г ¿1 /к ¿т1_1/к з'ш1 е к ¿т1+1/к

■ ■ ■ -1 Е 13 + 1 ■ ■ ■ Е / '¿р Л ¿к

Зтг-1/к Зтг е к ¿тг + 1/к ¿р/к

+ 13 ■ ■ ■ 13 / Л ¿к I = т + I 13 ог + оо I = т + о

¿1/к ¿р/к ) \г=1 /

Предложение 1. Квадратичная форма

[7,7]от = сд+р7 Л 7 Л Л Т, (1)

определенная на пространстве примитивных форм из ЛТ'9, разлагается на положительно определенные [оу, оу]<гт, если ( — 1)р+г = -1, и отрицательно определенные [т, т, [оу, оу, если ( — 1)р+г = 1, формы, 1 < г < р — 1. (В случае р = 0 форма [т, т]от является положительно определенной, при р = 2^+1 форма [оо, оо]от является отрицательно, а прир = — положительно определенной.)

Доказательство. Во-первых, выберем базис в1, ■ ■ ■ ,еп+1 для пространства (1, 0)-форм в Сп+1, который диагонализирует обе ш и Т. Пусть ¿у = ге^-Ле^-

^У/ = Л J Щ. Тогда ш = Е ^, Т = £ Л^- ¿У

и

Т Л Ш„-д-р+1 = ^^ Лк ¿Ук,

|к|=п-д-р+2

если положим Л/ = ^ Л,.

/

Легко проверить, что

р-1р-1 р-1 [о,о] = ЕЕ0 = 13[°г ,ог],

г=0 ¿=0 г=0

поскольку [оу, о^]<от = 0 при г = Рассмотрим

[ог, о]°Т = с,+р £ 13 13 е,1 ■ ■ ■ 13 /е,р[м] Л ^^/м Л ек

|к|=д-г |М|=г ¿1 /к ¿р/к

Л 13 Е Е • • • Е Л ^ Л еь Л Л Т

|Ь| = д-г |Р|=гв1/Ь /Ь

= (—1)р+г Е Е Е Е о/к

|к| = д-г |М|=г |Р|=г /мП5Р=0

X 0Л,- , , , „ „ ,, т )К ^Ь^Уьи^вриК,

|Ь|=п-9-р+1

1 < Г < р — 1, [оо,оо]оТ = ( — 1)^13 |7/к|2 Е Ль^Уъи/ик■

|Ь|=п-9-р+1

и

Здесь запись (71,... ,^1-1,^1 + 1,... , ,... , ,... -1,^тг +1,... ,7р) означает, что в индексе S выражение S[Р] = (в1;... , вР1-1, зР1+1,... , -1; +1, ... , вр) заменено на J[М].

Условие, что ог, г > 1, примитивна (оо всегда примитивна, поскольку

^2 . .. ^ 7-ке^ Л ек Л шп-д-р+1 Л Т л/к Зр/к

= XI ез ... Щ 7-КеЗр Л еК Л X Ль^ = 0)

л/к Зр /К |Ь|=п-д-р+2

означает, что

Л Т = ^ ^ ^ ^ е ^ -к

ОГ Л Ш„-д-р+1 Л Т = ^ Е З

|к|=д-г |М|=г |Ь|=п-д-р+2 л/к Зр/к

х ЛЬезр [М] Л иь Л ек = 0.

Имеем

[аг ,аг ] = (-1)р+г ]Т Е Е Е а-к

|к|=д-г |М|=г |Р|=г /мПЬр =0

Х 0(л,..,Зт1-1,Зт1 + 1,..,гр1.....!рг ,...,Зтг-1,Зтг + 1,-,Зр)к Л(/иЬР ик)С , 1 < Г < Р - 1,

[ао,ао] = (-1)РЕ |7-к|2л(-ик)с.

Фиксируем К, 71,... , 7т1-1,7т1 + 1,... , 7тг-1,7тг+1,... , и переименуем оставшиеся индексы 1,... , N. Положим

N N

Л-М = Е Л - (ЛЗт1 + ... + ЛЗтг ) = Е Л - Л-М

11

N

Л/м Ьр = Е Л - Л-м - ЛЬр.

1

Можно доказать, что

если ^2 О/м Л-м = 0 то Е а-м аЬр Л-м Ьр < 0.

/мпЬр=0

Имеем

р-1

[т,а]=]Г[т,Ог ] = 0,

г=0

поскольку

[т, Ог]от = Сд+р ^ т-к ¿К/ Л ек

|к|=д-р

Л Е Ее^1... Е е«р1-1 Е е®р1 Е е«р1+1

|р |=гв1/ь вр1_1/ь вр1 е ь вр1+1/ь

... Е е^_1 Е ^ Е ^+1 Л еЬ Л шп-д-р Л Т =°.

врг _1 /Ь врге ь врг + 1 / Ь вр/Ь

и

Условие примитивности т означает, что

т Л шп-д-р+1 Л Т = X т/к Ль ¿К/иЬ Л ек = 0,

|к|=д-р |Ь|=п-д-р+2

и

[т, т ]от = ^2 X т/к ек У^ ЛЬ^Уъи/и^ик.

|к|=д-р /П5=0 |Ь|=п-д-р+1

Отсюда

[т т ] = X/ X т/к тЬк Л(/иЬик)с.

|к|=д-р /пЬ=0

Фиксируем К и переименуем оставшиеся индексы 1,... , N. Положим

N N

Л/ = X Л - (Л31 + ... + Лзр) =53 Лг - Л/

N

Л/ь = X/ Л» — Л/ — Ль.

Можно доказать, что если ^ т/Л/ = 0, то ^ т/т^Л/ь < 0. П

/ ПЬ=0

Предложение 5.7 в [9] является частным случаем предложения 1 при р = 1. Определение 2. Пусть / € Лр,д(Сп+1). Норма / на Т определяется как

1Л!,т^ = сд+р/Л/ЛШп_„ЛТ, (2)

где р

/ = /о Л шр + £ / Л шр-к, к=1

а /к € Лкд р+к — примитивные формы,

к-1

/к = —тк — X ( —1)к+гок + ( —1)кОок.

г=1

Напомним, что норма / в Сп+1, измеримая в ш-метрике, определяется как

|/£ шп+1 = Сд+р/ Л / Л шп-д-р+1,

поэтому (п + 1)|/ш = (п — д — р + 1)|/в случае Т = ш. В общем, поскольку Т < ^(Т)ш, получим |/т < (п — д — р +1)|/. Наконец, поляризацией получим скалярное произведение такое, что

(/,/ кт = |/Ц,т,

и будем в дальнейшем не упоминать зависимость от ш и Т.

Нормы и скалярные произведения на Лтр определяются, конечно, аналогичным способом, так что (/, д) = (/,т). В частности, если /, д € то

(/, = Сд+р/ Л д Л шп-ч-р Л Т.

и

Далее определим нормы на Л" р'9. Для этого заметим, что любая / € Л" р'9 определяет линейную форму Ьу (д)от = д Л / Л Т на ЛТ'" 9■ Определение 3. Если / € Л"-р'9

|/Цт = ||% II = 8пр (д)|^

|акт <1

Эквивалентно Ьу можно представить как скалярное произведение с элементом /' € ЛТ'" 9, так что

д Л / Л Т = (д)от = (д, /')от = с„-д+рд Л У Л шд_р Л Т (3)

Тогда |/|Ш'Т = |/'Цт■

Напомним, что на кэлеровом (или римановом) многообразии *-оператор Ходжа определяется так: }г А Тд = (¡г, д)йУ, если ¡г ъ д являются /г-формами и ¿У — элемент объема. Аналогично определим *-оператор * : Л" 9'р ^ Л" р'9, полагая

НА Щ АТ = (к,д)гтт. (4)

Поскольку

(/г, д)<тт = сп-д+р1г Ад А Л Т,

— А Л П — Ц^Р

это означает, что *д = сп-ч+рд А и!д-р на Ат .

Точно таким же образом (4) определяет * : Л" р'9 ^ Л" 9'р. Поскольку тогда скалярное произведение определяется как (Л.,д) = (^, д), найдем

/г Л *д А Т = сп^ч+рк Ад А АТ = с„_д+р/г Ад АТ,

поэтому *д = с„-9+рд на Л"-р'9.

Следующее предложение связано с изоморфизмом Лефшеца в С"+1 и будет иметь рещающее значение, когда мы позже аппроксимируем общие потоки гладкими формами.

Предложение 2. Пусть Т € Л1'1(С"+1) является строго положительным и пусть Ё € Л"-р+1'9+1(С"+1), 0 < р < д < п Тогда существует единственная форма Ё € Л"-9'р(С"+1) такая, что

Ё = Ё Л ш9-р Л Т

В частности, Ё может быть записана в виде Ё = / Л Т с / € Л"-р'9(С"+1)^ Предложение 5.4 из [9] есть частный случай предложения 2 при р =0.

Предложение 3. Пусть / € Л!^р. Тогда существуют однозначно определенные примитивные формы /о € ЛТ р'0, /1 € ЛТ р+1'1, ■ ■ ■, /р € ЛТР такие, что р

/ = Е / Л шр-й ■ (5)

й=0

Доказательство проводится методом математической индукции по р. □ Предложение 5.6 из [9] есть частный случай предложения 3 при р =1. Аналогично, конечно, имеем примитивное разложение (р, д)-форм. Следующее предложение говорит, что на самом деле получена норма форм на Т.

Предложение 4. Предположим, что 7 € Лр'д(С"+1) и |7|2 т = 0. Тогда 7 Л Т = 0.

Предложение 5.2 из [9] есть частный случай предложения 4 при р = 0. Пусть теперь Т > 0 — (1,1)-поток в Сп+1. Такой поток может быть записан в виде

Т = г ^^ ТЗ к Л ¿Тк,

где коэффициенты являются мерами, абсолютно непрерывными относительно меры следа от = Т Л шп. Пусть ^(Т) есть (0, 0)-поток определенный как ^(Т)шп+1 = от. Тогда Т может быть записан в виде Т = ТЧг(Т), где Т — форма с коэффициентами, определенными почти всюду относительно от. Так как коэффициенты Т образуют полуопределенную матрицу со следом равным единице по неравенству Коши следует, что

Т = Т^^- л ¿т ^(Т),

где < 1.

Если / — гладкая или только непрерывная (р, д)-форма в Сп+1, определим Ь2-норму / на Т:

iilt = 'f12

/!/-т. (6)

Равенство (6) означает, что

II/||2,т = Ср+д| / Л /Л ш„-р-д Л Т,

так как

Ср+д/ Л / Л шп-р-д Л Т = Ср+д/ Л / Л шп-р-д Л Т1г(Т) = |/от,

и ^(т) = 1.

Определим ^-пространства (р, д)-форм на Т, обозначаемое через Ьр д(Т), как пополнение гладких (р, д)-форм относительно Ь2-норм. Таким образом, гладкие формы по определению плотны в Ь2-пространствах.

Если, наконец, ^ — борелевская весовая функция, определим Ьрд(Т, е-^) как пространство тех / € Ь2 д 1ос, которые удовлетворяют

I1" ,T,V = I !/!ш

/!/!!, т<

3. Дифференциальные операторы на T

Предположим, что T является замкнутым.

Определение 4. Для u G Lp q loc(T) говорят, что u = / на T, если / G Lp+1 ,q+1 , loc(T) и dd(u Л T) = / Л T в смысле потоков.

Сильное продолжение оператора дд определяется следующим образом.

Определение 5. Если u G Lp,g,ioc(T) и / G Lp+i,g+i,ioc(T), говорят, что д dsu = /, если существует последовательность гладких (класса C2) (p, д)-форм u„ такая, что u„ ^ u в L2oc(T) и д du„ ^ / в L2oc(T).

Пусть теперь у — борелевская измеримая весовая функция. Тогда получим замкнутые плотно определенные операторы ддш и <9д8 на Ьр д(Т, е-^) с областями, состоящими из всех и таких, что ||дди||т,^ < с <9д = <9дш или <9д8.

Далее определим формальные сопряженные. Если / — (р, д)-форма такая, что */ является гладкой, положим 0/ = * д * /, где выбрано так, что

(<7,0/кт = (дш д,/ )ш,т, (7)

если / имеет компактный носитель. Если у — весовая функция, положим 0^ = е^0е-^, так что (д,0/= (д-шд, /

4. Априорные оценки для оператора дд

Основной технический результат этого параграфа — следующее обобщение тождества Кодаиры — Накано — Хермандера. В формулировке результата используем обозначение д-(р = е-^де^ для искривленного «5-оператора.

Теорема 1. Пусть Т > 0 — (1,1) -поток в области Б из Сп+1 такой, что ¿д(5Т имеет измеримые коэффициенты. Пусть ш — кэлерова форма в Б. Пусть, наконец, д — основная форма бистепени (р, д) с носителем в Б, и предположим, что у е С2(Б). Тогда

J ср+ч+1дд Адд Мдд(р Ли}п-р-ч-2 АТе^

~ ! Ср+ч+^дд Адд Ашп-р-ч-2 АгддТе^ + Ср+д+2 J ддд А ддд А шп_р_д_2 А Те'р - Ср+д+2 !(д-1рдд)р+2 А А А Те^

- ср+д / 0-^дд А 0-^дд А А Те^

= (0_^ддд, дд)ш,т- + (0-^ддд, дд)ш,т,-^. (8) В частности, если ¿д<9Т — строго отрицательный и ¿д<9<у > ш, имеем

(п - р - д - 1)\\дд\\2 + ср+ч+2 У Л Л шп_р_,_2 Л Те*

- Ср+д+2 J(д-1рдд)р+2 А А А Те^

[ 0_„0а А тОГс/ А А Те^

< (0-^дд,дд) + (0-^ддд,дд). (9)

Если, более того, ¿Т = 0, то

(п - р - д - 1)||дд||2 - ср+д+2 / (д-^дд)р+2 А (д-^дд)р+2 А ш„-р-д-2 А Те^

- ср+, / 0-^дд А 0-^д А ш„-р-, А Те^ < (ддд, ддд). (10)

Доказательство. Ясно, что (9) и (10) следуют из (8), поскольку

(ддд, ддд) = (ддд, ддд).

Чтобы доказать (8), следуем методу Бохнера — Кодаиры [11]. □ Теорема 1 имеет дубликат для форм бистепени (п — р,д).

Теорема 2. С обозначением и предположениями, как в теореме 1, пусть / — основная форма бистепени (п — р, д) с носителем в Б такая, что */ гладкая (класса С2) . Если гд&Т < 0 и гддр > ш и ¿Т = 0, то

(д-р - 1)||^*/|| сп—д+р+2 / (ддр*/)р+2 А (ддр*/)р+2 А 2 А Те

[\ди\1гТ*те-* < -- [\Щ}Тате-

] д — р — 17

- с„_д+р у а А А < {дуду*/, Вч>д^}).

Доказательство. Нужно применить теорему 1 к д = □

5. Теоремы существования для дд на замкнутых потоках бистепени (1,1)

Теорема 3. Пусть Т > 0 — замкнутый (1,1)-поток в Сп+1, и пусть ш = ¿5д|^|2 — кэлерова форма евклидовой метрики в Сп+1. Пусть р — плюрисуб-гармоническая функция в Сп+1, удовлетворяющая гддр > ш. Тогда для любой дш-замкнутой (п — р, д)-формы / на Т с д — р — 1 > 1 существует (п — р — 1,д — 1)-форма и на Т такая, что ддши = / на Т и

12 -Ф ^ 1

д — р — 1

Сначала докажем теорему, предполагая, что Т — гладкий и строго положительный, а затем получим общую теорему из аппроксимации Т такими потоками Т(е). После этого нужно аппроксимировать нашу форму /, определенную только на Т, глобальными формами, которые являются замкнутыми на Т(е). Это оказывается удивительно легко: вместо регуляризации Т и / отдельно ре-гуляризируем произведение / А Т и затем используем предложение 2, чтобы записать (/ А Т)е = /(е) А Т{е).

Для этого выберем неотрицательную основную функцию х, сосредоточенную в единичном шаре, такую, что / х = 1, и пусть Хе (г) = £-2пх(2/£). Для любой формы или потока а обозначим через ае свертку а * хе.

Доказательство теоремы 3. Предположим сначала, что Т — строго положительный и Т, р гладкие. Для доказательства теоремы нужно показать, что

|(/,М|2 < -1—г\\д^*аГ =-(И)

д — р — 1 д — р — 1

если а — основная форма бистепени (п — р +1, д) и нормируем так, что ||/1|2 = 1. (Если (11) выполнено, из теоремы о представлении Рисса следует, что можно найти форму и на Т такую, что

(/, ё^а) = (йщИ, ■&1р-&1ра) и ||9ши|| < ----.

д — р — 1

Тогда ддши = / и все доказано.)

Доказательство (11) проводится стандартным способом. Также имеем версии теоремы 3 для псевдовыпуклой области в Сп+1 и общих кэлеровых метрик. Далее имеем версии этих теорем для некоторых компактных кэлеровых многообразий.

6. Потоки высшей бистепени

Решающую часть в доказательствах играло предложение 1, согласно которому квадратичная форма, определенная как

[7, 7\<тт = Сд+р7 Л 7 Л Т Л

является определенной на пространстве (д,р)-форм на Т, удовлетворяющих 7 А ш„-р-д+1 А Т = 0 (т. е. «примитивных» форм).

Это неверно для (2, 2)-потоков, даже если они являются строго положительными [9].

Пусть Т — (в, в)-форма

1

Т = 13 ,5(1+1)

г=о

в С25 (где = ¿У, А , ¿У, = ¿¿г, А ¿д,).

Легко заметить, что локальная разрешимость для <9ди на (в, в - 1)-формах не имеет места при таком выборе Т. Возьмем

/ = Е Е /к1"2^-1 ^ а ,

, к1<к2<---<кз-1

так что

1

/ А Т = Е Е ]Г/,1к2-кз-1 А ¿У,

1 &2...к3-1 ,51+1,51 + 2,... ,5(1+1) .

, к1<к2<...<к3-1 1=0 Тогда д/ А Т = 0 означает, что

= <">

где /, = /,

"1 <^2<...<кз-1

Если / А Т = дди А Т, для (в - 1, в - 2)-формы и можно записать

25

Е Е ,

Е Е ик1..^-2А ¿Ук1...к._2. ,=1 к1<...<к3-2

Тогда

1

к1...к3-2

и

,=1 к1<...<к3-2 1=0

и А Т = Е Е Еи,"1..."3 2 А ¿Ук1..

2,5^+1,51 + 2,... ,5(1+1) ,

и можно показать, что

28 1 / я2.М—Ь*-2

«Н.ЛГ = £ £ ЕЕ' Йг^Т-^-

3 = 1 кг<...<к3-2 к3-1 1=0 4 к*-1 к*-1 к*-1 3

X ^ А ¿Ук1...ке-1,з1 + 1,... ,8(1+1) , поэтому уравнение дди А Т = / А Т разлагается на

д 2ик1-к*-2 д

3_ _ _1_

Кдгкз_1дгкз_1 дгкв_гдг^

_ , е2ик1-к--2 д2ик

Е I Ъ,. Р)П-, п- ^ ^^

1<к 1<...<кв — к3 —1 = 1

и аналогичную систему для и3+1 , и3+2 ,... ^^ , з + 1 < к1 <...<

кв-2 < 2з, з + 1 < к5-1 < 2^. Она разрешима, только если

^ + ^ + ... + ^ = 0, (13)

дд1 дд2 Здц '

что не предполагается (12). Пусть Т — (з, з)-форма

Т = X ¿Ук *

к +1... к2 *-1 к *<к *+1<...< к 2 *-1

в С28. Легко заметить, что локальная разрешимость для дди на (з, з — 1)-формах имеет место для этого выбора Т. Имеем

/ А Т = £ /з йгз А ¿Уз,

где /3 = ^ 31"к*-1. Тогда д/ А Т = 0 означает, что

к1<...<к а_1

Если / А Т = дди А Т, то 28

и А Т = Е Е Е и3 1...к3-2 ¿г3 А ¿Ук 1...к*-2кк2*-1 , з=1 1<... < -2 <... < 2 -1

и можно показать, что

28 , Д2.. к1... к*-2

ддилт = У V V V ¿(-^

3=1 к1<...<к з-2 к з-1 к *<...< к2 * -• х *-1

дг к *-1 дгк -

г к *-1 дг3

поэтому уравнение дди А Т = / А Т разлагается в систему

д 2ик 1-к--2

д2ик 1...к *-2 а2ик1..-1к'-2\

1<... < -2 -1 <... < 2 -1 -1

Она разрешима, только если

V V V -:( до

(15)

что предполагается (14).

1

Пусть Т — (в, в)-форма ^ «¿+2 «(¿+1) в С2в. Раз Т биразмерности

¿=0

(в, в), примитивная 2-форма должна удовлетворять

7 Л ш«-1 Л Т = 0. (16)

Возьмем, в частности, 7 = ^ 7/¿У/. Тогда

¿=1

7 Л ш = ^ ¿У/, где 7,-к = 7,- + 7^,

7 Л 1 = (в - 1)! Е >

где 7^к1...к3-1 = 7/ + 7к1 + ... + 7к3-1, (доказывается методом математической

индукции), поэтому равенство (16) точно означает, что (в — 1)!^ 7/ = 0.

1

С другой стороны

7 Л д = 2 Ие 7,-дк ¿У/к, ¿<к

поэтому

7 Л д Л ш = 2 Ие (7/ (дк1 + дк2) + 7к1 дк2 к2,

¿<к1 <к2

7 Л д Л ш«-2 = (в — 2)!2Ие ^ (7, (дк1 + ... + дк.-1)

¿<к1<к2<...<кз-1

+ 7к1 (дк2 + ... + 7^-1) + ... + 7к3-а(дк3-2 + 7^-1) + 7к3-27^-1 ^У/к к2...к,-1 (доказывается методом математической индукции), 7 Л д Л ш«-2 Л Т = (в — 2)!2Ие[71(д2 + ... + д«) + 72(73 + ... + д«) +

. . . + 7«-1д« + 7«+1(д«+2 + . . . + д2«) + . . . + 72«-2(72«-1 + д2«) + 72в-1д2в]^У1...2«.

Эта форма является, очевидно, неопределенной, поскольку получим разные

знаки для 7 = (1,... , 1, —1,... , —1) и 7 = (1, —1,... , 1, —1).

Пусть Т — (в, в)-форма ^ ^У^в С2«, тогда равенство (16) озна-

¿1<...<:3

чает, что

2в

<•—<:/) е *=0.

С другой стороны,

2s-1

Е Yj(Ъ"+1 + ••• + 72s)

/2s — 2

Y Л 7 Л ws-2 Л T = (s - 2)!( 2 )2Re

s, /2s - 2'.

= (s - 2)!( s_ 2 )2Re

s

L j=i

2s-1

Е -|Yj|2 - Yj(7i + • • • Tj-i) j=i

dVi

dVi...2s < 0

Доказательство проводится методом математической индукции.

ЛИТЕРАТУРА

1. Белошапка В. К. Функции, плюригармонические на многообразии // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1978. Т. 42, № 3. С. 475-483.

2. Чирка Е. М. Потоки и некоторые их применения // Харви Р. Голоморфные цепи и их границы. М.: Мир, 1979. С. 122-158.

3. Никитина Т. Н. Устранимые особенности на границе и д-замкнутое продолжение CR-форм с особенностями на порождающем многообразии. Новосибирск: Наука, 2008.

4. Nikitina T. N. The <9<9-equation on a positive current // The 14th General Meeting of European Women in Mathematics. Book of Abstracts Part II. University of Novi Sad (Serbia), 2009. P. 15-16.

5. Никитина Т. Н. д и дед-уравнение на положительном потоке // Тез. докл. международной конференции «Современные проблемы анализа и геометрии». Новосибирск: Ин-т математики им. С. Л. Соболева, 2009. С. 81.

6. Никитина Т. Н. Уравнение Монжа — Ампера на положительном потоке // Тез. докл. международной конференции «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», Новосибирск: Ин-т математики им. С. Л. Соболева, 2013. С. 402.

7. Никитина Т. Н. д- и <9<9-замкнутое продолжение форм. Saarbrucken, Germany: LAP, 2014.

8. Никитина Т. Н. Об уравнении Монжа — Ампера на положительном потоке // Тез. докл. международной конференции «Дифференциальные уравнения и математическое моделирование», Улан-Удэ. Новосибирск: Ин-т математики им. С. Л. Соболева, 2015. С. 209— 211.

9. Berndtsson B., Sibony N. The d-equation on a positive current // Invent. math. 2002. V. 147. P. 371-428.

10. Wells R. O. Differential analysis on complex manifolds. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall, 1967.

11. Siu Y-T. Complex-analiticity of harmonic maps, vanishing and Lefschets theorems // J. Diff. Geom. 1982. V. 17. P. 55-138.

Статья поступила 10 августа 201.5 г.

Никитина Татьяна Николаевна Сибирский федеральный университет,

Институт математики и фундаментальной информатики, пр. Свободный, 79, Красноярск, 660041 ААМскЭуап<1ех. ги