Комплексная векторная мера и интеграл на многообразиях с локально конечными вариациями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.373

Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 3(61). 2016. Вып. 1

КОМПЛЕКСНАЯ ВЕКТОРНАЯ МЕРА И ИНТЕГРАЛ НА МНОГООБРАЗИЯХ С ЛОКАЛЬНО КОНЕЧНЫМИ ВАРИАЦИЯМИ

А. В. Потепун

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9

Хорошо известно определение интеграла от комплексной дифференциальной га-формы с компактным носителем на вещественно га-мерных ^-многообразиях в Ст (т ^ га). Для га = 1 этот интеграл определён и на локально спрямляемых кривых. Другое обобщение — теория потоков (линейных функционалов на пространстве Сж-дифференциальных форм с компактными носителями). Тема статьи — интегрирование измеримых комплексных дифференциальных форм бистепени (га, 0) (не содержащих ^^) на вещественно га-мерных С0-многообразиях в Ст с локально конечными га-мерными вариациями (обобщение локально спрямляемых кривых на случай размерностей га > 1). Последняя теорема статьи устанавливает, что вещественно га-мерное С1 -многообразие, гладко вложенное в Ст, имеет локально конечные вариации и интеграл от измеримой комплексной дифференциальной формы бистепени (га, 0), определённый в статье, вычисляется по хорошо известной формуле. Библиогр. 5 назв.

Ключевые слова: интегрирование дифференциальной формы, комплексная векторная мера, га-вектор, многообразие с локально конечными вариациями.

Как известно, теория интегрирования дифференциальных форм на гладких многообразиях может быть обобщена на случай кусочно-гладких многообразий, а если размерность равна 1—на случай спрямляемых кривых (см., например, [1, т. III, гл. 3]). В статье [2] было получено обобщение теории интегрирования 1-форм по спрямляемым кривым на высшие размерности. А именно, были определены понятия п-мерного многообразия в Кт с локально конечными вариациями (в частности, таковыми являются многообразия с локально конечной п-мерной мерой Хаусдорфа) и некоторой векторной меры на нем со значениями в пространстве п-векторов. Интеграл от дифференциальной формы определяется как интеграл по этой векторной мере. Цель данной статьи — обобщение теории интегрирования комплексных дифференциальных форм, а именно форм бистепени (п, 0) (не содержащих ¿Щ), на случай интегрирования по вещественно п-мерным многообразиям с локально конечными вариациями в Ст. На таких многообразиях определяются векторная мера со значениями в пространстве комплексных п-векторов и интеграл от измеримой дифференциальной формы бистепени (п, 0) по этой мере. В случае вещественно п-мерного многообразия в С" векторную меру можно отождествить с мерой, значениями которой являются комплексные числа.

Как известно, в теории функций нескольких комплексных переменных наиболее важны голоморфные дифференциальные формы (формы бистепени (п, 0) с голоморфными коэффициентами). В частности, для формы ](х\,... ,гп)]г\ Л ... Л ]гп верна теорема Коши—Пуанкаре о равенстве нулю интеграла по гладкой границе п +1-мерной поверхности. Автор предполагает возможность обобщения этого результата на случай границы с конечной п-мерной мерой Хаусдорфа.

В статье доказывается, что в случае многообразия, гладко вложенного в Ст, определение интеграла от дифференциальной формы совпадает с общеизвестным.

(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2016

Определим отображение из К2т в Ст:

I (Х1 ,У1, Х2,У2, ..., Хт, Ут) = (XI + гу\, Х2 + гу2, .. . ,хт + гут)

(отождествление элементов К2т и Ст). Тогда, если еу — координатные орты пространства К2т, имеем

\ёк, если ] = 2к — 1;

1 (еУ) = \ ~ ■ 0,

I гёк, если ^ = 2к,

где ёу — базисные векторы пространства Ст.

Пусть п € N1, п ^ т. С помощью отображения I можно определить отображение из множества п-векторов в К2т над полем К в множество п-векторов над полем С следующим образом: пусть j1,... ,]п € Ы, 1 ^ j1 < ... < ]п ^ 2т, а = {^1,. . . ^п}, еа = еу1 Л ... Л е—простой п-вектор в К2т. Определим Р(а) = в, где ¡3 = {к\,..., кп}, кр = \{]р + 1)/2] (целая часть дроби ). Тогда положим

3(еа) = I(еу) Л ... Л I(е) — простой п-вектор в Ст.

Из определения I(еу) ясно, что

3(еа) = гя(а)ё^, где д(а) — количество чётных jp в множестве а. (1)

При этом, если jp = 2к — 1, jp+l = 2к, то кр = кр+1 и ёр = ё^1 Л ... Л ёкп = 0, т. е. 3 (еа) —нулевой.

В общем случае для п-вектора ^ Аа еа положим

а

еа) = ^^ Аа1 (еа) — п-вектор в Ст.

аа

Пусть т ^ п и М — ориентированное многообразие вещественной размерности п с локально конечными вариациями, вложенное в Ст. В статье [2] была определена мера на многообразии М (в данном случае вложенном в К2т), значениями которой являются вещественные п-векторы:

Мм(Е) = ^2 Ма(Е) еа, Е € ты,

а

где ма(Е) —ориентированная мера а-проекции множества Е, ^м — ¿-кольцо измеримых подмножеств М (напомним, что [2, §4, определение после леммы 9]):

ты = {Е С М | Е € Р)(А+ П А-), для любого а м+ (Е), М-(Е) конечны}.

а

Здесь А+ и А- — а-алгебры, на которых соответственно определены меры м+ и м- .

Определение 1. Назовём комплексной п-векторной мерой множества Е, принадлежащего 5-кольцу тм, комплексный п-вектор

Мм(Е) = 3(мм(Е)) = ^2 Ма(Е)1 (еа).

Очевидно, что в этой формуле можно рассматривать сумму только для тех а, для которых . (еа) = 0, а тогда Р(а) = в = [кх,..., кп}, 1 ^ кх < ... < кп ^ т. В дальнейшем тексте всегда будем обозначать

а = [зх,...,3п}, где зх,...,3п € N 1 < зх < ...< Зп < 2т, в = [кх,..., кп}, где к\,...,кп € N1, 1 < кх < ... < кп < т.

Рассмотрим все а, для которых Р(а) = в при фиксированном в. Тогда (см. (1)) имеем .(еа) = гч(а)ёв, и сумма разбивается на группы слагаемых:

ём (Е )=£ I ]Т г^ Иа(Е)\ ёр = £ гв (Е)~ев, (2)

гв(Е)= £ г"(а)га(Е) (3)

в \Р(а)=в

где в = [кх,..., кп}, 1 ^ к\ < ... <кп ^ т и

)

р (а)=в

— комплексная мера проекции множества Е на подпространство Ст, порождённое векторами е^ ,...,екп.

В случае п = т пространство комплексных п-векторов одномерно (в = [1, 2,..., т} —единственный вариант), поэтому

гм(Е)= I ]Т г"(а)га(Е)1 ёх Л ...Л,

гЯ(а)1

КР (а)={Х,2,...,т}

В этом случае вместо п-векторной меры Дм можно рассматривать меру на ^м, значениями которой являются комплексные числа:

гм (Е )= г{х,2,..,т}(Е) = £ г"(а)га(Е).

Р (а)={Х,2,...,т}

Как известно [4, №. I, §3], если т — аддитивная вектор-функция, заданная на кольце подмножеств множества Т и принимающая значения в нормированном пространстве X, ее вариацией называется следующая функция:

{р | р

УЗ \\т(Ак)\\ I Ак С А, Ак € ^ и дизъюнктны >

к=Х к=Х )

(здесь \т(Ак)\\ —норма вектора т(Ак) в пространстве X). Вектор-функция т имеет конечную вариацию, если для любого А € ^ |т|(А) < то.

Лемма 1. Меры гв и Дм имеют конечную вариацию.

р

Доказательство. 1) Пусть А € , и Ак С А, Ак € Шм и дизъюнктны. Тогда

к=Х

имеем (см. (3))

т

]Т| мв (Ak )\ = Ё

k=1 k=1

]T iq(a)/a(Ak)

P (а)=в

<E E \iq(a)^.(Ak)| =

к=1 P (а)=в

E E H(Ak) - /—(Ak)|< ]Г E ШАк) + /—(Ak)

k=1 P(а)=в k=1 P(а)=в

P P

E [T,M+(Ak) + Y, —Ak) < E U(A) + /—(A)).

P (а)=в \k=1 k=l / P (а) = в

Тогда, поскольку A G RM, числа j+(A), /— (A) конечны и

|Мв|(A) = supj it |Мв(Ak)|| < t (j+(A)+ /—(A)) < ж. U=1 ) P(a)=e

2) Поскольку пространство п-векторов в Cm конечномерно, все нормы в этом пространстве эквивалентны, и можно рассматривать произвольную норму

Mm (Ak) = (Ak )ёв.

13

По свойствам нормы

P P P

Ell Mm (Ak )|| <ЕЕ | Мв (Ak У-Цёв || <Е max ^в ГО Мв (Ak )| <

k=1 k=1 в k=1 в в

< max || E (it ЫAk )| J < max рв || E E (/+A) + /—(A)) (см. п. 1). в в \k=1 J в в P(а)=в

Тогда

| Mm |(A) = supj it || Mm (Ak )||| < max Цёв || E E / (A) + /— (A)) < ж. ■

U=1 ) в в P (а) = в

Теорема 1. Пусть M — ориентированное многообразие вещественной размерности п, гладко вложенное в Cm (m ^ п), E С U = f (IRn), f — положительная параметризация (диффеоморфизм класса C(1)) окрестности U С M, E G р|(A+ П &а). Тогда

а

множество f—1(E) измеримо по мере Лебега и для любого в = {k1,..., kn}

если E G RM, то М в(Е) = j det f^ d\n,

f-1E)

если E Gp|(a+ П A—), то ^вKE) = j | det f | d\n. а f-1(E)

Здесь если

= хх + гух = ¡х(Ьх,.. .^п),

I ■ .

хт + гут /т (tX,..., ^п ),

I' =

ди ал ди

йА

дг2

ал

дг2

\ ди дг2

Э/1 \ д1п ал

д/т

/

det 1'р — это определитель, составленный из строк матрицы I' с номерами кх,...,кп.

Доказательство. 1) Запишем координатные функции отображения I в вещественном виде:

хх = дх(^х,.. .,^п), Ух = д2^х, . . .^п),

I ■■{ .

Хт = д2т-х^х, . .., ^п), Ут = д2т (^х, . .., ^п),

т.е. Д = д2к-х + гд2к.

По доказанному в [3, теорема 2] множество I х(Е) измеримо по Лебегу и, по доказанному в той же теореме в конце п. 3.3,

Тогда, по (3), имеем

гь-.-и (Е) = га(Е) = ] det д'а ]\п.

/-1(Е)

гв(Е)= £ г*(а)га(Е)= ( £ г*(а) det д'а ]>п. Р(а) = в /-1(Е) Р(а)=в

(4)

det I'' =

ди д1к2 дг 1

д/кп

ди

дд2к1 -1

дд2к2-1 . ■дд2к2 ----\- г--

ди

дЯ2 кп-

ди

811

; дд2к

дг 1

дг2 д!к2 дг2

дг2

дЬп д1к2

д/кп

дд2кг

_1 +гс._

ди ^ '

дд2к2

ди

дд2кп -

■ дд2к2

ди

дг„ дд2кг-1

дд2к2-1 . ■ дд2к2 ----\- г-А

дг„

дЯ2 кп-

дг„

ди

+г

^ + г

дд2к

ди

г- + 1

: дд2к

дгп

дд2к1 ди

дд2к2. -дд2к2 ----\- г--

ди

дЯ2 кп-

ди

: дд2к

ди

дд2кг -дд2к2_

дг„

дд2кп -

■ад2к1 тп

; дд2к2 дгп

дг„

г- + 1

дд2к

дг„

дд2к1 дд2к2-1 . ■ дд2к2

----Ь г--

дг„

дЯ2 кп-

дг„

г-+г

: дд2к

дгп

Повторяя эту операцию для каждой строки исходного определителя, представляющей собой сумму строки из частных производных функции д2кр-х и строки из частных производных функции д2к , умноженной на г, получим

det I' =

2к1 2к2 2к 2к

31 =2к1-х 32 =2к2-х

...

2кп

Е ■

3п = 2кп-х

гч(31

'3п) Н^ п'

det д31...3п

Е гч(а) det д'а Р (а) = в

где q(a) —количество чётных индексов в наборе а = {j1, ...,jn}, т. е. (см. (4))

Мв№) = J det f 'р dXn.

f-1(E)

P

2.1) Пусть [J Ek С E, E G П(A+ П A—), Ek G Rm и дизъюнктны. По п. 1

имеем р

k=1

]Г\ Мв^ )\ = ]Т

k=1

k=1

det f р dX.

f-1(Ek)

p Г

^ J | det f'^ | dXn =

f -1 (Ek)

J | det f ^| dXn < J | det fP| d,Xn.

U f-1(Ek) fc=1

f-1(E)

По определению вариации следует

^в KE) = sup j Ef\P'в(Ek )\| < f | det | dXn.

U=1 ) f-1(e)

(5)

2.2) Пусть Е € тм, Е С К С и, К компактно. Тогда / 1(К) тоже компактно (/ — гомеоморфизм Кп на и), непрерывная функция det /' равномерно непрерывна на /-1(К), т. е.

для V е > 0 3 6> 0: V г,г' € /-1(К) \Ь — г'| < 6 ^^ /^(г) — det /^(г')1 < е. (6)

Покроем / -1(К) открытыми шарами диаметра 6 и выберем конечное подпокрытие: /-1(К) С Ц£=1 Вк. Поскольку К С и = /(Кп), легко проверить, что К = /(/-1(К)) С иР=1 /(Вк). Отображение / — гомеоморфизм Кп и и, поэтому /(Вк) открыты в открытой окрестности и С М, значит, открыты в М, т.е. а+-измеримы для любого а = ^1,..., jn} (см. [2, § 4, лемма 8]). Аналогичное верно для а--измеримости (см. [2, §4, замечание после леммы 9]), а тогда

/(Вк) € П(а+ п а-) Еп /(Вк) € П(а+ па-),

аа

м+ (Е П /(Вк)) < м+(Е) < ж, м-(Е п /(Вк)) < М-(Е) < ж, т.е. Е П /(Вк) € тм. Положим

к-1

Е1 = Е П / (В1), Ек = (Е П / (Вк)) \ (Е П / (Ва)) для к = 2,...,р.

Легко проверить, что множества Ек дизъюнктны, Е = Урк=1 Ек, и, по свойствам кольца, все Ек € тм. Отображение / инъективно, поэтому /-1(/(Вк)) = Вк, а тогда

/-1(Ек) С /-1(Е П /(Вк)) С /-1(Е) П Вк С Вк ^

^ йаш(/-1(Ек)) < 6 ^ (см. (6)) для V г,гк € Ек I det /^(г) — det /^(гк)| < е ^ ^^ /'(г) < | det /¡з(гк)| + | det /^(г) — det /^(гк)| < е + | det /'(гк)|.

s

Кроме того, множества / 1(Ек) измеримы по мере Лебега (см. [3, теорема 2]). Тогда для фиксированного Ьк € Ек получим

У I/^ 1(4)¿хп < е • Хп(/-\Ек)) + Idet/^(Ьк)\-Хп(/-\Ек)) =

1-1 (Ек)

= е-Хп(/-1(Ек)) + | det /'в(Ьк)Х„(/-1(Ек)) | = е-Х^/-1(Ек^ +

е ■ Х^/-1(Ек)) +

det / (Ьк) йХт

1-1Е)

< е ■ Х^/-1(Ек)) +

/ det / (Ь) йХп + / (

1 -1(Ек) 1 -1(Ек)

У det /р(Ь) йХп + !

1 -1(Ек) 1 -1(Ек)

<

У I det /р(Ьк) - det /(Ь)| йХп <

< е ■ Хп(/-1(Ек)) +

det /р(Ь) йХп

1 -1(вк)

+ е ■ Хп{/-1(Ек)) =

= 2е ■ Х^/-1(Ек)) + |Мв(Ек)| (см. п. 1).

Поскольку множества Ек дизъюнктны и Е = \Ук=1 Ек, то / 1(Ек) тоже дизъюнктны и /-1(Е) = [Ук=1 /-1(Ек). В результате получим

|| det /|(Ь) йХп = ]Г У | det /|(Ь) йХп < 2е ]Г Хп(/-1(Ек)) + ^МвЕк)| <

1 -1(Е) к=11-1(Ек) к=1 к=1

< 2е ■ Хп(/-1(Е)) + |МвКЕ) (по определению вариации меры),

1

т. е.

У | det /^|(Ь) йХп < 2е ■ Хп(/-1(Е)) + |МвКЕ).

(7)

1 -1(Е)

/ 1(Е) С / 1(К), множество / 1(К) компактно, поэтому Хп(/ 1(Е)) < то. Переходя в неравенстве (7) к пределу при е ^ 0, получим

У | det /р|(Ь) йХп < |Мв КЕ) С=Ж> ! | det /|(Ь) йХп = |Мв КЕ).

1-1(Е) 1-1(Е)

2.3) Пусть Ск = Пп=11-к; к], тогда Кп = иГ=1 Ск и и = /(Кп) = иГ=1 /(Ск). Для произвольного Е € П (А+ П А-), Е С и обозначим

а

к-1

Е1 = Е П /(С1), Ек = (Е П /(Ск)) \У (Е П /(С)) для к = 2,3,...

8=1

Легко проверить, что Ек дизъюнктны и Е = У^=1 Ек. / — гомеоморфизм, поэтому /(Ск) компактны, при этом по теореме 6 из [2, §4] /(Ск) € Км С р|(А+ П А-). По

п

свойствам ст-алгебры

IС) € р|(а+ п а-) Ек е р|(а+ п а-),

а а

М+(Ек) < м+(/(Ск)) < <х>, м-(Ек) < м- (IСк)) <

т.е. все Ек € Км• Поскольку ¡¡в счётно аддитивна, вариация \ тоже счётно аддитивна (см. [4, СИ. I, §3]). Тогда, поскольку Ек С I(Ск), по п. 2.2

то ^ ,, „

\(Е) = ^ \(Ек) =у \^ IР\(*) ^п = ] \ det I ^\(*) ЗАп. ■

к=1 к=1!-1(Ек) !-1(Е)

Определение 2. Пусть т ^ п и М — ориентированное п-мерное многообразие в Ст с локально конечными вариациями. Функция ш : М х (Ст)п ^ С называется ступенчатой дифференциальной п-формой на М, если существуют конечные семейства множеств {Ек}к=1, Ек € Км, и внешних п-форм [фк}рк=1 над полем С такие, что

р

ш = ^^ фк ХЕк (хЕк — характеристическая функция множества Ек). к=1

Поскольку Км — ¿-кольцо, можно считать, что множества Ек дизъюнктны [4, СЬ. II, §6, п. 1].

Как известно [5, гл. III, § 5, п. 5, схолия], внешняя п-форма ф порождает С-линей-ный функционал ф на пространстве п-векторов, при этом для базисных п-векторов

ф(ё^1 А ё^ А ...А еп) = ф(ё^1 ,ё^2,. .. ). (8)

Поэтому можно определить интеграл от ступенчатой дифференциальной формы по

векторной мере ¡ём [4, СЬ. II, §7, п. 1]:

р ^ р

если ш = ^ Фк ХЕк, то шЗ/ём = ^2 фк{ём (Ек)). (9)

к=1 к=1

Для определения интеграла не только от ступенчатых дифференциальных форм нужны дополнительные свойства векторной меры. Если рассмотреть сопряжённые нормы в пространствах внешних п-форм и п-векторов, то для любой внешней п-формы ф и п-вектора V имеет место неравенство ||ф(-у)|| ^ ||ф|| • (ф — линейный функционал, соответствующий форме ф). Кроме того, Км является ¿-кольцом и мера м имеет конечную вариацию. Таким образом, применима теория интегрирования вектор-функций по векторной мере (см. [4, СЬ. II, § 8]). Следующее определение является переформулировкой общего определения из [4] для случая дифференциальных форм и меры м.

Определение 3. Пусть М — ориентированное вещественно п-мерное многообразие с локально конечными вариациями, вложенное в Ст (т ^ п). Дифференциальная форма ш : М х (Ст)п ^ С называется /ём-интегрируемой, если существует последовательность [шкступенчатых дифференциальных форм такая, что

1) {ши— последовательность Коши, т. е. lim J \\ши — ш;\\ d\¡лм\ = 0;

2) ши сходятся к ш почти всюду по мере \ ¡лм \. Тогда полагаем

/ м = lim / ши dpм ■ J k^mj

Если A е р|(A+ П A-) и дифференциальная форма ш ■ xa интегрируема, то говорят,

а

что форма ш интегрируема на множестве A и f ш dpм = J шха dpм.

а

Теорема 2. Пусть M — ориентированное n-мерное многообразие в Cm с локально конечными вариациями, множество K С M компактно и сужение дифференциальной формы ш\к непрерывно на K. Тогда ш интегрируема на K.

Доказательство буквально повторяет доказательство теоремы 7 из [2] (заменяя \Им\ на \pмI). ■

Теорема 3. Пусть M — ориентированное многообразие вещественной размерности n, гладко вложенное в Cm (m ^ n). Тогда

1) M — многообразие с локально конечными вариациями;

2) пусть E С U = f (Rn), f — положительная параметризация (диффеоморфизм класса C(1)) окрестности U С M; если E —малое а+- и а--измеримое для всех а = {i1: ■ ■■, in}, то f-1(E) измеримо по Лебегу;

3) если дифференциальная форма ш(г) =Y1 aß(z) dz ß интегрируема на E по мере

ß

pм, имеем

j ш dp м = j ^2(aß ◦ f) ■ det f'ß d\n■ (*)

E f-1(E) ß

Доказательство. Утверждения 1 и 2 доказаны в [3, теорема 2, п. 1 и 2]. Докажем формулу (*).

1) Пусть E С U = f (Rn), E е Км, ш = dzkl А ■■■А dzkn (постоянная дифференциальная форма). Докажем, что

j ш dp м = J det f'ß d\n, ß = {kl,■■■,kn}■ E f-1(E)

По определению интеграла от ступенчатой дифференциальной формы выполняется

У шdpм = f ШXE dpм = Ф((E))■

Так как функционал ф С-линеен, получаем (см. (2))

ф(рм (Е)) = ^р в(Е )ф (ёв)> в = 1 < ]1 < ••• < Зи ^ т. (10)

/з

По (2) имеем

ф(ё31 л ¿32 л ••• л 3) = ф(ё31 ,ё321...,езп) = №к1 Л ••• Л ¿гкп )(ё31 ,...,ёзп). 52 Вестник СПбГУ. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. Т. 3 (61). 2016. Вып. 1

По лемме, аналогичной лемме 2 из [1, т. III, гл. 2, §2] (для внешней формы над С), получаем

(^ Л ... Л ^ )(ъ )={]> еСЛи ^ ..-Зп\ = . к;\

[0, если {л,... ,2п\ = {к1, .. ,кп\

(при этом к1 < к2 < ... < кп и 31 <32 < ... < зп). Поэтому в сумме (10) ненулевым будет только одно слагаемое. Получим

У шд^м = ф(Мм(Е)) = М{к1,..,кп}(Е) = J det / йХп (по теореме 1).

Е 1-1(Е)

2) Пусть Е С и = /(Кп), Е € р|(А+ П А-), ш — ступенчатая дифференциальная

а

форма. Докажем для нее формулу (*).

р

Справедливо представление ш = ^ фкхЕк, где фк —постоянные дифференци-

к=1 к

альные формы, все Ек из кольца Км. Тогда выполняется

р

шХЕ = Е ФкХЕк ■ ХЕ = Е ФкХЕкПЕ, Ек П Е € Р|(А+ П

к=1 к=1

и 1л+(Ек П Е) < 1л+(Ек) < то, /л-(Ек П Е) < —Ек) < то, т.е. Ек П Е € Км

и форма шхе также ступенчатая. Поэтому без ограничения общности считаем, что ш = шхе .

р

Итак, ш = ФкХЕк, где множества Ек можно считать дизъюнктными (см. [4,

к=1

СИ. II, §6, п. 1]) и Ек С Е. Пусть фк = авкйг^1 Л .. .Лйг^, тогда, если г € Ек, имеем

в П

ш(г) =^2 авкйг^1 Л ... Л йг^, а если г € Е \ ( У Ек I, следовательно ш(г) = 0. Таким в " к=1 ' образом,

а в к, если 2 € Ек

!авк, если 2 € Ек,

0., если г € Е \ ( [ ЕкV

к=1

Ввиду линейности интеграла, используя доказанное для формы 3,гг1 Л ... Л йг^, получим

фк ХЕк й^м = (Е ав кйг^ Л ...Л йг^ I й^м = Е ав к (йг^ Л ... Л йг^) й^м =

ЕЛ в ) в I

/ ( Е ав к ■ det / I йХп

ЧЕкЛ в )

а в к det /р йХп =

в 1-1(Ек) 1-1(Ек)

и, поскольку / € С(1)(Кп), подынтегральная функция непрерывна.

Вестник СПбГУ. Сер.1. Математика. Механика. Астрономия. Т. 3(61). 2016. Вып. 1 53

Если Ь € I 1(Ек), имеем I(Ь) € Ек, т.е. ав(I(Ь)) = авк. Тогда справедливо

Г

Е

¿МЫ = { "^Фк ХЕк I ¿МЫ = Е / Фк ХЕк ¿МЫ = \к=\ ) к=1

= Е / |Е ав(I(Ь)) • И] ¿Хп.

ЧЕк)\ в )

к=11-1(Ек)

Если Ь € I-1(Е) \ ^Д I-1(Ек)) = IЕ \ Д Ек) , получаем ав(I(Ь)) = 0 для всех в. Используя дизъюнктность множеств I-1(Ек), получим

Е / |Е авК*))^ ^ (*)| ¿Хп = [ (Е aв(I(t))det I', (Ь) | ¿Хп+ к=1-1{Ек)\ в ) и Л в

1 ( к) и 1-1(Ек)

к = 1

+ ! 1Е ав(I(Ь))^е1 (Ь)| ¿Хп = [ (Е(ав ◦ I)<1е1 Гв I ¿Хп

р \ в ) \ в )

1 -1(Е)\ и 1 -1(Ек)

1 -1(Е) \ в

к = 1

и формула (*) доказана для ступенчатой дифференциальной формы. Отметим, что

подынтегральная функция непрерывна на измеримых по Лебегу множествах I-1(Ек) р

и I-1(Е) \ У I-1(Ек), т.е. измерима по Лебегу.

к=1

3) Пусть ш — дифференциальная форма, интегрируемая на Е С и = I(Кп). Тогда, по определению, существует последовательность [шк}^=1 ступенчатых форм такая, что шк (г) ^ ш(г) почти всюду по мере \Мы |. Поскольку пространство внешних форм конечномерно, сходимость шк(г) ^ ш(г) равносильна покоординатной сходимости в любом базисе. Это означает следующее: если шк(г) = ^ авк(г) ¿гв, ш(г) =

/3

^ ав (г) ¿гв, тогда для любого в ав к(г) ^ ав (г) почти всюду по мере \МЫ\. Докажем,

/з

что функции авк(I(t))det ^(Ь) сходятся к ав(I(t))det I(Ь) почти всюду по мере Лебега в Кп.

Обозначим Ев = {г € Е \ ав к(г) ^ ав (г)}, тогда Ев € Яы, \Мы\(Ев) = 0. Пусть Рв = { Ь € Кп \ ав к(I (t))det I (Ь) ^ ав (I (t))det I (Ь)^. Тогда

Ь € Рв & ав к(I (г)) ^ ав (I (г)) и det (Ь) = 0 &

I(Ь) € Ев и det Гр(Ь)=0 & Ь € I-1(Ев) П {Ь € Кп \ det I''з(Ь) = 0} .

Поскольку Ев € ЯЯы, множество I-1(Ев) измеримо по мере Лебега (по теореме 1). Функция det I'(Ь) непрерывна, следовательно измерима по мере Лебега, поэтому множество {Ь € Кп \ det (Ь) = 0} тоже измеримо. Получили, что

Рв = I-1(Ев) П {Ь € Кп \ det (Ь) = 0} измеримо.

По определению вариации меры р

\ём\(Е в) = вир I Е IIём(Ек)|| I У Ек С Ер, Ек е Шм и дизъюнктный = 0.

„к=1 к=1

Отсюда получаем, что для любого Е' С Ер, Е' е Шм должно быть ём(Е') = 0, т. е. рр(Е') = 0 для любого в, а тогда \рр\(Ер) = 0. По теореме 1

\Рв\(Ер ) = I \ det Гр \ ¿Хп = ! \ Гр \ Х + I \ det Гр \ ¿Хп.

!-1(Ев) Рв !-1(Вв

Поскольку вне множества Рр det I ^ = 0,

!Рр\(Е р) = ! \ det Г'р\ аХи = 0, на Рр \ det ¡'р(г) > 0 Хп(Рр) = 0,

Ре

что и требовалось.

По замечанию в конце доказательства п. 2 все функции арк(Г(t))det Iр(г) измеримы. Из сходимости ар к(Г (t))det ¡'р (г) ^ ар (I (t))det (г) почти всюду следует, что функции (ар о /)detfр и \(а рк о /)det Iр — (ар о /)detf ^ \ измеримы по Лебегу на

I-1(Е).

4) Докажем /\арк — ар \ ¿\рр \ = / \(арк о ¡) — (ар о f)|•|det \ ¿Хи.

Е ¡-1 (Е)

Функция ар к — ступенчатая, измеримая по отношению к а-алгебре р| (А+ П А-), и

а

ар к(г) ^ ар (г) почти всюду по мере \ ём \ (определенной на той же а-алгебре), тогда ар и \арк —ар\ тоже измеримы. Мера \рр\ определена на р| (А+ ПА—) Э П(А+ ПА—),

Р (а)=р а

поэтому имеет смысл интеграл / \арк — ар\ ¿\рр\.

Е

р

Если Н — ступенчатая функция, Н = ^ с%Хе€ , где все е^ ^ 0, Е^ дизъюнктны,

г=1 *

Р

принадлежат а-алгебре р| (А+ П А-) и Е = и Е^, по теореме 1 имеем

а г=1

/Р р (с

На\рр\ е%\рр\(Ег) = ^2 ен \ det ¡р\ ¿Хп

Е *=1 ^ \ f-1(Е*)

= Е У на(г)) det f >р(г)¿Хи = У на(г))det f >р(^ ¿Хи

*=^-1(Ег) f-1(E)

(поскольку при г е г-1Е) г (г) е Е^ ^ н(1 (г)) = ен).

Неотрицательная измеримая по всем мерам , функция \а рк — ар \ на Е является пределом возрастающей последовательности неотрицательных ступенчатых функций, т. е.

V г е Е 0 < Н3 (г) < Нз+1 (г), Н3 (г) ^ \ар к(г) — ар (г) (3 ^ ж)

(можно положить = если ~ ^ \а,рк(г) — ар(г)\ < к —целое, к < ] ■ , и

Н3 (г) = ], если \арк(г) — ар(г)\ ^ ]). Все свойства последовательности {Н3легко проверяются. Тогда очевидно

V г е /-1(Е) 0 < Н1(/(г))\ det /Р, (г)\ < Н2(/(г))\det />0 (г)\ < ...,

I р(г)\ ^ Н2(/ (г))\/ р(

Нз(/(г))\ det />р(г)\ ^ \авк(1 (г)) — ав(/(г))\ • \ det />р(г)\

и из равенства / Н3 3\¡лр\ = § (Н3 о/)\ det /^\ 3Хп предельным переходом по теореме

Е ¡-1(Е)

Леви о монотонной сходимости получаем

I \арк — ар \ 3\рр \ = ! \(арк ◦ /) — (ар о /р \ 3Хп.

Е !-1(Е)

5) Обозначим дк(г) = £ арк(/(t))det /(г), д(г) = £ ар(/(t))det /р(г). Функции

/з /з

(ар о /) det /Р измеримы по Лебегу (по п. 3), поэтому и функция д измерима. По замечанию к п. 2 функции дк измеримы, поэтому и \дк —д\ измерима и неотрицательна, т. е. интеграл / \дк — д\ 3Хп имеет смысл. Докажем, что / \дк — д\ 3Хп ^ 0 при

ГЧЕ) Г1(Е)

к ^то.

/ \дк — д\3Хп = (арк о /)det/'p — 53(ар ◦ /)det/'p

о р

/ \(ар к о /) — (ар о / /'р \ 3Хп.

!-1 (Е) !-1(Е)

р !-1(Е)

По п. 4 имеем

Е f \(ар к о /) — (ар о / )\•\det /р \ 3Хп = ^ J \ар к — ар \ 3 Лр\.

р f-1(Е) р Е

По определению меры рм для любого А е Км Лр(А) — координата п-вектора рм(А) в базисе {ёр}. Поскольку отображение, сопоставляющее п-вектору его координату, линейно и непрерывно по любой норме в пространстве п-векторов (оно конечномерно), существует константа С1 > 0 такая, что для любого в и любого А е Км справедливо неравенство \рр(А)\ ^ С1\рм(А)\\. Тогда по определению вариации меры легко проверяется, что для любого А е р|(А+ П А-) \рр\(А) < С1 \рм\(А), а тогда

а

53 / \арк — ар\ 3\¡Лр\ < С1 / 53 \арк — ар\ 3\рм\,

Е Е

(ар к(г) — ар (г)) — это коэффициент внешней формы (шк (г) — ш(г)). Отображение, сопоставляющее внешней форме набор ее коэффициентов, линейно и непрерывно (пространство внешних форм и пространство коэффициентов конечномерны). Сумма абсолютных величин координат вектора является нормой в конечномерном пространстве, поэтому для любой нормы в пространстве внешних форм существует константа

C2 > 0 такая, что для любой внешней формы = ^ аФ dzp имеет место неравенство

13

Y^, \ав \ ^ C2\\<£>\\, в частности

/з

Е\авk(z) - ар(z)\ < C2\\uk(z) — u(z)\\.

13

Пространство интегрируемых дифференциальных форм линейно [4, Ch. II, §8, п. 1, proposition 1], поэтому (u>k — ш) интегрируема на E по мере ММ, а тогда \\шк — ш\\ интегрируема по мере \ММ \ [там же, proposition 4]. Тогда имеем

Е \aß k - aß I d Mm i ^ J \\шк - d Mm i

и, используя предыдущие неравенства этого пункта, получаем

•n / I u aßk о f) - (aß о f) H det f'я I dXn =

J \gk — g\dXn J \(a/3k ◦ f) — (а в ◦ f )\-\det f'e\<

f -1 (E) в f-1(E)

^ J \арk — ар\ d\¡лв\ < Ci J E\авk — ар\ d\Мм\ < C1C2 ^j \\шк — ш\\ d\Мм\.

E E E

Из этого неравенства следует, что функция g суммируема на f -1(E) по мере Лебега. Поскольку {шк}')?=1 —последовательность Коши и шк(z) — u(z) почти всюду по мере \ММ\, то [4, Ch. II, §8, п. 2, proposition 12]

J \\шк — ш\\ d\MM\ —^ 0, т.е. У \gk — g\dXn — 0.

f-1 (E)

Тогда справедливо

J gdXn = J ^2(aß о f )detf ß dXn =

f-1 (E) f-l(E) ß

lim / gk dXn = lim / шк dMm = и dMm

kk

f-l(E) E E

(по п. 2 для ступенчатых форм шк и определению интеграла от формы ш). Ш

Литература

1. Грауэрт Г. Дифференциальное и интегральное исчисление / Г. Грауэрт, И. Либ, В. Фишер. М.: Мир, 1971. 680 с.

2. Потепун А. В. Интегрирование дифференциальных форм на многообразиях с локально конечными вариациями, часть I // Записки научных семинаров ПОМИ, 2005. Т. 327. С. 168—206.

3. Потепун А. В. Интегрирование дифференциальных форм на многообразиях с локально конечными вариациями, часть II // Записки научных семинаров ПОМИ, 2006. Т. 333. С. 66—85.

4. Dinculeanu N. Vector measures. Berlin: Veb Deutscher Verlag von Wissenschaften, 1966. 432 p.

5. Бурбаки Н. Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра. М.: Физматгиз, 1962. 516 с.

Статья поступила в редакцию 22 октября 2015 г. Сведения об авторе

Потепун Алексей Витальевич — кандидат физико-математических наук, доцент; [email protected]

COMPLEX VECTOR MEASURE AND INTEGRAL OVER MANIFOLDS WITH LOCALLY FINITE VARIATIONS

Aleksey V. Potepun

St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; [email protected]

It is well known that one can integrate any compactly supported continuous complex differential ra-form over real-ra-dimensional C^-manifolds in Cm (m ^ ra). For ra =1 the integral may be defined over any locally rectifiable curve. Another generalization is the theory of currents (linear functionals on the space of compactly supported C^-differential forms). The theme of the article is integration of measurable complex differential (ra, 0)-forms (without dzj) over real-ra-dimensional C0-manifolds in Cm with locally finite ra-dimensional variations (a generalization of locally rectifiable curves to dimension ra > 1). The last result states that a real-ra-dimensional manifold, C-^embedded in Cm, has locally finite variations and the integral of measurable complex differential (ra, 0)-form determined in the article may be calculated by well known formula. Refs 5.

Keywords: integration of differential form, complex vector measure, ra-vector, manifold with locally finite variations.

References

1. Grauert H., Lieb I., Fischer W., Differential- und Integralrechnung (Springer—Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, III, 1967) [in German].

2. Potepun A. V., "Integration of differential forms on manifolds with locally finite variations. Part I", Zapiski nauchnyh seminarov POMI 327, 168—206 (2005) [in Russian].

3. Potepun A. V., "Integration of differential forms on manifolds with locally finite variations. Part II", Zapiski nauchnyh seminarov POMI 333, 66—85 (2006) [in Russian].

4. Dinculeanu N., Vector measures (ed. N. Dinculeanu, Dt. Verlag d. Wiss., Berlin, 1967, 432 p.).

5. Bourbaki N., Algebra. Chapters I-III (Hermann, Paris, France, 1974).