О задаче Коши для комплекса Дольбо в пространствах Соболева Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.55

О задаче Коши для комплекса Дольбо в пространствах Соболева

Дмитрий П.Федченко*

Институт математики, Сибирский федеральный университет, Свободный 79, Красноярск, 660041,

Россия

Получена 18.09.2009, окончательный вариант 25.10.2009, принята к печати 10.11.2009 Пусть Б — ограниченная область в Сп (п > \), имеющая дважды гладкую границу дБ. В работе описаны необходимые и достаточные условия разрешимости задачи Коши для комплекса Дольбо в пространстве дифференциальных форм бистепени (0, д), 0 < д < п с коэффициентами из пространства Соболева Н 1(Б) в области Б.

Ключевые слова: задача Коши, оператор Коши-Римана, комплекс Дольбо.

Введение

Хорошо известно, что задача Коши для системы Коши-Римана является некорректной. Тем не менее она часто возникает в приложениях: гидродинамике, теории передачи сигнала и т.д. (см., например, [1]). В настоящей работе представлено исследование задачи Коши для комплекса Дольбо, т.е. для комплекса совместности многомерного оператора Коши-Римана.

Внимание к такого рода задачам возросло после примера Х. Леви ([2]), в котором он построил дифференциальное уравнение без решения при помощи касательного оператора Коши-Римана.

В пространствах гладких функций эта задача изучалась в серии работ Андреотти и Хилла (см., например, [3]), где условия разрешимости были сформулированы в терминах исчезновения некоторых когомологий. Интерес к данной задаче Коши не ослабевает и сейчас ([4], [5], [6]).

Мы развиваем подход, предложенный Айзенбергом и Кытмановым в статье [7] (ср. также [8]) для многомерной задачи Коши для оператора Коши-Римана, который основан на применении интегральных представлений и гармонического анализа.

Итак, мы рассматриваем неоднородную задачу Коши для комплекса Дольбо в пространстве Соболева H 1(D). В данной работе мы получим критерий ее разрешимости.

1. Постановка задачи

Пусть Rn — n-мерное евклидово пространство, а Cn — n-мерное комплексное пространство, точками которого являются упорядоченные наборы n комплексных чисел z = (zi,...,zn), где Zj = Xj + а/—1 xj+n, j = 1,..., n, а \/—1 — мнимая единица, x =

(xu...,x2n) e R2n.

* e-mail: [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

Пусть В — ограниченная область в М2", то есть открытое связное множество, а В — ее замыкание. Кроме того, пусть Г — связное открытое (в топологии дВ) подмножество границы области В. Мы предполагаем, что граница дГ поверхности Г является кусочно -гладкой.

Зафиксируем какую-нибудь определяющую функцию р е с2 для области В, т.е. веще-ственнозначную бесконечно гладкую функцию с условием |йр| = 0 на дВ и такую, что

В = {г е С" : р(г) < 0}.

Для открытого множества В С С" обозначим через СТО(В) пространство бесконечно дифференцируемых функций в В, а через СТО(В) — пространство бесконечно дифференцируемых функций в В, любые производные которых непрерывно продолжаются на В. Также обозначим через С^тр(В и Г) множество функций из СТО(В), имеющих компактный носитель в В и Г.

Далее, пусть Ь2(В) будет пространство Лебега, т.е. множество (комплекснозначных) функций в области В, квадрат которых интегрируем по Лебегу в В. Как известно, это гильбертово пространство со скалярным произведением:

(и,^Ь2(0) = J и(г) «(г)

¿г л ¿г

Как обычно, пространство Соболева НЯ(В), в е М, состоит из измеримых функций, чьи частные производные до порядка в включительно принадлежат пространству Лебега Ь2(В), а пространство Соболева Нгяос(ВиГ) состоит из измеримых функций, принадлежащих Ня(ст) для каждого измеримого множества а С В и Г.

Обозначим через д оператор Коши-Римана в пространстве С". Как известно, оператор Коши-Римана индуцирует дифференциальный комплекс совместности

0 _^ д0,0 д0,1 д0,2 дп-1 д0,.

0,"

0,

который называется комплексом Дольбо (см., например, [9] или [10]). Аналогично получают комплексы

0 _и Дг'0 Л Аг'1 Аг'2 -4 ... лг," _и 0,

где Л(г'з) — множество дифференциальных форм бистепени (г, д), а дгл — операторы Коши-Римана на дифференциальных формах; как обычно, если это не приводит к недоразумениям, мы будем писать просто д вместо дг д. Пространство дифференциальных форм бистепени (г, д) с коэффициентами из какого-нибудь функционального пространства ©(В) обозначим через ©(В, Лг'9).

По определению, оператор дифференцирования д индуцирует непрерывный линейный оператор:

д : НЯ(В,Лг'") и НЯ-1(В,Лг'9+1), в е N.

Следует отметить, что оператор д не меняет степени формы по переменным 2 (только по г), поэтому, не теряя общности, будем рассматривать задачу Коши для форм бистепени

(0,д).

о

Дифференциальная форма и £ Ня(Б, Л0'9), а £ Z+, называется д-замкнутой, если она удовлетворяет следующему уравнению:

ди = 0 в смысле распределений в Б,

т. е.

I и А д^ = 0 для всех ^ £ С™отр(Б, А"'"-9-1). в

Множество всех д-замкнутых форм из пространства НЯ(Б,Л0'9) обозначим Zq(НЯ(Б)).

Как известно (см., например, [11]), для функций класса Соболева НЯ(Б), а £ М, хорошо определены следы на границе области Б. Множество всех д-замкнутых форм из НЯ(Б, Л0'9), следы коэффициентов которых исчезают на Г, обозначим через Zq(НЯ(Б), Г). Договоримся, что Zq(Н'(Б), 0) = Zq(Н'(Б)). _

Далее, форму V £ Zq(НЯ(Б), ц ^ 1, будем называть д-точной, если для нее найдется форма и £ Р'(Б, л0'9-1), удовлетворяющая уравнению

ди) = V в смысле распределений в Б.

Множество всех д-точных форм из НЯ(Б,Л0'9) обозначим через В9(НЯ(Б)), а через Н9(Н'(Б)) = Zq(НЬ(Б))/ВЧ(Н'(Б)) обозначим когомологии.

Задача 1. Для .заданных дифференциальных форм и0 £ Н 1(Б, Л0'9) и / £ Ь2(Б, Л0'9+1) найти (если это возможно) дифференциальную форму и £ Н 1(Б, Л0'9), такую, что

I ди = / в Б,

\ и/ = (и0)/ на Г для всех Ц/ = ц.

Как хорошо известно, при ц = 0 эта задача, вообще говоря, некорректна, если Г не совпадает с дБ. Что касается теоремы единственности, то при ц = 0 эта задача имеет не более одного решения (см., например, [7]), если внутренность Г не пуста.

Обсудим вопрос единственности решения задачи Коши в положительных степенях комплекса. Ясно, что в этом случае задача Коши 1 может иметь более одного решения.

При п = 2 рассмотрим область Б = {(х1, Х2,У1,У2) | У2 > 0} (ее, конечно, можно сделать ограниченной, взяв пересечение Б с некоторым шаром) и Г = {у2 = 0}. Тогда для двух не равных между собой дифференциальных форм

и = х1<!х1 + ¿2^2 и V = х1<!х1 + ¿2^2

мы имеем:

д(^1 <21 + ¿2 <22) = д (¿1<г1 + ^2<г2) = 0, а сужения соответствующих коэффициентов этих форм на Г совпадают:

и1 = V! = ¿1 на Г, и2 = V2 = Х2 на Г.

В положительных степенях комплекса, с точки зрения когомологий, естественной теоремой единственности было бы утверждение о том, что все элементы пространства Zq(Н 1(Б), Г), ц ^ 1, являются д-точными формами. Так, в [4] была рассмотрена задача Коши для когомологий комплекса Дольбо. В частности, там указаны некоторые (достаточные) условия на дБ \ Г, при которых д-замкнутые формы класса С 1(Б), исчезающие на

Г, являются д-точными. Например, это так, если дВ \ Г — часть границы псевдовыпуклой области С, содержащей В. С учетом результатов [12] о разрешимости д - уравнения в псевдовыпуклых областях, в нашем случае это наблюдение также справедливо. В самом деле, если V е Zq(Н 1(В), Г), то, продолжив эту форму нулем в С, мы получим элемент Zq(Н 1(С)), для которого, согласно [12], найдется форма и> е Н1ос(С), удовлетворяющая ди> = V в С.

Далее предлагается рассмотреть еще две естественных задачи, которые также можно назвать задачами Коши для комплекса Дольбо.

Задача 2. Для заданной дифференциальной формы д е Ь2(В, Л0'9+1) найти дифференциальную форму V е Н 1(В, Л0,91), такую, что

( дv = д в В,

[V/ = 0 на Г для всех Ц/ = д.

Ясно, что задача 2 есть частный случай задачи 1. Однако легко видеть, что задачу 1 достаточно просто свести к задаче 2. Более точно, задача 1 разрешима тогда и только тогда, когда разрешима задача 2 с данными д = / _ ди0, а решения этих задач связаны равенством

и = М0 + V.

Ниже будем рассматривать задачу 2.

Для того чтобы сформулировать еще одну разновидность задачи Коши, нам понадобятся понятия касательной и нормальной частей формы. С этой целью обозначим через * оператор Ходжа для комплексных дифференциальных форм. Если V — дифференциальная форма бистепени (р, д) с коэффициентами класса Н 1(В), то говорят, что касательная часть т(V) формы V равна нулю на части границы Г области В, если

У V Л ^ = 0 до

для всех форм ^ типа (п _ р, п _ д _ 1) с коэффициентами класса С^тр(В и Г). Это означает, что V Л др = 0 на Г. Будем говорить, что нормальная часть V(V) формы V равна нулю на Г, если касательная часть тформы ^ равна нулю на Г.

Задача 3. Для заданной дифференциальной формы / е Ь2(В, Л°'9+1) найти дифференциальную форму и е Н 1(В, Л0'9), такую, 'что

( ди = / в В, т(и) = 0 на Г.

Лемма 1. Задачи Коши 2 и 3 эквивалентны.

Доказательство. Ясно, что решение задачи 2 является также решением задачи 3. Пусть теперь V есть решение задачи 3. Мы докажем, что найдется такая дифференциальная форма ад е Н2(В, Л0,9-1), для которой и = V _ ди> есть решение задачи 2.

Обозначим через ©(С, г) стандартное фундаментальное решение уравнения Лапласа в комплексной форме для п > 1:

»«,;) = _ <"_ 2)! 1

(2п^/_1)" |С _ г|

2"-2

Поскольку V е Н^Б,л0'9), то хвV е Ь2(С",Л0'9), и

©хвV е Н2ос(Сп, Л0'9) п Н3(Б, Л0'9) П Нг3ос(С" \ Б, Л0'9).

Обозначим через (©хвv)+ продолжение формы ©хвV из Сп \ Б на все Сп. По теореме Уитни это продолжение существует и принадлежит классу Нг3ое(С", Л0'9). Тогда

ю = 5*(©хвV - (¿ХВ5+) е Нг2ос(С",Л0'9-1). Обозначим через (©хвv)+ сужение ©хвV на Сп \ Б.

да(©хвv)+|дD+ = 5а(©^)+ _ , |а| < 2.

дв-

В итоге получаем, что

дв(©^)+ = дв(©хвv)+|дD+ = 5е(©хв, |в| = 1.

Отсюда следует равенство нулю коэффициентов формы ю на границе области Б. Далее, так как ю = 0 на дБ, получаем, что

У ^ Л ю = 0

дв

для всех форм ^ бистепени (п, п — д — 1) с коэффициентами из класса Сто (Б). Это означает, что касательная часть т(ю) = 0 на дБ. Более того, касательная часть т(дю) = 0 на дБ. Действительно,

У ф Л дю = J дф Л дю = ^У дф Л ю = 0 дв в дв

для всех форм ф бистепени (п, п — д — 2) с коэффициентами из класса СТО(Б).

Кроме того, так как ©хвV е Нг2ое(С", Л0'9), форма к = д( ©хвV — (©хвv)+ ) бистепени (0, д +1) также равна нулю на дБ. В частности, V(к) =0 на дБ, так как

У ^ Л *к = 0 дв

для всех форм ^ бистепени (д,0) с коэффициентами из класса СТО(Б). Более того, нормальная часть v(д к) = 0 на дБ. Действительно,

У ф Л д * к = У дф Л д * к = J дф Л*к = 0 дв в дв

для всех форм ф бистепени (д — 1,0) с коэффициентами из класса СТО(Б).

Поскольку ©(С, я) есть фундаментальное решение оператора Лапласа, то Д(©хвV) = хвV. Форма (©хвv)+ е Н3с(С", Л0'9), а значит Д(©хвv)+ е Н/ос(Сп, Л0'9), откуда следуют равенства

Д(©'хв^)+ = Д(©хв«)+ = Д(©хвv)+|дn+ = 0, т.е. Д^^о^ =0 на дБ.

дв+

В итоге получаем следующие равенства на дВ:

V(дад) = V (М*(©хоV - (®хо«)+)) =

= V (( дд* + д*д )(©хоV - (0хо^)+) - д*д (©хоV - (¿х05 + )) =

= V ( Д(©хоV - (0хО5 + )) - V (дЧ) = v(v) - V ( Д(©ХЙ+ ) = v(v).

Зная, что т(дад) =0 на дВ и v(дw) = v(v) на дВ, мы имеем

т(и) = т(V - дад) =0 на Г, v(u) = V(V - дад) =0 на Г.

Это в свою очередь означает, что коэффициенты формы и равны нулю на Г. □

При д = 0 задачи 2 и 3 совпадают.

2. Условия разрешимости задачи

Перейдем к изучению условий разрешимости задач 2 и 3.

Из свойств комплекса Дольбо следует, что необходимым условием разрешимости задач 1, 2 и 3 является равенство

д/ = 0 в смысле распределений в В. (1)

Кроме того, данные Коши задач 2 и 3 должны удовлетворять дополнительным условиям согласования на Г.

Лемма 2. Если задача 3 разрешима, то

! / Л др = 0 для всех р е С£тр(В и Г, Л"'"-9-2). (2)

о

Доказательство. Следует из формулы Стокса. □

Условие (2) означает, что форма / является д-замкнутой в смысле распределений в В, а ее касательная часть равна нулю на Г в некотором слабом смысле (если коэффициенты формы принадлежат, например, Н 1(В), то это справедливо и в смысле обычного понимания следов коэффициентов на Г).

Ясно также, что условие (2) является необходимым и для разрешимости задачи 2. Обозначим теперь через (С, г) при 0 ^ д ^ п - 1 ядра Бохнера-Мартинелли-Коппельмана:

где / и к обозначает мультииндекс / = (¿1,...,г9), к которому добавлен индекс к. Знак <г(/, к) определяется равенством ¿Сй Л Л [/ и к] = <г(/, . Форма понимается как двойная дифференциальная форма бистепени (0, д) по г и бистепени (п, п - д - 1) по £. По определению = Ц^" = 0.

Для и е Н 1(В, Л0,9) рассмотрим интеграл Бохнера-Мартинелли-Коппельмана, определенный следующим образом:

(Мдои)(г) = У и(С) Л (С, г), г £ дВ до

(см., например, [13]). Хорошо известно, что он зависит только от касательной части формы и. Этот интеграл индуцирует непрерывный линейный оператор

Мдд : Н1 (Б, Л0'9) ^ Н1 (Б, Л0'9)

(см., например, [14, лемма 2.2]). Фактически он непрерывен, поскольку является производной потенциала простого слоя.

Кроме того, для / е Ь2 (Б, Л°'9+1) введем в рассмотрение интеграл

(Рв/)(*) = — | /(С) Л и0'9(С, я). в

Этот интеграл индуцирует непрерывный линейный оператор

Рв : Н 1(Б,Л0'9) ^ Н2(Б,л0'9-1),

(см., например, [14]). Он непрерывен, поскольку служит производной объемного потенциала. Отсюда, в частности, следует, что

Рв : Ь2(Б, Л0'9) ^ Н/ос(Сп, Л0'9-1).

Легко понять, что эти операторы являются ограниченными и на ограниченных областях в дополнении Сп \ Б. Если мы хотим подчеркнуть, что операторы Мдд и Рв рассматриваются в области Б, то будем писать М- и Р—, а вне области и Р+.

Отметим также, что форма Мдди имеет гармонические коэффициенты вне границы дБ, а форма Рв/ имеет гармонические коэффициенты вне замыкания области Сп \ Б.

Лемма 3. Для всякой дифференциальной формы и е Н 1(Б, Л0'9) справедлива формула Бохнера-Мартинелли-Коппельмана:

Мдв и + дРв и + Рв ди = хв и. (3)

Доказательство. Подробное доказательство может быть найдено в работе [13]. □

С учетом формулы Бохнера-Мартинелли-Коппельмана интеграл Рв/ содержит достаточно информации о решении задачи Коши 2, если оно существует.

Дальнейшей целью будет получение критерия разрешимости задачи Коши с помощью интеграла Рв /. Для этого выберем область Б+ так, чтобы множество О = Б и Г и Б+ было областью с кусочно-гладкой границей.

Обозначим через (Рв/)± сужение Рв/ на Тогда, в силу вышесказанного Рв / е Н 1(П, Лр'9), и, кроме того, коэффициенты формы (Рв/)+ гармоничны в Б+.

Теорема 1. Задача Коши 2 разрешима тогда и только тогда, когда выполнено условие (2) и существует дифференциальная форма Ф из класса Н 1(П, Л0'9), равная (Рв/)+ в Б+ и такая, что дДФ = 0 в смысле распределений в О.

Доказательство. Пусть задача 2 разрешима для формы /. Обозначим через и какое -нибудь ее решение. Необходимость условия (2) отмечена нами выше.

Так как коэффициенты формы и исчезают на Г, то форма хви принадлежит не только пространству Ь2(О, Л0'9), но и пространству Н 1(О, Л0'9). Положим

Ф = Рв / — хв и. (4)

По построению Ф е Н 1(П, Л0,9). Поэтому, по формуле Бохнера-Мартинелли-Коппель-мана (3), мы имеем

Ф = Ро/ - хои = -Мао\ги - дРои.

Применим к дифференциальной форме Ф оператор Лапласа (в смысле распределений в П). Так как в пространстве С", п > 1 операторы д и Д = дд + дд , примененные к дифференциальной форме бистепени (р, д), д > 0, перестановочны, получаем, что, в смысле распределений в области П,

ДФ = -Д(Мдо\ги + дРо и) = -д (ДРо и). (5)

В итоге имеем, что дДФ = 0 в смысле распределений в П.

Обратно, пусть существует форма Ф е Н 1(П,Л0,9), совпадающая с (Ро/)+ в В+, такая, что дДФ = 0 в смысле распределений в П. Положим

хои = Ро/ - Ф. (6)

По построению и е Н 1(В, Л0,9). Тогда, так как Ро/ е Н 1(П, Л0,9), и = Ро/ - Ф = (Ро/)- - (Ро/)+ =0 на Г.

Для завершения доказательства нам осталось убедиться, что ди = / в В. С этой целью рассмотрим в П форму хо (/ - ди) бистепени (0, д +1) с коэффициентами из пространства Ь2(П).

Применим в смысле распределений в П оператор Лапласа к форме хо(/ - ди): (Хо (/ - ди), Д—/п = /(/ - ди) Л Д— = У / Л Д—-У ди Л Д—

/п

оо

для всех форм — бистепени (п, п - д - 1) с коэффициентами из класса С^тр(П). Далее из (6) получаем, что

у ди Л Д— ^ (дРо/ - дФ) Л Д— ^ дРо/ Л Д— - у дФ Л Д—.

о о о о

Так как дДФ = ДдФ = 0 в смысле распределений в П, второй интеграл в последнем выражении есть ноль. Используя равенство дД = Дд, получаем, что

У дРо/ Л д— = - у Ро/ Л Д(д—) = - у д*/ Л д— о о о

для всех форм бистепени (п, п - д - 1) с коэффициентами из класса С^тр(П).

С другой стороны, используя тот факт, что д/ = 0 в смысле распределений в В, получаем следующую цепочку равенств:

у / л д— = у / л (д*д + дд*)- = у / л д*д— = - у д*/ л д— о о о о

для всех форм — бистепени (п, п - д - 1) с коэффициентами из класса С^тр(П).

Таким образом, форма хо (/ - ди) имеет в П гармонические коэффициенты, исчезающие в П \ В. Из теоремы единственности для гармонических функций следует, что ее коэффициенты тождественно равны нулю в П, а значит, / = ди в В. □

о

Следствие 1. Задача Коши 2 разрешима тогда и только тогда, когда выполнено условие (2) и существует дифференциальная форма Ф из класса Н Л0'9), равная (РдI) + в П+ и такая, что ДФ = 0 является д - точной в О в смысле распределений.

Доказательство. Так как всякая д-точная форма является д-замкнутой, то достаточность условий следствия 1 вытекает из теоремы 1. Необходимость условия (2) нами доказана

в лемме 2. Наконец, необходимость второго условия вытекает из теоремы 1 и формулы (5). □

Следствие 2. Задача Коши 2 разрешима тогда и только тогда, когда выполнено условие (2) и существует дифференциальная форма Ф из класса Н 1(О, Л0'9), равная (РдI)+ в П+, такая, что [ДФ] =0 в Н9(Н 1(О)).

Теорема 2. Задача Коши 2 разрешима тогда и только тогда, когда выполнено условие (2) и существует дифференциальная форма Ф из класса Н 1(О, Л0'9), когомологичная (Рд I)+ в D+, такая, что ДФ = 0 в О.

Доказательство. Пусть задача 2 разрешима для формы I. Обозначим через и какое -нибудь ее решение. Необходимость условия (2) отмечена нами выше.

Так как коэффициенты формы и исчезают на Г, то форма хди принадлежит не только пространству Ь2(О, Л0'9), но и пространству Н 1(О, Л0'9). Положим

Ф = РдI + дРви - хди. (7)

По построению форма Ф € Н 1(О, Л0'9), действительно, РдI € Н 1(О, Л0'9), а Рди = © д хди € Н2(О, Л0'9-1). По формуле Бохнера-Мартинелли-Коппельмана (3) мы имеем

Ф = РдI + дРди - хди = -Идо\Ги,

где дифференциальная форма Мдд\ги является гармонической в О как интеграл, зависящий от параметра, т.е. ДМдд\ги = 0 в О.

Обратно, пусть существует форма Ф € Н 1(О, Л0'9), когомологичная (РдI)+ в П+, такая, что ДФ = 0 в смысле распределений в О. Положим

и = Рд1 + дЕ - Ф. (8)

По построению и € Н 1(О, Л0'9), так как РдI и дЕ € Н 1(О, Л0'9),

и = РдI + дЕ - Ф = (PDI - P+I) + (дР-и - дР+и) =0 в В+.

Для завершения доказательства нам осталось убедиться, что ди = I в D. С этой целью рассмотрим в О форму хд (I - ди) бистепени (0, ц + 1) с коэффициентами из пространства Ь2(О).

Применим в смысле распределений в О оператор Лапласа к форме хд (I - ди):

<хд (I - ди), Дф)п = у! - ди) Л Дф = У I Л Дф-I ди Л Дф в в в

для всех форм ф бистепени (п,п - ц - 1) с коэффициентами из класса ССО (О).

Далее из (8) получаем, что

JдU Л Д— = J д(Ро/ + дД - Ф) Л Д— = J дРо/ Л Д— - ^ д Ф Л Д—. о о о о

Так как Д(д Ф) = д(ДФ) =0 в смысле распределений в П, второй интеграл в последнем выражении есть ноль. Используя равенство дД = Дд, получаем, что

У дРо / Л д— = - у Ро / Л Д(д—) = -1 д*/ Л д—

о о о

для всех форм — бистепени (п, п - д - 1) с коэффициентами из класса С^тр(П).

С другой стороны, используя тот факт, что д/ = 0 в смысле распределений в В, получаем следующую цепочку равенств:

У / Л Д— = У / Л (д*д + дд*)— = У / Л = - У д*/ Л д— о о о о

для всех форм — бистепени (п, п - д - 1) с коэффициентами из класса С^тр(П).

Таким образом, форма хо (/ - ди) имеет в П гармонические коэффициенты, исчезающие в П \ В. Из теоремы единственности для гармонических функций следует, что ее коэффициенты тождественно равны нулю в П, а значит / = ди в В. □

Многочисленные примеры показывают, что зачастую необходимым условием разрешимости задачи Коши 2 будет условие гармоничности формы Ф, а не только равенства ДФ нулю в когомологиях, как в следствии 2.

Например, пусть В = {г е С2 : 1 < |г| < 2} — шаровой слой в С2, а Г = {|г| = 1}. Рассмотрим дифференциальную форму / = -г2 Л ¿г2. Легко проверить, что дифференциальная форма / удовлетворяет необходимым условиям разрешимости задачи Коши (1) и (2). Теперь, зная одно из решений и = (1 - |г|2) ¿г1 задачи Коши 2, покажем, что форма Ф, задаваемая равенством (4), имеет гармонические коэффициенты. Действительно,

ДФ = Д(Ро / - хо и) = -д*/ - Дхо и.

Далее, свойства оператора Ходжа (см., например, [10, с. 154]) и простой арифметический

—*

подсчет дают нам следующие равенства: д / = - * д * / = 2 ¿г!, а Дхо и = -2 ¿г1, из которых сразу же извлекаем информацию о гармоничности формы Ф.

Мы предполагаем, что такого типа результат может быть получен и в общем случае, если искать некоторое специально выделенное решение задачи Коши 2.

Работа выполнена в рамках гранта президента России поддержки ведущих научных школ НШ- 2427.2008.1 и гранта СФУ по молодежным проектам за 2009 г.

Автор благодарен А.А.Шлапунову за внимание к работе и сделанные замечания.

Список литературы

[1] Л.А.Айзенберг, Формулы Карлемена в комплексном анализе. Первые приложения, Новосибирск, Наука, 1990.

[2] H.Lewy, An example of a smooth linear partial differential equation without solution, Ann. Math., 66(1957), 155-158.

[3] A.Andreotti, C.D.Hill, E.E.Levi convexity and the Hans Lewy problem. I, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, 26(1972), №3, 325-363.

[4] M.Nacinovich, B.W.Schulze, N.Tarkhanov, On Carleman formulas for the Dolbeault coho-mology, Ann. Univ. Ferrara, Ser. VII, Sc. Mat., Suppl. Vol. XLV(1999), 253-262.

[5] J.Brinkschulte, C.D.Hill, On the Cauchy problem for the д operator, Ark. Mat., (2008), 1-11.

[6] И.В.Шестаков, О задаче Коши для когомологий Дольбо, Автореф. дис. ... канд. физ-матем. наук, СФУ, Красноярск, 2009.

[7] Л.А.Айзенберг, А.М.Кытманов, О возможности голоморфного продолжения в область функций, заданных на куске ее границы, Мат. сб., 182(1991), №4, 490-597.

[8] Д.П.Федченко, А.А.Шлапунов, О задаче Коши для многомерного оператора Коши -Римана в пространстве Лебега L2 в области, Мат. сб., 199(2008), №11, 141-160.

[9] Г.М.Хенкин, Метод интегральных представлений в комплексном анализе, Итоги науки и техники. Современные проблемы математики(фундаментальные направления), М., ВИНИТИ, 7(1985), 23-124.

[10] А.М.Кытманов, Интеграл Бохнера-Мартинелли и его применения, Новосибирск, Наука, 1992.

[11] Ю.В.Егоров, М.А.Шубин, Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Основы классической теории, Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, М., ВИНИТИ, 30(1988), 1-264.

[12] J.J.Kohn, Subellipticity of the д-Neumann problem on pseudo-convex domains: sufficient conditions, Acta Math., 142(1979), №1-2, 79-122.

[13] Л.А.Айзенберг, Ш.А.Даутов, Дифференциальные формы, ортогональные голоморфным функциям или формам, и их свойства, Новосибирск, Наука, 1975.

[14] A.A.Shlapunov, N.N.Tarkhanov, Green's Formulas in Complex Analysis, Journ. of Math. Sciences, 120(2004), №6, 1868-1900.

On the Cauchy Problem for the Dolbeault Complex in the Sobolev spaces

Dmitry P.Fedchenko

Let D be a bounded domain in Cn (n > 1) with a twice smooth boundary dD. We describe necessary and sufficient Cauchy problem's solvability conditions for the Dolbeault complex in the space of differential forms of bidegree (0, q), 0 < q < n with coefficients from the Sobolev space H 1(D) in the domain D.

Keywords: Cauchy problem, Cauchy-Riemann operator, Dolbeault complex.