Научная статья на тему 'О формуле перестановки повторного особого интеграла Бохнера-Мартинелли в строго псевдовыпуклых областях'

О формуле перестановки повторного особого интеграла Бохнера-Мартинелли в строго псевдовыпуклых областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
45
11
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ИНТЕГРАЛ БОХНЕРА-МАРТИНЕЛЛИ / ГЛАВНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ОСОБОГО ИНТЕГРАЛА / СТРОГО ПСЕВДОВЫПУКЛАЯ ОБЛАСТЬ / BOCHNER-MARTINELLI INTEGRAL / PRINCIPAL VALUE OF INTEGRAL / STRICTLY PSEUDOCONVEX DOMAINS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Кацунова Анастасия С.

В работе получен аналог формулы Пуанкаре-Бертрана для интеграла Бохнера-Мартинелли в строго псевдовыпуклых областях.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On the Formula of Change of Integration Order for the Sin- gular Bochner-Martinelli Integral in Strictly Pseudoconvex Domains

It is obtained the Poincare-Bertrand formula for Bochner-Martinelli integral in strictly pseudoconvex domains.

Текст научной работы на тему «О формуле перестановки повторного особого интеграла Бохнера-Мартинелли в строго псевдовыпуклых областях»

УДК 517.552

О формуле перестановки повторного особого интеграла Бохнера—Мартинелли в строго псевдовыпуклых областях

Анастасия С. Кацунова*

Институт космических и информационных технологий, Сибирский федеральный университет, Киренского, 26, Красноярск, 660074,

Россия

Получена 18.08 2010, окончательный вариант 25.09.2010, принята к печати 10.10.2010 В 'работе получен аналог формулы Пуанкаре-Бертрана для интеграла Бохнера-Мартинелли в строго псевдовыпуклых областях.

Ключевые слова: интеграл Бохнера-Мартинелли, главное значение особого интеграла, строго псевдовыпуклая область.

Введение

Для С, я € Сп обозначим через V(С, я) ядро Бохнера-Мартинелли, т.е.

п ___

( 1)1 Е(-1)к-1(Ск - ^) <[к] Л <

V(С, я) = (п -1)! • -2-,

' (2пг)п |С - я|2п '

где ¿С = Л ... Л ¿Сп, ¿С[к] = ¿11 Л ... Л <к-1 Л <к+1 Л ... Л ¿Сп-

Теорема 1 ([1]). Для любой функции f, голоморфной в области Б и непрерывной в ее замыкании (f € О(Б) П С (Б)), где Б — ограниченная область в Сп с гладкой границей дБ, справедливо интегральное представление

f (z)^ f (С) иz G D.

дБ

Главное значение у.р. по Коши определяется следующим образом (см., например, [2]):

у.р. У f(С) V(С, я) = Дшо у f(С) V(С, я),

дБ дБ\Бг (е)

где Бг(£) = (С : |С - г| < £>.

Известно [2, гл. 1], что для областей с гладкой границей

У.р. У V(С, я) = 2, я € дБ.

дБ

* askatsunova@gmail.com © Siberian Federal University. All rights reserved

Для повторного особого интеграла Бохнера-Мартинелли справедлива формула Пуанкаре-Бертрана.

Теорема 2. Пусть / € Са(дВ х дВ), тогда

I и К*) У / (С,™) и (С,™)=у У / (С, ад) и (ад, г) и (С,^) + 1 / (г, г), г € дВ.

дБи дВс дВс дБи

Теорема 2 есть теорема 22.6 в [2], доказанная для ограниченной области, интегралы рассматривались в смысле главного значения по Коши.

Пусть В — ограниченная строго псевдовыпуклая область в Сп с границей дВ класса С3, т.е. В = {* € П : р(*) < 0}, где р(*) — вещественнозначная строго плюрисубгармоническая функция класса С3 в некоторой окрестности П замыкания области В и такая, что ¿р = 0 на дВ.

Известно (см., например, [3] ), что в П существует барьерная гладкая функция Ф(С, *) переменных (С, *) € П х П такая, что Ф голоморфна по * € П при фиксированном £ € П,

п

2 Ие Ф(С, *) ^ р(С)—р(*)+7 1С—*|2 для некоторой константы 7 > 0, Ф(£, *) = ^ Рк (С, *МСк —

к = 1

), где Р = (Р1,..., Рп) — гладкая вектор-функция переменных (£, *) € П х П, голоморфная по * € П при фиксированном £ € П.

Если функция р(£) является строго выпуклой, то Ф(С, *) можно выбрать в виде

п

к=1

ф(с,*) = е • (Ск — *к).

Для интегрируемой на дВ функции /(£) и точки * € дВ рассмотрим главное значение у.р.И. в смысле Керзмана-Стейна [4, 5]:

у.р.и. у / (С) и (С, *) = Дшо У / (С) и (С, *),

дБ дВ\Ег(е)

где Е(е) = {£ € дВ : |Ф(С, *)| < е} — это "эллипсоид" , вытянутый вдоль комплексных касательных направлений.

Теорема 3 ([6]). При п > 1 справедлива формула

у.р.И. У и (С,*) = 2, * € дВ.

дБ

Целью данной работы стало получение аналогичной формулы Пуанкаре—Бертрана в случае, когда В является строго псевдовыпуклой областью, а главное значение определено в смысле Керзмана—Стейна.

1. Вспомогательные результаты

Обозначим О+ и О- — области в Сп, О+ = Ое = {С : |Сп| < е}, О- = {С : |Сп| > е}, где С = (С1,..., Сп). Тогда дОе = —дО- = {С € Сп : |Сп| = е}. В дальнейшем нам понадобится следующая

Лемма 1. Если f € С1 (Од) и f имеет компактный носитель в Од, тогда

«Йо/ ^И Л = 0, ^

дО£

|р ^Л ¿СИ=0 (2)

дО£

Доказательство. Применяя формулу Стокса, получим

1 = lim I ^^ dZ [k] Л dZ = - lim / d ( ) Л dZ [k] Л dZ-

—-+»у izг sl j s ."+»у vic|2v

sg£

Обозначим F(Z) = IAи, учитывая свойство дифференциальных форм, рассмотрим

/С) 1С I

отдельно

dF _ 1 d/(Z) n Zk / (Z)

dZk ICI2" dzk IZI2"+2 •

Тогда

f 1 d/(Z) n Ct /(Z)

1=ä J <-1>" licF'IZf -IzF+^j dZ Л

G-

Сделаем замену Z = er, тогда dZ = e" dr. Областью интегрирования в новых переменных является G' = {т G C" : |rn| > 1} и

1 = lim (— 1) k 1 Г ■ ^П - 2/2)) dr Л dr.

. "+» V ; G VirI2" dZk e |r|2"+2 )

Разобьем последний интеграл на два и рассмотрим отдельно:

* = lim f Л- ■ Ö/^ dT Л dr = Ö/(0) I dT Л dT

+»G |rI2" dZk dZk G |rI2" '

Имеем

12 = lim f rk, /,(ero) dr Л dr = 2 £"+»У e |r|2"+2

G'

r /(er) - /(0) rk Г /(0) rk lim - ■ -—^—dr Л dr + lim -■ —-7;—-r dr Л dr.

е"+»У e |r |2"+2 e"+» У e |r |2"+2

G' G'

/(er) - /(0) ^ / d/(0) d/(0) N

V = gHjrj + j +o(1), e^0-

Так как по условию леммы f имеет компактный носитель в Од, то остается рассмотреть интегралы вида

И

1<|т„|<Д

dr Л dr

= I |r |2" '

11 = J Irp2 dr Л dr *22 = у dr Л dr 13 = / dr Л dr-

1<|r„|<R 1<|r„ |<R 1<|г„|<Д

Для их нахождения введем полярную систему координат ту- = т3- вг1Р:>, ] = 1,... ,п. Тогда ¿тЛ ¿73 = 2гт3- ¿т3- Л .

2п 2п Д

/¿т Л ¿т С С С С С т ¿т

|т |2п =(2г)^ - / ¿^п / т1 ¿П . . / тп-1 ¿тп-1^ (т2 + т2 ..."+ т2 )п

1<|г„|<д оооо 1 п

\п (г,„\п Л АП 1 [ ¿тп _млп 2 1п Д

<2"п'<2^ Ш /¿тп = <2")' (п — 1)Г

1

Интеграл

2 ] |т |2п+2

1<|т„|<Д

для любых и к. Например, в случае ^ = к = п

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

/1 = I т1 Ткп ¿т Л ¿т = 0

2

11 = / Л ¿т =

1<|т„|<Д

2п 2п 2п Д з

^ [ I д,„ I А2шп , [ „ , ¡' , [ тз ¿тп

(2г)^ .. . I ^п-1 У т1 ¿т1 ...у тп-1 ^п-^ (т2 + т2 ... + т2 )п+1 -

о о о о о 1 п

2п Д п-1

= (2г)^ (2п)п-^ е^" ¿^У • • ^ = •е2г^"|оП ^ Ь Д = 0.

о1

Для интегралов /| и /3 проводятся аналогичные вычисления. Таким образом, получим

г2 = Г (2пг)п ^, У = к, 2 \0, ^ = к,

тк

|т |2п+2 1<|Тп|<Д

/2 = —|2п+2 ¿т Л ¿т = 0 для любого к.

Следовательно,

г = , - о, л ^ =( 1)к-1 д/(0) Г Л ¿т

ДшоУ /Р <Гк]Л ^ = (—1)к

Е^+о ^ |2п ^ J Ь У ^ дС к У |т |2п

дСе 1<|т„|<Д

— ( — 1)к-1- п]Г

3=1

^ / 1Р2 ¿т Л ¿т + д/М / ¿т Л ¿т| —

\ 1<|тп|<Д 1<|Тп|<Д

— ( —1)к-1 • п • /(0) • Иш 1 / , ¿т Л ¿т

у 7 у / Е^+о е У |т|2п+2

1<|т„|<Д

= ( — 1)к-1 • • (2п.Г • — (_1,к-1 • п. /2 . (2„)п • Ц* = 0.

дц к (п 1)1 дт к п-

п

Для доказательства равенства (2) достаточно перейти к сопряжению. □

Пусть I = («1,..., ), J = (^1,...,^р) — возрастающие мультииндексы, т.е. 1 ^ «1 < ... < ^ п, 1 ^ < ... < ^ п, 0 ^ р, д ^ п. Рассмотрим дифференциальные формы (д ^ п - 1)

^(С, я) = (-1)р(п-д-1) ((П-^ Е' Е к) *() ¿С[I, к] Л ¿СИ ^ Л ^,

(2пг) к// ^

где ¿я/ = ¿яд1 Л ... Л форма ¿Сполучается из формы вычеркиванием диф-

ференциалов ¿(д штрих у знака суммы означает, что суммирование ведет-

ся по возрастающим мультииндексам I и J. Знаки ст(/, к) и ) определяются так: ст(/, к) ¿я = Л ¿я/ Л к], ст( J) ¿я = ¿я/ Л Положим, что Цр1-1 = Цр1П = 0.

Лемма 2 ([2]). Имеют место формулы

(С, я) = -Цте-^п-д-^, С),

дС ^ (С, я) = (-1)Р+д д* ^,,-1^, я), р, д = 0, 1, . . . , П,

в частности, д^Цр1о = д2Цр1П-1 = 0.

Заметим, что V(С, я) = Цо^С, я).

Лемма 3. Если Б — ограниченная строго псевдовыпуклая область в Сп с гладкой границей и 7 — дифференциальная форма типа (р, д) с коэффициентами класса С 1(Б), то

д* У 7(С) Л ^д-^С, я) = У.р.к У 7(С) Л д*^^(С, я), я € дБ.

Б Б

Доказательство. Пусть 7 имеет вид 7(£) = f (С) ¿С/ Л ¿О. Вычислим сначала

д ( С, - ^ -

«к/ '«> ¡с-Д « Л ¿С"

Б

Для этого рассмотрим

Сд - Ъ - . „ 1 ^ д ^ 1

Тогда

у |(с) ^ л =т-п уf(с) 1 ¡с-^; л =

Е* (е) Е*(е)

I '> ^ «ЛИ- 1-П / ^ ¡с-?п-2 «Л¿с.

дЕ* («) Е* (е)

д I' Сд - ^ -Щ 1 ™»¡с-# «Л « =

= (-1)п+1 у f (С) ¿С Л ¿С0+ у ¿С Л ¿С.

дЕ* (е) Е* (е)

Вместо области В можно рассматривать В' = : |£'|2 — 1ш £п < 0| и, отбрасывая бесконечно малые величины, дифференциальную форму ир д(6£, 0), где ЬС = (61С1,..., 6п-1Сп-1, 6пСп), 6п = 1 (подробнее см. в [6, 7]). Тогда

т /к>

Сд — |С — *12п

¿С Л ¿С = | д*- I /(6С)

6Д 0 *д 7/Та

|ьс — *|2п

¿(6С) Л ¿(6С)

Иш |6|2

Е—^ + о

/

д

д*к . \ В'\Е*(Е)

^ [ / (60 *2п ¿с Л ¿с + ^ / / (60 ¿С Л ¿с

|6С — *1

Е* (Е)

|6С — *1

|6|2 (Ф1(0) + Ф2(0)),

здесь

(

Ф1(0)= 111+о

Е—+ о

^ / /(6С) ¿С Л ¿с

д*к _ \ В'\Е* (Е)

|6С — *1

2 = о

Иш

Е—+ о

В'\Ео(е)

¿С л ¿С:

2 = о

д А 6Д Сд — *д

= ^^ /(.с) ^ — ,р

В'

где Ео(е) = {С € дВ' : |Ф(С,0)| = 2 |Сп| < е} , а

¿С л ¿С,

/

Ф2(0)= 111+о

Е—+ о

^ / /(60 ¿С Л ¿С

д

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

д*к _

\ Е* (Е)

|6С — *|

2 = о

Иш

(—1)"+' // «) ^ *Л ¿с и +Е—ш Д / ^/Р № л « = 0

дЕо(Е) Ео(Е)

е —То 6Д } ' |6С' Е —+о 6Д } дСД 1С|2п

где первое слагаемое равно нулю по лемме 2, а второе слагаемое — в силу абсолютной интегрируемости подынтегральной функции.

Используя определение ир,д-1, получим утверждение леммы для * € В. □

Лемма 4.

и *) и (С, = д^ / и *) Л иод(С, С € дВ, * = С

дВи

(ио1(^,™) — ядро Коппельмана).

Доказательство аналогично доказательству леммы 22.7 в [2], в котором для интеграла рассматривалось главное значение по Коши.

В

В

о

2

о

2

п

о

2

В

Лемма 5. Пусть f € Са(дБ х дБ), тогда

У ¿аН У f (С,^) V(С,*)=У V(С, я) У f (С,^) ¿а(™), я € дБ.

дВс дБ»

дБ» дВс

Доказательство аналогично доказательству леммы 22.4 в [2]. Имеем

/1 (*)= У ! (С,^) V (С, я), V (С,^^ f (С,™) ¿а(™)

дБ» дВс

/2(я) = I V (С, я)

дВс дБ»

Тогда

|/1(я) - ад| <

<

+

Jf (я,™) ¿а(™) У V (С, я) + У ¿а(™) У (f (С,™) - ! (я,™)) V (С, я)

дБ» дБс ПЕа (е) дБ» дБ ПЕ. (е)

дБс ПЕ. (е)

+

У V(С,™) - f(я,™)) ¿а(™) + У V(С,*) У !(я,™) ¿а(™)

дБс ПЕ. (е)

дБ»

дБс ПЕ. (е)

дБ

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно. Так как по условию леммы ! € Са(дБ х дБ),

то

f (я, ¿а(™)

дБ»

< С1, а

(!(С,™) - f(я,™)) ¿а(™)

дБ

< С К - я|а.

Тогда

У а (с,™) -! (я,™)) V (с, я)

дБс ПЕ. (е)

< С У |С - я|а+1-2п ¿а(С),

дБс ПЕ. (е)

У V(С,я) У (!(С,™) - f(я,™)) ¿а(™) < С4 У К -

дБсПЕ. (е) дБ

а / V(С, я) ^ 0 при £ ^ 0.

дБс ПЕ.(е)

Остается оценить

|а+1-2п

/ |С " '|

а+1-2п

дБс ПЕ. (е)

Как показано в [8],

поэтому

дБс ПЕ.(е)

С | Ф(С,я)| < |С - 4

Сб | Ф(с,я)|а+1-2п > |С - я|а+1-2п,

У |С - я|а+1-2п ¿а(С) < С6 У | Ф(С,

|а+1-2п

дБс ПЕ. (е)

дБс ПЕ. (е)

£

Проводя аналогичные рассуждения, как при доказательстве леммы 3 (см. [6, 7]), получим, что вместо дВ^ можно рассматривать дВ£ = |с : |С'|2 — 1ш Сп = 0|, а вместо (е) — область Ео(е) = {С : |Сп| < 2е} . Оценим

I |Сп|а+1-2п ¿а(с).

дВ£ ПЕ0(Е)

Для этого перейдем к сферической системе координат, в которой вместо области интегрирования дВ^ ПЕо(е) будем рассматривать область , а сам интеграл будет иметь следующий вид:

/,, 2п-1

|СпГ+1-2п ¿а(С) = та+1-2п • т2п-2 • Ц 81пк-1 ^к ¿т Л Л ... Л ^2п-1.

V 7-,_о

дВ' ПЕо(Е)

Тогда

п

к=2

£

у |^п|а+1-2п ) ^та-1 ¿т = еа ^ 0 при е ^ +0,

9В' ПЕо(Е) о

У | СпГ+1-2п ¿а(С) ^ 0 при е ^ +0.

дВ ' ПЕ0(е)

Лемма 6. Для функции Ф(*, определенной формулой

Ф(*,ад) = У / (С) |С — и * € дВ, / € С а(дВ) и 0 <^< 2п — 1,

дВ

справедлива оценка |Ф(*, ™)| ^ С |* — для любого е > 0.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Доказательство аналогично доказательству леммы 22.3 в [2], в котором для интеграла рассматривалось главное значение по Коши.

Теорема 4. Пусть /(*, = /о(*, |* — , 0 ^ V < 2п — 1, а /о € Са(дВ х дВ), тогда справедлива формула

У ¿аН У /(С,™) и(С,*)=У и(С,*) / /(С,™) ¿а(^). (1)

дВ„ дВс дВс дВ„

Доказательство аналогично доказательству теоремы 22.5 в [2], в котором для интеграла рассматривалось главное значение по Коши.

2. Основной результат

Теорема 5. Пусть / € Са(дВ х дВ), тогда

У и К*) у / (С,™) и (С,™)=у у / (с,™) и и (с,™) + 1 / (*,*), * € дВ.

дВи дВс дВс дВ„

т.е.

Доказательство. Преобразуем интеграл

VКя) у f(С,™) V(с,™)

дБ» дБс

= I VКя) у !(с,™) -f(™,™)) V(С,™)+ у V-!(я,™)) V(С,™)+

дБ» дБс дБ» дБс

+ I VКя) у !(я,™) - f (я, я)) V(С,™) + f М У VКя) У V(С,

дБ» дБс дБ» дБс

В первых трех слагаемых по теореме 4 можно поменять порядок интегрирования, а

у V м у V (с,™)=4.

дБ» дБс

Поэтому

У VКг) у !(С,V(С,™)= у у (!(С,™) - f(я,я)) V(™,я) V(С,™) + 1 f(я,я).

дБ» дБс дБс дБ»

Рассмотрим отдельно

У у VV(С,™), я € дБ.

дБс дБ»

По определению и лемме 4

У У VV(С,™)= Ип1о У У VV(С,™) =

дБс дБ» дБс\Е.(е) дБ»

Ишо у д^ у Vя) Л ^ 1(С, ™)= Игп^ у J Vя) Л ^(С,™) =

дБс\Е.(е) А. дБсПдЕ.(е) А.

игп^ у у vя) л аде,™).

И

Б» дБсПдЕ.(е)

Так как ядра инвариантны относительно сдвигов и унитарных преобразований, можно считать, что я = 0, и, сделав замену £ ^ ^, ™ ^ ^, получим

Ишо у у V я) л адс,^ 1п+о У У V 0) Л ^(С,™)

Б» д£>сПдЕ.(е) 1 Б» 1 д^ПдЕо(1)

= 1 У V0) Л аде,™) = 2 У У V0) Л аде,™)

П» ТсПдЕо(1) ТсПдЕо(1) с»

(где Пш - касательный конус к Бш в точке я = 0, а Т^ - касательная плоскость к дБ^ в точке я = 0).

Но интеграл

У и0) л иод(с, ад)

с и

состоит из слагаемых вида

[ (Cj — ^) — ^ (Ск — ^к) ,

-,—Г75-тт-^- Л ¿ад,

У |ад|2" |С — ад|2"

си

которые равны нулю. □

Список литературы

[1] Л.А.Айзенберг, А.П.Южаков, Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе, Новосибирск, Наука, 1979.

[2] А.М.Кытманов, Интеграл Бохнера—Мартинелли и его приложения, Новосибирск, Наука, 1992.

[3] Г.М.Хенкин, Метод интегральных представлений в комплексном анализе, Современные проблемы математики. Фундаментальные направления (Итоги науки и техники), 7(1985), 23-124.

[4] W.Alt, Singulare integrale mit gemischten homogenitaten auf mannigrfaltigkeiten und anwendungen in der funktionentheorie, Math. Zeit., 137 (1974), №3, 227-256.

[5] N.Kerzman, E.M.Stein, The Szego kernel in terms of Cauchy-Fantappie kernels, Duke Math. J., 45(1978), №3, 197-224.

[6] А.С.Кацунова, О нахождении главных значений интеграла Бохнера-Мартинелли в строго псевдовыпуклых областях, Сиб. эл. матем. изв., 7(2010), 132-139.

[7] М.Билз, Ч.Феффермен, Р.Гроссман, Строго псевдовыпуклые области в Cn, М., Мир, 1987.

[8] А.М.Кытманов, С.Г.Мысливец, О главном значении по Коши особого интеграла Хенкина-Рамиреза в строго псевдовыпуклых областях пространства Cn, Сиб. матем. журн., 46(2005), №3, 625-633.

On the Formula of Change of Integration Order for the Singular Bochner—Martinelli Integral in Strictly Pseudoconvex Domains

Anastasiya S. Katsunova

It is obtained, the Poincare-Bertrand formula for Bochner-Martinelli integral in strictly pseudoconvex domains.

Keywords: Bochner-Martinelli integral, principal value of integral, strictly pseudoconvex domains.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.