Об интегралах по двумерным компактным комплексным торическим многообразиям Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 515.171.6

Об интегралах по двумерным компактным комплексным торическим многообразиям

Ольга С. Ульверт*

Институт математики, Сибирский федеральный университет, Свободный, 79, Красноярск, 660041,

Россия

Получена 18.05.2010, окончательный вариант 25.06.2010, принята к печати 10.07.2010

В статье доказывается, что всякий интеграл от гладкой (2, 2)-формы по двумерному компактному комплексному торическому многообразию X (содержащему комплексный тор Т2) равен интегралу от голоморфной (2, 0)-формы по вещественному тору Т2 С Т2.

Ключевые слова: дифференциальная форма, торическое многообразие, когомологии Дольбо, кого-мологии Чеха.

Введение

Рассматриваются интегралы вида

X

где X — компактное комплексное аналитическое многообразие, а ш — дифференциальная (п, п)-форма.

В книге Р.Ботта и Л.В.Ту [1] приводится универсальный метод понижения кратности интегрирования для интегралов по циклам на многообразиях. Этот метод основан на гомологической технике Майера-Виеториса и учитывает связи между когомологиями де Рама и Чеха, т.е. связь между дифференциальной геометрией форм на многообразии и комбинаторикой покрытий многообразия.

В настоящей работе указанный метод адаптируется к интегралам по комплексным аналитическим многообразиям. А именно: решается задача о сведении 2п-мерного интеграла к сумме п-мерных интегралов от голоморфных форм. При этом вместо когомологий де Рама рассматриваются когомологии Дольбо и используется техника И-резольвент Э.Глисона (Иеавоп) [2] (см. также определение 3 в разделе 1). Доказывается

Теорема 2. Пусть X — компактное комплексное аналитическое многообразие размерности п и И = {иа}аЕА — ацикличное относительно оператора д покрытие X, причем для 2п-цикла X существует И-резольвента с последним членом Тогда для любой (п,п)-формы ш

где 5-кограничный оператор Чеха, определенный формулой (3).

* [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

Детально рассматривается случай, когда X — компактное двумерное торическое многообразие. Для компактных торических многообразий существует полиэдральное разбиение на единичные полидиски (теорема 3). С использованием такого разбиения, строится И-резольвента двумерного торического многообразия, и, как следствие теоремы 2, получается следующий результат.

Теорема 4. Пусть X — компактное комплексное торическое многообразие размерности 2. Тогда для всякой (2, 2)-формы ш на X можно естественным образом указать дифференциальную (2,0)-форму ф = ф(г 1, г2Л ¿г2, голоморфную в окрестности единичного остова Т = {\г1\ = 1, \г21 = 1} С Т2 С X такую, что

J ш = (2пг)2с_/,

X

где с-1 — коэффициент при мономе г-1 г-1 разложения Лорана функции ф в окрестности вещественного тора Т.

Здесь Т2 = (С\{0})2 — так называемый комплексный тор.

В разделе 1 приводятся некоторые понятия, связанные с покрытиями многообразия и го-мологиями. Теорема 2 доказывается в разделе 2. В разделе 3 приводятся известные сведения о торических многообразиях, в частности, результат А.К.Циха о полиэдральном разбиении таких многообразий на единичные полидиски. Основной результат об интегралах по двумерным комплексным торическим многообразиям (теорема 4) доказывается в разделе 4. Примеры вычисления интегралов по Р2 и Р1 х Р1 приводятся в разделах 5 и 6 соответственно.

1. Понятие И-резольвенты и лемма Глисона

Здесь мы приведем некоторые сведения о дифференциальных формах и цепях на многообразиях, следуя статье [2]. В этой статье рассматриваются формы, градуированные по степеням и организующие комплекс де Рама. Мы градуируем формы по бистепеням и, соответственно, рассматриваем оператор Дольбо д.

Пусть И = {иа}аеА — открытое покрытие компактного комплексного многообразия X размерности п (А — конечное упорядоченное множество индексов). Положим

и(ао, аь ..., ар) := Пао П Па1 П ... П Пар.

Через П"'я(и(а0, а1,..., ар)) обозначим пространство Сто-дифференциальных форм бисте-пени (п, в) на пересечении и (ао, а1,..., ар).

Определение 1. И-коцепью кратности р и бистепени (п, в) назовем альтернированную функцию ш на Ар+1 со значениями

ш(а о, а1,.. ., ар) € (и (ао, а1,... ,ар))

для всех наборов (а0, а1,. .., ар) € Ар+1.

Через Ср(И, ) обозначим пространство всех И-коцепей кратностир и бистепени (п, в). Внешнее дифференцирование, определенное на каждом (и(а0, а1,..., ар)), индуцирует линейное отображение

а : Ср(И ^ ср(И, П"'я+1).

Напомним, что на комплексном многообразии оператор дифференцирования а расщепляется в сумму двух операторов

а = д + д.

Так как мы рассматриваем только формы максимальной размерности по голоморфным составляющим, то действие оператора ! совпадает с действием оператора

д : Ср(И, Пп'8) ^ Ср(И, Пп'8+1).

Определим оператор 6 : Ср(И, ^ Ср+1 (И, по формуле

р+ 1

(6ш)(а0 ..., ар+1) = ^(-1)гш(ао, ... а . .., ар+1), (3)

¿=о

где ш £ Ср(И, Оператор 6 называется кограничным оператором Чеха.

Определение 2. И-цепью на многообразии X кратности р и размерности д называется альтернированная функция 7 из множества индексов Лр+1 в пространство сингулярных цепей на X 'размерности д, которая не обращается в ноль лишь на конечном числе точек из Лр+1 и удовлетворяет для всех индексов а0, а1,... ,ар условию

яирр7(ао, а1,.. ., ар) С и(ао, а1,. .., ар).

Определим спаривание И-цепей и И-коцепей. Если £ — дифференцируемая сингулярная цепь размерности р и у - р-форма, определенная на носителе £, тогда через у ■ £ обозначим интеграл /у. í

Для И-коцепи в кратности р и бистепени (п, в) и И-цепи 7 кратности р и размерности п+в определим

в ■ 7 ^^ в(ао, а.1, .. ., ар) ■ ^(ао, а.1, ..., ар), где сумма (которая фактически конечна) берется по всем элементам (ао, а1,..., ар) £ Лр+1.

Определение 3. Пусть £ — сингулярный цикл на X размерности г. Его И-резольвентой называется последовательность £о,£1,... ,£г такая, что:

1. £р — И-цепь кратности р размерности г — р;

2. £ = £ £о(а);

аеЛ

3. д£р(ао,а1,...,ар)=^2 £р+1(@, ао, а1,. .. ,ар).

вел

Определение 4. Сингулярная цепь £ £ Ср(X) называется И-тонкой, если она предста-вима в виде линейной комбинации сингулярных симплексов на X, в которой носитель каждого симплекса лежит в некотором элементе и (а) покрытия И.

Теорема 1([2]). Сингулярный цикл на X имеет И-резольвенту тогда и только тогда, когда он И-тонкий.

Лемма 2 ([2]). Пусть в — это И-коцепь кратности д ^ 1 и бистепени (п,г — д). Предположим, что она д-замкнута (дв(а) = 0 для любого а £ Л9+1) и 6-точна (существует И-коцепь у кратности д — 1 такая, что 6у = в). Тогда, если £о,£1,... ,£г — И-резольвента сингулярного г-цикла £, то

в ■ £ч = ду ■ £,_1. (4)

2. Общая теорема об интегралах по компактным комплексным многообразиям

Теорема 2. Пусть X — компактное комплексное аналитическое многообразие размерности п и И = {иа}аЕА — ацикличное относительно оператора д покрытие X, причем для 2п-цикла X существует И-резольвента с последним членом Сп. Тогда для любой (п,п)-формы ш

/ ш = £ / (¿5-1)" ш(а). (5)

X «е^1 5п(«)

Доказательство. Пусть Со, С1,... ,Сп — компоненты И-резольвенты для X. Из условия 2 определения И-резольвенты имеем

J ш = ш • Со.

X

Обозначим

--1 (--14 9-1 (--14 9

= д (Зд I ш, в9 = ( 5д I ш, q = 1,... ,п. Очевидно, что = в9 и Зв9 = 0. Для всех ао, а1 € А выполняется

(дв1) (ао,а1) = ^ЗЗд (ао, а1) = (Зш)(ао,а1) = ш(а1) — ш(ао) = 0,

так как ш(ао), ш(а1) — сужения формы ш на элементы покрытия и (ао), и (а1). По лемме 2 получаем

д^1 • Со = ш • Со = Зд ш • £1 = в1 • £1. Далее действуем по индукции. Предположим, что выполняется равенство

д<£п-1 • Сп-2 = в п— 1 • Сп-1.

Тогда для всех а € Ап+1 имеем

(двп)(а) = (ЪЗд-11 (Зд-1^П 1 ш^ (а) = ^ (зд-1^П 1 ш^ (а) = (Звп- 1)(а) = 0.

Таким образом, вновь выполнены условия леммы 2, поэтому

-1^ п

— ( —1\ п д<Рп • Сп-1 = вп • Сп = (Зд ) ш • Сп.

3. Понятие торического многообразия и его разбиение на полидиски

Торическое многообразие связывается с коническим полиэдром (веером) К = {ст!^} (см. например [3], [4]). Здесь каждый элемент а^ — это 3-мерный конус в пространстве Мп*, натянутый на конечную совокупность целочисленных векторов. При этом грань каждого конуса из К также содержится в К, пересечение любых двух конусов из К является

гранью каждого из них. Веер К называется симплициальным, если все его конусы являются симплициальными (то есть порождаются частью базиса пространства М"*). Мы будем рассматривать лишь полные полиэдры, для которых объединение входящих в него конусов есть все пространство М"* (условие полноты полиэдра К обеспечивает компактность торического многообразия, которое будет построено по К).

Пусть {а? — совокупность всех векторов из Z"*, участвующих в определении конусов из К. В силу симплициальности каждый п-мерный конус из К имеет вид

а ] = = а(ар1 ,...,а3п),

где 7 = ... ,]„) — поднабор из {1,..., N}, причем матрица

С] = (а?1,..., а?п)

из вектор-столбцов а31,..., а?п £ Z"* унимодулярная (только в этом случае вектор-столбцы образуют базис в Z"*). Каждому симплициальному конусу а] ставится в соответствие гомеоморфизм

у : Т" ^ Т" по формуле х = у? (у) = уС], (6)

где Т" — тор (совокупность векторов с п ненулевыми координатами), вложенный в п -мерное евклидово пространство переменных у] = у = (у1,..., уп), а Т" = (С\{0})" — стандартный комплексный тор переменных х = (х1,..., хи). В терминах координат а? гомеоморфизм (6) задается следующим мономиальным преобразованием

Хк = у1 к . ..уик , к = 1,. .. ,п.

Торическое многообразие X = XX получается добавлением (приклеиванием) к тору Т" пространств С" с помощью гомеоморфизмов у]. А именно: X — это факторпространство Ы ] С" / ~ дизъюнктного объединения экземпляров С" евклидова пространства по отношению эквивалентности

у] ^ у1, если у1 = у-1 о у](у]).

При этом предполагается, что у-1 о у ] продолжено по непрерывности Т" в некоторые точки пространства С".

Основное утверждение о факторпространстве X состоит в том, что оно имеет структуру компактного аналитического многообразия. Переменные у] = у = (у1,... ,у„) служат локальными координатами в координатной окрестности и , являющейся множеством классов эквивалентности точек из С". Таким образом, функции перехода от координат у в и к координатам у1 в и[ имеют вид мономиального преобразования (см. [5])

у1 = (у] )С<С-1. (7)

Для торических многообразий верна следующая теорема А.К.Циха, доказанная им в рамках спецкурса.

Теорема 3. Всякое гладкое компактное торическое многообразие допускает конечное полиэдральное разбиение на замкнутые полидиски (единичных радиусов в подходящих координатах).

4. Вычисление интегралов по компактным комплексным торическим многообразиям размерности два

Пусть теперь X — компактное комплексное торическое многообразие размерности 2. Покажем, что теорема 3 позволяет построить И-резольвенту £о, £1, £2 многообразия X.

Если К = {ао,а1,... ,ам} веер, связанный с многообразием X, то, пронумеровав все двумерные конуса а^, 3 = 1,..., N по часовой стрелке начиная с произвольного, тем самым соответствующим образом упорядочим единичные бидиски Но,Ъ,1,... , дающие разбиение X. В локальных координатах каждый бидиск записывается следующим образом:

Нк = {ук € Сп : |ук | < 1, |ук | < 1} , к = 0,1,...,^

и в силу (7) все бидиски пересекаются по вещественному тору, который является остовом каждого из бидисков:

T = {yk G Cn : | yk | = 1, |y2k | = 1} , k = 0,1,...,N.

Таким образом, в переменных log |xi|, log |x21 разбиение многообразия схематично можно представить, как показано на рис.1, где через l0, l1,... ,lN обозначены грани бидисков.

Рис. 1

Выберем покрытие И = {ио,и1,... } многообразия X так, чтобы каждый бидиск целиком лежал в единственном элементе покрытия, т.е.

ик = {|укI < 1+ е, |У2 I < 1+ е} ,

где е > 0, к = 0,1,... Многообразие X ориентируемо, его ориентацию можно задать порядком следования координат в одной из карт.

Например, в карте Суо переменных уо = Т1}гв1, у° = Т2в®02 зададим ориентацию (г1,г2,в1,в2). Пусть грани = {| = 1, |у°| < 1} и 1о = {|у°| < 1, |у°| = 1} бидиска Но (рис. 2) имеют ориентацию соответственно (Т2, в1, в2) и (Т1, в1, в2) так, что граница

dho = 1n — lo.

Аналогично можно показать, что для других бидисков

dhk = lk-i - lk, k = 1,.. .,N.

1о Т

-

1у0 I

Рис. 2

Положим £о(к) = Нк, к = 0,1,... ,М, где бидиски берутся с ориентацией, индуцированной ориентацией многообразия X. Условие 2 из определения И-резольвенты при этом очевидно выполняется.

Далее положим

&(к,я = о, |к - л > 1,

£1 (к, к +1) = 1к, 0 < к < N - 1, (8)

£1 (М, 0) = 1Н.

Определим компоненту £2. Пусть ориентация тора Т совпадает с ориентацией этого тора как границы цепи £1(0,1) = 1о. Положим

£2(2к, 2к + 1, 2к + 2)= Т, 0 < 2к < N - 2;

£2 (ко, М, 0)= Т, 1 <ко <М - 1; (9)

£2(1,3, к) = 0, в остальных случаях,

где ко — фиксированный номер. Нетрудно показать, что граничные условия 3 из определения И-резольвенты будут выполнены.

Теперь, зная правило построения И-резольвенты произвольного двумерного торического многообразия, мы с помощью теоремы 2 можем доказать следующую теорему.

Теорема 4. Пусть X — компактное коплексное торическое многообразие 'размерности 2. Тогда для всякой (2, 2)-формы ш на X можно естественным образом указать дифференциальную (2, 0)-форму ф = ф(г1, z2)dz1 Л ¿г2, голоморфную в окрестности единичного остова Т = = 1, ^2| = 1} С Т2 С X такую, что

J ш = (2пг]2е-1,

X

где 0-1 — коэффициент при мономе z1 1 разложения Лорана функции ф в окрестности вещественного тора Т.

Доказательство. Применяя последовательно композицию операторов 5 и д 1 и учиты-

вая (8) и (9), получим

X т

(ш = I ^ (бд ш(2к, 2к + 1, 2к + 2)+ I (бд ^ ш(ко^, 0) =

^ ^ -2 Т

/( X (бд-1)2 ш(2к, 2к +1, 2к + 2)+ (6Э-1У ш(ко^, 0)1 = Т -2 У

ф(х1, г2)!г1 Л ¿Х2,

где функция ф голоморфна в окрестности тора Т. Раскладывая функцию ф в ряд Лорана и интегрируя почленно, получим

" С-1

/ш = —— 3,г1 Л 3,г2 = (2п1)2с-1. ] ^1X2 X т

5. Пример вычисления объема Р2 в метрике Фубини-Штуди

Вычислим объем проективного пространства Р2 в метрике Фубини-Штуди (см. [6, с. 138]), для вычисления будем использовать схему доказательства теоремы 2 и теорему 4.

Разбиение многообразия Р2 состоит из бидисков ко, Ъ,1, Ъ,2, лежащих в соответствующих элементах покрытия И = {ио, и1, и2}. В карте ио — С переменных (х1,х2) бидиски записываются следующим образом:

ко = {х : |Х11 < 1, |Х21 < 1}, к1 = {х : |х11 < |х21, |х21 > 1}, к2 = {х : |х11 > 1, |х21 < |х11},

и на схеме Рейнхарта могут быть изображены, как показано на рис. 3. Форма Фубини-Штуди в аффинных координатах (х1, Х2) С С — ио имеет вид

1 !х1 Л ¿¿1 Л !х2 Л ¿Х2 ш = —--

|Х2|

2 (1 + Х1Х1 + Х2Х2)

^ /1

1о

■

12 У

1

Рис. 3

|Х11

1

Обозначим через ш(0), ш(1), ш(2) сужение формы ш на и(0), и(1), и(2) соответственно и будем рассматривать ее как И-коцепь. Эта форма имеет первообразную в аффинной координатной окрестности и о — С :

1(^2^1 - г^2) Л Л dz2

д ш(0) = -----^-.

V ' 4 (1 + ZlZl + Z2,г2)2

С помощью замены Zl = —1, Z2 = — найдем первообразную в другой аффинной коор-

«2 —2

динатной окрестности и — СЦ, запишем ее в переменных Zl, Z2 :

-^-1 1 dzl Л dz2 Л dZl

д ш(1) = -

2

4 Z2 (1 + ZlZl + Z2Z2)

Затем, производя замену Zl = —, Z2 = —, найдем первообразную для ш в третьей

«1 -1

аффинной координатной окрестности и2 — С и снова запишем ее в переменных Zl, Z2 :

^-1 1 dzl Л dz2 Л dz2

д ш(2) = --—--.

4 Zl(1 + ZlZl + Z2Z2)2

По определению кограничного оператора Чеха имеем

5д 1ш(г,3) = д 1ш(3) - д 1ш(г),

где г,3 = 0,1, 2, г = 3. Формы 5д 1ш(г,3) имеют первообразные в иц П и^,:

я-Чя-1 /п 1 Zldzl Л dz2 д од ш(0,1) =---

4 Z2(1 + ZlZl + Z2Z2)'

Я-^я-1 /Л 1 Л ^2

д 5д ш(1, 2) = -----г-—,

4 ZlZ2(1 + ZlZl + Z2¿2)'

я-Чя-1 /о п\ 1 Z2dzl Л dz2

д од ш(2, 0) = ---

4 Zl(1 + ZlZl + Z2Z2)'

Применяя повторно оператор Чеха, получим

ш(0,1, 2) = д-15д-1ш(1,2) - д-15д-1ш(0, 2)+ д-15д-1ш(0,1) =

= д-15д-1ш(1, 2)+ д-15д-1ш(2,0) + д-15д-1ш(0,1) = -1 ^ Л ^ .

4 ZlZ2

По теореме 4 окончательно имеем

/1 [' dzl Л dz2 2 ш =-- - = п 2.

4 3 ZlZ2

Р2 | = 1

|*21 = 1

6. Пример вычисления объема Р1 х Р1

Вычислим интеграл

У ш^1) Л ш(z2), (10)

Р1 хР1

% ¿Ь Л А

где ш(Ь) = --- — форма Фубини-Штуди на Р1. Разбиение на единичные бидиски в

2 (1 + |Ь| )

карте можно представить как показано на рис. 4.

ы

1о

Н2

1з Нз

1 |21| Рис. 4

2

1

Найдем первообразные в каждой из карт. Для этого сначала рассмотрим форму Фубини-Штуди в Р1

% <Ь Л ¿Ь ш(*) = о"

2(1 + |Ь|2)2' её первообразная имеет вид

% ыь

эта первообразная имеет особенность на бесконечности (тогда как форма ш глобально определена), поэтому с помощью замены Ь = — найдем первообразную в другой карте и запишем

в

ее через Ь :

% ¿Ь М*) = о:

2 Ь(1 + |Ь|2)'

Теперь заметим, что в качестве первообразной формы 0(21) Л 0(22), например, в карте ио можно взять форму у1(г1) Л 01(22) или 0(21) Л у>1 (22), так как обе эти формы голоморфны в ней. Аналогично для остальных карт.

Для удобства обозначим через ф форму ш(г1) Л ш(г2) и, аналогично предыдущему примеру, под ф(а) будем понимать сужение формы ф на иа, а = 0,1,..., 3. Применяя к ф(а) оператор д , получим

д- 1ф(0) = V1(21) Л 0(22),

д- 1ф(1) = V1(21) Л ш(22),

д- 1ф(2) = V2(21) Л 0(22),

д- 1ф(3) = V2(21) Л 0(22).

Затем, применяя к полученным формам оператор Чеха и повторно оператор д , получим

д-15д-1ф(0,1) =0,

д-15д-1ф(1,2) = (^1) - ^1)) Л ^Ы, д-15д-1ф(2,3) =0,

д-15д-1ф(3,0) = (^1) - ^1)) Л ^2),

д 15д 1ф(1, 3) = (<£>2^1) - <1^1)) Л <1^2) или (<2^1) - <1^1)) Л <2^2), д~ 5д~ ф(0, 2) = (<2^1) - <1^1)) Л <1^2) или (<2 (zl) - <1^1)) Л <2 (z2).

Заметим, что выбор первообразных на пересечениях и П из и ио П и также неоднозначен, однако на окончательный результат он не влияет. Поэтому выберем, например,

д 15д 1ф(1, 3) = (<2^1) - <1^1)) Л <1 (z2), д-15д-1ф(0, 2) = (<2) - <l(zl)) Л <1^2).

Повторно применяя оператор о, получим

гтт-1\2 , / N 1 dzl Л dz2

(бд Ч ф(0,1, 2) = - - ,

V ) 4 ZlZ2

Г5д-1)2 ф(1, 2, 3) = -1 dZiЛ_dz2

V / 4 ZlZ2

ф(2, 3,0) =0,

(од-1)2 ф(0,1, 3) =0.

По теореме 2 имеем

ф = I (5д ф(0,1, 2)+ I (бд ф(1, 2, 3)

«2(о,1,2) «2(1,2,3)

1 /' dzl Л dz2 2

— I - = п ,

4} ZlZ2 т

где по правилу (9) компонента £2 (0,1, 2) = Т, а компонента £2(1, 2, 3) = 0.

Работа поддержана грантом Рособразования «Развитие научного потенциала высшей школы» № 2.1.1/4620.

Список литературы

[1] Р.Ботт, Л.В.Ту, Дифференциальные формы в алгебраической топологии, М., Наука, 1989.

р

1

[2] A.M.Gleason, The Cauchy-Weil theorem, Journal of Mathematics and Mechanics, 12(1963), №3, 429-444.

[3] W.Fulton, Introduction to toric varieties, Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1993.

[4] T.Oda, Convex bodies and algebraic geometry. An introduction to the theory of toric varieties, New York, Springer-Verlag, 1988.

[5] Т.О.Ермолаева, А.К.Цих, Интегрирование рациональных функций по Rn с помощью торических компактификаций и многомерных вычетов, Мат. сб., 187(1988), №9, 45-64.

[6] Б.В.Шабат, Введение в комплексный анализ. Функции нескольких переменных, т. 2, СПб., Лань, 2004.

On the Integrals over Two-dimensional Compact Complex Toric Varieties

Olga S. Ulvert

In this paper, we proof that an integral of smooth (2, 2)-form over two-dimensional compact complex toric

variety X (which contains complex torus T2) is equal to the integral of holomorphic (2, 0)-form over real

torus T2 С T2.

Keywords: differential form, toric variety, Dolbeault cohomology, Cech cohomology.