О вещественных торических многообразиях размерности два Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 515.16, 515.171

О вещественных торических многообразиях размерности два

Оксана В.Знаменская* Алексей В.ЩЩуплев^

Институт математики, Сибирский федеральный университет, Свободный 79, Красноярск, 660041,

Россия

Получена 10.09.2009, окончательный вариант 15.10.2009, принята к печати 10.11.2009 В статье доказывается, что компактное гладкое ориентируемое вещественное двумерное тори-ческое многообразие гомеоморфно тору.

Ключевые слова: вещественные торические многообразия, компактные поверхности.

Торические многообразия являются обобщениями аффинного и проективного пространств. Как известно, среди комплексных торических многообразий существует только одно одномерное компактное гладкое многообразие, а именно сфера Римана CPi. Следовательно, из классических поверхностей только сфера попадает в этот класс. Однако конструкция торических многообразий без изменений переносится на вещественный случай [1], причем полученные многообразия обладают тем же характеризующим свойством — на них существует атлас с мономиальными соотношениями соседства. Тем самым естественно возникает вопрос о возможности интерпретации классических поверхностей в виде вещественных торических многообразий.

В статье доказывается, что любое гладкое компактное ориентируемое двумерное вещественное торическое многообразие гомеоморфно двумерному тору. Таким образом, среди сфер с p ручками только тор может быть наделен структурой вещественного многообразия с мономиальными соотношениями соседства.

1. Конструкция торических многообразий

Каждое n-мерное комплексное торическое многообразие X содержит комплексный тор (C \ {0})n в качестве всюду плотного подмножества. Его дополнение состоит из конечного числа торических гиперповерхностей, в свою очередь являющихся торическими многообразиями. В целом же структура многообразия кодируется веером (рациональным коническим полиэдром) Е в Rn.

В статье рассматриваются только гладкие компактные многообразия, которым соответствуют полные веера, образующие покрытие Rn примитивными симплициальными конусами. Напомним, что конус является симплициальным и примитивным, если все его целочисленные образующие линейно независимы и их множество можно дополнить до базиса целочисленной решетки Zn с Rn (см. [2]).

* e-mail: [email protected] t e-mail: [email protected]

© Siberian Federal University. All rights reserved

В работе [1] конструкция торического многообразия как набора карт с указанием соотношений соседства [2, 3] была перенесена на вещественный случай; при заданном веере Я вещественное торическое многообразие, полученное таким образом, является замыканием множества (К \ {0})п с (С \ {0})п в комплексном торическом многообразии Х^.

Существует, однако, и другой подход к определению торического многообразия, основанный на введении однородных координат [4]. Этот подход обобщает реализацию проективного пространства СРП в виде фактор-пространства:

(С"+1 \{0})/(С \{0}).

Торическое многообразие при этом трактуется как множество мономиальных поверхностей аффинного пространства Сй, проходящих через некоторое объединение координатных плоскостей. А именно, пусть VI,... — одномерные образующие полного симплициального примитивного веера Я с К". Каждой образующей 'VI поставим в соответствие координатную переменную ^ £ С и рассмотрим пространство Сй векторов г = (¿1,...,^). В этом пространстве мы рассматриваем множества

^(Я) = {г £ Сй и = 0 vа £ Я}, где через а обозначен п-мерный конус из Я, и

и (Я) = Сй \ ^ (Я).

Мономиальные поверхности, проходящие через Z(Я), служат орбитами мультипликативного действия некоторой группы О на Сй. Эта группа является подгруппой (С \ {0})й и определена следующим образом:

й

О = {д = (дь...,д,) £ Сй: П= 1 vm £ Z"}.

г=1

В действительности среди равенств

й

Пд^ = 1

г=1

только п независимых, поэтому О изоморфна (С \ {0})й-п.

Комплексное торическое многообразие является фактор-пространством

ХЕ := и(Я)/О.

Конструкция вещественного торического многообразия, ассоциированного с Я, полностью аналогична, за исключением того, что в определениях Z (Я), и (Я) и О поле комплексных чисел заменяется на поле вещественных. Таким образом, поставленная задача состоит в отыскании полного симплициального веера в К2, такого, что соответствующее вещественное торическое многообразие ориентируемо.

Занумеруем минимальные образующие , I = 1,..., одномерных конусов веера Я в К2 против направления обхода часовой стрелки и обозначим через ) конус, порожден-

ный образующими 'I и . Веер в К2, состоящий из конусов, порожденных парами соседних

образующих, автоматически является полным и симплициальным. Он примитивен [3] тогда и только тогда, когда

Д^ := «¿1^2 - «¿2ид = 1, (1)

а соответствующее торическое многообразие будет ориентируемо [1] только в том случае, если для каждой образующей vi = («¿1,^2)

число ^¿| = «¿1 + «¿2 нечетно. (2)

2. Вид веера ориентируемого торического многообразия

Введем следующие вспомогательные векторы в

в1 = (1,0), е2 = (0,1), ез = (-1, 0), е4 = (0, -1),

е5 = (1,1), ее = (-1,1), е7 = (-1, -1), ев = (1, -1) и сопоставим им полуплоскости

Пк = {« е М2 : («, ек) > 0}, к = 1,..., 8.

Лемма 1. Пусть Т — веер в М2, удовлетворяющий условиям (1),(2), и вектор е^ лежит во внутренности конуса а = а(vi,vj) из Т. Тогда выполняется одно из условий: г) а £ Щ;

п) а — координатный квадрант.

Доказательство. Пусть вектор е^ лежит на координатной оси (к = 1, 2, 3, 4). Покажем, что в условиях леммы а £ Щ. Действительно, если а с Щ, то произведения vilvj2 и vi2vjl ненулевые и имеют разные знаки, поэтому модуль определителя Д^- = vilvj2 -«¿2«1 должен быть больше 1. Но это противоречит условию (2).

Рассмотрим теперь случай расположения е^ на биссектрисах координатных квадрантов (к = 5,..., 8). Очевидно, что если а — координатный квадрант, то для него выполняются условия (1) и (2). Кроме того, если а лежит в Щ, то он содержит е^ и, таким образом, удовлетворяет условиям леммы.

Покажем, что если а не является координатным квадрантом, то а £ П. Предположим, что а с Щ. Тогда возможны три варианта расположения образующих «¿, конуса а относительно координатного квадранта /]~, содержащего е^ (рис. 1):

Рис. 1

a) образующие v¿ и Vj лежат в ;

b) координатный квадрант /^ является подмножеством конуса а;

с) одна из образующих конуса а лежит в /^, а вторая — нет.

Последний случай расположения сразу исключается предыдущим рассуждением, поскольку а содержит один из координатных векторов вь, к = 1,..., 4 и лежит в соответствующей ему координатной полуплоскости Щ.

Рассмотрим случаи а) и Ь). Покажем, что если а с Щ, то 1 > 1, что противоречит условию (1). Имеем

Д |

¿1^2 - V¿2Vjl1 = «¿2| - 1.

(3)

Действительно, в случаях а) и Ь) знаки обоих множителей в каждом из произведений «¿11^2 и «¿21^1 одинаковые, поскольку в первом случае образующие лежат в одном квадранте, а во втором — в симметричных относительно начала координат квадрантах. Значит, и сами эти произведения имеют одинаковые знаки, откуда и следует (3).

Отметим, что в условии леммы при 5 ^ к ^ 8 одна из образующих а(v¿,vj) лежит во множестве = {(ж, у) : |ж| > |у|}, а вторая — во множестве В2 = {(ж, у) : |ж| < |у|}. Пусть, например, v¿ € В1, тогда его компоненты можно представить в виде:

КЛ = Р + К2|,

|vj2| = Ч + |vjl|, где р, ч € N.

Подставив последние равенства в | Д¿j |, получим, что

|Д¿j | = РЧ + ^2|Ч + |vjl|p = РЧ + К2|ч + |ид|р> 1. Таким образом, и в этих случаях а С П. □

Лемма 2. Пусть а = а(v¿, Vj), где v¿ = ^¿1, -1), Vj = (vjl, -1), тогда а нельзя подразбить на конусы, удовлетворяющие условиям (1) и (2).

Доказательство. Заметим вначале, что компоненты v¿l и Vjl обязательно четные, поскольку а — конус из веера £, удовлетворяющего условию (2). Пусть v¿l = 2р, Vjl = 2ч, р, Ч €

Рис. 2

Предположим, что а можно подразбить на конусы, каждый из которых удовлетворяет условиям (1) и (2). Вектор (2р +1, -1) лежит в а и не является образующим, следовательно, он лежит и в некотором примитивном конусе а*(v¿*,v*) подразбиения а (см. рис. 2). Это означает, что (2р +1, -1) является линейной комбинацией образующих v* и v*, т.е. найдутся такие а, в € М, что

|а<1 + = 2р +1, \а<2 + ^2 = -1.

v

Поскольку v*2 ^ Vj2 = —1 и v*2 ^ Vj2 = -1, второе равенство системы не может быть выполнено. Следовательно, подразбиения конуса а не существует. □

Унимодулярное преобразование веера £ индуцирует мономиальный изоморфизм соответствующих торических многообразий. Покажем, что любой веер £ с условиями (1) и (2) можно унимодулярным преобразованием привести к вееру канонического вида, то есть содержащему положительный квадрант.

Лемма 3. Существует унимодулярное преобразование A, переводящее фиксированный конус a(vj,Vj) из £ со свойствами (1) и (2) в положительный квадрант и сохраняющее ориентируемость многообразия.

Доказательство. Пусть a(v¿,v¿+i) — произвольный фиксированный конус в £. Преобразование

^Vj+1,2 — Vj+1,1N —Vi2 Vj1

унимодулярно и А«^ = в1, = в2.

Убедимся, что А сохраняет ориентируемость многообразия. Для этого достаточно показать, что модуль суммы координат |«3 | образа «3 = А^3- произвольного вектора € £ имеет ту же четность, что и |«з1. Без ограничения общности предположим, что vi = (2п, 2т + 1) и «¿+1 = (2р + 1, 2ц), где т, п,р, ц € Ъ. Тогда

2? — (2р +1) -(2т + 1) 2п

и образ при отображении А имеет вид

= А • = ( 2(Ц3 — 3 — «¿2

i 3 \2(т>з2 — — «¿1

Четность соответствующих компонент вектора совпадает с четностью компонент «¿1 и

Таким образом, преобразование А переводит данный веер £ в веер канонического вида с сохранением условий (1) и (2). □

Далее без ограничения общности будут рассматриваться веера, приведенные к каноническому виду. Положим «1 = в1, «2 = в2.

Предложение 1. Любой веер £ канонического вида, удовлетворяющий условиям (1) и (2) содержит лишь четыре двумерных конуса с образующими в1, е2, ез, « = (а, —1) либо е1, е2, е4, « = ( — 1, а), где число а — четное (рис. 3).

Доказательство. Очевидно, веер £ не может содержать только три двумерных конуса. Поскольку £ полный, в него обязательно входит конус ^(«¿,«3), содержащий е§. Пусть вектор «з € <г(е8,е1). В силу леммы 1 исключаются все варианты расположения векторов v¿ и «з относительно векторов е^, кроме следующих (рис. 4):

a) конус ^(«¿,«3) совпадает с квадрантом, порожденным векторами е1 и е4;

b) вектор «з = е1 и v¿ лежит во внутренности конуса с образующими ез и е7;

c) вектор v¿ = ез и «3 лежит во внутренности конуса с образующими е8 и е1.

1

1

V

Рис. 3

В случае а) веер Я содержит конусы <г(е1,е2) и <г(е1,«^) с образующей = в4. Ввиду условия (1) на конусы веера заключаем, что «з = (— 1, а), а = (-1,6). Заметим, что конус, порожденный векторами ( — 1, а) и ( — 1,6), не обладает свойством (1), более того, согласно леммам 1 и 2 он не может быть подразбит на конусы, обладающие этим свойством. Следовательно, полуплоскость Пз содержит только одну образующую вида ( — 1, а) и конусы в Я в этом случае порождены векторами ех, е2, е4, V = ( — 1, а), где а = 2&.

В случае Ь) веер Я содержит конусы <г(е1, е2) и ех), = Рассмотрим подразбиение конуса ), который сам не является примитивным и потому не содержится в Я. Согласно лемме 1, примененной к векторам ез и образующие веера Я не лежат в координатном квадранте, порожденном е2 и ез, а по лемме 2 их не будет и в конусе, образованном векторами е^ и ез. Таким образом, Я имеет всего четыре образующие ех, е2, е^ и ез, причем из требования (1) следует, что = (а, —1), а из условия (2) — что а четно.

Рассуждая аналогично, в случае с) получим, что Я также содержит четыре двумерных конуса с образующими ех,е2,ез,« = (а, —1). □

3. Реализация ориентируемых торических поверхностей в виде тора

Здесь мы докажем основной результат, сформулированный в начале статьи. Напомним его формулировку.

Теорема 1. Любое гладкое компактное ориентируемое двумерное вещественное ториче-ское многообразие гомеоморфно двумерному тору.

Доказательство. Заметим, что комплексные торические многообразия, определяемые веерами, удовлетворяющими условиям (1) и (2), согласно предложению 1 являются поверхностями Хирцебруха. Поверхность Хирцебруха представляет собой локально-тривиальное

Рис. 4

расслоение, база и слой которого есть сфера Римана СР1. Вещественная часть такого расслоения гомеоморфна либо тору, либо бутылке Клейна, которая исключается ввиду ее неориентируемости. □

Приведем в заключение элементарное доказательство теоремы, опирающееся на представление торического многообразия в виде фактор-пространства.

Согласно предложению 1, веер гладкого компактного ориентируемого вещественного многообразия X имеет лишь четыре образующих е1,в2,ез,« = (а, —1) либо е1,е2,в4,« = ( —1, а), причем а четно. Торические многообразия, соответствующие этим веерам, изоморфны, поскольку веер одного вида преобразуется в веер другого поворотом.

Торическое многообразие Ха, соответствующее вееру с образующими в1, в2, ез, V = (а, —1), можно определить как фактор М4\^ по действию группы О, где Z — объединение двух плоскостей ¿1 = ¿з = 0 и ¿2 = ¿4 = 0 в М4, а д = (м-1, М2, Мз, М4) € О, если м1/мзм—° = М2/М4 = 1. Обозначая А1 = мз и А2 = М4, заметим, что О действует на (¿1, ¿2,¿з,¿4) по правилу:

(А1А2-^1, А2*2, А^з, А2*4), (А1, А2) € (М \ {0})2. (4)

Покажем, что множество

е = {¿1 + ¿2 = 1, ¿2 + ¿4 = 1, ¿з > о, ¿4 > о},

которое представляет собой декартово произведение двух полуокружностей (рис. 5), является экраном, т.е. что его пересекают все орбиты действия группы О.

Действительно, орбита (4) точки (¿1, ¿2, ¿з, ¿4) пересекает Е, если система уравнений и неравенств

(А^-»^)2 + (А^з)2 = 1, А1 ¿з > о, ^¿2)2 + (А2^4)2 = 1, А2^4 > о (5)

разрешима относительно вещественных А1 и А2. Из второго уравнения и последующей подстановки в первое уравнение получаем

А1 = ±у А--2»1 + ¿з, А2 = ±У . (6)

Поскольку (¿1, ¿з) и (¿2, ¿4) лежат в М2, т.е. не обращаются в нуль одновременно, мы видим, что разрешимость указанной системы всегда имеется. Ввиду ограничений А^з ^ 0, А2^4 ^ 0 выбор знаков перед квадратными корнями однозначно определен, если ¿з = 0, ¿4 = 0. Это означает, что если орбита пересекает Е во внутренней точке, то эта точка единственная.

Исследуем теперь вопрос о том, как орбиты пересекают экран Е в граничных точках дЕ. Зафиксируем точку Р = (¿1,¿2,¿з,¿4) € дЕ. Для ее координат имеем ¿2 + ¿з = 1, ¿2 + ¿4 = 1. Поэтому на основании (6) можно заключить, что орбита точки Р пересекает экран при А1 = ±1, А2 = ±1, т.е. не более чем в четырех точках; при этом значения А1 = А2 = 1 соответствуют самой точке Р. Но поскольку Р € дЕ, хотя бы одна из координат ¿з, ¿4 равна нулю.

Рис. 5 Рис. 6

Рассмотрим два случая

a) Пусть ¿3 = 0, ¿4 = 0. В этом случае Р - точка вида (±1, ¿2,0, ¿4). Тогда из неравенства Л2£4 ^ 0 в (5) следует, что решения (6) составляют значения А1 = ±1, Л2 = 1. Это означает, что орбита точки Р пересекает экран Е еще в одной (отличной от Р) точке

Р' = (А1А-а • (±1), Л2*2, А1 • 0, Л2Í4) = (±1, ¿2, 0, ¿4),

отличающейся от Р лишь знаком в первой координате.

b) Пусть теперь ¿3 = 0, ¿4 = 0. Рассмотрим, как производится склейка точек множества в этом случае. Так как из неравенства Л^з ^ 0 в (5) следует, что решения (6) составляют значения Л1 = 1, Л2 = ±1, то среди точек дЕ орбите точки Р = (¿1, ±1, ¿з, 0) принадлежат лишь

Р' = (Л^-^^ • (±1),Л^з,Л2 • 0) = ((±1)-%, ±Мз,0) = (¿1, ±1, ¿3, 0).

Рис. 7 Рис. 8

Таким образом, в гомеоморфном прямоугольнику экране E отождествляются точки противоположных сторон (рис. 5, 6) так, что в результате получается тор, изображенный на рис. 7. Отметим, что в случае b) при нечетном a точки граничных окружностей E отождествляются таким образом, что получается бутылка Клейна (рис. 8).

Работа выполнена при содействии гранта поддержки ведущих научных школ РФ (НШ - 2427.2008.1), грантом Рособразования "Развитие научного потенциала высшей школы " №2.1.1/4620 и гранта СФУ.

Список литературы

[1] Т.О.Ермолаева, А.К.Цих, Интегрирование рациональных функций по Rn с помощью торических компактификаций и многомерных вычетов, Матем. сб., 187(1996), №9, 45-64.

[2] W.Fulton, Introduction to toric varieties, Princeton Univ. Press, 1993.

[3] Хованский А.Г. Многогранники Ньютона (разрешение особенностей), Итоги науки и техники. Современные проблемы математики (фундаментальные направления), М., ВИНИТИ, 22(1985), 207-239.

[4] Cox D.A., The homogeneous coordinate ring of a toric variety, J. Algebraic Geom., 4(1995), 17-50.

On Real Toric Varieties of Dimension Two

Oksana V.Znamenskaya Alexey V.Schuplev

We prove that a compact smooth orientable real two-dimensional toric variety is homeomorphic to a torus.

Keywords: real toric varieties, compact surfaces.