CC BY
25
Е.М. Горбатенко. Принцип перенесения Котельникова-Штуди и торическая геометрия..
Е.М. Горбатенко
ПРИНЦИП ПЕРЕНЕСЕНИЯ КОТЕЛЬНИКОВА-ШТУДИ И ТОРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НАД АЛГЕБРОЙ ДУАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Томский государственный университет
УДК 551.594.21
Введение
Геометрия над алгебрами возникла как обобщение евклидовой геометрии (в ней с каждой декартовой системой координат связывается правило, согласно которому каждой точке ставится в соответствие упорядоченный набор из трёх действительных чисел) в связи с попытками интерпретировать линейчатую геометрию (геометрию прямых в евклидовом пространстве) как точечную геометрию нового пространства, в котором точкам сопоставляются упорядоченные наборы элементов из некоторой двумерной алгебры - алгебры дуальных чисел. Такой подход был предложен независимо А.П. Котельниковым в 1895 г. и Э. Штуди в 1900-м и нашел применение в механике [1]. Он был назван «принципом перенесения» в том смысле, что евклидова геометрия точечного пространства «переносится» в линейчатое пространство.
При переходе к более общей и-мерной цент-роаффинной геометрии мы задаём набор из п координатных гиперплоскостей, проходящих через центр О центроаффинного пространства А", и трактуем пространство прямых G(l,A")bA" как D-торическое многообразие, см. прим. 2.
Линейчатая геометрия
Рассмотрим центроаффинное вещественное пространство А" с центром в точке О и через G(l, А") обозначим многообразие всех прямых в А". Подмногообразие Р(/4") всех прямых, проходящих через центр изоморфно проективному пространству Р"1. Пусть I - некоторая прямая и N+ -произвольная точка на этой прямой. Обозначим через - I прямую с отмеченной точкой N~, лежащую в плоскости ON+ и параллельную /, причём
ON = -ON*. Прямая -1 определена однозначно и не зависит от выбора точки N+. Пусть Z2= (о, i}.
Мы полагаем 0x1 = 1, \ х! = -1.
Ясно, что на <7(1, А") корректно определено действие группы Ъг, причём касательное многообразие ТР(А") является множеством неподвижных точек этого действия.
Покажем, что многообразие G(l, А") изоморфно касательному многообразию ТР(л").
Зададим в А" аффинную систему координат (х°,.... Xя"1) с центром в точке О. Пространство отложенных от точки векторов обозначим через Р. Рассмотрим гиперповерхность S: (х0)2 +...+(х"~]У=1.
Тогда на прямой /0, проходящей через точку О, будут выделены ещё две точки =
Полагаем е„ = ОМ; . Тогда -е0=ОЩ ■ Для того чтобы задать касательный вектор в точке /0 проективного пространства Р(Л"), достаточно поставить в соответствие какому-либо направляющему вектору на прямой /0 параллельную прямую 1с. А". Таким образом, паре векторов ±е0е /0 сопоставляется пара параллельных прямых 1±сА". При этом прямые расположены в одной плоскости и для всякой точки М е /_ имеется
точка М* € и*, причём ом ='-ОМ\ Из изоморфизма векторных пространств Т^ЩА") и Нот{1о, Р/4) и определения фактор-простран-ства Р/4 следует, что набор (±ео,/о) определяет один единственный касательный вектор в точке /0 многообразия Р(А"). Так как /_=-/+, отсюда следует наше утверждение. Более того, проективное пространство ЩА") является секущим подмногообразием, соответствующим нулевому сечению касательного расслоения р:ТР(Л")->Р(у4").
Торы над алгеброй дуальных чисел
Как известно [1], £> алгебра дуальных чисел является двумерным векторным пространством над полем И действительных чисел с базисом {1, г} и правилом умножения (л, +«,) (*2 ад +*2'|).
Подмножество Т± = {г(1+е9)/*, 8ей, г * 0} из £> является группой обратимых элементов алгебры
2?. Его подгруппа Г± = {/-(1+еб)г, 6 еИ, г > 0} в дальнейшем будет называться одномерным дуальным тором.
Полагаем для всякого элемента геО, г=х+е/€11, г2 = гг. Если ге Т, пола-
гаем х = Кег, ~ Ясно, что 2,г2 = г, ,г2,
агег,22 =аг§г,+аг§г2,2|Л2 еГ. Пусть 7п~Тк...хТ (п раз).
Операция умножения в торе 7* производится покоординатно. Группу 7" назовём и-мерным дуальным тором.
Для дальнейшего будет полезен формализм, заимствованный из алгебры С комплексных чисел. Полагаем = 1 + ев, в е К. Тогда для всякого г б Т± его дуальная степень определяется следующими условиями:
г' =|г|г(1+е?аг§2), / ей, Яег>0
Вестник ТГПУ. 2000. Выпуск 2 (18). Серия: ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ (СПЕЦВЫПУСК)
г" = (11ег)"(1 + саа^г), аеЪ,
=г'(1 + е-сагеК, Яег>0;
г"+ет =2"(1 + ет1пг), дег, Лег^О-
Эта операция обладает всеми обычными свойствами степени.
Легко видеть, что для л*т-матрицы дуальных
чисел
Л = (а,/+еГу-) г = 1,...,л; (1)
где ач - целые числа, отображение ФА7"
является гомоморфизмом абелевых групп Ли. Верно и обратное утверждение:
Теорема 1. Всякий алгебраический гомоморфизм Ф дуальных торов Ф:Т"^>Т* имеет вид ФА для некоторой матрицы вида (1).
Доказательство. Обозначим через Ф:Т->Т следующий гомоморфизм групп
Ф/Д^)=/?ГДФ(1, 1, 1,..., 1))
Справедлива следующая
Г¥у! *М U/> йлпгит! n.QlJQ nUTIHrPrVMM ГП»*П»/ГЛП„ J*bJnjYii*. Ju«V/lАrlЛ X/ ' UllUill.Ii Iii 1VV1\UII> 4
физм групп Ф^-^Гимеет вид
где а, b, t - любые вещественные числа. Если же ф продолжается на множество всех обратимых элементов алгебры D, тогда а является целым. Из этой леммы легко следует теорема.
Конусы и веер
Определение. Назовём D - выпуклым множеством в ГУ всякое множество MED", удовлетворяющее условию:
Для любых х,у&М, z-ix+ztf е М, где jz.j+jz2| = 1. Множество будем называть строго выпуклым, если в предыдущем условии дополнительно предполагается, что |z,| = Rez,, \z2\ = Rez2. Отметим, что arg(z,x,) = argz, + argx,, arg(z2x,) = argz2 + argx, ; это приводит k ослабленному условию выпуклости в s-направлении. В самом деле,
( • ^ + r2 (l + ei2) ( ° 1
X/ + £ X/ yi+zyi
V У ч /
1 +.Е
Г2У1
nxi
\\
1+ .....t2+——f,
+r2y, nxi + r^i
Множество будем называть 1)-коничееким, если для любого геД для которого
|г| = Кег выполняется гхеМ.
Пусть Еи..., Ек~ набор В-линейно независимых векторов из ГУ. Множество (Еь..., Ек)+ = = +.. .+ХкЕкШк{ >0,..., Яелд, >о} будем называть конусом с образующими. Конус будем называть
целочисленным, если Ке£,, ..., ЯеЕк е Ъп с И" с £>". Конус назовём симплициальным, если его образующие линейно независимы и могут быть дополнены до базиса вД".В этом случае число к называется его размерностью. Вещественной частью конуса будем называть множество ЯеС = {леф е с}. Конус называется вещественным, если
ЯеГ, =Е1,...,КсЕк =Е
Как и в торической геометрии над С [2, 3] набор симплициальных целочисленных конусов 1={ст.} назовём веером, если
ч..
1) .....Ек€!=>•'£,,.....Е,
2) ст,-, а! е I => с, п сту- е I,
3) и, Кест,- =Н\
Веер, все конусы которого вещественные, будем называть вещественным веером. Веер Яе(£):= ={Яосг/, а, еЕ} будем называть вещественной частью веера 2.
Замечание. Если условие 2 ослабить до 2бис ст,-, ст, е I => Ке(ст,- па,-)= Ясст* для некоторого
ак е I, тогда говорим о неголономном веере.
Из веера следующим стандартным
способом [2] строится дифференцируемое многообразие: для любых I = {ст,} размерности п (существование таких а следует из конечности I и условия 3) определяем матрицу перехода от базиса
Еи...,Е„, где ст = Ех,...,Ек +,кбазису Ёи...,Ёп,
где
Полагаем х^ - (J о;' - = i 1де отношение эквива-
dim с-п
лентности ха «ух имеет вид
хст = у^ := (>А< X... X X... X у^ )
и рассматриваются только те пары, для которых Re yTj * 0, как только Re а„, (i, j) < 0. Из построения следует, что множество Xv снабженное фактор-топологией является хаусдорфовым топологическим пространством и наделяется структурой дифференцируемого многообразия и, как показывает более тщательный анализ, -аналитическим многообразием [1].
Теорема 2. Если веер 2 вещественный, тогда многообразие Х1 является касательным расслоением над гладким вещественным торическим многообразием Х^^.
Пример 1. Пусть (е,,...,ея) - базис R" и е0 = =-(«,+... н-е^*. Рассмотрим следующий набор п-мерных конусов.
СТ0
ст,- = е0
■■>еп/+, ■ • > ei-I ! >
■■{е0, е2,.....
'п-if.
Н.Р. Щербаков. Об одном частном классе плоскостных поверхностей..
Он порождает веер Х(Р"), а соответствующие матрицы, задающие функции перехода имеют вид
(А,о]% 0=1 »' * 4,о(г'. ,
г = 1, ..., и •
Явный вид функций перехода
> У
,г0к
показывает, что Х^зЯ*".
Пример 2. Координатные гиперпространства в А" задают набор гиперплоскостей в Р(Л"). Координатные гиперпространства Г( с: А" = о, («= 0,..., л -1) позволяют определить действие тора на Р(А") и действие тора т"'1 на 0(1, А").
В первом случае мы просто полагаем
Во втором случае достаточно задать действие на точках (М0,..., Мп1) пересечения прямой I с координатными гиперплоскостями Г, (1=0,1,..,, п-1).
Мы полагаем для всякого (/°(i+st°) ..., /n4(i+et""!))6 г, (/°(l + ex°),..., ín4(l+et"4))(M0>..., Mn_x) = (N0, •••• ^.-i) где jV0 = (г1,..., ¡"'])м0,
Ш1 + eM0N¡ =(z'Q.....z'„_,), ¿ = 1, ...,и-1,
z^AmMAM^ÍMo))*, z[ =(í1+eíít,)(x:1(Mí)+8(x1(Mí)-x,(M0)|s ...,
zlx = (í" + « V lxn~] (M¡)+ e(x"'1 (M¡ (m0 )|.
Этими условиями точки (N0,.,,, Nn }) определены однозначно.
Теорема 3. Каноническое отображение
A")lZ2 sTp(A") является гомоморфизмом 2>-торических многообразий.
Замечание. Эта теорема показывает, что имеет смысл категория ¿-торических орбифолдов [3]. Фактор-пространство G(l, A")lZN, N>2 приводит к взвешенному проективному пространству (орбифолду) и касательному многообразию над ним [4,5].
Литература
1. Вишневский В.В., Широков А.П., Шурыгин В.В. Пространства над алгебрами. Казань: Изд-во Казан, ун-та. 1985. 264 с.
2. Ehlers Fritz. Eine Klasse komplexer Mannigfaltigkeiten und die Autlosung einiger Isolierter Singularitäten // Math. Ann. 218.127-156. (1975).
3. Oda Tadao. Convex Bodies and Algebraic Geometry. Berlin: Springer-Verlag, 1988. 212 p.
4. Lerman E., Tolman S. Hamiltonian torus actions on symplectic orbifolds and toric varieties, Transaction of the A.M.S. 349 № 10 . (1997), 4201-4205.
5. Prato Elisa. Simple Non-Rational Convex Polytopes via Symplectic Geometry, arXiv: math. SG/9904179, 15 p.
Н.Р. Щербаков
ОБ ОДНОМ ЧАСТНОМ КЛАССЕ ПЛОСКОСТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ В МНОГОМЕРНОМ ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Томский государственный университет
УДК 551.594.21
Плоскостной поверхностью (регулюсом) в многомерном пространстве принято называть а-параметрическое семейство Ь (а) ¿/-мерных плоскостей, для которого с1+а меньше размерности пространства. Как точечное многообразие - это поверхность Х(с1,а) (ХеЬ), (й+а)-мерная касательная плоскость ТХ(й,а) которой в регулярной точке X содержит плоскостную образующую Ь. Если при смещении внутри Ь касательная плоскость не меняется, то поверхность Х(4 а) называется тангенциально вырожденной (аналог торсов 3-мерного пространства). В [1] было введено понятие плоскостной поверхности типа а. Для нее касательные плоскости при смещении внутри Ь пересекаются по одной и той же «ассоциированной» плоскости з I. Простей-
ший пример такой поверхности - 3-параметри-ческое семейство 2-мерных плоскостей в шестимерном проективном пространстве Р6. Касательные 5-плоскости ТХ(2, 3) этой гиперповерхности во всех точках образующей Ь пересекаются по ассоциированной плоскости /*+2 = /*; таким образом, мы имеем плоскостную поверхность типа 2.
Присоединим к семейству ЦЗ) подвижной репер {Л,}, (/, К-0,..., 6) так, чтобы вершины Ах 0= 0,1,2) лежали в плоскости Ь, вершины Ат (г=3,6) - в ассоциированной плоскости 1*4, а вершины Ая (я=4, 5) - в касательном подпространстве ТЩ) семейства [2], совпадающем с Р6. Деривационные формулы репера имеют вид ¿А,
