Алгебраическое ориентирование множеств. Iv. Теорема Стокса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 510.22 ББК 22.126 Ш 65

Шишкин Андрей Борисович

Доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математики, информатики и методики преподавания филиала Кубанского государственного университета, Славянск-на-Кубани, email: [email protected]

Алгебраическое ориентирование множеств. IV. Теорема Стокса

(Рецензирована)

Аннотация. Развивается алгебраический подход к ориентированию и вводятся понятия частично сим-

плексированного множества и измеримого частично симплексированного множества в Rn. Приведены основы теории интегрирования по проекции на измеримых частично симплексированных множествах, обобщающей теорию интегрирования на ориентированных многообразиях. Доказанные теоремы связывают операцию интегрирования по проекции с операцией дифференцирования по проекции. Теоремы распространяют известную теорему Стокса на измеримые частично симплексированные множества. Новая форма записи формулы Стокса не опирается на исчисление дифференциальных форм, не требует гладкости многообразия и может применяться к неориентируемым многообразиям.

Ключевые слова: измеримое частично симплексированное множество, мера по проекции, интеграл по проекции, производная по проекции, теорема Стокса.

Shishkin Andrey Borisovich

Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Professor of Department of Mathematics, Informatics and Techniques of Their Teaching, Branch of Kuban State University, Slavyansk-on-Kuban, e-mail: [email protected]

Algebraic orientation of sets (ordering sets). IV. Stokes' theorem

Abstract. In this paper we develop the algebraic approach to orientation and introduce concepts of partially

simplexized set and measurable partially simplexized set in Rn. We present bases of the theory of integration on a projection on measurable partially simplexized sets, generalizing the theory of integration on the oriented manyfolds. The proved theorems connect operation of integration on a projection with operation of differentiation on a projection. The proved theorems extend the known theorem of Stokes to measurable partially simplexized sets. The new form of record of Stokes' formula does not rely on calculus of differential forms, does not demand smoothness of manyfold and can be applied to nonorientable manyfolds.

Keywords: measurable partially simplexized set, a measure for a projection, integral with respect to a projection, a derivative on a projection, Stokes' theorem.

1. Введение

Настоящая статья завершает задуманный автором цикл работ по вопросам многомерного интегрирования, связанным с новым подходом к ориентированию многообразий. В работах [1, 2] развивается алгебраический подход к ориентированию произвольных множеств и вводится понятие частично симплексированного множества. Частично симплексированное множество размерности n - это произвольное множество, на котором задано специальное n + 1-местное отношение. При этом понятие частично симплексированного множества размерности 1 совпадает с понятием частично упорядоченного множества. Ориентация гладкого многообразия сводится к его частичному симплексированию. Другими словами, ориентированное многообразие - это пример частично симплексированного множества. Работа [3] включает основы теории меры по проекции на частично симплексированных подмножествах Rn . Она содержит определение измеримого по проекции частично сим-плексированного множества в терминах границы симплексирования. Граница симплекси-рования - это, с одной стороны, развитие понятия границы множества, а с другой стороны, - это развитие понятия края ориентированного многообразия. В этой же работе рассмотрены свойства меры по проекции, изложена техника согласования частичных симплексиро-ваний множества и его границы по проекции. Статья [4] включает основы теории интеграла по проекции на частично симплексированных подмножествах Rn . Она содержит определение интеграла по проекции на измеримом частично симплексированном множестве ограниченной действительной функции.

Рассмотрен вопрос преемственности интеграла по проекции с классическим интегралом по координатам. Изучены свойства интеграла по проекции.

Упрощенный подход к определению интеграла по проекции рассмотрен ранее в работе [5]. Он охватывает ситуации, в которых измеримое по проекции частично симплекси-рованное множество имеет лишь конечную совокупность компонент - конечный атлас по проекции.

Настоящая работа содержит развитие основной теоремы, интегрального исчисления, связывающей операцию интегрирования (по проекции) с операцией дифференцирования (по проекции). Доказанная здесь теорема (теорема 1) распространяет известную теорему Стокса на измеримые частично симплексированные множества в К". Этот результат может рассматриваться как иллюстрация к использованию на практике нового подхода к ориентированию многообразий, но имеет и самостоятельное значение. Например, векторная форма записи формулы Стокса (теоремы 4 и 5) основана не на исчислении дифференциальных форм [6], а на понятии производной по проекции и не требует гладкости многообразия. Как оказалось, гладкость многообразия нужна была только для ориентирования многообразия, В вопросах взаимодействия операций интегрирования и дифференцирования она не играет существенной роли. Имея более общий подход к ориентированию многообразий (частичное симплексирование), можно заменить требование гладкости многообразия более слабым условием - измеримости по проекции. Замечательным является и то, что теорема 1 и ее векторные варианты (теоремы 4 и 5) применимы и к неориентируемым многообразиям,

2. Формулировка основной теоремы

Пусть (11.1, ■ ■ ■, К«) - упорядоченное семейство отдельных экземпляров пространства 11, в которых переменные обозначены х1,...,хп соответственно; К" - декартово произведение 11.1 х ,,, х 11„; х := (^1,,,,, хп) - переменная в пространстве К". Пусть к £ Z и 0 < к < п. Выберем из упорядоченного семейства (Кх,,,,, Н„) произвольное подсемейство (Н,^,..., Н^), содержащее к элементов. Считаем, что < ■ ■ ■ < ]к- Каждый такой выбор определяет декартово произведение Н,^ := Н,^ х ,,, х Н^-к и проекцию

7Г: Н," —>• Ш.1}\х ^ х,],

где := (¿1,¿к) и '•= (хп, ■ ■ ■, х]к) ~ переменная в пространстве И1}. Выберем г е {1,,,,, к} и рассмотрим проекцию

77/ : II" ->• х ->• .г,.

где / := (л,..., а хг := (хк,..., хк_г, хк+1 ,..., а^) - переменная в про-

странстве Н,^-1. Замечаем, что проекция 7Г/ совпадает с композицией о проекции ^ и проекции

т;', : К1;, ->• Ы^Г11 х3 ->• хг,

то есть диаграмма

т> к—1 Х\.т

является коммутативной. Если сужение проекции тг/ : х —.г/ на множество А С R" является взаимно однозначным, то сужение проекции тт./ : х —xj на множество А является взаимно однозначным и сужение проекции iXj : xj xj на множество А : = тт./ (. 1) тоже является взаимно однозначным.

Пусть I < к < п ъ Е - произвольное частично симплексированное множество в R" размерности к, L := djE - граница частично симплексированного множества Е по проекции 7Tj, intj Е := Ё \ L - внутренность частично симплексированного множества Е по проекции ixj. По предложению 2 из [3] замыкание Е множества Е совпадает с объединением L U int j Е. По предложению 3 из [3]

оо

intjE= |J Ет,

т=1

где V.,,, - компоненты множества Е по проекции ixj. Границу djEm частично симплексированного множества Ет С Е по проекции 7Xj обозначим символом Lm. По предложению 4 из [3]

оо

^ J j-Jy-jri, ■ m=1

Считаем, что множество L является частично симплексированным множеством размерности к — 1, Компоненты частично симплексированного множества Lm С L по проекции 7Г/ обозначаем символом Lm^m>, а простые компоненты этого множества обозначаем L'mm,. Объединение простых компонент частично симплексированного множества Lm по проекции 7Х[ обозначаем символом L'm, а объединение

оо оо оо оо

U U L'm,m> = [J L'm С [J Lm С L

т= 1 т' = 1 т= 1 т=1

всех простых компонент частично симплексированных множеств Lm С L по проекции 7ХГ обозначаем символом L'.

Предположим, что множество Е измеримо по проекции ixj, а множество L измеримо по проекции txj. Пусть hf индикатор частично симплексированного множества Е по проекции txj, hj - индикатор частично симплексированного множества L по проекции 717, hi - функция согласования отношения частичного симплексирования на множестве L с отношением частичного симплексирования на множестве Е по проекции 7Х¡. По предложению 5 из [3] функция \hj\ является локально ограниченной на L. Предположим, что она 7Г/-интегрируема на L. Из последнего предположения вытекает, что

^2\fj,r\(L'm) < / \hj(x)\ dxj < +оо.

т=1

Пусть на замыкании Е множества Е определена ограниченная действительная функция /•. Тогда на множестве Ет := тт./ (/•."„,) С Ц1^ определена действительная функция /•'„, := Е о у;"1, где ц>т - -./-карча множества Е, (р^1 - обратная функция. Выберем точку х (Е miJE. При некотором т имеет место включение х £ Ет. Если функция Ет дифференцируема в точке х,] := (рт(х) по переменной х^, то говорим, что функция Е ■тх^-дифферепцируема в точке х. При этом, если Ет - положительно ориентированная компонента Е, то число

дРт{х3)

Fj(xj):--

dxj{

а если Ет - отрицательно ориентированная компонента, то число —Fj(xj) называем ■jTj-производпой функции F в точке х и обозначаем Fj(x). В точках х е djE функция Г< доопределяется нулем. В силу этого определения для любого .г е im, Е

Fj{ х) = hjFj(xj), hjFj(x) = Fj{ Xj).

Дальнейшие усилия посвятим доказательству формулы, связывающей операцию интегрирования по проекции 7Tj с операцией дифференцирования по проекции iTj.

Теорема 1 . Если функция F непрерывна на замыкании множества int j Е и ii j-дифференцируема в любой точке из intjE, а функция Fj ограничена и кj-интегрируема на Е, то функция hjF ix ¡-интегрируема на L и справедлива формула

J Fj{x)dxj = — J hr(x)F(x)dx¡.

Е L

3. Частный случай

Предположим, что Е С RСужение проекции 7Tj на подпространство Rj С R" является тождественным отображением, а сужение проекции т на пространство Rj совпадает с проекцией В рассматриваемом случае тг,-граница L множества Е совпадает с границей дЕ этого множества в пространстве Rj, а 7Tj — int jE совпадает с внутренностью inl /•." множества Е в пространстве Rj. Пусть на замыкании Ё множества Е определена действительная функция F. Предполагаем, что она непрерывна на замыкании множества int Е и дифференцируема по переменной хк в любой точке из int Е. Символом /•' обозначим действительную функцию, которая совпадает с частной производной функции F по переменной хк в точках множества int Е и равна нулю во всех остальных точках из R".

Теорема 2 . Если функция F' ttj-интегрируема на Е, то функция hjF иг-инте-грируема на L и справедлива формула

/ F'(x)dxj = — / hi(x)F(x)dxi. Je JL

Доказательство. В рассматриваемом случае измеримость множества L по проекции 7\'I равносильна измеримости этого множества по проекции iij. Обозначим ev объединение всех //-ячеек ранга и, лежащих во внутренности множества Е С Rj. Любой максимальный тг'-до.мен d С ev ограничен «снизу» и «сверху» тг'-до.менн.мп d,dQe„ соответственно, 7Tj-домен d называем сопряженным 7Tj-домену d и наоборот. Максимальный тг'-до.мен d С ev называем правильным, если <1. <1 С oj; . Пусть /•,, - объединение всех правильных тг'-.юменог, <1 С (/•', объединение всех максимальных /т'-до.меног, d С еи, которые не являются правильными,

uv := ^J(dUd), u'v := ^J(dUcf),

dCr v d,\Zr'v

Любой тг'-до.мен d С />// ограничивает «снизу» один из максимальных тг'-.юменог, множества ev и лежит в объединении uv U u'v, а любой тг'-до.мен d С п^ ограничивает «сверху» один из максимальных т^-доменов множества- и тоже лежит в объединении

- 25 -

ии и и'и. Следовательно, о^' С и„и и'и. При этом, если 7г5-домен й С о^' лежит в ии, то сопряженный ему -'-домен тоже лежит 1; и,,, а если -'-домен d С о^ лежит в //',. то сопряженный ему домен лежит в . Пусть

Pi

V

pl' П uv, p'v := pl' П u'v, nv := nf П uv, n'v := nf П u'v

Во -первых, последовательность {г,. | исчерпывает множество Е. Действительно, е„ = rv U r'v и vk(ev) = vk(rv) + vk(r'v). При этом 7Tj(r'v) С 7Tj(s^) и

vk(ri) < Hvk^{ir'jiri)) < Hvk^(7г5(4)) < Hvfat),

где

H := supX)2/e£; \xj{ — y^ | - «высота» множества E по проекции тт. Значит,

lim vk(r'v) = 0

lim vk(rv) = lim vk(eu) = p,k(mi E) = p,k(E).

V—J-OO V—J-OO

Это и означает, что последовательность {ги}™=1 исчерпывает множество Е.

Во-вторых, пара последовательностей {Pv}^^, исчерпывает множество V по

проекции 7гj. Действительно, р^ = pv U p'v, п^ = n„ U n'v и Vj(p^ ) = Vj(pv) + Vj{p'v), Vj{nv ) = Vj{nv) + vj(nD- /Tj-домен d С p'v U n'v может лежать в s^, а может лежать и в oj;. Но в последнем случае сопряженный ему 7гj-домен обязательно лежит в , Отсюда вытекает, что Vj(p'v) < 2Vj{s^) и Vj(n'v) < 2Vj(s^). Следовательно,

lim Vj{p'v) = lim Vj{n'v) = 0

V—J-00 V—J-00

lim Vj(pv) = lim Vj(pv ), lim Vj(nv) = lim Vj(nv ),

V—J-00 V—J-00 V—J-00 V—J-00

В-третьих, пусть -'-домен d С rv состоит из ячеек Ss(t) С d, где

s(^ := (sj1,..., Sji_1, Sj{ + t, sji+1,..., Sjk), I G {0,,,,, h — 1},

Понятно, что отмеченные точки 2s^ и натуральное число h зависят от выбора -/-домена d С rv. По теореме о среднем для любого t G {0, ...,h — 1} имеет место равенство F(s(-t+1"1) — = 2где

^ ) := (sjj,.. ■, Sji_1, Sji+1,,,,, Sjk), х^} G (sj{ + t, Sj{ + t + 1),

Значит,

h-l

t=0

2-lJkF(s(t+l)^ ~ _ F(sih)) - F(s(0)),

2 ^

t=0

S'u ■■= X) = E - X 2-«k-VF(8W) =

dCrj, dCrj, dCrj,

- 26 -

и

и

= Y^ 2-"Vt-1)M¿ - Yl T^'^Mi + A.s;',.

djZr v d(Z?v

где M¿ = inax(/ , /•'. M¿ e max,, F и

AS'v ]= Edc?v з-«*"1 - щ - Edc?v s"**"1 W0)) - Л4).

В силу равномерной непрерывности функции F на замыкании множества int Е для любого г > 0 при достаточно больших v получим

\AS'V\ < 2: V = 2evk{rv) < 2е^к(Е).

z—'CíCjV

Значит,

lim A.s;', = 0.

s-oo

Наконец, за счет взаимного уничтожения части слагаемых, соответствующих к1,-доменам d С p'v U верхняя и нижняя грани которых лежат во внутренности множества Е, получаем

£2~vik~1)M1- Y ^{k-1)Má = Y ^^Fitd) - E i-^ntd),

djZr v djZr v díZnv dCjpv

где и e /. Г <1 выбраны из условия F(£d) = maxLndF. Так как пара {pv}?=v Ы7= i исчерпывает множество V по проекции ttj, то

lim = — / F(x)dx¡

L'

Индикатор Ъ^' частично симплексированного множества V по проекции 7Г/ совпадает с функцией К[ [3, п, 3], которая определена по правилу: если х принадлежит Ет-поло-жптельно ориентированной ^/-компоненте множества Ьт, то К[(х) = 1, если х принадлежит /-."„(-очрпшпелыю ориентированной ^/-компоненте множества Ьт, то к^х) = — 1, если же х £ К" \ Ь', то к^х) = 0, В силу соотношения (7) из [3] на множестве V выполняется равенство (х) = (ж)/г/(ж). Значит,

^{Р) := £ =

Из последних соотношений вытекает, что

Е(х)(1х1 = / Ъ,1(х)Е(х)(1х1.

V

С другой стороны, последовательность исчерпывает множество Е и по пред-

положению функция /•' ограничена и интегрируема на Е, значит,

lim >'', = / F'(x)dxj.

V—j-OO J

E

- 27-

Это означает, что справедлива заявленная в формулировке теоремы формула. Теорема доказана, ■

При к = 1 7Г/-интеграл

L

равен

X hriom - X hr(0F(0-

Значит, формула из теоремы 3 принимает вид

F'(x)dxj = J2 hr(0F(0 - J2 hr(0F(0-

Если E = [a, b] С Ru отношение еимплекеирования (порядка) на отрезке [а, Ь] индуцировано из R, то L'+ = {о}, U = {Ь} и 1>1 (х) = 1 для любого х G V := L'+ Г U . В этом случае получаем известную формулу Ньютона-Лейбница

F'(x)dx = F(b) - F (а).

M

4. Общий случай

Пусть E Ç R" и на замыкании множества Е определена ограниченная действительная функция /•. Считаем, что функция F непрерывна на замыкании множества int j E и тг^-дифференцируема в любой точке из int j Е. Кроме того, считаем, что функция Fj ограничена. При этих условиях справедлива следующая теорема.

Теорема 3 . Если функция Fj и j =интегрируема на Е, то функция hjF ■Ki-инте-грируема на L и справедлива формула

FJ{x)dxJ = ^ I Ь1{х)Р{х)йх1.

Е Ь

Доказательство. Сужение проекции на ^/-компоненту I.,„_,„' множества !.,„ является взаимно однозначным. Оно индуцирует на I.,„.,„> := "./(/,,„.,„') отношение частичного еимплекеирования Хт,т' размерности к — 1 из множества Ьт^т>, Если Ьт^т> -/•."„,-положительно ориентированная ^/-компонента множества Ьт или особенная 7Г/-компонента множества Ьт, то символом х'тт1 обозначаем отношение Хт,т', а если ¿то,™' ~~ /•.,„-"'1 рпшпелыю орнентнрованаая ^/-компонента множества Ьт, то символом х'т обозначаем обратное отношение х^т, ■ Объединение

^¿то ' U ^

то,то'

1

является отношением частичного еимплекеирования на множестве Ьт := ^ГJ(Lm) размерности к — 1, Считаем, что множество Ьт частично симплексировано отношением

Xim- Отношение Xira индуцирует отношение \ ¡, частичного симплексирования на части L'm множества !.,„. составленного из простых компонент. Легко убедиться, что

L'm = 7гj (L'm), int j Lm = тт./(inl, L,,,). int j L'm = ttj(int/ L'm),

djLm = TXj{djLm), djL'm = TTj(djL'm),

где L'm - часть множества Lm, составленная из простых компонент; int j Lm - тг'-внутренность множества Lm; intj L'm - тг'-киу! peiiiioci ь множества L'm; djLm - 1Xj-гранпца множества Lm-, djL'm - -^-граница множества L'm. При этом

|/4|(intLm) = |/ij|(int/Lm), \fj,j\(int L'm) = |/i/|(int/ L'm),

\fj,Jj\(dLm) = \^r\(drLm), \ßJj\(dL'm) = \ßr\(drL'm),

где l/ijl - вариация меры по проекции Hj. Значит, измеримость множеств Lm и L'm по проекции 7г/ влечет измеримость множеств Lm и L'm по проекции 1Tj. Символом hm обозначим функцию согласования hL'mhLm отношения Xim с отношением хётп 110 проекции 7гj. Здесь hL'm - тг'-нн. шка тр множества L'rn, а hLm - тг'-нн. шка тр множества

L'm-

Точка х Е !.,„ принадлежит int 1 Lm тогда и только тогда, когда точка xj := ~j(.r) принадлежит intjLTO, При этом, если х Е int 1 Lm, то hfm(x) = hLm(xj), а если х Е int 1 L'm, то hfm(x) = h^'m(xj). Значит, для любого х Е int 1 Lm имеем

hf(x) = rf'm(x)rfm(x) = hL™(xj)hLm(xj) = hm(xj),

где /г™ - функция согласования отношения хьт с отношением хеП1 по проекции 717, Из непрерывности функции F вытекает, что F Е Zf(L'm), функция /?'/' /•' принадлежит X/(LTO), а функция hmF принадлежит X/(LTO), В силу очевидных равенств

dQoi'm

dCoim

где Cd e Lm П d, d := ttj(d), Cd := тгДбг) E LmDd, имеем

intLimF(x)dxr = j hm(xj)Fm(xj)dxr.

Lm

По теореме 3

J hm(xj)Fm(xj)dxr = - J Fj(xj)dxj,

значит,

/ F(x)dxi = — / Fj(x,j)dxj. Jvm JEm

Из определения функций Fj и Fj вытекает, что

dCofm

- 29 -

Е =■■ S^(Fj),

dQPvm

значит,

J F{x)dxj = — J F$(x)dxj.

f I TP

-bTO Cjm

С другой стороны, по предложению 7 из [4]

Е

ОО Л СЮ Л

FIJ(x)dxj = у. / Fj(x)dxj = — / F(x)dxj.

m=lw m=lT,

При этом

Е Е з-^лябопео

m=l

Е 2—E hf(U)hfm(U)h?(U)

dCoji

TO=1

E = s^(hrF).

dCofi

Пусть : > 0. Выберем натуральное N из условия

77l=jV+l

ЗД/

где М := supE |F|, Тогда

СЮ СЮ Л сю

Е Е у Е 1/*жщ<

77l=iV+l

m=N+l

m=N+l

л

S^hrF)-^ / F(x)dxj

I f /

771= 1 m

СЮ 771=1

N

771 = 1

- J F{x)dxj

Li

S„m{F)~ j F\x)dxl

L'rn

2e

+ "тг < v >vq.

<

Значит,

f f

У / F{x)dxj = / hj(x)F{x)dxj

m=lr, > ■,,,

Теорема доказана, ■

Если функция не интегрируема на Ь по проекции 7Г/, то при выполнении условий теоремы 3 можно гарантировать лишь выполнение равенства

сю „

Fj{x)dxj = - Е / hf(x)F(x)dxj.

771=1 ^

Действительно, из очевидных равенств S^(hfF) = £

dfZov

J2 2-^hL-(id)hm(id)Fm(id) =: Sln (hmF)

dCo„

вытекает, что

По теореме 2

hf(x)F(x)dxI = j hm{xj)Fm{xj)dxi.

Lm L.„

hf{x)F\x)dxI

значит, по предложению 7 из [4]

Fj(xj)dxj

Fj(x)dxj,

hjn

hjn

E

CO „ oo „

Fj(x)dxj = Fj{x)dxj = - E /

m=ljp m=lT

-b-m.

hf(x)F(x)dxr.

5. Векторная ситуация

Выберем натуральные кип. Считаем, что к < п. Символом 3 обозначим семейство векторов ,7 := удовлетворяющих условиям: ,,,, ^ е {1, ...,п} и < ... <

Для любого ./ е Л символом1./ обозначим семейство векторов I := ,,,, ...,]к)

где г (Е {1,..., к}. Пусть для любых ./ Л и / I/ частично ориентированное множество Е принадлежит Е,/, а его 7Г ./-граница I../ принадлежит Е/, Символом /?././ обозначаем функцию согласования отношения хь} с отношением хе по проекции 7г/, Считаем, что для любого I (г I./ функция интегрируема на Ь,} по проекции 7Г/, Символом YtJ обозначаем векторную функцию (/г^г)га символом Ь обозначаем векторную функцию (]!_/):= ((hJJ)IelJ)JeJ. Рассмотрим векторную функцию FJ := (¿/)/е1>/, определенную на замыкании Ё множества Е. Говорим, что векторная функция К/ 7Г/-дифференцируема на пн./ /Л если для любого / (г I/ функция .Р/ ^-дифференцируема на Ш^Е. Говорим, что векторная функция Ь^,/ := (/г^/Р1/)/^ тт^интегрируема на множестве 1.,/. если для любого I (г I/ функция /?././1 ) ^/-интегрируема на множестве Символом

обозначаем сумму

Lj

Е J hjj(x)Fj(x)dxj.

Векторную функцию Г./ := (//)/. | (. определенную на замыкании Ё множества Е, называем ^-производной векторной функции Г; на множестве ¡.п., /•.'. если // := для любого / I/. Говорим, что векторная функция ^ 7Г/-интегрируема на множестве Е, если для любого / I./ функция // 7г ./-интегрируема на множестве Е. Символом

Е

обозначаем сумму

Y j fi(x)dxj. Из теоремы 3 вытекает следующая теорема.

Теорема 4 . Если векторная функция Fj непрерывна на замыкании множества intj Е, 7гj-дифференцируема на intjE, а ее ttj-производная fj ограничена и Tij-инте-гри,руем,а на Е, то функция hjFj ttj-интегрируема на Lj и справедлива формула

fj(x)dxj = — J hj(x)Fj(x)dxj.

E Lj

Рассмотрим векторную функцию

F := (Fj)jej := ((/\/./)/.. i, )./,.j.

определенную на замыкании E множества E. Говорим, что векторная функция F непрерывна на замыкании сем,еи,ства intj Е := {intj Е : J е J}, если для любого J е J векторная функция Fj непрерывна на замыкании множества intj Е. Говорим, что векторная функция F -п-дифференцируема на семействе intj Е, если для любого J е J векторная функция Fj ^./-дифференцируема на множестве intj Е. Говорим, что векторная функция

hF := (hjF

тг - интегрируема на L, если для любого Je J векторная функция hjFj ^-интегрируема на множестве Lj. Символом

J h(x)F(x)dx

L

обозначаем сумму

Tr- Т v

hjWFjWdxj := £ £ / h^F^dxr. Je3£j ./, J ieij[

Векторную функцию

f := (f/W := и1,г)геь),1ез,

определенную на замыкании Е множества Е, называем п-производной векторной функции F на семействе int Е, если для любого J G J векторная функция Г./ совпадает с •л^-производной функции Fj на множестве intj Е. Говорим, что векторная функция f 7Г-интегрируема на множестве Е, если для любого J е J векторная функция fj 7Tj-интегрируема на множестве Е. Символом

f(x)dx

Е

обозначаем сумму

Y j ij{x)dx,j := £ £ j fj,i{x)dxj.

J t J J t J ./11J

Из теоремы 4 вытекает следующая теорема,

- 32 -

Теорема 5. Если векторная функция F непрерывна на замыкании семейства int jE, ж-дифференцируема на семействе int J E, а ее ж-производная f ограничена и ж-интегрируема на E, то векторная функция hF ж -интегрируема на L и справедлива формула

J f(х)dx = -J h(x)F(x)dx .

E L

Последнюю формулу можно рассматривать как форму записи известной формулы Стокса, распространяющуюся на измеримые частично ориентированные множества в Rn. Важно отметить, что эта форма записи не опирается на формальное исчисление дифференциальных форм [6].

Примечания:

1. Шишкин А.Б. Алгебраическое ориентирование множеств. I. Симплексирование // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2016. Вып. 3 (186). C. 28-38. URL: http://vestnik.adygnet.ru

2. Шишкин А.Б. Ориентирование множеств // Труды ФОРА. 2011. № 16. С. 27-31. URL: http ://fora.adygnet.ru

3. Шишкин А.Б. Алгебраическое ориентирование множеств. II. Мера по проекции // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2016. Вып. 4 (191). C. 28-42. URL: http://vestnik.adygnet.ru

4. Шишкин А.Б. Алгебраическое ориентирование множеств. III. Интеграл по проекции // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2017. Вып. 2 (201). C. 11-24. URL: http://vestnik.adygnet.ru

5. Шишкин А.Б. Интегрирование на ориентированном множестве по проекции // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2012. Вып. 1 (98). C. 11-19. URL: http://vestnik.adygnet.ru

6. Cartan E. La notion de différentielle dans l'analyse générale // Annales Scientifiques de l'É.N.S., 1889. P. 239-332.

References:

1. Shishkin A.B. Algebraic orientation of sets (ordering sets). I. Simplexing // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2016. Iss. 3 (186). P. 28-38. URL: http://vestnik.adygnet.ru

2. Shishkin A.B. Orientation of sets (ordering sets) // Works of Physical Society of Adyghea Republic.

2011. No. 16. P. 27-31. URL: http://fora.adygnet.ru

3. Shishkin A.B. Algebraic orientation of sets (ordering sets). II. Measure for a projection // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2016. Iss. 4 (191). P. 28-41. URL: http://vestnik.adygnet.ru

4. Shishkin A.B. Algebraic orientation of sets (ordering sets). III. Integral with respect to a projection // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2017. Iss. 2 (201). P. 11-24. URL: http://vestnik.adygnet.ru

5. Shishkin A.B. Integration on the focused set on a projection // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences.

2012. Iss. 1 (98). P. 11-19. URL: http://vestnik.adygnet.ru

6. Cartan E. La notion de différentielle dans l'analyse générale // Annales Scientifiques de l'É.N.S., 1889. P. 239-332.