Алгебраическое ориентирование множеств. II. Мера по проекции Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.5

ББК 22.126

Ш 65

Шишкин А.Б.

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики, информатики и методики преподавания филиала Кубанского государственного университета, Славянск-на-Кубани, e-mail: shishkin-home@mail.ru

Алгебраическое ориентирование множеств. II. Мера по проекции

(Рецензирована)

Аннотация. Описаны основы теории меры по проекции на частично симплексированных подмножествах Rn. Изучены сопутствующие понятия (граница по проекции, компоненты по проекции, атлас по проекции). Изложена техника согласования симплексирований множества и его границы по проекции.

Ключевые слова: измеримое частично симплексированное множество, мера по проекции, граница по проекции, атлас по проекции, индикатор по проекции, функция согласования.

Shishkin A.B.

Doctor of Physics and Mathematics, Professor of Department of Mathematics, Informatics and Techniques of

Teaching, Branch of Kuban State University, Slavyansk-on-Kuban, e-mail: shishkin-home@mail.ru

Algebraic orientation of sets (ordering sets). II. Measure for a projection

Abstract. Bases of the measure-theory for a projection on partially simplexized subsets Rn are described. The accompanying concepts are studied (border on a projection, components on a projection, the atlas on a projection). Technology of coordination of simplexized set and its borders on a projection is explained.

Keywords: measurable partially simplexized set, a measure for a projection, a border on a projection, the atlas on a projection, the indicator on a projection, coordination function.

1. Введение

В первой статье цикла [1] развивается алгебраический подход к ориентированию множеств [2] и вводится понятие частично симплексированного множества размерности n, обобщающее понятие ориентированного многообразия размерности n . Новый подход к ориентированию множеств обладает значительной универсальностью. Он позволяет обходиться без дополнительного топологического структурирования и непосредственно ориентировать (симплексировать) произвольные частично упорядоченные множества. C понятием ориентированного многообразия тесно связано понятие ориентированной меры (ориентированного n -мерного объема), лежащее в основе понятия интеграла по ориентированному многообразию [3]. Продолжение теории интегрирования на частично симплексированные множества требует предварительного развития теории меры на таких множествах (теории меры по проекции).

Статья содержит основы теории меры по проекции на частично симплексированных подмножествах Rn . Понятие измеримого по проекции частично симплексированного множества является развитием понятия измеримого множества по Жордану. Отметим, что возможно продолжение меры по проекции, например, аналогичное известному лебеговому продолжению меры, существенно расширяющее класс измеримых частично симплексированных множеств. Однако вопросы продолжения меры по проекции в данной статье не рассматриваются.

Второй раздел содержит определение измеримого по проекции частично симплексированного множества в терминах границы по проекции. Упрощенный подход к определению меры по проекции рассмотрен ранее в работе [4]. Он охватывает ситуации, в которых измеримое по проекции частично симплексированное множество имеет лишь конечную совокупность компонент ориентирования - конечный атлас по проекции. Граница частично симплексированного множества по проекции - это, с одной стороны, развитие понятия границы множества, а с другой стороны, - это развитие понятия края ориентированного многообразия. Во втором разделе рассмотрены свойства меры по проекции. В третьем разделе изучены свойства границы по проекции. В последнем разделе рассмотрены вопросы согласования симплексирований множества и его границы по проекции.

2. Определение меры по проекции

2.1. Элементарные множества. Пусть п € N (И , •••, К«) _ упорядоченное семейство отдельных экземпляров пространства И,, в которых переменные обозначены х1 , • • •,хп соответственно,

и« _

декартово произведение И1 х • • • х И«5 х := (хь • • • , хп) переменная в пространстве Ип. Пусть к € Z и 0 < к < п. Выберем из упорядоченного семейства (И1; • • •, Ип) произвольное подсемейство (И^, • • •, ), содержащее к элементов. Считаем, что '1 < • • • < 'к- Каждый такой выбор определяет декартово произведение Ик := И^ х • • • х И^ и проекцию

п. : Ип ^ И. | х ^ х. •

Здесь 1 := (']_,•••,'к) х. := (х^1 ) - переменная в пространстве И]. Семей-

ство всех таких проекций обозначим п. Понятно, что число элементов в семействе п совпадает с числом сочетаний из п по к. Если к = п, то семейство п состоит из одного тождественного к = 0 ,

кортеж и декартово произведение И] состоит го одного элемента, а семейство п ис-

Ип

И к] к = 0 И к]

единственно возможной топологией.

Для произвольного натурального V пространство Ип покрывается счетной системой п-мерных кубов 83 := [0, 2-1/]п + 2-1/в, в € Zn, с длиной ребра (одномерной грани) 2 Отмечая зависимость этого покрытия от числа V, называем его каноническим покрытием ранга V, его элементы 88 называем п ячейками ранга V, а точку 2-и в € 83 называем отмеченной точкой п-ячейки 83. Граница п-ячейки составлена из п-граней ранга V. Объединения конечных совокупностей п-ячеек ранга V называем элементарными множествами ранга V. Если е - элементарное множество ранга V, т - общее количество п-ячеек ранга V, составляющих множество е, то число гп(е) := 2-ипт совпадает с п-

е

2.2. Домены. Максимальные домены. Аналогично определяются к-ячейки 83, каноническое покрытие {^ : в € Zk} и элементарные множества е ранга V в декартовой

И к]

к = 0 0

извольного ранга). 0-мерный объем ь0(е) элементарного множества е С И0 совпадает с числом #е = 1. Здесь и далее символ #А обозначает число элементов конечного множества А.

, := ( '1 , •••, 'к ) п]

множество е С Ип ранга V на элементарное множество е := п.е С И] ранга V. Связное элементарное множество ё С Ип ранга V называем п.-доменом ранга V, если оно состоит из п-ячеек, проецирующихся в одну к-ячейку. Объединение п-граней ранга V, лежащих на границе п.-домена ё С Ип ранга V, п .-проекции которых имеют положительный к-мерный объем, называем п.-границей ё. п.-домен ё С е ранга V называем максимальным в е, если для любого п.-домен а ё' С е ранга V, удовлетворяющего уело-вию ё с ё' выполняется равенство ё = ё'. Различные максимальные в е п.-домены, проецирующиеся в одну к-ячейку, те пересекаются. При к = 0 всякое связное элементарное множество ё С Ип ранга V является п.-доменом ранга V, максимальные в е п. е п. п.

ё С Ип совпадает с его границей дё.

Пусть E - ограниченное множество в Rra, е^ - объединение всех п-ячеек ранга v, пересекающихся с замыканием E множества E. Если максимальный в еЕ nj-доме н d лежит в множестве A С

e~E '¡ то пишем d Ц A. Заметим, что nj-граница любого nj-домена d Ц е^ те пересекается с множеством E П d.

Для любой п-ячейки 6 ранга v при к > 0 символом vj(6) обозначаем верхнюю меру nj-проекции nj(E П 6) С Rj то Жордану. При k = 0 полагаем vj(6) := #nj(E П 6), если множество nj(E П 6) конечно, и vj(6) := если множество nj(EП 6) бесконечно. Для любого nj-домен a d Ц е^ символ ом vj (d) обозначаем сумму

£ vj(6),

sed

где суммирование ведется по всем п-ячейкам ранга v, лежащим в d. Если A С е^, то vj(A)

Y,vj (d),

dQA

E

где суммирование ведется по всем максимальным в еЕ nj-доменам, лежащим в

A

2.3. Ориентированные домены. Символом Ok обозначим совокупность всех ограниченных частично симплексированных множеств E С Rra размерности к. Отображение вложения является взаимно однозначным, значит, отношение частичного симплексиро-вания на множестве E Е Ok индуцирует отношение частичного симплексирования на любом его подмножестве. Следовательно, любое подмножество частично симплексиро-ванного множества E Е Ok само является элементом совокупности Ok- Совокупность всех симплексированных таким образом подмножеств множества E обозначаем O(E). Пространство Rj наделяем отношением канонического частичного симплексирования. Это означает, что любая k-ячейка ö С Rj ранга v и каждое элементарное множество ö С Rj ранга v являются частично симплексированными множествами размерности к. Если к = 0 то отношение канонического симплексирования на Rj состоит из одного элемента.

Пусть E Е Ok и к > 0. Максимальный в еЕ nj-домен d называем положительным (соотв. отрицательным), если сужение проекции nj на множес тво E П d является изоморфизмом (соотв. антиизоморфизмом) частично симплексированных множеств E П d и d := nj(d). Если к = 0, то положительные и отрицательные nj-домены выбираются среди максимальных в еЕ nj-доменов произвольным образом. Точнее, пусть к = 0 и множес тво E разбито на три множества E+ E- и E0. Максимальный в еЕ nj-домен d называем положительным (соотв. отрицательным), если E П d С E+ (соотв. E П d С E^. Легко увидеть, что при к = 0 для любого положительного или отрицательного nj-домен a d пересечения E П d и E П int d совпадают и содержат только одну точку. Положительные и отрицательные nj-домены в еЕ называем ориентированными nj-доменами в е^. Не любой nj-домен d Ц еЕ обязан пересекаться с множеством E, но любой ориентированный nj-домен d Ц еЕ пересекаетея с E и проекция nj(E П d) совпадает с отдельной к-ячейкой в Rj.

Объединение всех положительных (соотв. отрицательных) ^-доменов d Ц еЕ обозначим рЕ (соотв. пЕ). Множества рЕ и пЕ являются элементарными множествами v nj еЕ с объедине-

нием оЕ := рЕ U пЕ Символ ом рЕ (соот в. пЕ) обозначаем объединен ие всех nj-доменов

ё Е е^, которые не являются положительными (соотв. отрицательными), а символом в^ обозначаем пересечение р^ П п^. Легко увидеть, что множество в^ содержитея в еЕ и для любого ранга V имеет место равенство

е^ = р^ и п^ и в^•

Отметим, что множество в^, вообще говоря, не является элементарным множеством

:хИм, ни мпижахои ГЕ

ранга v

2.4. Мера по проекции. Для количественной оценки множеств рЕ, пЕ и вЕ воспользуемся характеристиками V.(р^), V.(пЕ) и V.(вЕ). При к > 0

VJp)=Е^ vj(d) = 2-vkm+,

V. п)=Е^ V. (ё) = 2^т-,

где т+ (соотв. т^) - число максимальных в еЕ п.-доменов, лежащих в рЕ (соотв. п^).

При к = 0 множеств а рЕ П Е С Е+ и пЕ П Е С Е- являются конечными. В этом случае

V.(рЕ) := #(рЕ П Е+), V.(рЕ) : = #(пЕ П Е-)•

Придавая V всевозможные натуральные значения, получаем три последовательности: {V.(рЕ{V.(пЕ)}^=1 и {V.(вЕ)}^=1- Первые две последовательности не убывают, значит, существуют конечные или бесконечные п р 6Д6Л ы

(Е) := V.(рЕ), /1- (Е) := V.(пЕ)•

Если (Е), (Е) < и

^ V.(вЕ) = 0,

то говорим, что частично ориентированное множество Е измеримо по проекции п. или просто п.-измеримо. При этом пределы (Е) и (Е) называем нижней и верхней вариацией меры Е по проекции п. соответственно, сумму

/1 (Е) := /+ (Е) + (Е)

называем (полной) вариацией меры Е по проекции па разность

(Е) := /+ (Е) - (Е)

называем мерой Е по проекции п. пли просто п.-мерой Е. Отметим, что для любого натурального V имеет место равенство

V. (еЕ) = V. (рЕ (пЕ в),

значит, для любого измеримого по проекции п. множества Е имеет место соотношение

11з| (Е) = V.(еЕ)•

Если к = 0 то частично ориентированное множество Е измеримо по проекции п. тогда и только тогда, когда оно конечно и Е = Е+ и Е— то ееть Е0 = 0. При этом /+ (Е) = #Е+, (Е) = #Е- и .(Е) = #Е+ - #Е-.

- 31 -

Ьсли E С Rj, то ситуация существенно упрощается. Договоримся, что при отдельном рассмотрении этой ситуации вместо канонического покрытия пространства Rra используем каноническое покрытие пространства Rj. При этом nj-домены d Q e^ ранга

7 E E E E k

v являются к-ячейками ранга v, множества ev , pv , nv и sv лежат в пространстве RJ. Вместо символов ß+ ß-, ßJy \ßJ \ используем сим волы ß+ ß-, ßk, \ßk \ соответственно и говорим не об измеримости частично симплексированного множества по проекции и не о его мере по проекции, а просто об измеримости частично симплексированного E

Если E Е O(Rk) (например, если к = n и E Е O(Rra)), то ß-(E) = 0 ßk(E) = ß+(E) = \ßk\(E). Если E Е O(Rj) и к > 0, то число ß+(E) совпадает с нижней мерой ß*(E) ограниченного множества E то Жордану, сумма ß+(E)+limv—TO vJ(s^) совпадает с верхней мерой ß*(E) ограниченного множества E по Жордану, условие измеримости ограниченного множества E принимает классический вид ß*(E) = ß*(E). При этом общее значение мер ß*(E) и ß*(E) совпадает с мерой Жордана ßk(E) множества E.

3. Свойства меры по проекции

Совокупность всех измеримых по проекции ^множеств E Е Ok обозначим EJ. Если E Е EJ, то символ ом EJ (E) обозначаем совокупность всех множеств A Е O(E), принадлежащих EJ. При отдельном рассмотрении ситуации E Е O(RJ) символ EJ (RJ) заменяем символом E(RJ). Рассмотрим некоторые свойства совокупности EJ(E).

Свойство 1. Совокупность EJ(E) замкнута относительно основных теоретико-множественных операций.

Доказательство. Во-первых, если A,B Е EJ(E), то C := A U B Е EJ(E). Действительно, выберем произвольную точку x Е sC С eA U eB. Есл и x Е e^ и x Е °A U oB, то x Е s^. Есл и x Е eB и x Е °A U то x Е sB. Если же x Е °A U то x Е s^. В любом случае x Е sA U sB U s^. Это означает, что sC С sA U sB U sf и

VJ(sC) < VJ(s£)+ VJ(sB)+ VJ(sE).

Следовательно,

lim vj(sC) = 0.

v—

При этом vJ(pC) < vJ(eE) и vJ(nC) < vJ(eE), то есть ß+ (C) < \ßJ\ (E) < ß- (C) < \ßJ\ (E) < Значит, C Е EJ(E).

Во -вторых, если A, B Е Ej(E), то D := A \ B Е Ej(E). Действительно, выберем произвольную точку x Е sE С e^. Есл и x Е то x Е s^. Есл и x Е то x Е sB. В любом случае выполняется включение x Е s^ U sB. Это означает, что sD С s^ U sB и

vj(sD) < vjs)+ vj(sB).

Следовательно,

lim vj(sD) = 0.

v—<x

При этом ß+ (D) < \ßJ\ (E) < ß- (D) < \ßJ\ (E) <

Следовательно, D Е EJ (E).

Наконец, из соотношения A П B = E \ [(E \ A) U (E \ B)] вытекает, что A П B Е Ej(E). ■

Свойство 2. Функции множества , обладают свойством, аддитивности: если А, В е Ез(Е) , С := А и В и А П В = ® , то ¡+(С) = ¡+(А) + (В) и ¡-(С) = ¡1(А) + (В) .

Доказательство. Действительно, для любого натурального V имеют место вложения р} и рЕ С рС и 5е и п} и пЕ С пС и вС. Значит,

Уз(рС) + Узр) < Узр) + 2уз5),

Уз(п}) + Vз(пВ) < Уз(пС) + 2узв). Переходя в последних неравенствах к пределу, получаем

(А) + (В) < (С), (А) + (В) < (С). (1)

С другой стороны, для любого натурального V имеют место вложения рС С р} и р^ и в}, пС С п} и п^ и в}. Значит,

Уз (рС) < Уз (р}) + Уз (рВ) + Уз (в}),

Уз(пС) < Уз(п}) + Уз(пВ) + Уз(в}). Переходя в последних неравенствах к пределу, получаем

(С) < (А) + (В), (С) < (А) + (В). (2)

Из соотношений (1) и (2) вытекает выполнимость доказываемых равенств. ■

Аддитивность функций множества и влечет аддитивность функций множества з| и ¡з. При этом справедливо следующее утверждение.

Свойство 3. Мера \^з \ обладает свойством, полно ты,: если А е Ез (Е), \^з \ (А) = 0 и В С А , то В е Ез(Е) и \з\ (В) = 0 .

Доказательство. Действительно, из очевидных вложений е^ С е} и в^ С е} вытекает, что \лз\ (В) = \^з\ (А) = 0 и Иш^те уз(в^) = 0 ■

Свойство 4. Меры обладают свойством, счетной аддитивности: если

А,А1}А2,... е Ез(Е) ,

А :=и А

3 = 1

и множества А1;А2,... попарно не пересекаются, то

те те

л+ (А) = Е ¡+ (А3)' ¡-(А) = Е ¡-(А3)■

3=1 3=1

Доказательство. Пусть е > 0 и натуральные V, V(1), V(2),... подобраны так, что выполняются неравенства

Уз(рА) > ¡+(А) - е, Уз(пА) > ¡-(А) - е,

Уз(р%) > ¡+(Аз) - е, Уз(п3 > ¡-(Аз) - 2-,

22

^(в^) < 2-, V < V(1) < V(2) < ....

Компакт А ПрА покрывается открытыми множествами тЬ^р^з) и в^), а компакт А П

пА покрывается открытыми множествами т^Пзив^^)). Значит, найдется натуральное N' такое, что

V (j) иv(j)>

N'

A Пri с и(ptj) и 4)}, j=1

N'

A П nA с U () и sj}. j=i

При этом

VJ(pA} <Ej=1[vj(p%)}+ VJ(j

N'

VJ(nA} <£^[VJ(nj}+ VJ(j

Следовательно, имеют место неравенства

i х—^^ I

ß+(A} . 1 ß+(Aj} + 2е j=1

j

. оо

Ч-

М-(А) . 1 м-А) + 2е.

*—/7=1

Отсюда в силу произвольности е > 0 вытекают неравенства

Ч-I Ч-

М+(А) . 1 М+(Аз), м-(А) . 1 М-(Аз). *—.=1 ^—.=1

С другой стороны, в силу аддитивности мер М- Для любого натурального N справедливы неравенства

М+ (А) >12= М+ (Аз), М- (А) > £.=1 м-(Аз).

j=i

Это означает, что

ßj (Ä) > £ßJ(Aj}, ß- (A) > £ß-j(Aj}. j=i j=i

Счетная аддитивность мер ßj и ß- влечет счетную аддитивность мер \ßJ| и ßJ.

4. Граница, внутренность и компоненты частично симплексированного множества по проекции

4.1. Компоненты по проекции. Атлас по проекции. Пусть E Е Ok- Внут-

E E

ренности элементарных множеств pE и nE распадаются на конечное число связных компонент. Пересечения связных компонент мно^кества int c>E = int pE U int nE с множеством E называем n J-noMnoHeHmaMU множества E ранга v. При увеличении v каждая nJ-комионента множества E ранга v может только увеличиться (по отношению вложения) и их число m(v} тоже может только увеличиться. Пусть Ev,1}... ,Ev,m(v) -

^-компоненты множества Е ранга V. Если т > т(V), то полагаем Еи,т = 0. Считаем, что совокупности [Еи,т: т е N"1, V е N упорядочены так, что Еит С Еи+1>т для любых V е N Объединение 1^1^=1 Е^,т обозначаем Ет и называем покомпонентной множества Е. Каждую пз-компоненту Ет наделяем отношением частичного симплек-сирования, индуцированным из множества Е, то есть считаем, что Ет е 0(Е). Если к = 0 то все пз-компоненты множества Е являются одноточечными множествами.

пз Ет Е

если при каком-либо V множество р® (соотв. п®) пересекается с Ет, то для любого V множество п® (соотв. р®) те пересекается с Ет.

Если р® П Ет= 0 (соотв. п® П Ет= 0) при каком-либо ранге V, то пз-компоненту Ет называем положительно ориентированной (соотв. отрицательно ориентированной).

пз Ет

ориентированной), то отображение пз : Ет ^ пз(Ет) является взаимно непрерывным

Ет

Ет := пз (Ет) е 0(Ккз).

пз пз Ет Е пз

жества Е и обозначаем фт. Совокупность : т е N1 всех пз-карт множества Е называем пз-атласом этого множеств а. Если ^т! """""" обратная функ ция к пз-карт е то

Vт (хз) = рз (хз , х3к+1 (хз ),■■■ , Х3п (хз )),

где Хзк+1 (хз), ■ ■ ■, хзп (хз) некоторые непрерывные действительные (функции па мнояке~ стве Ет рз - транзакция декартовой степени И"

(хз, хзк+1 (хз ), ■■■,х3„ (хз)) ^ (х1,...,хп)■

4.2. Граница по проекции. Пересечение

те

djE := f| sE

V = 1

называем границей частично симплексированного множества E по проекции nJ пли просто кограниц ей E. Дополнение int J E := E \ dJ E называем внутренностью частично симплексированного множества E по проекции nJ или просто nJ -внутренностью E. Согласно определению множества dJ Em intJ E не пересекаются. Если E Е O(RJ), то ^-граница dJE совпадает с границей dE множества E, а п^внутренность intJ E

int E E

Предложение 1. Для любого E Е Ok и любо го v Е N выполняется соотношение

E \ sE = E П int oE. (3)

Доказательство. Действительно, объединение Ux всех nJ -доменов d Q eE, содержащих точку x Е Е, является замкнутой окрестностью этой точки в пространстве Rra. Если x Е int oE, то Ux С oE, а это означает, что x Е PEnnE =: sEj, то есть x Е E \ sE. Следовательно, E П int oE С E \ sE. С другой стороны, пусть x Е E \ sE. Если Ux С pE или Ux С n^ то x Е int oE. Поэтому допущение x Е int oE влечет существование п ^доменов d Q pE и d" Q nE, содержащих точку x, а это противоречит включению x Е E \ sE. Следовательно. x Е int oE, то есть E \ sE С E П int oE. ■

- 35 -

Предложение 2. Для любого E Е Ok выполняется соотношение

E = ÖjE U int j E. (4)

Доказательство. Действительно, если x Е intJ E, то x Е E. Если же x Е dJE, то x Е sE С eE для любо го v. Значит,

те

E

x Е р| eE = E.

v=1

Следовательно, справедливо вложение dJEU int J E С E. Обратно, пусть x Е E. Если x Е sE для любо го v, то x Е dJ E. Если же для некоторого v точка x не принадлежит sE, то в силу соотношения (3) x Е E П int cE С intj E. Значит, справедливо обратное вложение E С dJEU int J E. ■

Предложение 3. Для любого E Е Ok выполняется соотношение

те

intJ E =U Em. (5)

m=1

Доказательство. Если x Е intJ E := E \ dJE, то

те

x Е dJE := f| sE.

v=1

Значит, x Е E \ sE С E \ sE при некото ром v. Следовательно,

m(v) те

x Е E П int oE С у Evm С у Em.

m=1 m=1

А это означает, что

intJ E С у Em.

m=1

С другой стороны, если

те

x Е У Em,

m=1

то x Е Ev,m С E П int oE при некоторых m и v. В силу (3) x Е E \ sE С E \ dJE =: int J E, а это означает, что

те

U Em С intJ E. ■

m=1

Предложение 4. Для любого E Е Ok выполняется соотношение

те

У dJ Em С ÖJ E, (6)

m

m=1

где dJEm - nJ-e№Huu)a nJ-компоненты Em множества E.

- 36 -

Доказательство. Убедимся в справедливости этого соотношения. Если

те

G Em := У Еи

то

x G Em : I I Ev,m ■

v=1

r~ tt< \ „Ei

x G Evm С Em n int oEm С Em \ sEm С Em \ djEm=: int J Em,

где Em - замыкание njEm. Следовательно, Em = int J Em. Отсюда и из (4) вытекает, что dJEm = Em \ Em. Но замкнутое множество Em те пересекается с п^компонентой Emi для любого натурального m' = m. Это означает, что

--I —

dj Em = Em \ N , Em' С E \ intj E,

то есть дJЕт С дJЕ. ■

Пусть Е Е Условие vJ(вЕ) = 0 из определения измеримого по проекции

^ множества означает, что частично симплексированное множество дJЕ измеримо по проекции ^ и вариация \¡J\(дJЕ) меры множества дJЕ то проекции пJ равна нулю. В силу аддитивности мер и ¡- для любо го Е Е ЕJ имеем

¡+(Е) = Е), ¡1-(Е)= ¡-(т^ Е),

\(Е) = \¡и\0ntJ Е), ¡и(Е) = ¡и(т^ Е).

В силу аддитивности меры \¡J\ из соотношения (6) вытекает, что для любой п^компоненты Ет множества Е имеет место равенство \¡J\(дJЕт) = 0. Кроме того ¡¡+(Ет) < ¡+(Е) < и ¡-(Ет) < ¡- (Е) < Это означает, что Ет Е ЕJ для

любого натурального т. Отсюда следует, что

X-"У00 , X-"У00

¡+(Е) = Ц Л ¡+(Ет), ¡-(Е) = £ 1 ¡-(Ет),

\(Е ) = Т, , \(Ет), ^ (Е ) = ^ Л ^ (Ет).

При этом, если ^-компонента Ет является положительно ориентированной, то ¡¡-(Ет) = 0 и

¡+(Ет) = \(Ет) = ^ (Ет).

Если п^компонента Ет является отрицательно ориентированной, то (Ет) = 0 и

¡- (Ет) = \ (Ет) = (Ет).

5. Согласование симплексирований множества и его границы по проекции

Пусть Е Е Ок, Ь — ^-граница дJЕ множества Е. Символом Ьт обозначаем пJ-границу дJЕт ^-компоненты Ет множества Е, а символами Е, Ет, Ь и Ьт обозначаем ^-проекции ПJ(Е), ПJ(Ет), ПJ(Ь) и ПJ(Ь т) Легко убедиться, что для любого т множество Ет С И/} является областью, а ее граница дЕт совпадает с множеством Ьт.

Считаем, что Ь е 0к-1, то есть множество Ь тоже частично симплексировано и размерность частично симплексированного множества Ь равна к — 1. Мы не требуем какой-либо согласованности отношения хе частичного симплексирования на множестве Е и отношения хь частичного симплексирования на множестве Ь. Вместо этого мы определим на пространстве И" функцию согласования отношения хЕ и отношения хЬ (в соответствие с известным правилом положительной ориентации границы).

5.1. Простые и особенные компоненты границы по проекции. Рассмотрим проекцию

п3 : И" ^ И— х ^ х1,

где I := Л... ... ак), х1 := (х31,... }х31_г ,... ) - переменная в про-

странстве И \ Замечаем, что проекция п1 совпадает с композпцпей птз о пз проекции пз и проекции

пз : Из ^ И- хз ^ х3,

то есть диаграмма

является коммутативной. Если сужение проекции п3 : х ^ х3 на множество А С Ь

является взаимно однозначным, то сужение проекции пз : х ^ хз на множество А является взаимно однозначным и сужение проекции пз : хз ^ х3 на множество А := пз(А)

Выберем произвольный ориентированный п3-домен д □ в^ Сужение проекции п3 на ЬПд осуществляет гомеоморфизм Ь П д и п3 (д), где п3 (д) =: 5' - некотор ая (к — 1)-ячейка ранга V в И^-1. По свойствам непрерывных отображений компактов сужение проекции пз на Ь П д осуществляет гомеоморфизм Ь П д и пз (Ь П д), а сужение прое кции пз на пз (Ь П д) осуществляет гомеомо рфизм пз (Ь П д) и 5'. Значит, множе ство пз (Ь П д) можно отождествить с графиком некоторой непрерывной функции 5' ^ И,^.

Любой п^-доме н д С Из ранг а V является «столбцом» конечной высоты 2-иК то есть составлен из к-ячеек 53(ь) с отмеченными точками 2—в(г\ где

в® := (8П ,. . . , 8М_1,8Л + I, 8л+1,. . . , 83к ) е Ък, I е{°,...,к — 1}.

^-граница п3~домена д с из ранга V состоит из двух к -граней ранга V. Ниж-няя грань п3-домена д совпадает с множеством

{хз е хк = 2-и8к }, а верхняя грань п 3~ домен а д совпадает с множеством

{х з е д: хн = 2-(вл+К)}.

Лемма 1. Для любого ориентированного п3-доменад □ вь справедливы, следующие утверждения:

а) если d пересекается с Em, то верхняя грань (нижняя грань) пj-домена d := п j(d) лежит либо во внутренности множества Em, либо во внешности множества Em ;

б) если d пересекается с Em, то L П d = Lm П d ;

в) если E E £j то d пересекается лишь с конечным числом, пJ-компонент Em

E

Доказательство. Внутренность п^домена d := nJ(d) представляется в виде объединения Ai U A2 U A3 трех попарно непересекающихся множеств - двух непересекающихся односвязных областей Ai,A2 С Rj и множества A3 := L П int d. Пересечение L П d = пJ (L П d) можно отождествить с графиком некоторой непрерывной функции fd : 8' ^ Rji. При этом

Ai := {xj : xj E int 8', fd(xj) < Xj. < 2-v(sji+h)},

A2 := {xj : xj E int 8', 2~vSji < Xji < fd(xj)}, A3 := {xj : xj E int 8', xj. = fd(xj)}.

Замыкание A3 множества A3 топологически эквивалентно (k — 1)-ячейке 8' С Rj-i. Значит, множество A3 нигде те плот но в Rj и A3 С AA3 С A2. Следовательно, сам пj-домен d представляется в виде объединения Al1 U A2 замыканий областей Ai и A2. пj-домен d является максимальным п^доменом в элементарном множестве eЕ, значит, верхняя и нижняя грани пдомен а d те пересекаются с множеством A3. Следовательно, верхняя грань п^домена d лежит в связном множестве j[i \ A3, а нижняя грань домена d лежит в связном множестве A2 \ A3.

d п Em

связное множество Em С Rj пересекается с пj-доменом d. Отсюда следует, что область Em пересекается хотя бы с одной областью Ai или A^. Предположим, что Ai П Em = 0. Так как Lm С L, то п^/-проекция любой точки из Lm не может лежать в множестве Jii \ A3. Это значит, что граница Lm := пjLm множества Em не пересекается с множеством Jii\A3. Следовательно, Aii\A3 С Em. Если предположить, что A2ПEm = 0, то аналогично получим A2 \ A3 С Em.

Докажем утверждение б). Предположим, что п^домен d пересекается с п^/-компонентой Em и Ai П Em = 0. Выберем произвольную точку £ E L П d и произвольную последовательность {£j}°=i точек £j E Ai \ A3 С Em, сходящуюся к точке £' := п E A3. Каждое пересечение Em П п- £j содержит только одну точку j Точка £ является предельной для последовательности {£j }°=15 а это означает, что £ E Em \ Em = Lm, то есть L П d С Lm П d. Обратное вложение следует из (6).

d п Em

ному L П d = Lm П d. Это означает, что пj -проекция пj (Em П int d) совпадает с областью A1 A2

j\(Em) > min{ßk(Ai),ßk(A2)} > 0.

Если предположить, что d пересекается с бесконечным числом пj-компонент множе-E

<х

\ßj\(E) = Y; j\(Em) = +™.

m=i

А это противоречит измеримости множества E те проекции пj. Лемма доказана. ■

- 39 -

Если ^/-домен d Q oE пересекается с Em, то п^домен d := nj(d) пересекается с Em := nJ(Em). Произвольный п^домен d Q oE, пересекающийся с Em, называем E,

положительным (Ет-отрицательным), если нижняя грань п^домена д := пз(д) лежит во внешности (соотв. во внутренности) множества Ет,

п 3

д лежит во внутренности (во внешности) множества Ет.

п3-компоненту Ьт,т> множества Ьт называем Ет-положительно ориентированной (Ет-отрицательно ориентире ванной) п3-компонентой множ ества Ьт, если любой п3-домен д □ вь, пересекающийся с Ьт,т/, является Ет-положительным (Ет-отрицательным). Ет Ет п3

Ьт п3 п3

Ьт п3

Объединение всех простых п3-компонент множества Ьт обозначаем Ь'т. Предположим, что Ь е Т3. п3-компоненты множества

Ь' = и". Ьт

т=1

попарно не пересекаются и в силу утверждения б) леммы 1 любая ориентированная п3-компонента множества L' является частью ориентированной fff-компоненты множества L. Отсюда и из соотношения (5) вытекает, что

\ßi\(L'J <\ßi\(L') <\ßi\(L) <

Из соотношения (6) вытекает, что д1 L'm С dIL' С dIL, значит,

\vi\(diL'm) <\ßi\(diL') <\ßi\(diL) = 0.

Следовательно. в рассматриваемом случае множества L'm и L' измеримы по проекции ni.

5.2. Индикатор по проекции. Пусть E+ - объединение всех положительно ориентированных ^-компонент множества E, E- - объединение всех отрицательно ориентированных п^компонент множества E. Тогда int J E = E+ U E-. Определим на пространстве Rra функцпю hE то правилу: если x Е E+ (соотв. x Е E-), то полагаем hE(x) = 1 (соотв. hE(x) = —1), если же x Е Rra \ int J E, то полагаем hE(x) = 0. Эту функцию будем называть E п п E

Из соотношений (5) и (6) вытекает, что для любого x Е Rra

hE(x) = Y, hEm (x) Е{ — 1;0;1},

m=l

где hEm - nj-индикатор ^-компоненты Em множества E. Например, если k = 0, то E+ = E+, E- = E_. В этом случае функция hf равна 1 на множестве E+, равна —1 на множестве E_ и равн а 0 во всех остальных точ ках из Rra. Аналогично определяется индикатор

hL(x) = Y, hLr(x) Е{ — 1;0;1}

m=l

частично симплексированного множества L по проекции ni.

_ 40 -

5.3. Функция согласования. Символом к] обозначим функцию, определенную на И™ то правилу: если х принадлежит Ет-положительно ориентированной ^/-компоненте множества Ьт то полагаем к](х) = 1, если х принадлежит Ет-отрпцательно ориентированной ^-компоненте множества Ьт, то полагаем к](х) = — 1, если же х Е И™ \ Ь'т, то полагаем к] (х) = 0.

Пусть - отношение частичного снмплексирования на множестве Ет, индуцированное из Е, а Хьт """""" отношение частичного симплексирования на множестве Ьт, индуцированное из Ь. Определим та пространстве И™ функцию согласования отношения Хьт с отношением ХЕт по правилу:

К]1 :=

где - ^/-индикатор частично симплексированного множества Ьт. Эта функция отлична от нуля только в точках множества Ь'т. При этом для любого х Е Ь'т имеем

кьГ (х)Кт(х) = кьГ (х)Нь1т (х)кт(х),

3 Н ä4 и т?

кр = hLr hp. (7)

Функция согласования отношения xl с отношением Хе определяется так:

те

hi := hLYl кр

т=1

где hL - ^-индикатор частично симплексированного множества L. Из соотношения (7)

тете те

hi := hLY, кТ = £ hLhLmhT = £ hm.

m=l t=1 t=1

В точках x G int j L, для которых числовой ряд

те

Y,hT(x)

T=1

hi

Предложение 5. Если E G £J, то функция согласования hI определена, всюду на, Rra и является, локально ограниченной.

Доказательство. Во-первых, если x G L', то hI(x) = 0 Во-вторых, если x G L', то x G L'T при некотором натуральном m. Значит, существуют ранг v и ni-домен d □ o1L1 содержащий точку x. Этот п^домен является максимальным ni-доменом элементарного множества e1L, значит, от пересекается с компонентой ET. В силу утверждения в) леммы 1 этот ni-домен не может пересекаться с бесконечным числом п^компонент множества E, то есть точка x G L' не может лежать в бесконечной совокупности множеств L'T С L. Это означает, что функция hI определена всюду на Rra. При этом на множестве d П L' она принимает постоянное значение.

Совокупность всех ni-доменов d Q o^ содержащих точку x G L', конечна. Обозначим uv(x) объединение всех таких ni-доменов. По доказанному функция hi ограничена на множестве uv (x) П L'. При достаточно большом v точка x лежит во внутренности множества uv(x), значит, функция hi является локально ограниченной. ■

Примечания:

1. Шишкин А.Б. Алгебраическое ориентирование множеств. I. Симплексирование // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2016. Вып. 3 (186). C. 28-38. URL: http://vestnik.adygnet.ru

2. Шишкин А.Б. Ориентирование множеств // Труды ФОРА. 2011. № 16. С. 27-31. URL: http ://fora.adygnet. ru

3. Уитни Х. Геометрическая теория интегрирования. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. 535 с.

4. Шишкин А.Б. Интегрирование на ориентированном множестве по проекции // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2012. Вып. 1 (98). C. 11-19. URL: http://vestnik.adygnet.ru

References:

1. Shishkin A.B. Algebraic orientation of sets (ordering sets). I. Simplexing // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2016. Iss. 3 (186). P. 28-38. URL: http://vestnik.adygnet.ru

2. Shishkin A.B. Ordering sets // Proceedings of Physical Society of Republic of Adyghea. 2011. No. 16. P. 2731. uRL: http://fora.adygnet.ru

3. Whitney H. Geometric integration theory. M.: Publishing House of Foreign Lit., 1960. 535 pp.

4. Shishkin A.B. Integration on the focused set on a projection // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2012. Iss. 1 (98). P. 11-19. URL: http://vestnik.adygnet.ru