Жесткая изотопическая классификация вещественных алгебраических кривых бистепени (4,3) на гиперболоиде Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВеСтник Сыктывкарского университета. ■Сер. 1.Вып. 8.1999

512.7?2+шй.ш.4

Жесткая из6Т0пичёСкая классификация вещественных алгебраических крибых бистепени (4,3) на гиперболоиде 1

В.И.Звонилов

Жесткой изотопией -неособых вещественных алгебраических кривых данной бистепени на гиперболоиде называется путь в ¡пространстве таких кривых. В работе получена жесткая изотопическая классификация неособых вещественных алгебраических кривых бистепени (4,3) на гиперболоиде. Перечислены также компоненты связности пространства вещественных алгебраических кривых бистепени (4,3), имеющих единственную невырожденную двойную точку или точку возврата.

1. Введение. Понятие жесткой изотопии было введено Рохлиным На проективной плоскости для неособых вещественных алгебра-Ггжх кривых степени т классификация с точностью до жестких талий известна для ш < 6 (см. [1], [2], [3]). На квадриках жест-ззотопии вещественных алгебраических кривых бистепеней (ш, 1), -1 . (3,3) изучались Дегтяревым и автором [4], [6], [5]; при этом для : :с»ых кривых они получили жесткую изотопическую классификация (неособых) кривых бистепени (4,3) на гиперболоиде клас-&ация их вещественных схем (т.е. вещественная изотопическая : :лфикация) была получена в работах [7], [19] (см. также [9]), а : гзфикацйя их комплексных схем (вещественных схем, наделен-Окнюм и комплексными ориентациями, см. ниже п.2) - в [9]. В напей работе мы доказываем, что неособая кривая бистепени (4,3) гиперболоиде определяется с точностью до жесткой изотопии комплексной схемой (теорема 2). В доказательстве теоремы 1 зазываем все компоненты связности пространства кривых бисте-_!: 4.3), имеющих единственную невырожденную двойную точку или

Рзл-эта поддержана грантом N 97-0-1.2-41 Конкусного центра фундаменталь-- ^гзгствознания при СПбГУ.

„ДЖИЛОВ В.И., 1999.

точку возврата (см. рис. 1). Мы используем подход, предложенный в [10] для получения жесткой изотопической классификации плоских вещественных квартик.

2. Определения и обозначения. Пусть X - неособая квадрика. Комплексной частью СХ поверхности X является СР1 х СР1. Пара стандартных инволюций комплексного сопряжения на сомножителях этого произведения задает на X антиголоморфную инволюцию conj с вещественной частью FLY, гомеоморфной тору; в результате получается вещественная алгебраическая поверхность, называемая гиперболоидом.

Зафиксируем пару Pi,P.г образующих гиперболоида X. Фундаментальные классы [CPi], [СР2] образуют базис группы Н2(СХ) = Z © Z. Пусть А - алгебраическая кривая на X. Тогда [СЛ] = rai[CPi] + m2[CP2] для некоторых неотрицательных целых mi, m2. Пара (mi, шг] называется бистепенъю кривой А. Если [xq : a?i], [уо : у\] - однородные координаты на прямых Р1; Р2, то кривая А задается биоднородным многочленом

rai,m2

F(xQ,xl-,yo,y1)= Y^ аь]х\хТ~гУ31Уо2~3, i,j=1

имеющим степени однородности rrii по Жо, Х\ и т2 по i/o, Антиголоморфная инволюция conj переводит каждую из четырех координат в комплексно сопряженную; поэтому кривая А вещественна тогда и только тогда, когда все öjj вещественны.

Для указания топологии вещественной кривой на гиперболоиде мы используем модификацию стандартной кодировки вещественных схем плоских проективных кривых (см., например, [11]). Пусть А С X -неособая вещественная алгебраическая кривая. Вещественная часть RA может иметь компоненты двух типов: стягиваемые в RX и нестя-гиваемые; стягиваемые компоненты называются овалами. Число овалов обозначается через I, число нестягиваемых компонент - через h. Каждый овал ограничивает топологический диск в RX. называемый внутренностью овала. Фундаментальные классы [RPi], [RP2], наделенные некоторыми (фиксированными) ориентациями, образуют базис группы Hi(RX) = Z 0 Z. Все нестягиваемые компоненты Nt,...,Nh реализуют один и тот же ненулевой класс (ci,c2) в f/i (RX), где с\, е2 взаимно просты. Вещественная схема кривой RA С RX кодируется следующим образом:

((ci, с2), schemeb (ci, с2), scheme2,..., (сь с2), scheme^),

гг-г зсЬеяавх. ,...«, всЬете^- - .-схемы расположения овалов, лежащих в связ-■*=ех компонентах, поверхности ИХ \ (N1 и ... I) (ср. [11], [9]).

Согласно Ф.Клейну (см. [12] или [1]), вещественная кривая А при-■олежит типу i или типу ii в зависимости от того, разбивает иа «саплексификацию с А или нет. Если А принадлежит типу i, естественные ориентации компонент II и V пространства С А \ иа дают дзе противоположные ориентации кривой ка = 811 = дУ] они называйся комплексными ориентациями. Вещественная схема, наделенная и, в случае типа i, комплексными ориентациями, называется комплексной схемой. Если нужно указать тип кривой с вещественной гмой, (В) используются обозначения {В)\ и {В)ц. Все вещественные кривые бистепени (т,п) образуют пространство г п = ИРл с N — тп + т + п. Множество А С Ст<п особых кри-имеет размерность N — 1. Обозначим через 5 С А подмножество :зых, имеющих особую точку, отличную от невырожденной двой-й точки или точки возврата, или имеющих несколько особых точек, "»жество А \ 5 является топологическим многообразием (хотя и не 1М подмногообразием в Ст,п). Жестким изотопическим клас-кривой А е Ст,п \ А (или А € А \ 5) называется компонента гтранства Ст,п\ А (соотв. А\5"), содержащая А. Компоненты про-:¿яства Ст,п \ А (соотв. А \ 5") называются камерами (стенками). Кривые с невырожденной двойной точкой или точкой зрата. Сначала мы перечислим стенки в С^з. Теорема 1. Число стенок в 6*4,3 равно 48.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Возьмем кривую А 6 А \ 5', раздуем ее особую чзу и стянем две образующие, проходящие через эту точку. В ре-: ;ате получим квинтику ф С Р2 с вещественной особой точкой <?х -зарожденной двойной точкой (изолированной или крестом) или точ-зозврата. Обратное преобразование задается парой (<71,92) (образов .-ьзующих гиперболоида), где д2 - вещественная неособая точка квин-. При этом вещественная прямая, проходящая через и <72, ори-рована. Если А имеет точку возврата, эта прямая является каса--з:ой к кривой Определяя жесткий изотопический класс кривой же, как он определен выше для особых кривых на гиперболоиде, ■гматривая вещественную схему кривой С} с точностью до жесткой нижи, будем считать, что является крестом, зо, что стенки нумеруются компонентами связности пространен Г конфигураций ((¿,д1,д2,е), где е - ориентация вещественной зй, проходящей через (¡\ и Согласно [2] и [10], жесткий изо--еский тип квинтики О, определяется ее комплексной схемой, и

число этих типов равно 9.2 Поэтому вместе с жестким изотопическим типом квинтики (5 мы должны учитывать различные расположения точки Цч на кривой. Пусть сначала состоит из двух компонент -односторонней и двусторонней, ^ лежит на двусторонней компоненте и разбивает ее на две дуги, одна из которых лежит внутри другой. Обозначим конфигурацию ((5, <71, <72, е) через ы, ыои1 или ы;пп, „если г/2 лежит, соответственно, на односторонней компоненте, на внешней или на внутренней дуге двусторонней компоненты. Пусть теперь <71 лежит на односторонней компоненте, а (единственный) овал лежит внутри ее петли. Обозначим конфигурацию через 7, или 7;гш, если <72 лежит, соответственно, на односторонней, на двусторонней дуге односторонней компоненты или на овале. Наконец, пусть (¡\ лежит на односторонней компоненте, вне петли которой расположены I овалов (/ = 0, ...,5). Пусть В = (/} -комплексная схема расположения овалов кривой С}. Обозначим конфигурацию через аВ, а\рВ или аОУВ, если лежит, соответственно, на односторонней, на двусторонней дуге односторонней компоненты или на овале. При этом для схем типа I (при 1—3 или 5) добавим к В знак: В±, указывающий на каком - положительном или отрицательном овале лежит <72 •

Кроме того, все конфигурации за исключением ш, аВ снабжаются знаком + или — следующим образом. Точки <71, <72 разделяют вещественную прямую, проходящую через них, на два отрезка, ориентированных в согласии с е; пусть дгд2 - тот из них, начало которого есть <71. Обозначим конфигурацию <71, <72, е) через Ть™ ИЛИ

(соответственно, ¿¿¡„п, 7^ или а^.В), если внутренность отрезка <7х<72 не пересекается ( соответственно, пересекается) с односторонней компонентой. Обозначим конфигурацию (ф, <71, <72, е) через или &1рВ, (соответственно, или а^В). если объединение отрезка <71(72 с односторонней компонентой не разбивает (соответственно, разбивает) ИР2. Наконец, обозначим конфигурацию через 7" или 7+, если при обходе прямой <71*72 в направлении, указанном ориентацией е, овал кривой ф остается справа или, соответственно, слева.

Для завершения доказательства остается заметить, что множество компонент связности пространства СопГ находится в естественном взаимно однозначном соответствии с множеством ^оиа

1кт> 7оио 7±, с&В (В = (1), (2), (3)?, (3)п, (4), (5)±), а%В (.В = (0), (1), (2), <3>/; (3)П> (4), <5», аВ (В = (0), (1), (2), (3>/, <3>„, (4), (5))},

состоящим из 48 элементов. Это утверждение вытекает, очевидно, из следующей леммы.

2 В [2] ошибочно указано число 8.

Лемма о перестановке овалов. Жесткий изотопический тип фигураций а%В, а%В, а В (В = (2), (3)f, (3)П, (4), (5)±) не исит от выбора овала, на котором расположена точка q2 (для

- (3)f, (5)^ зависит лишь от того, на положительном или от-. ¿тельном овале она расположена).

Чтобы доказать лемму достаточно для каждой конфигурации побить квинтики с одной особой точкой, обладающие соответствую-izii симметриями, и связать их жесткой изотопией. Такие квинтики : лтся из прямых и коник, а жесткая изотопия получается сдви-этих прямых. Подробные построения предполагается опублико-з позже.

4. Основной результат.

Теорема 2. Жесткая изотопическая классификация неособых ее-' венных алгебраических кривых бистепени (4,3) на гиперболоиде '.дает с классификацией их комплексных схем. Граф примыка-

- камер в С4,3 показан на Рис.1 (вершины графа - камеры, ребра -

доказательство.

Рассмотрим точную последовательность тройки (6*4,3, A, S) (нагго-что dim 6*4,3 — 19)

0 - Н19(6*4,3, 5") - #19(64,3, А) - #is(A, 5) Д Я18(С4,з, S) (1)

i и ниже все гомологии - с Z/2-коэффициентами). Ясно, что :о камер, равно dim.z/2 #19(64,3, A), a w, число стенок, равно ; .//i8(A, 5). Поскольку //iy(C4,3, 5') = #19(64,3) = Z/2, из точ-последовательности (1) следует, что с = 1 + w — codimz/2 ker in. :ло комплексных схем кривых бистепени (4,3) равно 34 (см. ; 3.10). Следовательно, с > 34. Поскольку w — 48 (теорема а".: получения противоположного неравенства достаточно дока-codimz/2 ker in > 15. Классы Wj, реализуемые стенками, оче-образуют базис пространства #i*( A, S). Пусть Xj - координаты

- ,v £ #i8( A, S) в этом базисе; тогда codimz/2 ker in есть число ли-f зависимых уравнений, которые в координатах xj задают ker in. " достаточно найти 15 таких уравнений. Согласно двойствен-

-„-ександер а-Понтрягина,

Я18(64,з,5) = Hl(C^ \ S) = Нот(Я1(64,з \ 5'), Z/2). (2)

:елыю, х 6 ker in тогда и только тогда, когда шж о #1(64,3^) = ::-:ные уравнения получаются умножением равенства inx =

((3,4)\ ((3,2)}.

.((3,-2)) Ж-4)}

((1,4))- ((1,2))- ((1,0)}-((1,-2))-((1,-4)}

((1,2),1) ((1,2),2)1

((1,2), 2)

II

, ((1,2), 3} ((1,2),4)1 Ч((1,2),4}„ ((1,2),5) ((1,2),6)

1,0),1)

1,0),2Ь

(3(1,0))

1,

0),2)

ц-

1,0),3}

1,0),4)^

1,0),4}

и

1,0),5}

1,0), 6}

1,-2), 2): /

1,-2),2}ц

1,-2),3}^

1,-2),4)1 /

1,-2),4)п 1,-2),5) 1,-2),6)

Рис. 1: Камеры и стенки пространства кривых бистепени (4,3) гиперболоиде

^Xj'mWj на некоторые линейно независимые классы из Hi(C4t3\S). Эти классы, отвечающие независимым циклам графа на рис. 1, задаются маленькими окружностями в С4,з \ S, центры которых лежат в S и соответствуют 15-ти кривым с двумя особыми точками. Вещественная часть четырнадцати кривых состоит из изолированной особой точки, / овалов (/ — 0, ...,3) и двух пересекающихся в другой особой точке ветвей типов (1,±1) и (0, ±1), причем ориентация ветви типа (0,±1) существенна лишь для кривых с 1= 1 и 3 (они имеют тип I). Эти кривые строятся тем же методом, что и неособые кривые в работе [7]. Вещественная часть 15-й кривой, имеющей тип I, состоит из двух изолированных особых точек и ветви типа (1,0). Чтобы построить эту кривую, возьмем кривые, задаваемые уравнениями уо(х\ — ^o) = J/i(2®o — х\) и х1Уо хоУг = 0. Вещественная часть первой из них состоит из ветви типа (1,0), а вещественная часть второй кривой состоит, очевидно, из двух изолированных особых точек. Если возмутить объединение этих кривых, сохранив его вещественные особенности и устранив мнимые, то получится требуемая кривая. Каждая из первых 14-ти окружностей лересекает только четыре стенки, причем каждую трансверсально в одной точке, а последняя окружность - три стенки: дважды стенку а(0) и до одному разу стенки 7+, 7~ (также трансверсально). Поэтому в силу 2) реализуемые этими окружностями классы линейно независимы, а получаемые с их помощью уравнения - ненулевые.

Литература

1. Рохлин В.А. Комплексные топологические характеристики вещественных алгебраических кривых // УМН. 1978. Т.33. Вып. 5. С. 77-89.

2. Харламов В.М. Жесткая изотопическая классификация вещественных плоских кривых степени 5 // Функцион. анализ и его прил. 1981. Т. 15. Вып.1. С. 88-89.

3. Никулин В.В. Целочисленные квадратичные формы и некоторые их геометрические приложения // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1979. Т.43. №.1. С.111-177.

4. Degtyarev A.I. Appendix in: Kharlamov V.M., Rokhlin V.A., Viro O.Ya. Topological properties of real plane projective algebraic curves II to appear.

5. Дегтярев А.И., Звонилов В.И. Жесткая изотопическая классификация вещественных алгебраических кривых бистепени (3,3) на квадриках//Матпем. заметки. В печати.

6. Zvonilov V.I. Stratified spaces of real algebraic curves of bidegree (m,l) and (m,2) on a hyperboloid// Amer. Math. Soc. Transl. (2). 1996. V.17S. P.253 264.

7. Гудков Д.А., Усачев А.К. Неособые кривые младших порядков на гиперболоиде// Методы качеств, теории дифференц. уравнений. Горький. 1980. С. 96-103.

8. Hilbert D. Ueber die reelen Zuge algebraischen Curven// Math. Ann. 1891. B.38. P.115-138.

9. Звонилов В.И. Комплексные топологические инварианты вещественных алгебраических кривых на гиперболоиде и эллипсоиде// Алгебра и анализ. 1991. Т.З. Вып.5. С.88-108.

10. Kharlamov V.M., Rokhlin V.A., Viro O.Ya. Topological properties of real plane projective algebraic curves // to appear.

11. Вир о О. Я. Успехи в топологии вещественных алгебраических многообразий за последние шесть лет // УМН. 1986. Т.41. Вып. 3. С. 45-67.

12. Klein F. Gesammelte mathematische Abhandlungen. В.2. Berlin, 1922.

Summary

Zvonilov V.I. Rigid Isotopy Classification of Real Algebraic Curves of Bidegree (4,3) on a Hyperboloid

A rigid isotopy of nonsingular real algebraic curves on a quadric is a path in the space of such curves of a given bidegree. For real algebraic curves of bidegree (4,3) on a hyperboloid, we obtain the rigid isotopy classification of nonsingular curves and enumerate the connected components of the space of curves with a single node or cusp.

Сыктывкарский университет Поступила 15.09.1998