Инфинитезимальные конформные преобразования локально конформно-келеровых многообразий Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.763.4

Е. В. Черевко

ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ КОНФОРМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОКАЛЬНО КОНФОРМНО-КЕЛЕРОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ

Аннотация. Актуальность и цели. Мотивацией для исследования бесконечно малых преобразований является развитие физики, в частности, от механики и теории относительности, а также то, что уже полученные результаты находят применение во многих отраслях технических наук, особенно в моделировании динамических процессов. Внимание уделяется также специальному классу эрмитовых многообразий, которые отличаются некоторыми дифференциальными условиями на комплексную структуру. Эти многообразия можно конформно отобразить на келеровы многообразия, поэтому они называются конформно келеровыми. Материалы и методы. Исследования проводились в локальных координатах произвольно выбранной карты. Мы предполагали, что все рассматриваемые функции дифференцируемы достаточное количество раз. Также мы пользовались методами тензорной алгебры и тензорного анализа. Результаты. Бесконечно малые преобразования относительно ковариантного почти аналитического поля сохраняют тензор Нейенхейса, т.е. его производная Ли равна нулю тождественно: L^ Nk =0. Мы нашли выражение для производной

Ли формы Ли вдоль ковариантного почти аналитического поля для локально конформно-келеровых многообразий: !^юг- = -фг-. Рассмотрели компактные

ориентированные локально конформно-кэлеровы многообразия и нашли тождество: Г ю Ja£jdа = 2 Г Ja^ da Это условие на комплексную структу-

•' ‘ n - 2 ' ‘ ’

Mn Mn

ру J“, векторное поле Q и ее производных Qа.

Ключевые слова: бесконечно малые преобразования, производная Ли, тензор Нейенхейса, конформно-кэлеровы многообразия, форма Ли.

E. V. Cherevko

INFINITESIMAL CONFORMAL TRANSFORMATIONS OF LOCALLY CONFORMAL KAHLER MANIFOLDS

Abstract. Background. Motivations for investigation of infinitesimal transformations are the development of physics, particularly mechanics and the probability theory, and the reached results have applications in many branches of technical sciences, especially in modelling of dynamical processes. Attention is paid also to special classes of Hermitian manifolds that are distinguished by some differential conditions on the complex structure. The manifolds can be mapped conformally on Kahler manifolds, therefore they are called conformally Kahler mansfolds. Materials and methods. The author uses local coordinates, assumes that all functions under consideration are sufficiently differentiable and applies tensor methods. Results. 1. Infinitesimal transformations relative to a covariant almost analitic field preserve a Nijenhuis’ tensor, i. e. its Lie derivative is identically equal to zero: Nlk- =0. 2.The

researcher has found an expression for a Lie derivative of a Lee form relative to a covariant almost analitic field for locally conformal Kahler manifolds: L^rn, = -ф,.

3. Also article considers compact orientable locally conformal Kahler manifolds and

reveals the identity. f ю JaQd0 = 2 f Ja\' dо That is condition on the

^ ‘ n - 2 ' ‘ ,

Mn Mn

complex structure jf, the vector field Q i, and its derivatives Qa.

Key words: infinitesimal transformations, Lie derivative, conformal Kahler

manifolds, Lee form.

Предметом изучения в данной статье являются локально конформно-келеровы многообразия такие, что dim(M) = n = 2m > 2 . Конформно-келеро-вым многообразиям посвящены работы многих исследователей. Локально конформно-келеровы многообразия рассматривались в работах [1-3]. Также следует упомянуть энциклопедическую работу в данном направлении [4]. Инфинитезимальные конформные преобразования многообразий изучались в [5, 6]. Большое внимание вопросам инфинитезимальных конформных преобразований применительно к комплексным многообразиям уделено в [7]. Целью настоящей работы является исследование проблемы инфинитезимальных конформных преобразований локально конформно-келеровых многообразий.

Прежде всего дадим несколько необходимых определений.

Определение 1. Почти комплексной структурой J называют такой

аффинор Jj, что

Jj = -8j, (1)

здесь 5j - символ Кронекера.

Определение 2. Пространство, в котором задана почти комплексная структура J , называют почти комплексным многообразием.

Почти комплексное многообразие обозначаем {Mn, J, g} .

Определение 3. Почти комплексное многообразие {Mn, J, g} является эрмитовым, если:

1) метрика эрмитова

J“J?g«xp = gj; (2)

2) почти комплексная структура является интегрируемой, т.е. тензор

Нейенхейса тождественно равен нулю:

Nkj = Jf (d( - да Jk) - J) (J( - da Jk) = 0, (3)

или, что эквивалентно

Jkj = J*JjJkaв. (4)

Запятой мы обозначаем ковариантную производную в связности, согласованой с римановой метрикой g j .

Если к тому же на эрмитовом многообразии {Mn, J, g} имеет место равенство

келерова структура

4; =0, (5)

то оно является келеровым.

Определение 4. Эрмитово многообразие М называется локально конформно-келеровым (ЛКК) многообразием, если существует открытое покрытие 3 = {иа} ^ а многообразия М и систем Ъ = {оа :иа ^ К}

гладких функций таких, что {/ |и , gа = е 2°а g 1и }

для любого а е А . Переход от метрики g \и к метрике е 2°а g|u

называется локально конформным преобразованием структуры. Функция о называется определяющей функцией конформного преобразования [2].

Известно, что на ЛКК-многообразии форма Ли, компоненты которой определяются формулой

Ю = /а а/, (6)

п - 2 и

должна быть замкнутой:

d ю =0.

Заметим, что в этом случае локально выполняется равенство ю =2dо . Определение 5. Преобразование многообразия Мп

X = х^ + ^ (х1, х2,..., хп), (7)

„ „г

где ^ - произвольный малый параметр независимый от х , называют

инфинитезимальным преобразованием многообразия Мп. Вектор

^(х1, х2,..., хп) называют генератором преобразования.

Производная Ли (Lie derivative) тензора LzT1 / типа (p, q) вдоль

S Jl—Jq

векторного поля Z в координатах имеет вид

T1 — 1 p = T1—lp Es + T1—lp Zk

jl—jq jl"jq ,S kj1" jq ,jl

+ -

...+Tj ■■'j zk . - Th"-.p zj1 / - Tj1 ■y/ip /. (S)

kjk —Jq ,jl Jl—Jq J Jl—Jq *

Конформные инфинитезимальные преобразования характеризуются уравнениями из [7]:

^ + ^ = фgy . (9)

Известно, что, если векторное поле ^ порождает инфинитезимальные конформные преобразования, и вместе с инвариантом ф должен удовлетворять системе:

1) z", j zij;

1) ф,і = Фі;

3) zi, j+z jj = Фgij ;

(1О)

Особым случаем является ситуация, когда векторное поле

Такое поле называется контравариантным почти аналитическим векторным полем. Следует заметить, что поскольку дифференцирование Ли является перестановочным с операцией внешнего дифференцирования:

то любые инфинитезимальные преобразования сохраняют замкнутость формы Ли. Таким образом, необходимым и достаточным условием того, чтобы при конформных инфинитезимальных преобразованиях многообразие оставалось ЛКК-многообразием, необходимо сохранение эрмитовости, т.е. сохранение выполнения условия (3), которое можно записать в терминах ковари-антных производных:

Если мы потребуем сохранения комплексной структуры, то производная Ли тензора Нейенхейса примет вид

в силу (11).

Известно [7] следующее тождество, справедливое для любых инфини-тезимальных преобразований:

х1,х2,...,хп) индуцирует преобразование, сохраняющее комплексную структуру [7]:

(11)

d^w = Lz d ю,

Для этого необходимо, чтобы

LzNjj =0.

(13)

где Гуг- - объект связности, согласованный с метрикой gj■ . Для инфините-зимальных конформных преобразований справедливо равенство

Jk

J J

-фkgij). (14)

В силу требования сохранения комплексной структуры (11), подставляя

(14) в (13), получаем

к,->Ь=| ^ ( ь+«к:Фр-Фkgpj)-1) (+5в Ф -фр gij

= 2 («(а-ф( - А Ф/ + 4 ф“ gij )■ ('5)

Вычислим производную Ли тензора Нейенхейса вдоль векторного поля ^, учитывая (15):

Ь 4 = 4 (Ь ,ь - Ь^а) - 4 ( Ь,/ - Ь 4а)=) 4 (зк^^Рфр - ф%- -

Фа + 4 фв gаj - 5а ^в фр + фк jа + ^а ф j - ^Р фв g>а)- ^° (5гк ^афр -

-фЧ/ -4Фа + ^ФРgаi -За^Фр + фк-Ла + 4Ф/ -4ФРgiа). С6)

Раскрывая скобки и приводя подобные в (16), получаем, что производная Ли тензора Нейенхейса тождественно равна нулю:

Ь 4 =0.

Учитывая тот факт, что любые инфинитезимальные преобразования сохраняют замкнутость формы Ли, получаем, что справедлива следующая теорема.

Теорема 1. При инфинитезимальных конформных преобразованиях, сохраняющих комплексную структуру, тензор Нейенхейса также сохраняется. В частности, при этом ЛКК-многообразие будет преобразовано в ЛКК-многообразие.

Теперь найдем производную Ли формы Ли. Учитывая (11), получаем

из (6):

Ь5“' = . (17)

С другой стороны, поскольку операция дифференцирования Ли перестановочна со свертыванием, имеем из (15), свертывая индексы к и j :

LzJi,a 1 (nJf фр ф JL Jaфi + Jp фвgia) ^ (nJf фр ф Jia + JPiф

Я =

= 1 (J - ф“ Jja - Ji-рф13) = ) J)p. (1S)

Подставим (1S) в (17), получим

1 n -1

Lzwi = ~~2 ' VJ^Фр Jj = -Фі. (19)

Таким образом, мы получили следующее утверждение.

Теорема 2. При инфинитезимальных конформных преобразованиях ЛКК-многообразий, сохраняющих комплексную структуру, векторное поле V и инвариант ф для которых определяются из системы (10), компоненты производной Ли формы Ли равны частным производным инварианта ф, взятым с обратным знаком:

фг.

Рассмотрим теперь преобразования компактных ориентируемых ЛКК-многообразий. Для этих многообразий имеет место теорема Грина [7]:

J Vjdа = 0, (20)

Mn

где йа = уТ^йх1 л йх2 л... л йхп - элемент меры объема на многообразии Мп . Теперь возьмем вектор 4V и продифференцируем его ковариантно

по x j :

(?) = ^/ V+4 ^.

Свертывая индексы к и ], получаем

(№ ),а = + ^'а. (21)

С другой стороны, из (6) и (1) следует

га п 2га /ооч

•Л',а 2 Юа. ( )

Подставим (22) в (21), получим

^ ®а№' + . (23)

/,а 2

Согласно теореме Грина (22) получим

п - 2

Mn Mn

J ),а da = J I —■n— ®aJ“ii + J“i;a I da = 0,

или

J «аJfi'da = J J“iiada.

n—2

n—2

Mn Mn

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 3. При инфинитезимальных конформных преобразованиях компактных ориентируемых ЛКК-многообразий, сохраняющих комплексную

структуру, векторное поле ^ и инвариант ф для которых определяются из

системы (10), векторное поле ^ форма Ли и комплексная структура должны

удовлетворять соотношению

Г юаJftjdа = --- Г J“^adа.

J n — 2 J

Mn Mn

Список литературы

1. Vaisman, I. A geometric condition for an l.c.K. manifold to be Kahler / I. Vaisman // Geometriae Dedicata. - 1981. - Vol. 10. - Р. 129-134.

2. Кириченко, В. Ф. Локально конформно-келеровы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны / В. Ф. Кириченко // Математический сборник. - 1991. - Т. 182, № 3. - С. 354-363.

3. Радулович, Ж. Геодезические отображения конформно-келеровых пространств / Ж. Радулович, Й. Микеш // Известия вузов. Математика. - 1994. -№ 3. - С. 50-52.

4. Dragomir, S. Locally conformal Kahler geometry / S. Dragomir, L. Ornea. - Boston Basel ; Berlin, 1998. - (Series: Progress in mathematics, vol. 155).

5. Эйзенхарт, Л. П. Риманова геометрия / Л. П. Эйзенхарт. - М. : Изд-во иностранной литературы, 1948. - 316 с

6. Микеш, Й., О распределении порядков групп конформных преобразований римановых пространств / Й. Микеш, Д. Молдобаев // Известия вузов. Математика. - 1991. - № 12. - С. 24-29

7. Yano, K. Differential geometry on complex and almost complex spaces / K. Yano // Pure and Applied Math. - New York : Pergamon Press Book, 1965. - Vol. 49.

References

1. Vaisman I. Geometriae Dedicata. 1981, vol. 10, pp. 129-134.

2. Kirichenko V. F. Matematicheskiy sbornik [Mathematical collection]. 1991, vol. 182, no. 3, pp. 354-363.

3. Radulovich Zh., Mikesh Y. Izvestiya vuzov. Matematika [Universicy proceedings. Mathematics]. 1994, no. 3, pp. 50-52.

4. Dragomir S., Ornea L. Locally conformal Kahler geometry. Boston Basel; Berlin, 1998, (Series: Progress in mathematics, vol. 155).

5. Eyzenkhart L. P. Rimanova geometriya [Riemannian geometry]. Moscow: Izd-vo inostrannoy literatury, 1948, 316 p.

6. Mikesh Y., Moldobaev D. Izvestiya vuzov. Matematika [University proceedings. Mathematics]. 1991, no. 12, pp. 24-29

7. Yano K. Pure and Applied Math. New York: Pergamon Press Book, 1965, vol. 49.

Черевко Евгений Владимирович старший преподаватель, кафедра экономической кибернетики, Одесский национальный экономический университет (Украина, г. Одесса, ул. Преображенская, 8)

Cherevko Evgeniy Vladimirovich Senior lecturer, sub-department of economic cybernetics, Odessa National University of Economics (8 Preobrazhenskaya street, Odessa, Ukraine)

E-mail: cherevko@usa.com

УДК 514.763.4 Черевко, Е. В.

Инфинитезимальные конформные преобразования локально кон-формно-келеровых многообразий / Е. В. Черевко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2013. -№ 4 (28). - С. 93-100.