Смещение последовательности положительных чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.52

СМЕЩЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ © А. Ф. Кужаев*, А. И. Рафиков, О. А. Кривошеева

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел.: +7 (987) 618 46 55.

*Етай: arsenkuzh@outlook.com

Известно, что при изучении вопросов полноты систем экспоненциальных мономов, частными случаями которых являются системы экспонент, большую роль играют специальные целые функции экспоненциального типа, обращающиеся в нуль по крайней мере на последовательности показателей Л = (Хп}п>1 указанной системы. Это означает, что исследование геометрических характеристик последовательностей комплексных чисел является важным для получения результатов, касающихся полноты. В качестве таких характеристик выступают всевозможные плотности последовательности показателей. Нас будут интересовать, в основном, три из них: верхняя, максимальная, логарифмическая блок-плотность. Данная работа посвящена исследованию изменений, а так же сохранений указанных плотностей при сдвигах заданной последовательности.

Ключевые слова: нули целой функции, верхняя плотность, максимальная плотность, логарифмическая блок-плотность, сдвиг последовательности.

Необходимые определения, обозначения, вспомогательные утверждения

Работы [ 1—2] показывают, что большое значение для получения результатов типа теорем единственности, тесно связанных с вопросами полноты, имеют верхняя плотность п(Л), максимальная плотность п0(Л), а так же верхняя логарифмическая блок-плотность L (Л) положительной последовательности Л, которые можно определить следующим образом:

п(Л) := ÜiS 1 V 1,

r^+от r ' 1

1 AnSr

П0(Л) := lim lim — V 1,

5^0+ r^+от ör ¿—i

r(1-5)<An<r

11 1(Л) := lim lim -— V —.

а^+от r^+от ln a ¿—i Яп

r<An<ar

Существование предела по ö ^ 0 в определении максимальной плотности следует из леммы параграфа E3 главы IV книги [3], а существование предела по a ^ из определении логарифмической блок-плотности доказывается в лемме 3.2 работы [1]. Таким образом, все введенные выше величины определены корректно.

Всюду в данной работе под какой-либо нумерацией членов последовательностей (то есть записью вида «хп, п £ N») понимается нумерация с учетом кратностей.

Будем говорить, что последовательность Л = = {Яп}пг1 получена сдвигом (смещением) последовательности Л' = {ЯП}пг1 влево (вправо), если an := ЯП — Яп > 0 (< 0) для всех п £ N. Саму числовую последовательность an будем называть сдвигом (смещением).

Через п(г,Л) обозначим количество членов последовательности Л (с учетом кратностей), не превышающих числа t — так называемая считающая функция последовательности Л. То есть

i(r, Л) = V 1.

An<r

Иногда для краткости будем писать п(г), если из контекста ясно, о какой последовательности идет речь. Также положим

Я(г) : Z Я?

An<r

Величину Я(г) будем называть характеристическим логарифмом последовательности Л. Используя эти обозначения, выражения для плотностей можно переписать в более компактном виде:

_,АЛ =— п(г,Л) п(Л) = lim -,

r^+от r

_ п(г,Л) — n(r(1 — 0),Л) п0(Л) = lim lim ---,

5^0+ r^+от ör

_ Я(аг) — Я(г)

1(Л) = lim hm ---.

а^+от r^+от ln a

Нижняя плотность последовательности Л определяется следующим образом:

n(r, Л)

п(Л) = lim -.

r^+от r

Если выполнено равенство п(Л) = й(Л), то последовательность Л называют измеримой, а верхнюю плотность (она же в данном случае нижняя) называют просто плотностью и обозначают п(Л).

Нетрудно проверить, что для верхней и нижней плотностей справедливы равенства:

пп п(Л) = hm —, п(Л) = lim —

Яп п^от Яп

(по поводу верхней плотности см. [4], глава I, лемма 2.2; равенство для нижней плотности доказывается аналогично).

Помимо всего прочего нам будет полезная следующая

Лемма. Для любой неубывающей положительной последовательности Л, имеющей единственную предельную точку +то, справедлива цепочка неравенств

п(Л) < ¿(Л) < п(Л) < п0(Л).

Доказательство. Справедливость неравенства п(Л) < п0(Л) доказывается достаточно громоздко. С ним можно ознакомиться, например, в [4] (глава II, лемма 4.5) — на нем мы в данном доказательстве останавливаться не будем. Мы проведем доказательство только для случая п(Л) < то (в этом случае п(Л) так же конечна, так как неравенство п(Л) < п(Л) следует немедленно из определения этих величин), так как случай бесконечной верхней плотности, не представляет затруднений — можно использовать те же идеи, которые мы будем использовать здесь.

Докажем неравенство ¿(Л) < п(Л). По определению верхней плотности, для любого £ >0 найдется г£ такое, что для любого г > г£ справедливо неравенство

п(г,Л) < (п(Л) + £)г.

Выберем произвольное число г > гЕи а >1 и рассмотрим те члены последовательности Л, которые расположены в полуинтервале (г; аг]. Пусть это члены с номерами п1, п2,..., пк. Тогда

пк

У -= У-=

^ Яп ^ Ят

_ J

r<An<ar

dn(t,A) n(ar,K)

t

<

ar n(ar, Л) ar

т=пг

n(r, Л) r

n(r,K)

■ +

i

n(t,A)dt

<

r

t

dt

+

dt

+ (fi(A) + £)J — _

t

n(ar,A) n(r,A)

+ (п(Л) + e) ln a. ar r

Так как п(Л) < то, то существует константа С >0 такая, что

\n(ar,K) п(г,Л)

ar

< С.

Таким образом,

(1п а)"1 У — < (1п а)"1 (С + (п(Л) + £) 1п а).

¿—I Яп

£<Ап<а£

Переходя в последнем неравенстве к верхнему пределу при С ^ то, а затем к пределу при а ^ то, в силу произвольности е получаем, что !(Л) < п(Л). Неравенство п(Л) < ¿(Л) доказывается аналогично. Лемма доказана.

Из этой леммы следует, что для измеримых последовательностей имеет место цепочка равенств п(Л) = п(Л) = ¿(Л) = п(Л) = п0(Л).

Теорема о сдвиге положительной последовательности

Будем рассматривать Л' = {Я"}пг1 и Л = {Яп}пг1 - неубывающие последовательности положительных чисел с единственной предельной точкой +то, связанные соотношением

Иными словами, последовательность Л получена сдвигом последовательности Л' влево. В свою очередь, очевидно, последовательность Л' получена сдвигом последовательности Л вправо.

Предположим, что существует предел

lim ^ =: Я (Л', Л).

(2)

Величину Я (Л', Л) при условии ее существования, будем называть относительным сдвигом.

Поскольку все Яп положительны, то ЯП >

ап, п > 1. Это означает, что ^П <1 для любого п £

хп

М, а значит, Я (Л', Л) < 1, то есть предел (2), если он существует, всегда конечен.

Основной результат нашей работы формулируется следующим образом.

Теорема. Пусть Л' = {Яп}па1 и Л = {Яп}пг1 -неубывающие последовательности положительных чисел с единственной предельной точкой +то, связанные соотношением (1). Пусть также существует величина Я (Л',Л).Тогда при условии (1—

я(л',л))2 + (Г(Л')) Ф 0 справедливы следующие формулы:

п(Л')

п(Л) =

по(Л) =

1 - Я(Л',Л)'

йо(Л') 1 -_Я(Л',Л)' Г(Л')

L(A) 1- Я(Л',Л)' Доказательство. Будем считать пока, что Я (Л', Л) Ф 1 и логарифмическая блок-плотность L(A') последовательности Л' не равна нулю (случаи, когда одно из этих условий не выполнено, будут рассмотрены после). Имеем

—— п г:— п ^(л')

Lim — _ lim ——^г =-; „ N _

Яп п^от 1-^) lim (1-^)

_ п(л') _ п(л')

_ 1- lim ^П _ 1-Й(Л',Л) .

То есть доказана первая формула п(Л')

п(Л) _ —у—т~.

v J 1-Й(Л',Л)

Докажем теперь соответствующую формулу для максимальной плотности.

Очевидно, (2) равносильно соотношению

lim ^ _1- Я (Л', Л). (5)

Пусть r > 0, S £ (0; 1). Введем обозначения

q — q(r) — max{n £ N : Яп < r}, (6) s — s(r, S) — min{n £ N : Яп > r(1 - 5)} (7) В этом случае в силу (5) найдется число Я >0 такое, что как только r > Я, будут выполнены неравенства:

(3)

(4)

"(1 - S) (

1-Й(Л',Л)

<

Яп — яп — >0, n > 1.

(1)

Sу) <

, s< я; (8)

1-Й(Л',Л) J s s \ /

Я'« < (-+ 5у)яа <

« Ч1-Й(л',л) J « < r(-V" + 5у(9)

Ч1-Й(Л',Л) J' у 7

где у >1 — любое. Положим для краткости

й(Л',Л) =: А.

Предположив (не ограничивая общности),

что r > й, имеем:

_ — n(r, Л) — n(r (1 — 5), Л)

п0 (Л) = lim lim ---<

5^0 r^+от ör

— 1 „ < lim lim — (n(r((1 — А)-1 + öУ),Л')

5^0 r^+от ör

—n(r(1 — ö)((1 — А)-1

S r ),Л'))

Сделаем замену переменных:

r((1 - Sr)-1 + Sy) =: t

S'.

(1- S) =:1

(10) (11)

Очевидно, что t ^ +то при г ^ +то, а 5' £ (0; 1), и, кроме того, 5' ^ 0 при 5 ^0. Тогда можно продолжить оценку максимальной плотности: п0(Л) < ^

¿'((Ч-ЙГЛ'ДЛ < lim ——--!- х

S'^0 S

х lim

t^+от

Из (11) имеем:

n(t,A/)-n(t(l-ff/),A/)

S't

(12)

8'((1 - Л)"1 + 8у) = = (1 - Л)"1 + 8у - (1 - 5)((1 - Л)"1 - 8у) = = 25у + 8(1- Л)"1 - 8у+1. Тогда из (12) следует оценка:

"о(Л) < ^ (13)

Для обратной оценки будем рассматривать последовательность Л' как сдвиг вправо последовательности Л. Для этого изменим обозначения для индексов я и 5:

Я = тах{п £М: ЯП < г}, (14)

5 = тт{п £М: ЯП > г(1 - 8)}. (15) Снова полагая, что у >1, из (5) получаем неравенства, аналогичные неравенствам (8)—(9): г(1 — 5)(1 - Л - 8у) < < (1 - Л - 8у)Я; < Ях, (16)

Яч < Я'ч(1 - Л + 8у) < г(1 — Л + 8у). (17) Тогда

по (Л') <

п(г(1 - А) + 8У), Л) - п(г(1 - З)(1 - А - 8У), Л) Зг

Проводя аналогичные выкладки, получим, что По(Л') < (1- Л)По(Л). (18)

Таким образом, из (13) и (18) следует формула:

(19)

Осталось доказать формулу для логарифмической блок-плотности !(Л).

Для произвольных г >0 и а >1 по аналогии с (6)—(7) положим

Я := Я (г, а) := тах{п £М: Яп < аг} (20) 5 : 5 (г) := min{n £М: Яп > г}. (21) Из (2) следует, что для любого £ >0 найдется число Д такое, что как только г > Д, будем иметь

< lim lim

Яо(л)=-^aL

uv J 1-й (Ar,A)

¿(Л) = lim (ln а)-

а^+от

lim

r^+от

4

У1

Z_i Яп

= lim (ln а) 1 lim

а^+от г^+от

4

У_1_

Л _ £nJ

n=s Яп V1 ЯП J

<

< (1— А — е)-1 lim (ln a)-1 lim V -1-.

а^+от r^+от Яп

n=s

Кроме того, при r > й, без ограничения общности, можно считать (по аналогии с (8)—(9)), что

r(Ä- £) < (1-1— £)Я^ < ^ (22)

Я'« < (1-1 + £К < ar(1-^ + е). (23) Тогда

_ КЛ) <

lim (ln а)-1 lim (я'(аг(( 1 - Л)-1 + г)) - Я'(г((1 - Л)-1 - г)))

^ g^+ю_r^+ю У_

~ (1 - Л - г) '

Делая замену, аналогичную (10)—(11), проводя необходимые выкладки и учитывая, что е произвольно, получим оценку

Г(л')

¿(Л) <

1-Л

(24)

¿(л) = -S^L,

4 у 1-й (А',А)

Наконец, рассуждая так же, как и в случае с максимальной плотностью, получим обратную оценку

L(Л') < (1 — А)Г(Л), (25)

откуда с учетом (24) будет следовать формула

(26)

Теперь рассмотрим случай, когда й(Л',Л) = 1. При этом подразумеваем, что L(A') Ф 0 (ясно, что в этом случае п(Л') Ф 0).

Тогда из (5) следует, что Яп = о(Яп) при n ^ то. В связи с этим будем писать: Яп = /?пЯП, где ßn ^ 0 при n ^ то. Поскольку последовательность из Яп должна быть неограниченно возрастающей, величина должна стремится к бесконечности медленнее, чем

ßn

Яп. Очевидно, что ап = Яп(1 — ^п). Кроме того, обозначаем

q : q(a,r): = max{n £ N : Яп < ar}, (27) s : s(r): = min{n £ N : Яп > r}. (28) Имеем:

_ _ Я'(ат) — Я'(Г)

1(Л') = lim lim ---=

а^+от r^+от ln a

4 1

= lim (ln a)-1 lim Z --=

а^+от r^+от ¿_t Яп + ап

n=s

4 1

= lim (ln a)-1 lim Z —-,-r-.

Яп V1 + Яп )

Проведем отдельно оценку снизу величины

Яп

Я'

В силу того, что яп есть бесконечно большая после-

Яп

довательность, а -П ^ 1, n ^ то, для любого е >0 и

Яп

М >0 найдется номер N(M, е) такой, что при п > е) получим:

-п = -п • Яп > (1 — е)М.

Яп Яп Яп

Тогда

¿(Л') < (1 + (1 - £)М)"1 lim (in а)"1 lim

а^+го г^+го

У -■

Поскольку

Я, = < аг, Ях = ^ > ßs г,

то

Г(Л') <

1 — Я(— ar) - Я(—sr)

< (1 + (1 - е)М)-1 lim lim V « /-

а^+от r^+от ln a

Сделаем в пределе замену переменных:

—«

t _ 0sr; b _ — a.

—s

1

Так как ln a _ ln b + ln — + ln —s > ln b +

ßq

ln T + ln e', где T и e' — произвольные положительные числа, то получим следующее:

Г(Л') < 1 — я(ьо - я(t)

< (1 + (1 - e)M)-1 lim lim , , , ^ / _

b^+OTt^+от lnb +ln T + ln e '

_ (1 + (1 - e)m)-1 дЛ).

То есть

!(Л) > (1 + (1 - е)м)!(Л').

Принимая во внимание произвольность М, имеем, что 1(Л) _ а значит, п(Л) _ по(Л) _

Теорема полностью доказана.

Следствия, особые случаи, примеры

Из (3) видно, что при выполнении условий теоремы в случае измеримости последовательности Л' последовательность Л также измерима. Кроме того, из теоремы немедленно вытекает

Следствие. Если последовательности Л' и Л связаны условием (1) и величина Я (Л', Л) существует, то тогда справедливы следующие необходимые и достаточные условия:

п(Л) _ п(Л') ^ Я (Л', Л) _ 0, п0(Л) _ по(Л') ^ Я (Л', Л) _ 0, Г(Л) _ Г(Л') ^ Я (Л', Л) _ 0.

Случай равенства единице величины Я (Л', Л) вмещает в себя много особых случаев. Если считать, что п(Л') Ф 0 (не предполагая выполнения условия !(Л') Ф 0), то из соотношения

_

п - п

lim — = lim ——

получаем, что п(Л) _ п0(Л) _

Наконец, пусть п(Л') _ 0. Сразу заметим, что это условие говорит о том, что Л' измерима, так как ее нижняя плотность

n

п(Л') _ lim яг

п^от яп

также необходимо равна нулю. Следовательно, Г(Л') _ По (Л') _ 0

Случай действительно является особым в том смысле, что в общей ситуации ничего нельзя сказать, какими будут плотности последовательности Л. При фиксированной Л', подбирая соответствующим образом ап(а значит, и /?п), можно добиться того, что плотности Л будут равны нулю, отличному от нуля числу или бесконечности.

В качестве примера возьмем последовательность Яп = п7,п £ М, где у >1. Очевидно, п(Л') =

0. Пусть ап = п7 — 1п(?1+2)). В этом случае =

1п(п+2)

и тогда

_ - п - п

п(Л) = lim — = lim —— :

п^го яп п^го рпЯп

- п1"7

= lim ---—— = 0.

п^ (1п(п + 2))"1 Поскольку последний предел существует, то последовательность Л измерима, значит, ¿(Л) = По (Л) = 0.

Если же ап = п7 — С • п, где С £ (0; 1], то /?п = Сп1"7, и получим следующее:

п(Л) = lim

п

1"7

п^м Сп1 7 С_ Снова видно, что Л измерима и ¿ (Л) = п0 (Л) = = С "1.

Наконец, полагая ап = п7 — 1, будем иметь, что /?п = п"7 и

п

1"7

п

1"7

п(Л) = lim-= = lim ■

п^го п"7 п^ТО п"7

= п(Л).

В силу цепочки неравенств п(Л) < ¿(Л) < п(Л) < п0(Л) справедливы равенства: ¿(Л) = п0(Л) = +то.

В заключение заметим, что ослабление условия (2), например, использование верхнего предела вместо предела без предположения существования последнего:

йт ^п =: А, (29)

приводит к тому, что полученные выше результаты перестают быть верными. Имеются примеры, которые показывают, что равенство нулю верхнего предела (29) не является достаточным условием для сохранения максимальной плотности, а также логарифмической блок-плотности даже в таком простом случае, как ЯП = п.

ЛИТЕРАТУРА

1.

Malliaven P., Rubel L. A. On small entire functions of exponential type with given zeros // Bull. Soc. Math. France, 89 (1961), P. 175-201.

2. Хабибуллин Б. Н. Полнота систем экспонент и множества единственности. Уфа, РИЦ БашГУ. 4-е изд. 2012.

3. Koosis P. The logarithmic integral I // Cambridge University Press, 1997.

4. Кривошеева О. А., Кривошеев А. С., Абдулнагимов А. И. Целые функции экспоненциального типа. Ряды Дирихле. Уфа, РИЦ БашГУ. 2015.

Поступила в редакцию 07.02.2017 г.

SHIFT OF THE SEQUENCE OF POSITIVE NUMBERS © A. F. Kuzhaev*, A. I. Rafikov, O. A. Krivosheyeva

Bashkir State University 32 Zaki Validi St., 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: +7 (987) 618 46 55.

*Email: arsenkuzh@outlook.com

It is known that special entire functions that vanish on a given sequence of exponents A = {An}nal are prominent in studying completeness of corresponding exponential monomials systems (their special case are exponential systems). That means that it's important to study geometric properties of sequences of complex numbers for obtaining results related to completeness. Let A' = {^n}nal and A = {An}nal be increasing sequences of positive real numbers whose only limit point is Let us suppose that An = ^ — an, an > 0, n £ N and limit

«n

lim

n^OT Яп

exists and equals to fi(A', A) < 1. Considering the following quantities: upper density n(A), maximum density no(A), and logarithmic block density 1(A) of sequence A, which can be defined by the formulas below:

п(Л) := lim - У 1, по(Л) := lim lim 1 У 1,

r^+от r ¿—l 5^0+ r^+от St Z_i

An<r r(1-5)<An<r

11 1(Л) := lim lim -— У —,

а^+от r^+от ln а ¿—l Яп

r<An<ar

we can formulate the result. Theorem. If (l — R(A',A))2 + ^L(A')) ^ 0 then following equalities hold:

"(A') - "o(A') I(A')

n(A) = --, «o(A) = --, ¿(A) =

1-fl(A',A)' üv y 1-fl(A',A)' vy 1-fl(A',A)'

Keywords: zeros of an entire function, upper density, maximum density, logarithmic block density, sequence offset.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Malliaven P., Rubel L. A. Bull. Soc. Math. France, 89 (1961), Pp. 175-201.

2. Khabibullin B. N. Polnota sistem eksponent i mnozhestva edinstvennosti [The completeness of exponent systems and sets of uniqueness]. Ufa, RITs BashGU. 4 ed. 2012.

3. Koosis P. Cambridge University Press, 1997.

4. Krivosheeva O. A., Krivosheev A. S., Abdulnagimov A. I. Tselye funktsii eksponentsial'nogo tipa. Ryady Dirikhle [Entire functions of exponential type. Dirichlet series]. Ufa, RITs BashGU. 2015.

Received 07.02.2017.