Об одном соотношении для логарифмической блок-плотности Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1998-4812

Вестник Башкирского университета. 2017. Т. 22. №1

25

УДК 517.52

ОБ ОДНОМ СООТНОШЕНИИ ДЛЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОИ БЛОК-ПЛОТНОСТИ

© А. Ф. Кужаев*, А. И. Рафиков, О. А. Кривошеева

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел.: +7 (987) 618 46 55.

*Email: arsenkuzh@outlook.com

Логарифмическая блок-плотность (logarithmic block density) встречается у Л. А. Рубеля (L. A. Rubel) в работе 1956 г. в связи с исследованием необходимых и достаточных условий в теореме Ф. Д. Карлсона (F. D. Carlson), которая является одним из первых результатов типа теорем единственности для целых функций экспоненциального типа. В работе 1961 г., написанной Рубелем совместно с П. Мальявеном (P. Malliavin), логарифмическая блок-плотность была исследована более подробно, и в ее терминах был дан критерий полноты системы экспонент в горизонтальной полосе. В 1988-1991 гг. Б. Н. Хабибуллиным было дано обобщение этого результата на случай комплексных показателей экспонент. В настоящей работе получены двусторонние оценки на логарифмическую блок-плотность для последовательности положительных чисел, а так же обсуждаются следствия из них.

Ключевые слова: нули целой функции, гарифмическая блок-плотность.

Известно, что вопрос полноты системы экспонент связан с вопросом поведения целых функций экспоненциального типа, обращающихся в нуль на последовательности показателей указанной системы. Этим в свое время занимались, например, А. И. Маркушевич (см. [1]), А. О. Гельфонд (см. [2]), А. Ф. Леонтьев (см. [3]), К. Х. Мюнтц (Ch. H. Müntz) (см. [4]). Кроме того, работы [5-6] показывают, что критерий полноты в неограниченной выпуклой области специального вида можно дать в терминах такой характеристики последовательности нулей Л = (Яп}и>1, как верхняя логарифмическая блок-плотность Е(Л):

_ 1 V1 1

¿(Л) := inf lim -— > —.

a>i t^+ra ln a Я„

t<An<at

Здесь подразумевается суммирование с учетом кратностей: каждое слагаемое вида 1/Я„ входит в сумму столько раз, какова кратность Яи точки в последовательности Л. Согласно лемме 3.2 работы [1], справедливо равенство

11 ¿(Л) := lim lim -— > —

a^+rat^+ralna Яи

t<An<at

(внешний предел по а ^ всегда существует). Именно это равенство будет нами использоваться в дальнейшем в качестве определения логарифмической блок-плотности. В связи с вышесказанным мы полагаем, что получение каких-либо соотношений для величины Е(Л) будет полезно для получения новых результатов в упомянутых вопросах полноты. Но прежде, чем сформулировать основной результат, введем некоторые обозначения.

На протяжении всей работы будем рассматривать положительную неубывающую последовательность вещественных чисел с единственной предельной точкой В дальнейшем под Я„, п > 1 будем понимать нумерацию этой последовательности без учета кратностей. Кратность же точки Я„ будем обозначать через v„, и тогда саму кратную последовательность {Яп,уп}„>1 обозначим буквой Л.

верхняя плотность, максимальная плотность, ло-

Положим

() Я„

Лп<£

Функцию Я называют характеристическим логарифмом последовательности Л. С учетом этого обозначения мы можем переписать выражение для логарифмической плотности следующим образом:

Г.ЛЛ — Я(а0-Я(0

¿(Л) := lim

hm

a^+ra t^+ra

lna

Так же нам понадобится ввести в рассмотрение следующие величины:

^(Л) := lim^ü ; (1)

П^ГО Яп

<т(Л) := lim

П^ГО Ап

ст(Л) := lim

Яп

ст(Л) := lim (2)

п^ГО Яп

Ясно, что если величина ^(Л) существует, то она не меньше единицы.

Теперь сформулируем и докажем основной результат нашей работы.

Теорема. Если величина ^(Л) существует, ^(Л) >1, то имеет место оценка:

g(A) < ¿(Л) < 7(Л) (3)

ln,CA) < ¿(Л) < 1п,(Л). (3)

Доказательство. Для дальнейших рассуждений нам необходимо будет ввести следующие обозначения: для любых t > 0 и а > 1 положим

д(Л, t, а) := max{n £М: ЯП < at], (4) s(^t) := min{ п £М: ЯП > t]. (5) Для краткости всюду в данной работе, где встретятся символы q и s, мы будем считать, что q = q(A, t, а), а s = 5(Л, t). Тогда, используя эти обозначения, мы можем написать, что

Г(Л) = lim Jim

-) in а л«

(6)

Далее положим А := ^(Л). В силу равенства (1) существует последовательность ап ^ 0, п ^ го такая, что выполнено соотношение:

Яп+1 =

Я„(А + а„),п> 1. (7)

26

МАТЕМАТИКА и МЕХАНИКА

Тогда, применяя многократно равенство (7),

получим следующее:

^A^re-Ki+T)

(8)

Положим для краткости

W„

fc=1

Пусть £ > 0. Тогда найдется номер М(е) такой, что с учетом обозначений (4)-(5) при условии 5 > М(е) (без ограничения общности его всегда можно считать выполненным) имеем:

А(а 0 - Я(0 =

= Й=5Г <№) + £)(<?-5 + 1); (9)

А(аО - Я(0 > (ст(Л) - е)(<? - 5 + 1). (10) Поскольку Яч < а£ < Яч+1 и Ях-1 < £ < Ах, то, используя (8), легко проверить, что справедливы неравенства:

ln at—ln A-i—lnWo--i

q <-т1-— + 1,

^ lnA

^ ^ lnt—lnAi — lnW5-i ^

> ln A '

ln at—lnAi—ln Wo

q >-;-

ln A

_ ln t—lnAi—ln Ж5-2 . ,-, S < -;—;--+ 2.

В этом случае:

ln A

ln a 1 , W,

q - s < ----— ln

' 1м Л ln л

ч-l

ln A ln A Ws-1

_ lna 1 vq—1,„ Л , «A .

q — s +1 > lna —— i^ = ina

' ln A ln A Ws-2 ln A

— >(1+^) — 1'

lnA^-lk=s—1 V A/

(11) (12)

(13)

(14)

В силу определения afc существует номер fc(e) такой, что будут иметь место неравенства:

-е < afc < e,fc > fc(e). (15)

Без ограничения общности можно считать е таким, что s > fc(f),A — е > 1, а fc(e) = 1. Тогда оценки (13)—(14) можно продолжить:

lna q — s ( £\ q — 5 ——-ln(1—-); lnA lnA V А> lna q — s + 2 / £\ q —s + 1>—- , ln(l ) — 1.

ln А ln А А

Таким образом, получили следующее:

^ lna /лг\

q — г; (16)

ln(A—£) '

q —s + 1>^+0(1).

ln(A+£)

Следовательно, из оценок (13)—(14) следует: A (at) — A(t) ст(Л) + £

(17)

ln a ln(4 — e) '

A(at) — A(t) (ст(Л) — £) / ln a

+ 0(1) ).

lna lna \ ln(A + £)

Переходя к верхнему пределу при t ^ и, а затем, устремляя ак + и, получим, что

(18)

£(Л)—£ < 1(A) < ■ ff(A)+£

ln(rç(A) + £) - 4 ' - ln(rç(A)—£)

Пользуясь произвольностью , получаем нуж ную оценку:

£(Л) < Да) < ■ff(A)

lnrç(A)

(19)

1пч(Л) Теорема доказана.

Из полученной оценки вытекает очевидное Следствие. Если величины ^(Л) и ст(Л) существуют и ^(Л) Ф 1, то имеет место формула

г(Л)=!^. (20) Полученная формула имеет по крайней мере два существенных недостатка. Во-первых, формула получена при условии, что для последовательности Л величины ст(Л) и ^(Л) существуют. Использование верхнего или нижнего предела вместо предела в (1), как видно из доказательства, не дает возможности получить подобные двусторонние оценки на логарифмическую блок-плотность. Во-вторых, под особый случай (^(Л) = 1, с(Л) = 0 одновременно) попадают достаточно много простейших. Например, если в качестве Л рассмотреть последовательность натуральных чисел, то есть положить Аи = п, = 1,п£ М, то формула (20) не дает нам числовое значение для величины Е(Л), в то время как непосредственное вычисление показывавает, что 1(Л) = 1. Данное равенство можно получить, пользуясь выражением для асимптотики частичной суммы гармонического ряда:

I

1

— = ln m + уе + £m,

П /-em

где ye - постоянная Эйлера, а £m - бесконечно малая последовательность при m ^ œ.

В качестве еще одного примера рассмотрим последовательность Л = {lnn, 1}„>1. Ясно, что <г(А) =

0. rç(A) = 1. Так как нижняя плотность

к

П(Л) := lim —

(здесь нумерация индексом к означает нумерацию с учетом кратности) равна бесконечности, то логарифмическая блок-плотность тоже равна бесконечности.

Рассмотренные нами два примера показывают, что для последовательностей Л, у которых <т(Л) = 0, а rç(A) = 1, логарифмическая блок-плотность может быть как конечной, так и бесконечной. Иными словами, формула (20) в этом случае непригодна для вычислений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Маркушевич А. И. О базисе в пространстве аналитических функций // Матем. сб. Т. 17(59). С. 211-252.

2. Гельфонд А. О. Sur les systems complets des fonctions analitiques // Матем. сб. 1938. Т. 4(46). №1. С. 149-156.

3. Леонтьев А. Ф. О полноте системы {ея"г} в замкнутой полосе // Докл.. АН СССР. 1963. Т. 152. №2. С. 266-268.

4. Müntz Ch. H. Über den Approximationssatz von Weierstrass // In: Math. Abhandlung H. A. Schwartz u seinen 50. Doetorjubilaum gewidmet. Festschrift. Berlin. 1914. S. 303-312.

5. Malliaven P., Rubel L. A. On small entire functions of exponential type with given zeros // Bull. Soc. Math. France, 89 (1961), P. 175-201.

6. Хабибуллин Б. Н. О росте целой функции экспоненциального типа на мнимой оси // Матем. сб. 1989. Т.180. №5. С. 706-719.

Поступила в редакцию 17.01.2017 г.

ISSN 1998-4812

BecTHHK EamKHpcKoro yHHBepcHTeTa. 2017. T. 22. №1

27

ON A FORMULA FOR THE LOGARITHMIC BLOCK DENSITY

© A. F. Kuzhaev*, A. I. Rafikov, O. A. Krivosheyeva

Bashkir State University 32 Zaki Validi Street, 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: +7 (987) 618 46 55. *Email: arsenkuzh@outlook.com

Let A = (An}„>1 be a strictly monotonically increasing sequence of positive real numbers, whose the only limit point is vn will denote multiplicity of An.Logarithmic block density is defined by the equality:

_ 1 v"1 1

L(A) := inf lim -— >7-.

a>1r^+mlna An

r<An<ar

Logarithmic block density was studied in the article by L. A. Rubel and P. Malliavin (1961). They also formulated criterion for completeness in horizontal strip of the system of exponents based on logarithmic block density. This result was generalized by B. N. Khabibullin to complex exponents in 1988-1991. Let us consider

^n+1

7(A) := lim - ;

n^ro Xn

o-(A) := lim ct(A) := lim t-, ^(A) := lim

n^ro ^n n^ro ^n n^ro ^n

It is clear that 7(A) > 1 if it does exist. In this work, the authors calculate lower and upper estimates for logarithmic block density for sequences of positive real numbers using 7(A), ct(A), and ct(A), and discuss consequences of these estimates. Theorem. If 7(4) exists and 7(A) > 1, then inequality holds:

<K4)< ^

Corollary. If 77(A) and <r(A) exist and 7(A) ^ 1, then following formula is true:

lnrç(A)'

Keywords: zeros of an entire function, upper density, maximum density, logarithmic block density.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Markushevich A. I. Matem. sb. Vol. 17(59). Pp. 211-252.

2. Gel'fond A. O. Matem. sb. 1938. Vol. 4(46). No. 1. Pp. 149-156.

3. Leont'ev A. F. Dokl. AN SSSR. 1963. Vol. 152. No. 2. Pp. 266-268.

4. Müntz Ch. H. In: Math. Abhandlung H. A. Schwartz u seinen 50. Doetorjubilaum gewidmet. Festschrift. Berlin. 1914. Pp. 303-312.

5. Malliaven P., Rubel L. A. Bull. Soc. Math. France, 89 (1961), Pp. 175-201.

6. Khabibullin B. N. Matem. sb. 1989. Vol. 180. No. 5. Pp. 706-719.

Received 17.01.2017.