СЛОЖНЫЕ ИНВАРИАНТНЫЕ МНОЖЕСТВА МНОГОМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

В.Н. Белых, М.С. Киняпина, Н.В. Шестерикова

Дикий аттрактор с гомоклинической восьмеркой седло-фокуса в четырехмерной системе

V.N. Belykh, M.S. Kinyapina, N. V. Shesterikova

Key words: wild attractor, bifurcation, a figure - eight homoclinic structure

The article considers the multi-parameter family of 4D dynamical systems. The authors prove the existence of a wild attractor with positive divergence along the leading manifold of a saddle-focus having a figure - eight homoclinic structure.

Статья поступила в редакцию 14.11.2016 г.

УДК 517.925

В.Н. Белых, д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой ФГБОУВО «ВГУВТ» И.А. Мордвинкина, старший преподаватель ФГБОУ ВО «ВГУВТ» 603950, г. Нижний Новгород, ул. Нестерова, 5

СЛОЖНЫЕ ИНВАРИАНТНЫЕ МНОЖЕСТВА МНОГОМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ1

Ключевые слова: аттракторы, многомерные отображения, подкова Смейла.

В статье представлен пример существования сложного аттрактора для конкретного многомерного отображения. Обнаружены сложные бифуркационные переходы от

простых фазовых структур с неподвижными точками к многомерным подковам

Смейла.

Введение

Как известно, существуют примеры отображений, имеющих свойства гиперболичности [1, 2, 5]. С другой стороны, в общем случае, трудно найти условия для правых частей отображений, чтобы обеспечить существование аттракторов данной динамической системы. Это является причиной недостатка примеров конкретных динамических систем.

Аттракторы такого типа для многомерных инвариантных отображений, с особенностями схожими с двумерным отображением Лози, изучены в настоящей работе.

Существование гиперболических аттракторов было доказаны для семейства двумерных отображений [3, 4].

Рассматривается множество отображений [: Ят+1 —1 Д"+1вида

где В1 = (Ьуесть (и+1) - квадратная матрица параметров; с = ё = сокитф:^, ...,с„), р = саЬагт^д,рп +1} и с? = со1итп(р^... ,ря) являются векторами-столбцами параметров; и = со1гагт V = саЬтап... ,ип') являются векторами-столбцами переменных, £1 есть скалярная функция, штрих означает транспонирование.

Это отображение может быть интерпретировано как разностная схема Эйлера для некоторых систем дифференциальных уравнений и также как модель дискретных систем автоматического управления.

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 15-01-08776).

В работе [5] были получены условия, когда это отображение может быть приведено к нормальной форме следующего вида F:

(2)

где х, yi - скалярные переменные, а, Ь,, X,, - скалярные параметры,

обозначает следующую итерацию для (х. у).

Отображение (2) возникает в конкретных динамических системах и представляет нормальную форму для отображений типов Лози и Белых.

В работе изучаются сложные бифуркационные переходы от простых фазовых структур с неподвижными точками к многомерным подковам Смейла.

Условия диссипативности

Рассмотрим отображение /'; /?'1+1 /?я+1 в общей форме

Справедливо следую-

С*, у) ->

и дополнительно отображение /•',, формы (:>",у) щее простое утверждение.

Принцип сравнения

Пусть даны следующие условия:

1) отображение /•',, имеет поглощающую область Г) (т.е. Р0£? с: Д) вида

2) норма ||<2(г,у)|| < ™ Х>У) е

Тогда Г) является поглощающей областью отображения /•' (т.е. с В ) и поэтому это отображение имеет аттрактор А с D (F4 = А)

Для того чтобы применить принцип сравнения для отображения (2) перепишем его как

(3)

Частный случай

Для примера, рассмотрим две основные формы функции ф(х), а именно, типа параболы и кубической параболы.

В этом случае одномерное отображение F1 преобразуется в однопараметрическое семейство ¡¡?(з.) 4- V. где ¥ параметр. Условия для взаимного расположения

неподвижных точек и экстремума, которые изображены на рис. 1, служат условиями существования поглощающего интервала (х~-Лх~) для семейства !']. Смысл поглощающей области Г) состоит в том, что если я Е (я"-;дг+) и У Е [у_,у+). то Г Е (л":.'.'" :. При условии F1D с D справедлива следующая теорема

Теорема 1. Существует число Х0 такое, что для любых Х+ < Х0, где отображение F имеет поглощающую область

=1

В.Н. Белых, И. А Мордвинкина

Сложные инвариантные множества многомерных отображений

В = (О,/)::* < л < *+,у£ < < у?А = и, следовательно, отображение имеет аттрактор A с D.

Рис. 1

Пусть в отображении F g(x) е С1 - скалярная функция, удовлетворяющая следующим условиям:

g' (х) < 0 при х > 0; ¿' (х) < 0. Отображение F рассматривается в ограниченной области

(4)

(5)

Найдем область параметров а, Ь, X,, для которых отображение F действует как отображение, называемое подковой Смейла.

Неподвижные точки отображения F

Пусть отображение F рассматривается в ограниченной области (5) и g(x) е С1 -скалярная функция, удовлетворяющая условиям (4).

Для определения неподвижных точек достаточно рассмотреть систему однородных уравнений

(6)

которая имеет нулевые решения у1 = 0, ..., уп = 0, g(x) = 0 тогда и только тогда, когда её определитель не равен нулю.

Из условий (4) g(x) = 0 при следовательно, точки О^х^О-, ...;0) и

О -1 ... : ^': являются неподвижными точками отображения F.

Доказана теорема

Теорема 2. Если отображение F рассматривается в ограниченной области (5) и - скалярная функция, удовлетворяющая условиям (4), то точки О](х0;£); ...; 0) и зг0; 0;...; О) являются неустойчивой и устойчивой неподвиж-

ными точками отображения F соответственно при достаточно больших значениях параметра a и достаточно малых значениях параметра X,-.

Диссипативность отображения F

Справедлива теорема

Теорема 3. Если отображение F рассматривается в ограниченной области (5) и I ■. : I С-- скалярная функция, удовлетворяющая условиям (4), то существует число X такое, что для любых X > X, отображение F диссипативно при

Частный случай

Пусть у, — 0., I — 1, п,. Пусть отображение F рассматривается в ограниченной области (5) и g(д") с С1- скалярная функция, удовлетворяющая условиям (4).

Рассмотрим одномерное отображение F2: х = х — ag(x)„ |х| < d. Пусть х2 - критическая точка функции f(x) = х—ад(х)- Если f{d')< —d,fi—d) < —d и .■■;- Е 1 —г; d ) [0: ■. ] т iгде 0 и x1 - неподвижные точки отображения F2, то верна теорема.

Теорема 4. Одномерное отображение F2 действует как отображение, называемое подковой Смейла, порождающее символическую динамику.

Список литературы:

[1] V.Arnold, V.Afraimovich, Yu.Il'yashenko, L.Shilnikov, Theory of bifurcations, Modern Problems of Mathematics, 1986,5,Moscow,VINITL - P. 5-218.

[2] Sataev E. Invariant measures for hyperbolic maps with singularities, UMN, 1992, 47(1). - P. 147204.

[3] Belykh V. Chaotic and strange attractors of a two-dimensional map, Matematicheski Sbornik, 1995, 186(3). - P. 3-18.

[4] Белых В.Н., Мордвинкина И.А. Бифуркации периодических и гомоклинических орбит одномерного и двумерного отображений // Вестник Волжской государственной академии водного транспорта. - 2015. - № 44. - С. 98-105.

[5] Belykh V., Komrakov N., Ukrainsky B. Hyperbolic attractors in a family of multidimensional maps with cusp-points. Proc. of int. conf. «Progress in nonlinear science» dedicated to the 100-th anniversary of A. Andronov. Nizhny Novgorod, 2001. - P. 23-24.

COMPLEX INVARIANT SETS OF MULTIDIMENSIONAL DISPLAYS

V.N. Belykh, I.A. Mordvinkina

Key words: attractors, multidimensional displays, Smale horseshoe

This article describes an example of the existence of the complex attractor for a specific multidimensional display. The complex bifurcation transitions from simple phase structures with fixed points to the multidimensional Smale horseshoes were revealed.

Статья поступила в редакцию 14.11.2016 г.