Математическая теория динамического хаоса и её приложения: обзор часть 2. Спиральный хаос трехмерных потоков Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925 + 517.93 https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-5-7-52

Математическая теория динамического хаоса и её приложения: Обзор Часть 2. Спиральный хаос трехмерных потоков

С. В. Гонченко1, А. С. Гонченко1, А. О. Казаков2, А. Д. Козлов1, Ю. В. Баханова2

1 Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н.И. Лобачевского

Россия, 603950 Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23 2 Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Россия, 603155 Нижний Новгород, ул. Большая Печерская, 25/12 E-mail: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected] Автор для переписки Казаков Алексей Олегович, [email protected] Поступила в редакцию 28.07.2019, принята к публикации 26.08.2019, опубликована 31.10.2019

Основной целью настоящей работы является изложение теории спирального хаоса трехмерных потоков, то есть теории странных аттракторов, связанных с существованием у таких систем гомоклинических петель состояний равновесия типа седло-фокус, на основе объединения двух ее фундаментальных положений, теории Шильникова и универсальных сценариев возникновения спирального хаоса, то есть тех элементов теории, которые остаются справедливыми для любых моделей, независимо от их происхождения. Математические основы теории спирального хаоса были заложены еще в 1960-х годах в знаменитых работах Л.П. Шильникова, и на эту тему к настоящему времени накоплено очень много важных и интересных результатов, которые однако, в своем большинстве, относились к приложениям. В силу этого, теории спирального хаоса не хватало внутреннего единства - она до недавнего времени выглядела весьма разрозненной. Как нам кажется, основные результаты нашего обзора позволяют восполнить этот пробел. Так, в работе мы приводим достаточно полное и наглядное доказательство знаменитой теоремы Шильникова (1965), даем описание основных элементов феноменологической теории универсальных сценариев возникновения спирального хаоса, а также, с единой точки зрения, рассматриваем ряд конкретных трехмерных моделей, (как классических, системы Рёсслера, Арнеодо-Калле-Трессе, так и некоторых известных систем из приложений), которые этот хаос демонстрируют. Обсуждаются преимущества такого нового подхода к исследованию проблем динамического хаоса, в том числе, спирального, а то, что он к тому же еще и весьма эффективный, показывают наши недавние работы по исследованию хаотической динамики четырехмерных потоков и трехмерных отображений. Этим результатам, в частности, будет посвящена следующая, третья, часть обзора.

Ключевые слова: седло-фокус, спиральный хаос, аттрактор, гомоклиническая траектория.

Образец цитирования: Гонченко С.В., Гонченко А.С., Казаков А.О., Козлов А.Д., Баханова Ю.В. Математическая теория динамического хаоса и её приложения: Обзор. Часть 2. Спиральный хаос трехмерных потоков//Известия вузов. ПНД. 2019. T. 27, № 5. С. 7-52. https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-5-7-52

Финансовая поддержка. Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РНФ 19-11-00280, раздел 1.2 выполнен при финансовой поддержке гранта РНФ 18-71-00127. Авторы благодарят РФФИ (гранты 19-01-00607, 18-31-20052, 18-29-10081 и 18-31-00431) и Министерство Образования и Науки РФ (проект 1.3287.2017, проектная часть) за поддержку научных исследований. Работа А. Казакова и Ю. Бахановой выполнена в рамках программы фундаментальных исследований НИУ ВШЭ в 2019 году.

https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-5-7-52

Mathematical theory of dynamical chaos and its applications: Review Part 2. Spiral chaos of three-dimensional flows

S. V. Gonchenko1, A. S. Gonchenko1, A. O. Kazakov2, A. D. Kozlov1, Yu. V. Bakhanova2

1N.I. Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod - National Research University 23 Gagarin Avenue, Nizhny Novgorod 603950, Russia 2National Research University Higher School of Economics 25/12 Bolshaya Pecherskaya Ulitsa, 603155 Nizhny Novgorod, Russia E-mail: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected] Correspondence should be addressed to Kazakov Alexey, [email protected] Received 28.07.2019, accepted for publication 26.08.2019, published 31.10.2019

The main goal of the present paper is an explanation of topical issues of the theory of spiral chaos of three-dimensional flows, i.e. the theory of strange attractors associated with the existence of homoclinic loops to the equilibrium of saddle-focus type, based on the combination of its two fundamental principles, Shilnikov’s theory and universal scenarios of spiral chaos, i.e. those elements of the theory that remain valid for any models, regardless of their origin. The mathematical foundations of this theory were laid in the 60th in the famous works of L.P. Shilnikov, and on this subject to date, a lot of important and interesting results have been accumulated. However, these results, for the most part, were related to applications, and, perhaps for this reason, the theory of spiral chaos lacked internal unity - until recently it seemed to consist of separate parts. As it seems for us, the main results of our review allow to fill this gap. So, in the paper we present a fairly complete and illustrative proof of the famous theorem of Shilnikov (1965), describe the main elements of the phenomenological theory of universal scenarios for the emergence of spiral chaos, and also, from a unified point of view, consider a number of three-dimensional models which demonstrate this chaos. They are both the classical models (the systems of Rossler and Arneodo-Coullet-Tresser) and several models known from applications. We discuss advantages of such a new approach to the study of problems of dynamical chaos (including the spiral one), and our recent works devoted to the study of chaotic dynamics of four-dimensional flows and three-dimensional maps show that it is also quite effective. In particular, the next, third, part of the review will be devoted to these results.

Key words: saddle-focus, spiral chaos, attractor, homoclinic orbit.

Reference: Gonchenko A.S., Gonchenko S.V., Kazakov A.O., Kozlov A.D., Bakhanova Y.V. Mathematical theory of dynamical chaos and its applications: Review. Part 2. Spiral chaos of three-dimensional flows. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, 2019, vol. 27, no. 5, pp. 7-52. https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-5-7-52

Acknowledgements. The paper is carried out by the financial support of the RSciF grant No. 19-11-00280, the section 1.2 is carried out by the financial support of the RSciF grant No. 18-71-00127. The authors thank RFBR (grants Nos. 19-01-00607, 18-31-20052, 18-29-10081 and 18-31-00431) for the support of scientific researches. The work of A. Kazakov and Yu. Bakhanova was made in the framework of the basic research program at NRU HSE in 2019.

Введение

Эта работа посвящена математическим вопросам спирального хаоса - одного из самых интересных и часто встречающихся в приложениях типов сложного хаотического поведения траекторий многомерных динамических систем. По существу, этот тип хаоса был открыт в знаменитой работе Л.П. Шильникова [2], в которой была установлена сложная структура траекторий в окрестности гомоклинической петли состояния равновесия типа седло-фокус.

Работа Л.П. Шильникова [2] была опубликована в 1965 г., а публичный доклад на эту тему был сделан годом ранее [3]. В то время и в математике, и в физике практически отсутствовала

1Настоящая работа является второй частью нашего обзора по современным проблемам теории динамического хаоса, в первой его части, [1], рассматривалась теория псевдогиперболических аттракторов.

какая-либо более или менее подходящая концепция для объяснения подобных явлений в моделях, описываемых конечномерными детерминированными системами. Поэтому факт существования сложной структуры (хаоса) в окрестности гомоклинической петли сепаратрисы состояния равновесия казался совершенно неожиданным и полностью противоречащим представлениям, основанным на теории двумерных систем.2

Напомним, что седло-фокус отличается от седла тем, что он имеет среди своих ведущих собственных значений (ближайших к мнимой оси) комплексно-сопряженные. Тогда в трехмерном случае существует два разных типа седло-фокусов:

• седло-фокус (2,1) - когда равновесие имеет собственные значения —X ± im и у, где X > 0, у > 0 и m = 0, то есть это седло-фокус с двумерным устойчивым и одномерным неустойчивым инвариантными многообразиями;

• седло-фокус (1,2) - с одномерным устойчивым и двумерным неустойчивым инвариантными многообразиями, в этом случае равновесие имеет собственные значения —X, у ± im, где X > 0, у > 0 и m = 0.

В четырехмерном случае к седло-фокусам этих двух типов добавляется еще

• седло-фокус (2,2) - с двумерными устойчивым и неустойчивым многообразиями, в этом случае равновесие имеет собственные значения —X ± wi, у ± im2, где X > 0, у > 0 и

Wj = 0, i = 1, 2.

В многомерном случае состояние равновесия также называется седло-фокусом типа (2,1), (1,2) или (2,2) соответственно, если его ведущие собственные значения являются простыми и образуют либо тройку (—X ± im, у) или (—X, у ± im), либо четверку (—X ± iw1, y ± im2), а остальные собственные значения (неведущие) имеют действительные части либо меньше чем X, либо больше чем y.

Одной из наиболее важных характеристик седло-фокуса является также его седловая величина

о = y — X.

Еще в своих первых работах [5,6] на тему глобальных бифуркаций Л.П. Шильников показал, что бифуркация трехмерной системы с петлей седло-фокуса (2,1) при условии о < 0 ничем не отличается от случая седла - здесь при расщеплении петли в соответствующую сторону рождается единственных устойчивый предельный цикл. Это связано с тем, что в этом случае отображение первого возвращения по траекториям вблизи петли оказывается сжимающим. Случаи седло-фокусов (2.1) и (1.2), очевидно, сводятся друг к другу при замене t на —t. Поэтому здесь из гомоклинической петли седло-фокуса (1,2) при о > 0 рождается единственный вполне неустойчивый предельный цикл.

Однако, если о > 0 у седло-фокуса (2,1) или о < 0 у седло-фокуса (1,2), ситуация становится совершенно другой - уже сама система с гомоклинической петлей седло-фокуса имеет

2В 1960-х годах Л.П. Шильников работал в Горьком в отделе дифференциальных уравнений, руководимом Е.А. Леонтович. По поводу своего открытия он, в частности, вспоминает следующее. «В декабре 1962 г. я защитил диссертацию, в которой изучил многомерный аналог теоремы Андронова и Леонтович о рождении устойчивого предельного цикла из петли сепаратрисы. Основное условие рождения цикла состояло в том, что седловая величина оо = Xn + maxi<i<n-i Re Xi < 0, где Re Xi < 0, i = 1, ...,n — 1, и Xn > 0. У меня возник вопрос: а что будет, если оо > 0? Казалось бы ничего особенного. Однако уже в конце января 1963 г. я устанавливаю, что в случае 3-мерной системы, когда оо > 0, а состояние равновесия является седло-фокусом, в любой окрестности петли седло-фокуса имеется счетное множество периодических движений седлового типа. Более того, отображение Пуанкаре имеет счетное множество подков Смейла. Естественно, что первой, кому я рассказал об этом, была Леонтович. Свою реакцию на это она высказала позднее: “Мне сразу хотелось сказать, что этого не может быть”. По понятной причине этому результату подивился также и Л.С. Понтрягин, которому об этом рассказала Е.А. Леонтович» [4].

сложную структуру, так как в окрестности петли содержится бесконечно много седловых периодических траекторий [2].

В работе [7] Шильников доказал аналогичный результат для случая четырехмерной системы с петлей седло-фокуса типа (2,2), у которого о = 0. А в работе [8] он рассмотрел общий многомерный случай и нашел условия, когда в окрестности петли лежит нетривиальное гиперболическое подмножество (содержащее, в частности, счетное число подков Смейла), для которого он в этой же статье дал описание на языке символической динамики. Если не вдаваться в технические подробности (связанные с поведением некоторых инвариантных многообразий системы вблизи глобального куска гомоклинической петли седло-фокуса), то главное из этих условий выглядит просто: ближайшими к мнимой оси являются комплексно-сопряженные собственные значения седло-фокуса.

Это открытие Шильникова явилось одним из тех пока еще немногих научных достижений 1960-х годов, которые внесли решающий вклад в становление теории динамического хаоса.3 Достаточно простой критерий Шильникова существования сложной структуры множества траекторий в окрестности петли седло-фокуса послужил мощным стимулом для поиска прикладных систем с хаотическим поведением. К настоящему времени существует очень много примеров конкретных систем из самых разных областей науки, где обнаружен спиральный хаос (странный аттрактор, содержащий (шильниковский) седло-фокус).4

В настоящей работе и в следующих мы попытаемся развить унифицированный подход к исследованию спирального хаоса в случае многомерных потоков. В этой работе основное внимание уделено трехмерному случаю как наиболее часто встречающемуся в приложениях, когда наблюдаемое в системе хаотическое поведение траекторий связано с существованием в ней седло-фокусов типа (2,1) и (1,2).5 Для странных аттракторов, содержащих такие состояния равновесия, будем использовать следующие термины:

• спиральный аттрактор (или восьмерочный спиральный аттрактор), если он содержит только одно состояние равновесия типа седло-фокус (2,1);

• аттрактор Шильникова, если он содержит только одно состояние равновесия типа седлофокус (1,2).

В трехмерном случае странные аттракторы обоих этих типов относятся к классу так называемых квазиаттракторов [32,33]. Напомним, что квазиаттракторы, в отличие от настоящих аттракторов (гиперболических и псевдогиперболических), могут допускать существование внутри себя устойчивых периодических траекторий весьма больших периодов. Последние могут иметь настолько большие периоды и малые области притяжения, что в экспериментах или в численных расчетах их практически невозможно идентифицировать. В этом случае квазиаттракторы нужно также относить к странным аттракторам, но уже на «физическом уровне строгости».

3К ним можно отнести работу Э. Лоренца [9], в которой был приведен пример системы с хаотическим аттрактором Лоренца, знаменитую работу А.Н. Шарковского [10], с которой собственно началось развитие теории хаоса в одномерных отображениях, а также ряд работ по гиперболическим аттракторам, см., например, [11].

4Так, спиральный хаос был обнаружен в радиоэлектронных устройствах, таких как цепь Чуа [12], генератор Анищенко-Астахова [13], в оптических лазерных системах [14-17], в химических системах [18, 19], в некотором классе моделей, описывающих поведение нейронов [20], в биофизических экспериментах [21], в электромеханических системах [22,23], в электрохимических процессах [24,25], в нелинейной конвекции в магнитных полях [26], в механических системах [27] и т. д.

5Странные аттракторы в случае седло-фокусов (2,2), с точки зрения теории динамического хаоса представляют очень большой интерес. Однако они пока еще не так часто встречаются в приложениях, в отличие от аттракторов с седло-фокусами (2,1) и (1,2). Авторам известно совсем немного соответствующих примеров систем из приложений (см., например, [28-30]), несмотря на то, что первые математические результаты на эту тему были получены достаточно давно [31].

С другой стороны, и тоже для открытых множеств значений параметров, называемых «окнами устойчивости», устойчивые траектории внутри аттрактора становятся наблюдаемыми - тогда хаос сменяется здесь устойчивой регулярной динамикой.

Основной причиной того, что такие аттракторы нужно относить к квазиаттракторам, является существование у них гомоклинических касаний (когда инвариантные многообразия какого-либо седлового предельного цикла в аттракторе пересекаются нетрансверсально). Хорошо известно, что бифуркации таких гомоклинических касаний приводят к появлению устойчивых периодических траекторий больших периодов [34-37].6

Многомерный случай, когда размерность фазового пространства для потоков n > 4 и отображений n > 3, будет рассмотрен в следующих статьях авторов, в которых основное внимание будет уделено сравнительно новому и пока еще мало изученному типу хаотической динамики -дискретному спиральному хаосу трехмерных отображений [40-42].

Содержание статьи. Раздел 1 - это, фактически, развернутый обзор на тему теоремы Шильникова из [2]. В 1.1 мы даем ее доказательство, преследуя цель сделать его достаточно полным и геометрически наглядным.7 В п. 1.2 мы обсуждаем, используя преимущественно геометрический подход, основные элементы теории бифуркаций трехмерных систем с гомоклинической петлей седло-фокуса, более детально она представлена в работе Овсянникова и Шиль-никова [36]. Основная часть работы - это разделы 2 и 3, которые, собственно, и посвящены теории спирального хаоса трехмерных систем и ее приложению. Эта часть работы представлена под не совсем традиционным углом зрения. Прежде всего мы показываем в разделе 2, что спиральный хаос типично возникает в результате некоторых универсальных бифуркационных сценариев. Впервые такой сценарий возникновения аттрактора, содержащего седло-фокус (1,2) (в нашей терминологии - аттрактора Шильникова), был представлен в работе Шильникова [43]. В п. 2.1 мы даем его детальное описание, а в 2.2 мы даем описание другого сценария - сценария возникновения восьмерочного спирального аттрактора (с седло-фокусом (2,1)) в однопараметрических семействах, как в случае систем с центральной симметрией, так и в общем случае. В разделе 3 рассматривается серия конкретных систем из приложений, в том числе и классических (системы Рёсслера и Арнеодо-Калле-Трессе).

1. О теореме Шильникова о структуре окрестности гомоклинической петли седло-фокуса

Рассмотрим трехмерную систему Хо, имеющую состояние равновесия O с собственными значениями ki,2 = —к ± ш, кэ = у, где А, > 0, ю > 0 и у > 0. Такое состояние равновесия

называется седло-фокусом (2,1) - его устойчивое инвариантное многообразие Ws (O) двумерно, а неустойчивое - Wu(O) одномерно. При этом Wu(O) состоит из трех траекторий: состояния равновесия O и двух траекторий Г1 и Г2 - неустойчивых сепаратрис, которые стремятся к O при

6Однако в четырехмерном случае могут существовать настоящие аттракторы, содержащие седло-фокус, так называемые «дикие странные аттракторы» [38]. Они относятся к классу псевдогиперболических аттракторов, теория которых была заложена в работе Тураева и Шильникова [38], см. также [1]. Заметим, что в работе [38] была также построена геометрическая модель псевдогиперболического восьмерочного спирального аттрактора. «Живой» пример такого аттрактора был найден совсем недавно [39] в четырехмерной системе, представляющей собой некоторое расширение модели Лоренца.

7 Нам представляется, что это будет весьма полезным для читателя. В самой работе [2] теорема доказана полностью, но ее доказательство является весьма трудным для понимания, в особенности исследователям, которые не являются узкими специалистами в многомерной теории бифуркаций. С другой стороны, известные нам из литературы попытки более простого доказательства теоремы Шильникова делались при дополнительных предположениях, которые, хотя и упрощали его техническую сторону (что тоже спорно), но были слишком искусственными. Например, для исследователя такой вариант теоремы, когда предполагается, что к/у является иррациональным числом, совсем не интересен.

ной системы (петля седло-фокуса (1,2) получается, если на этом рисунке поменять направление стрелок); b - петля седло-фокуса (2,2) четырехмерной системы (изображено схематически: здесь в четырехмерном пространстве двумерные многообразия Ws и Wu пересекаются трансверсально в точке O и нетрансверсально вдоль гомоклинической траектории Г о)

Fig. 1. Cases of homoclinic loops Г0 € Ws (O) П Wu(O) of a saddle-focus O: a - the loop of saddle-focus (2.1) for a threedimensional system (the loop of saddle-focus loop (1,2) is obtained if in this figure we change the direction of the arrows); b - the loop of saddle-focus loop for a four-dimensional system (here is depicted schematically: in four-dimensional space the two-dimensional manifolds Ws and Wu intersect transversally at the point O and nontransversally along the homoclinic trajectory Г0)

t —— —то. Предположим, что одна из этих сепаратрис, например, Г1, также стремится к O при t — +то, то есть траектория Г1 является двоякоасимптотической к O, см. рис. 1. Она называется гомоклинической к O траекторией или гомоклинической петлей седло-фокуса O.

Теорема 1. Теорема Шильникова [2]. Если о = у — k > 0, то в любой окрестности замыкания траектории Г1 система Х0 имеет счетное множество седловых периодических траекторий.

Заметим, что работа [2] была опубликована в ДАН СССР - в журнале, содержащем статьи в форме коротких докладов или сообщений (до 4 стр.), и, как правило, представленные там результаты не доказывались. К работе Шильникова это правило не относилось - в ней указанная теорема была доказана полностью, причем в самой общей постановке. Ниже мы дадим доказательство теоремы Шильникова, но при этом будем использовать современную технику нормальных форм, см., например, [44]. Тем не менее мы будем придерживаться стиля самой работы Л.П. Шильникова [2], а также последующих модификаций доказательства его теоремы -наиболее близкое из них к нашему рассмотрению см. в книге [45, § 13.4].

1.1. Доказательство теоремы Шильникова. Очевидно, в некоторой окрестности U состояния равновесия O можно ввести локальные координаты, в которых система Хо может быть записана в виде

x = —kx — щ + F1(x, y, z),

y = ®x — ky + F2(x,y,z), (1)

Z = Y z + Fs(x,y,z),

где функции Fi обращаются в начале координат в нуль вместе с первыми производными. В этих координатах состояние равновесия O = O(0, 0, 0) находится в начале координат, а его локальное неустойчивое инвариантное многообразие W^c - это кривая вида x = ^1(z), y = ^2(z), касающаяся в O оси z (то есть %(0) =0, ^(0) = 0, i = 1, 2), а локальное устойчивое инвариантное

многообразие Wfoc - двумерная поверхность вида z = Ф(ж, y), касающаяся в O плоскости z = 0 (то есть Ф(0, 0) = 0 и Ф^(0, 0) = Ф^(0, 0) = 0). Сделав в U замену координат xnew = x — %(z), ynew = У — ф2(z), znew = z — Ф(х,у), мы распрямляем локальные устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия точки O: теперь W^c имеет уравнение z = 0, а W[soc - уравнение x = у = 0. Соответственно, система (1) в новых координатах примет вид

x = — lx — ту + Pi(x,y, z)x + P2(x,y, z)y,

y = mx — ly + Q i(x, y, z)x + Q 2(x, y, z)y, (2)

z = yz(1 + R(x,y,z)),

где Pj(0) = 0, Qj(0) = 0, R(0) = 0. После этого, сделав еще замену времени вида tnew = = t(1 + R(x, y, z)), систему (2) приводим к виду

x = —lx — my + P(x, y, z),

y = mx — ly + Q(x,y,z), (3)

z = Y z,

где P(0,0, z) = Q(0,0, z) = 0.

Замечание 1. Форма (3) - это та самая локальная форма системы вблизи седло-фокусного равновесия, которую рассматривал Л.П. Шильников в работе [2]. Заметим (это было сделано позднее, в работе [36], см. также [45]), что с помощью дополнительных гладких замен координат (класса Cr-1, если исходная система Cr-гладкая) систему (3) можно привести к так называемой основной нормальной форме, когда функции P и Q из правых частей системы (3) удовлетворяют также условиям P(x, y, 0) = Q(x, y, 0) = 0. Использование такой нормальной формы существенно упрощает многие технические детали, связанные с интегрированием локального потока. Например, система (3) в ограничении на W^c : {z = 0} становится в этих координатах линейной.

Наряду с седловой величиной о = y — l Шильников ввел также такую величину

Р

l _ , Y

которая называется седловым индексом или индексом Шильникова. Условиям теоремы отвечает случай 0 < р < 1.8

В этой статье мы докажем теорему 1, отступив от ее оригинального доказательства в [2] лишь в том, что вместо локальной формы (3) будем рассматривать основную нормальную форму системы вблизи седло-фокуса (см. замечание 1), которая имеет следующий вид

x = —px — my + P (x,y,z), y = mx — py + Q(x,y,z), z = z,

где mnew = m/Y и

P(0, 0, z) = Q(0, 0, z) = 0, P(x, y, 0) = Q(x, y, 0) = 0.

(4)

(5)

Заметим также, что, в отличие от (3), здесь мы дополнительно сделали еще и замену времени tnew = Yt. При такой замене времени седловой индекс р не изменится (он становится равным

8Бифуркации в пограничных случаях р = 0 (состояние равновесия имеет собственные значения у, ±im), р = 1 (седловая величина о равна нулю), а также m = 0 (граница между седлом и седло-фокусом) были изучены Беляковым [46-48].

модулю действительной части устойчивых собственных значений седло-фокуса), так же как не изменится и знак седловой величины, хотя сама она изменится и станет равной onew = о/у.

Нормальная форма (4) имеет то достоинство, по сравнению с (3), что ее решение вблизи равновесия 0(0, 0, 0) может быть представлено следующим образом [36,45]

x(t) = e-pt cos wt ■ x0 — e-pt sin wt ■ y0 + O (e-2pt) ,

y(t) = e-pt cos wt ■ yo + e-pt sin wt ■ xo + O (e-2pt) , (6)

z(t) = etzo,

то есть в виде, асимптотически близком (с точностью до экспоненциально малых членов порядка O (e-2pt)) к тому, который дает линейная система.

В координатах (4) доказательство теоремы 1 получается сравнительно не трудным. Так же как ив [2], оно сводится к исследованию отображения T первого возвращения некоторой двумерной площадки По, трансверсальной к петле Г1, по траекториям соответствующего потока (рис. 2).

По условию теоремы, гомоклиническая траектория Г1 ложится на плоскость WjOc:{z=0} и при t ^ стремится к точке О по спирали. Эта спираль пересекает трансверсально оси Ox и Оу в счетном множестве точек, накапливающихся к точке О. Выберем одну из этих точек M + = (x = x+ > 0,у = 0,z = 0), принадлежащую оси Ox, и рассмотрим площадку

По

{(x,z)

|x

x+| < е,у

0, — е < z < е}.

Все траектории начальных точек на отрезке zo = 0 площадки По (траектории Г1 отвечает точка M+) стремятся при t ^ к точке O. Эти траектории, как получается из (4) при z = 0 и выборе начальной точки (x, у = 0), имеют вид спиралей

x(t) = e pt cos wt ■ x, y(t) = e pt sin wt ■ x.

(7)

Рис. 2. Основные геометрические конструкции для исследования отображения T первого возвращения двумерной площадки По, трансверсальной к гомоклинической траектории Гi

Fig. 2. Main geometric constructions for studying the first return T of a two-dimensional cross-section П0 transversal to the homoclinic orbit Г1

Если перейти к полярным координатам (r, ф) на Wfoc, где r = л/x2 + y2, ф = rnt, то уравнение (7) примет вид

r = x ■ аф, (8)

где a = в-р/ю. Это уравнение определяет пучок стандартных логарифмических спиралей, параметризованный координатой x начальной точки на отрезке l0 = {|x — x+| < е, у = 0, z = 0}.

Рассмотрим теперь площадку П = {|x| < ei, |у| < ei,z = d > 0} трансверсальную к WUc, и построим отображение последования T по траекториям системы (4) из По в Щ.

Заметим, что площадка П0 разбивается плоскостью z = 0 на две части, верхнюю П+ (где z > 0) и нижнюю П- (где z < 0). Траектории, стартующие с П-, покидают окрестность U седлофокуса и не пересекают П1 - мы их не будем рассматривать. Однако траектории, стартующие с П+, достигают (за разное время) площадки П1. Время перехода ttr из П+ в П1 можно определить из уравнения z = z при условии, что z(0) = z и z(ttr) = d. Тогда

d

ttr = ln-.

z

Обозначим координаты (x,y) на П1 как (x1,y1). Рассмотрим локальное отображение Т0 : П+ ^ П1 по траекториям системы (4) за время перехода ttr. Интегрируя первые два уравнения системы (4) (см. формулу (7)) и полагая t = ttr,x1 = x(ttr),y1 = y(ttr), получаем следующий вид для То

x1

z\Р

dJ COS

d

ю In -

z

■ x,

y1

z\Р .

dJSln

d

ю In -

z

x

(9)

Это отображение переводит отрезок {x = const, 0 < z < e} в спираль, которая в полярных координатах (r, ф) на П1, где ф = ю ln(d/z), имеет уравнение (8). (7оответственно, отображение

Т0 переводит площадку П+ в «толстую спираль» Т0 (П+)

{(r, ф)

r

aфr0}, где |r0 — x+| < е,

ю ln(d/e) < ф < те и a = е-р/ю.

Рассмотрим теперь глобальное отображение Т1 : П1 ^ П0, определяемое по траекториям системы, близким к глобальному куску траектории Г1. Так как Г1 пересекает площадку П0 трансверсально в точке M+(x = x+, z = 0), а время перехода траекторий из П1 в П0 конечно, то это отображение является диффеоморфизмом и может быть записано в виде

x — x+ = a1x1 + b1 y1 + O(x2 + y2), z = 01x1 + d1y1 + O(x2 + y2).

(10)

Рассмотрим теперь отображение T = Т1Т0 : П+ ^ П0. В силу (9) и (10), его можно записать в таком виде

z =

Bzpx ■ cos ^ю ln - — a^ + O (z2p) , Azpx ■ cos ^ю ln - — в^ + O (z2p) ,

(11)

где a, в £ [—п/2, п/2] и

tg a = b1/a1, tg в = d1/c1, B = d-p (a2 + b1) 1/2 , A = d-p (c2 + d2) 1/2 . (12)

Заметим, что A > 0, так как Т1 - диффеоморфизм. Тогда из второго уравнения в (11) вытекает, что z > 0, если cos (ю ln(d/z) — в) + O(zp) > 0, то есть когда

-П + 2nk + O(e-2npfc/ro) < ю ln - — в < П +2nk + 0(е-2прк/ю)

2 z 2

для достаточно больших целых k = ko,ko + 1,.... Это неравенство переписывается как

z- = а_ е-2пк/ю < z < а+ е-2пк/ю = z+, (13)

где

а± = -е-в/юе±я/2ю + O (е-2ярк/ю) .

Геометрически это означает, что область определения отображения Т* = Т1Т0 : П+ ^ П+ состоит из счетного множества полосок ok С П+, где ok = {(x,z)||x — х+1 < e,z- < z < z+

(рис. 3).9

Из (11) видно, что отображение Т является сильно сжимающим по х, с коэффициентом сжатия порядка zp. В случае р > 1 по координате z будет также экспоненциальное сжатие, но с коэффициентом порядка zp-1. Поэтому, в целом, отображение Т будет сжимающим, если р > 1. В этом случае динамика траекторий, пересекающих П+ будет тривиальной: либо они покидают окрестность U(О U Г1), либо некоторые из них стремятся при t ^ +те к гомоклинической траектории Г1.

о

к

к+1

о

к+2

Рис. 3. Образы, подковы T*(ok), и прообразы, полоски ok, отображения T* первого возвращения площадки П+ на себя в случае 0 < р < 1

Fig. 3. The images (horseshoes T* (ok)) and pre-images (strips ok) of the first return map T* of the section П+ in the case 0<р<1

Случай p > 1 был, в частности, рассмотрен Шильниковым в работе [6], в которой он показал, что в этом случае бифуркации трехмерной системы с гомоклинической петлей седло-фокуса не отличаются от случая петли седла (с отрицательной седловой величиной) - здесь также при расщеплении петли вверх (то есть когда Г1 пересекает П+ в точке с z > 0) рождается единственный устойчивый предельный цикл (рис. 4). На этом рисунке проиллюстрирована геометрия отображений первого возвращения Т для однопараметрических семейств Xр трехмерных систем, таких что при р = 0 существует гомоклиническая петля Г1 седло-фокуса с р > 1, при р > 0 петля расщепляется «вверх» (то есть траектория Г1 пересекает П+), а при р < 0 - «вниз» (Г1 пересекает П-).

Случай 0 < р < 1 совсем другой. Здесь отображение Т будет по-прежнему сжимающим по координате х. Однако оно будет уже экспоненциально растягивающим по координате z, с коэффициентом растяжения

9Заметим, что введенные нами глобальные отображения T и T* различаются. Прежде всего тем, что они имеют разные области определения и значения. Так, областью определения отображения T является вся площадка П+ и оно действует из П+ в По. Область определения отображения T* - это 2ko - множество полосок ok С П+,

к = к0,к0 + 1,..., с достаточно большим к0, и T* действует из 2ko в П+.

Рис. 4. Геометрия отображения T : П+ ^ По при а < 0 в случаях ц = 0 (a), ц < 0 (b) и ц > 0 (с). В частности, здесь при ц = 0 на П+ существует полоска ац примыкающая к Wfoc такая, что при ц < 0 полная спираль T(ац) лежит в П- (b), и T(ац) С ац при ц > 0 (c). Так как отображение T является сжимающим (на ац), то у него в последнем случае существует единственная неподвижная точка

Fig. 4. Geometry of the map T : П+ ^ П0 for а < 0 in the cases ц = 0 (а), ц < 0 (b) and ц > 0 (с). In particular, here for ц = 0 there exists a strip ац С П+ adjoining to Wfoc such that for ц < 0 a complete spiral T(ац) lies in П- (b), and T(ац) С ац for ц > 0 (c). Since the map T is contracting (on ац), in the latter case it has a unique fixed point

~ zp-1 ^ ж при z ^ +0. Более того, здесь у Т будет существовать счетное множество подков Смейла.

Действительно, рассмотрим полоску а к. Она под действием отображении Т * переходит в завиток спирали T*(а^) такой, что образами верхней и нижней границ полоски ак, то есть линий z = z+ и z = z- (см. формулу (13)), будут два отрезка (длины ~ е-2якр/ю) на линии у = 0, z = 0. Отрезок х = const на ак отображается в виток спирали с вершиной в точке

(х = х+ + о(е-2ярк/ю), z = zmax), где

z^ma^ Ae~2npk/w

(14)

и A - некоторая положительная константа.10

Сравнивая (14) и (13), получаем, что при р < 1 вершина подковы Т*(ак) лежит выше соответствующей полоски ак, так как zm

^max > z+. Более того, из (14) и (13) получаем, что

z+

zk

е2пк(1-р)/ю ^ ^ при к

,

П+ при всех достаточно больших к

поскольку 1 — р > 0.

Таким образом, каждое из отображений Т* : ак ^ ±±0 является отображением подковы Смейла. В силу (11) и (13) координаты (х, z) его неподвижных точек удовлетворяют соотношениям х = х+ + 0(е-2ярк/ю) и

d

z = Ax+zр ■ cos Гrn ln - — |3^ + O (z2(>) .

zmax

10Например, A можно найти, положив во втором уравнении системы (11) z = de (2пк+Р)/ш (когда косинус равен 1). Легко видеть, что в этом случае A = Ad(1x+ е-р(п/2+в)/“ > 0.

Так как 0 < р < 1, то это уравнение, в силу (13) , можно переписать в виде

cos Гю ln d - в\ = ak = O (V2nk(1-p)/ro + e-2npk/ro

или в виде (когда (x, z) G Ok)

d л

ю ln---в = 2 лк ± — ± а к + O(ak).

z 2

Это уравнение имеет два решения

z^ = de(-2nk±™/2+P+afc)/m(i + )

Найдем теперь мультипликаторы (собственные значения) этих точек. Рассмотрим соответствующее характеристическое уравнение отображения (11)

X(v)

det

dx dx

dx dz

dz dz

dx dz

0.

Из (11) получаем, что

X(v) = det

Bzp cos ф1 — v , Bxpzp 1 cos ф1 + Brnxzp 1 sin ф1 Azp cos ф2 , Axpzp-1 cos ф2 + Aюxzp-1 sin ф2 — v

(1 + O(zp)),

(16)

где

ф1 = ю ln d — а, ф2 = ю ln d — 13.

zz

2

Пусть характеристическое уравнение (16) имеет вид v2 + p(z)v + q(z)

0. Тогда получаем, что

q(z) = ABюz2p 1 sin(|3 — a)(1 + O(zp)). (17)

Из (11) и (12) вытекает, что в — а = 0, ±л и AB = 0 (иначе либо a1/b1 = c1/d1, либо а1 = с1 = 0 или b1 = d1 = 0, то есть отображение Т1 не является диффеоморфизмом). В силу (15) получаем, что sinф2^±) = ±1 + O(ak), и соответственно

p(z±) = Aюx+(z±)p-1 + O(z±).

Поскольку для координат z± неподвижных точек выполняются соотношения z± — е-2лк/ю, то отсюда получаем, что

p(z±) - e-2nk(p-1)/ro, q(z±) - e-2nk(2p-1)/ro.

Из этого следует, что корни V1, V2 характеристического уравнения (16) такие, что | V11 — — e-2nk(p-1)/ro ^ ж и |v2| — e-2nkp/ro ^ 0 при к ^ ж, поскольку 0 < p < 1.

Таким образом, отображение T* : Ok ^ П+ имеет две неподвижные точки седлового типа, а значит, соответствующий поток имеет две седловые периодические траектории (два седловых предельных цикла). Так как подков Смейла у отображения последования T* : П+ ^ П+ счетное множество, то исходная система в любой окрестности траектории Г будет иметь счетное множество седловых периодических траекторий.

1.2. Об основных бифуркациях. Теорема Шильникова показывает, что поведение траекторий у системы Хо при 0 < р < 1 является сложным и хаотическим даже в окрестности гомоклинической петли Гi. Однако эта сложность одним только существованием счетного множества подков Смейла далеко не исчерпывается. Даже если говорить только о нетривиальных гиперболических подмножествах в окрестности петли, то неблуждающие траектории подков являются их небольшой (скелетной) частью. Более детальное описание таких подмножеств на языке символической динамики было дано в работе Шильникова [8], а в его работах с Овсянниковым [31,36] были изучены основные бифуркации, приводящие, в частности, к возникновению устойчивых периодических траекторий.

Для того, чтобы проследить, хотя бы качественно, какие основные бифуркации, то есть бифуркации неподвижных точек в отображении первого возвращения на секущей По, происходят в семействе Х^, мы сначала несколько перестроим разбиение площадки П+ на полоски, по сравнению с тем как это было в сделано в разделе 1 при ^ = 0. А именно мы рассмотрим новые полоски ок, задаваемые неравенствами

, п , d ,3л

2лк---< ю ln-R < 2лк +-.

2 < z ' 2

(18)

Тогда полоски о0, в отличие от о^, будут идти сплошняком - полоски с соседними номерами будут примыкать друг к другу. Кроме того, при ^ = 0 образы Tо°к будут представлять собой полные завитки толстых спиралей, примыкающих к друг другу на линии z = 0 площадки По, см. рис. 5, а. В силу (18), полоски ок на П+ будут задаваться неравенствами

de-(3n/2+p)/me-2nk/m < z < de(n/2-P)/roe-2nk/®

^к ,

(19)

(сравни с (13)).

Рассмотрим теперь семейство Х^, в котором параметр ^ является параметром расщепления для гомоклинической траектории Гi, то есть будем полагать, что неустойчивая сепаратриса ri(^) пересекает площадку По в точке M с координатами x = x+(p,),z = р,. Соответственно, при ^ > 0 эта сепаратриса расщепляется «вверх», а при ^ < 0 - «вниз». Заметим, что разбиение (19) площадки П+ на полоски ок либо не зависит от ^ (если, например, локальное отображение Т0 не зависит от р,), либо зависит очень слабо (могут слегка варьироваться границы). Но глобальное отображение Ti = Ti(p,) будет уже иметь такой вид

X - x+ = aixi + biyi + O(x2 + y2),

1 i (20) z = ^ + cixi + diyi + O(x2 + y2),

где ^ входит явно во второе уравнение, отражая тот факт, что сепаратриса Гi пересекает П0 в точке M(x — x+, z = р,), которая является образом точки (xi = 0, yi = 0) £ П1 относительно Ti. Соответственно, отображение T^ = TiTo : П+ ^ По записывается в таком виде

z = ^

f = Bzpx ■ cos ^ю ln - — + O (z2p) ,

+ Azpx ■ cos Гю ln - — |3 J + O (z2p) ,

(21)

то есть по сравнению с (11) здесь, фактически, добавлено только ^ в уравнение для z.

Однако это все меняет. Здесь при любом ^ = 0 в окрестности U остается только конечное число подков. При ^ = 0 их, по теореме 1, счетное множество (рис. 5, а). При ^ < 0 сразу

счетное множество завитков спиралей Tr(o0) с номерами к > ki(^) переходят в полуплоскость П-, так как вся толстая спираль Тц(П+) наматывается на точку M (ц) = (x+, z = ц < 0) £ П-, (рис. 5, b).

При этом номер ki (ц) можно оценить из неравенства ц + Azp < 0, подставив в него z = из (19). Откуда получим, что

к1(Ц) ~ —2лр ln |Ц|' (22)

При ц > 0 также сразу же исчезает счетное множество подков, но по другой причине. Здесь счетное множество завитков спиралей Тц(а>0) с номерами к > к2(ц) отображаются выше соответствующих полосок ok, так как спираль Тц(П+) наматывается на точку M(ц)=(ж+, z^>0) (рис. 5, с). При этом номер к2(ц) можно оценить из неравенства ц — Azp > 'Е+, подставив в него z = из (19). Тогда, как легко видеть, асимптотическая оценка (при 0 < р < 1) для к2(ц) получается такая же, как и для к1(ц).

Исчезновение/рождение подков при изменении ц сопровождаются многочисленными бифуркациями, основные из которых связаны с исчезновением/рождением неподвижных точек у отображений Тц : о0 ^ о0. Причем с каждой подковой можно связать две последовательности таких бифуркаций, см. рис. 6 и рис. .

0

о

к

0

о

к+1

a

b

П

+

0

С

Рис. 5. К геометрии взаимного расположения полосок ok и их подков T(ц)(ок) (завитков спиралей) при (а) ц = 0 -здесь все отображения T(ц) : ok ^ ok являются отображениями подковы Смейла; (b) ц < 0 - счетное множество завитков T(ц)(ок) перешло на площадку П-, то есть осталось только конечное число подков Смейла; (с) ц > 0 -счетное множество завитков T(ц)(ок) концентрируются вокруг точки M(ц) = (x+, ц), и опять при любом ц > 0 остается лишь конечное число подков Смейла

Fig. 5. Towards the geometry of the mutual arrangement of the strips ok and their horseshoes T(ц)(ок) (spiral curls) in the cases (а) ц = 0 - here all the maps T(ц) : ok ^ ok are the Smale horseshoe maps; (b) ц < 0 - a countable set of curls T(ц)^) moved to П-, i.e. only a finite number of Smale horseshoes remain; (с) ц > 0 - a countable set of curls T(ц)^) are concentrated around the point M(ц) = (x+, ц), and again for for any ц > 0, only a finite number of Smale horseshoes remain

а

о

к

b

а

о

к

Рис. 6. К геометрии взаимного расположения полосок о? и их подков T(р)(о?) (завитков спиралей) при изменении р Fig. 6. Towards the geometry of mutual arrangement of strips o? and their horseshoes T(р)(о?) (spiral curls) at changing р

0

О

к

a

0

О

к

Рис. 7. Случаи неправильных подков, когда либо (а) верхняя часть завитка T(р)(о?) ложится на полоску о?, либо (b) нижняя часть завитка T(р)(о?) ложится на полоску о?

Fig. 7. Cases of irregular horseshoes, when either (a) the upper part of the curl T(р)(о?) lies on the strip o?, or (b) the lower part of the curl T(р)(о?) lies on the strip o?

Первая последовательность бифуркаций, происходящих при ц > 0, связана с тем, что подковы последовательно исчезают при увеличении ц. Это схематически проиллюстрировано на рис. 6, b: слева подкова Смейла на полоске о0 еще есть, а справа - ее уже нет. В момент последней (седло-узловой) бифуркации при ц = ц+ при таком переходе (или в момент первой бифуркации при уменьшении ц, когда у отображения Тц : о°к ^ ок появляются неподвижные точки) взаимное расположение полоски о°к и ее подковы Тц(ок) будет таким, как на рис. /, а, то есть здесь нижняя часть завитка спирали Тц(ок) ложится на полоску ок.

Вторая последовательность бифуркаций, происходящих при ц < 0, связана с тем, что подковы последовательно исчезают при уменьшении ц. Это схематически проиллюстрировано на рис. 6, с: слева подкова Смейла на полоске ок еще есть, а справа - ее уже нет. В момент последней (седло-узловой) бифуркации при ц = ц- при таком переходе взаимное расположение полоски ок и ее подковы Тц(ок) будет таким, как на рис. /, b, то есть здесь верхняя часть завитка спирали Тц(ок) ложится на полоску ок.

Можно вычислить соответствующие бифуркационные значения ц = ц+ и ц = ц- параметра ц. Для этого сначала из первого уравнения системы (21) найдем координату x неподвижной

точки: x = x

для z

+

+O(zp). Подставив ее во второе уравнение из (21), получим следующее уравнение

z = ц + Ax+zp ■ cos ^ю ln - — |3^ + O (z2p)

которое можно рассматривать как одномерное отображение, у которого нам нужно найти его негрубую неподвижную точку седло-узлового типа, для координаты z которой должны выполняться неравенства (18), (19). Так как точка z - неподвижная и негрубая, то для нее должны также выполняться условия 2 = z и z' = 1, то есть z является корнем системы уравнений

z = ц + Ax+zp ■ cos ^ю ln - — |3^ + O (z2p) ,

zp-1 ^Ax+cos ^ю ln - — в — а^ + O(zp)^ = 1,

(23)

где tg а = ю/p и 0 < а < п/2. Так как для z должно выполняться неравенство (19), и 0 < p < 1, то есть zp- -1 ~ е2пк(1-р) ^ при к ^ ж, то cos (m ln(—/z) — в — а) должно принимать значения, близкие к нулю. При этом, как следует из (18), z нужно брать из интервала

П Л — П П

-----+ 2пк — а < ю ln--в — а <-----+ 2пк — а.

2 z 2

На этом интервале существуют два искомых значения z, когда

— п

ю ln---в — а ~ ± —+ 2пк.

z 1 2

Рассмотрим случай, когда ю ln(—/z) — в — а = — п/2 + 2пк + .... Тогда

z —е_(п/2-в-а)/юе-2пк/ю

а для корня z системы (23) получаем выражение

z = ц — Ax+zp ■ sin а + O (z2p) .

Из двух последних соотношений находим, что

где

ц+ = аея/2е-2якр/ю(1 + ...), a = Ax+dp sin ае-(в+а)р/ю

и а = arctg (ю/р).

Аналогично находим, что

ц-

ае-я/2е-2якр/ю(1 + ...).

Чтобы интерпретировать эти результаты для системы Хц, нам нужно вернуться к двумерному отображению (21). Для его якобиана имеет место формула (17). Поскольку в бифуркационный момент один из мультипликаторов неподвижной точки равен 1, то в силу (19) для второго мультипликатора получаем соотношение

V2 ~ е

2nfc(2p-1)

5

и соответственно, v2 ^ 0 при к ^ то, если 1 > р > 1/2, и v2 ^ то при к ^ то, если 0 < р < 1/2. Таким образом, указанные седло-узловые бифуркации приводят в случае 1/2<р<1 к рождению/исчезновению устойчивых и седловых предельных циклов, а в случае 0 < р < 1/2 -к рождению/исчезновению вполне неустойчивых и седловых предельных циклов.

Замечание 2. Последний результат является также важным для теории спиральных аттракторов, которым посвящена настоящая работа. Дело в том, что у трехмерной системы седлофокус с 0 < р < 1/2 не может принадлежать какому-либо аттрактору, поскольку дивергенция потока в седло-фокусе будет положительной (действительно, пусть трехмерная система Хо имеет состояние равновесия O с собственными значениями к1>2 = —к ± ш, к3 = у, тогда div X0(O) = у — 2к > 0, если к/у < 1/2). Однако, если обратить время (заменить t

на —t), то равновесие O станет уже седло-фокусом типа (1,2) - с собственными значениями к1 = —у, к2,3 = к ± ш. Оно будет иметь одномерное устойчивое и двумерное неустойчивое инвариантные многообразия, а дивергенция 2к — у станет автоматически отрицательной. Как вытекает из теоремы Шильникова, в окрестности гомоклинической петли у седло-фокуса типа (1,2) с div X0(O) < 0 будет иметь место сложная структура траекторий, а бифуркации могут приводить, в частности, к возникновению устойчивых периодических траекторий. Такой седло-фокус уже может принадлежать странному аттрактору.

В случае р > 1/2, то есть когда J(T) ^ 0 при z ^ 0, последовательности бифуркаций можно проследить, если перейти от двумерного отображения (21) к его одномерному аналогу, отображению Т*(ц) вида

Z = ц + Ax+zp ■ cos (ю ln(d/z) — в), (24)

которое моделирует динамику только координаты z (при этом полагаем, что x = x+).

Графически, в осях z и Z, это отображение представлено на рис. 8, а в случае 1/2 < р < 1 и на рис. 8, b в случае р > 1. Как видно, в случае р > 1 бифуркации очень простые: здесь при ц < 0 у отображения нет неподвижных точек, при ц = 0 появляется неподвижная точка z = 0, а при ц > 0 существует единственная неподвижная точка z = z*(^ > 0 такая, что z*(^ ^ 0 при ц ^ 0. Для системы Хц это означает, что при ц < 0 у нее нет предельных циклов в U(Гi), при ц = 0 существует гомоклиническая петля Г1, а при ц > 0, то есть когда петля расщепляется вверх, из нее рождается единственный устойчивый предельный цикл.

b

P>1

Рис. 8. Графические иллюстрации одномерного отображения (24) при разных ц в случаях 0 < р < 1 (а) и р > 1 (b) Fig. 8. Graphic illustrations of one-dimensional map (24) for different ц in the cases 0 < р < 1 (а) and р > 1 (b)

Ситуация в случае 1/2 < р < 1 совсем другая. Здесь при ц = 0 отображение T* имеет счетное множество седловых неподвижных точек, накапливающихся к точке z = 0. При варьировании ц эти точки бифурцируют, так что при любом ц = 0 неподвижных точек остается конечное число. Основные из этих бифуркаций - это седло-узловые бифуркации (происходящие при ц = ц+ и ц = ц-, когда график отображения z = ц + Ax+zр ■ cos (ю ln(d/z) — в) касается биссектрисы Z = z соответственно снизу и сверху), приводящие к возникновению/исчезновению у отображения T*(ц) двух неподвижных точек - устойчивой и неустойчивой.

В случае 0 < р < 1/2 использование одномерного отображения тоже полезно, например, для определения бифуркационных моментов, однако интерпретация результатов должна все-таки опираться на двумерный анализ. Пограничный случай р = 1/2 рассматривался в работах [49] и [50]. При этом в [49] изучались бифуркации в классе консервативных (бездивергентных) систем, а в [50] изучались бифуркации (в рамках двухпараметрических семейств с параметрами ц и р) при переходе границ устойчивости различных режимов.

Конечно, наш бифуркационный анализ весьма поверхностный. Существенно более детальное изучение бифуркаций в семействе Хц было проведено в работе [36]. Заметим, что сложность бифуркационного множества в случае системы с гомоклинической петлей седло-фокуса при 0 < р < 1 связана не только с многочисленными и разнообразными бифуркациями периодических траекторий, но также и с бифуркациями возникающих здесь гомоклинических или гетероклинических касаний (нетрансверсальных пересечений инвариантных многообразий седловых предельных циклов) и с бифуркациями образования многообходных петель седло-фокуса. 1 В настоящей работе мы не будем обсуждать эти проблемы. 11

11В совокупности, эти бифуркации могут быть сколь угодно сложными, что делает задачу их полного исследования нереалистичной [51-53].

2. О феноменологических сценариях возникновения диссипативного хаоса

Одной из самых важных и интересных задач в математической теории динамического хаоса является задача изучения механизмов его возникновения. В качественной теории динамических систем она обычно рассматривается как один из наиболее важных разделов общей проблемы изучения бифуркационных сценариев возникновения сложной динамики.

Математическим образом диссипативного динамического хаоса является странный аттрактор - нетривиальное устойчивое замкнутое инвариантное множество с неустойчивым поведением траекторий на нем. Особую ценность для теории странных аттракторов представляют сценарии, которые мы будем называть феноменологическими сценариями возникновения хаоса, которые связаны с описанием последовательности бифуркаций (локальных и глобальных), приводящих к возникновению странных аттракторов в моделях различного типа, независимо от их конкретного вида. В этих сценариях важно, что они могут реализоваться не только в какой-то отдельной системе, но также и в широком классе систем, удовлетворяющих определенным (достаточно общим) условиям. Примеров основных феноменологических сценариев такого типа (реализующихся в однопараметрических семействах общего положения) пока еще не слишком много, но все они имеют большую ценность как для теории динамического хаоса, так и для ее приложений. Отметим некоторые наиболее важные и широко известные из них.

В работе [54] была описана возможность возникновения странного аттрактора в результате разрушения трехмерного тора - фактически, в ней была высказана гипотеза о возможности появления хаоса в результате такой цепочки бифуркаций: состояние равновесия ^ предельный цикл ^ двумерный тор ^ трехмерный тор ^ хаос.12 Знаменитый сценарий Фейгенбаума [10,55] возникновения странного аттрактора в результате бесконечной цепочки бифуркаций удвоения периода, как хорошо известно, часто встречается в одномерных отображениях и сильно диссипативных маломерных системах. Другой пример - это сценарий «перехода к хаосу через перемежаемость», его феноменологическое описание было построено в работах Помо и Манневиля, см., например, [56], а математическое обоснование было дано даже несколько ранее в работе Лукьянова и Шильникова [57]. Отметим также известный сценарий Афраймовича и Шильнико-ва [58] возникновения странного аттрактора, так называемого «тор-хаоса», в результате разрушения двумерного тора. Заметим, что ряд важных математических проблем, относящихся к теории «тор-хаоса», был исследован в работах Афраймовича и Шильникова [59,60] (в которых, в частности, был представлен хорошо известный «принцип кольца»), а также в ряде других работ, см., например, [61-63].

Все эти работы вызвали большой интерес у исследователей, и описанные в них типы странных аттракторов были вскорости найдены во многих математических моделях. Заметим, что указанные выше сценарии возникновения хаоса потребовали развития весьма серьезного математического аппарата. Однако, что интересно, в математической теории динамического хаоса, особенно в последнее время, появились весьма интересные и сравнительно простые по структуре феноменологические сценарии, не требующие развития мощного математического аппарата, но представляющие весьма большой интерес для прикладных исследований. Первый сценарий

12Эта работа Д. Рюэля и Ф. Такенса [54], в которой, собственно, и был введен термин «странный аттрактор», вызвала в свое время большой интерес у физиков и математиков, так как показала, что хорошо известный феноменологический сценарий Ландау-Хопфа возникновения турбулентности в результате бесконечной цепочки добавления частот может легко прерываться - приводить к хаотической динамике - уже при появлении третьей частоты. Тем самым в [54] было показано, что динамический хаос (странные аттракторы) может возникать уже у конечномерных диссипативных систем.

такого рода - сценарий возникновения спирального хаоса в многомерных потоках - был предложен в работе Шильникова [43], в которой рассматривался многомерный случай (Wи одномерно и Ws многомерно). Ниже мы дадим феноменологическое описание сценария Шильникова для трехмерных потоков.

2.1. О сценариях возникновения аттрактора Шильникова. Рассмотрим однопараметрическое семейство X^ : x = X(x, и) трехмерных потоков таких, что при Ио < и < И1 система X^ имеет в некоторой поглощающей области D единственное грубое устойчивое состояние равновесия О^ Другими словами, глобальным аттрактором в D у системы Х^ при Ио < И- < Ил является равновесие ОИ (рис. 9, a).

Предположим, что при и = Ио в системе происходит мягкая (суперкритическая) бифуркация Андронова-Хопфа. То есть, при и > И1 состояние равновесия ОИ становится седло-фокусом (1,2), а в его окрестности рождается устойчивый предельный цикл Соответственно, глобальным аттрактором в D у системы Хи при всех достаточно малых и — И1 > 0 является этот асимптотически устойчивый предельный цикл Характер устойчивости цикла L определяется его мультипликаторами pi (и) и Р2(и), которые поначалу оба положительны и меньше единицы. В этом случае неустойчивое многообразие Wи(Ои) точки Ои является двумерным диском с краем Ьи, а траектории, стартующие из точек на Wи(ОИ) наматываются на Ьи по спиралям «изнутри» (рис. 9, b).

Предположим, что при дальнейшем увеличении параметра и мультипликаторы pi (и) и Р2(и) при некотором и = И* становятся равными, а при и > И* - комплексно-сопряженными.

Рис. 9. Основные этапы сценария возникновения аттрактора Шильникова. Одним из критериев странности такого аттрактора является существование двоякоасимптотической (гомоклинической) траектории у седло-фокуса ОИ

Fig. 9. Main stages of the scenario for the appearance of Shilnikov attractor. One of the criteria for strangeness of such an attractor is the existence of a bi-asymptotic (homoclinic) orbit to the saddle-focus ОИ

Другими словами, здесь происходит «гладкая бифуркация», в результате которой неустойчивое многообразие WU(LV) начинает навиваться на цикл Lр. Образуется т.н. «воронка Шильникова» (рис. 9, с), в которую втягиваются все траектории системы Xр (вообще говоря, кроме одной -устойчивой сепаратрисы Ws-(Op) состояния равновесия Oр). При дальнейшем изменении д размеры воронки увеличиваются, «втягивание траекторий» сохраняется, но предельный цикл может потерять свою устойчивость. В частности, на его месте в результате серии нетривиальных бифуркаций может образоваться странный аттрактор,13 который, в свою очередь может трансформироваться в спиральный аттрактор Шильникова, то есть странный аттрактор, который содержит седло-фокус Op типа (1,2) и его неустойчивое двумерное многообразие (рис. 9, d).

Моменту образования гомоклинической петли, д = щоор, отвечает бифуркационная ситуация, когда устойчивая сепаратриса Ws+(Op) при д ^ дгоор приближается к неустойчивому многообразию Wu(Op) (снаружи воронки) и при д = щоор ложится на него.

При дальнейшем изменении д сепаратриса Ws+(Op) целиком входит внутрь воронки, делает там много оборотов, затем снова может лечь на Wu(Op), образуя многообходную петлю и т.д. Моменты образования таких петель являются дискретными по параметру д, но не являются изолированными: к каждому такому значению параметра д накапливаются снова значения д, отвечающие уже вторичным многообходным петлям [53].

Дискретные моменты по параметру д, когда сепаратриса Ws+(Op) образует гомоклинические петли, соответствуют возникновению гомоклинических аттракторов Шильникова. В эти моменты, равновесие Op входит в аттрактор вместе с его неустойчивым многообразием Wu(Op), а траектории аттрактора посещают любую сколь угодно малую окрестность точки Op. Последнее свойство позволяет сравнительно легко находить моменты образования гомоклинических аттракторов Шильникова с помощью, например, автоматизированного построения графика зависимости от д расстояния точек аттрактора от седло-фокуса.

2.2. Сценарии возникновения спиральных восьмерочных аттракторов. В отличие от аттракторов Шильникова, спиральные аттракторы с состоянием равновесия седло-фокус (2,1) должны содержать обе его неустойчивые сепаратрисы Г и Г2 (рис. 10).

Вследствие этого, в численных экспериментах такие аттракторы становятся наблюдаемыми для открытого множества значений параметров. Этим своим свойством они чем-то похожи на аттракторы Лоренца, хотя с математической точки зрения спиральные аттракторы трехмерных потоков являются квазиаттракторами [32,33].

Одним из критериев существования спирального аттрактора является существование гомоклинических петель седло-фокуса, образованных обеими его неустойчивыми сепаратрисами Г1 и Г2. В общем случае это бифуркационное явление коразмерности 2.

^Последовательность этих бифуркаций может быть весьма разнообразной: это и каскад бифуркаций удвоения периода с последующим возникновением у отображения Пуанкаре аттрактора типа Эно; или из цикла может родиться двумерный устойчивый инвариантный тор Тц, который затем может разрушиться, например, по сценарию Афраймовича-Шильникова [58], в результате чего возникнет странный аттрактор типа «тор-хаос» [58]; и т.п.

Рис. 10. Для систем, обладающих центральной симметрией, возникновение одной петли сепаратрисы к седлофокусу (2,1) влечет к возникновение второй петли

Fig. 10. For systems with central symmetry, the appearance of one separatrix loop to the saddle focus (2.1) implies the appearance of the second loop

Однако в системах, обладающих центральной симметрией (x ^ -x, y ^ -y, z ^ -z), обе петли симметричного седло-фокуса 0(0, 0, 0) возникают одновременно. Нужно заметить, что системы с такой симметрией часто встречаются в приложениях, см., например, [12,64,65].

В этом подразделе мы дадим качественное описание основных этапов сценария возникновения спиральных аттракторов в однопараметрических семействах трехмерных потоков, которые обладают центральной симметрией.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений X = F(X, р),Х £ R3, зависящую от параметра р и обладающую центральной симметрией (X ^ —X). Пусть, при р = р0, симметричное устойчивое состояние равновесия Ор(0, 0, 0) претерпевает бифуркацию вилки (для систем с симметрией - это бифуркация коразмерности один), в результате которой при р > ро оно становится седлом (2,1), а в его окрестности рождается пара устойчивых симметричных друг другу состояний равновесия Oi и О2, см. рис. 11, а и b. Предположим, что при дальнейшем изменении р седло Ор становится седло-фокусом (2,1), а устойчивые узлы 01 и 02 - фокусами по ведущим координатам. То есть, у Ор его устойчивые характеристические корни становятся комплексносопряженными, а у Oi и О2 появляется пара комплексно-сопряженных корней Х12 с Re Xi < 0, которые лежат ближе к мнимой оси, чем устойчивый действительный корень X3 < 0. Теперь неустойчивые сепаратрисы Г1 и Г2 седло-фокуса Ор стремятся по спиралям соответственно к 01 и 02, см. рис. 11, с.

Далее, пусть при р = рah , состояния равновесия 01 и 02 претерпевают мягкую (суперкритическую) бифуркацию Андронова-Хопфа, в результате которой из них при р > pah рождаются устойчивые циклы L1 и L2, а сами равновесия О1 и О2 становятся седло-фокусами типа (1,2). Теперь неустойчивые сепаратрисы Г1 и Г2 седло-фокуса Ор будут уже наматываться на L1 и L2. С ростом р размеры устойчивых циклов L1 и L2 будут также расти, соответственно амплитуда наматывания на них сепаратрис Г1 и Г2 также возрастает. Она ограничивается только двумерным устойчивым многообразием W5(Ор). И мы предполагаем, что при некотором р = р* сепаратрисы Г1 и Г2 ложатся на W5(Ор), то есть образуется гомоклиническая восьмерка, или гомоклинический контур из сепаратрис Г1, Г2 и состояния равновесия Ор, рис. и, d. В этом случае, если седловая величина седло-фокуса Ор положительна, то, согласно теореме Шильни-кова [2], в окрестности контура Ор U Г1 U Г2 будет иметь место сложная динамика. Если при этом в рассматриваемой поглощающей области уже не существует других притягивающих инвариантных подмножеств, то значение параметра р = р* отвечает возникновению (восьмерочного) спирального аттрактора, рис. 11, е.

a

b

c

d

e

Рис. 11. Сценарий рождения восьмерочного спирального аттрактора в системах с центральной симметрией Fig. 11. Scenario of the birth of a figure-eight spiral attractor in systems with central symmetry

Такое явление часто наблюдается в экспериментах. В этом случае еще при ц < ц* устойчивые циклы L i и L2 теряют устойчивость, на их месте возникают симметричные друг другу странные аттракторы A1 и A2, например, в результате каскада бифуркаций удвоения периода, см. подраздел 3.3, и они при ц = ц* сталкиваются друг с другом (когда траектории из A1, и симметрично, из A2 начинают пересекаться с W5(Оц), то есть Оц е A1 U A2) - происходит так называемый кризис аттракторов Ai и A2, в результате которого они объединяются в один большой спиральный аттрактор, рис. 11, d-e.

Однако случается и так, что гомоклиническая бифуркация при ц = ц* еще не приводит к образованию спирального аттрактора, в точности так же, как и в модели Лоренца, когда возникновение гомоклинической восьмерки-бабочки не приводит сразу к образованию аттрактора Лоренца [66]. Но и в нашем случае, и в случае модели Лоренца, момент образования гомоклинической восьмерки является одним из ключевых, так как при дальнейшем изменении параметра возникают (многообходные) гомоклинические петли. При этом, если седловая величина седло-фокуса положительна, то в окрестности петель Г1 и Г2, будет существовать сложная динамика (так называемый метастабильный хаос), которая, если, например, циклы L1 и L2 еще не потеряли устойчивость, не будет притягивающей. В этом случае спиральный аттрактор может возникнуть сразу, «взрывом», когда циклы L1 и L2 теряют устойчивость жестким образом.14 Впрочем, и здесь возможна ситуация мягкого развития спирального хаоса, когда аттракторы A1 и A2, развившиеся из L1 и L2, сначала отделены от седло-фокуса Оц в момент образования гомоклинических петель при ц = ц*, но потом сталкиваются с ним и друг с другом при дальнейшем изменении параметра.

Замечание 3. Однако даже в тех случаях, когда восьмерочные спиральные аттракторы возникают по сценарию, похожему на сценарий возникновения аттрактора Лоренца, эти аттракторы с математической точки зрения - совершенно разные. Аттрактор Лоренца является настоящим, псевдогиперболическим, аттрактором, который представляет собой замкнутое притягивающее цепно-транзитивное инвариантное множество [67], не допускающее даже гомоклинических касаний, то есть нетрансверсальных пересечений инвариантных многообразий седловых предельных циклов. Спиральные аттракторы трехмерных систем относятся к классу квазиаттракторов, и соответственно в их областях параметров будут плотны значения, отвечающие гомоклиническим касаниям. Бифуркации таких касаний приводят к появлению внутри хаотического множества своих маленьких аттракторов - например, устойчивых периодических траекторий (предельных циклов) весьма больших периодов и с очень узкими областями притяжения. При численном моделировании они обычно не обнаруживаются (кроме некоторых областей параметров, которые называются окнами устойчивости), и аттрактор может вполне восприниматься как единственное притягивающее, транзитивное или цепно-транзитивное, инвариантное множество.

Замечание 4. В процессе развития хаотической динамики из пары аттракторов A1 и A2 могут симметрично образоваться гомоклинические аттракторы с петлями седло-фокусов О1 и О2, имеющих тип (1,2). То есть, в рамках сценария рождения спирального восьмерочного аттрактора может образоваться пара симметричных аттракторов Шильникова. Более того, после столкновения аттракторов Шильникова здесь также может возникнуть странный

14В трехмерном диссипативном случае основных примеров таких бифуркаций жесткой потери устойчивости предельным циклом - две: 1) седло-узловая бифуркация циклов, когда устойчивый цикл сливается с седловым циклом того же периода и оба исчезают и 2) субкритическая бифуркация удвоения периода циклов, когда с устойчивым циклом сталкивается седловой цикл удвоенного периода, и устойчивый цикл становится седловым.

аттрактор более сложного типа, когда все 3 седло-фокуса соединяются гетероклиническим контуром Быкова, см. рис 12. На плоскости параметров системы, таким контурам отвечают т.н. быковские точки (в симметричном случае они называются T-точками (T-point)). Из работ [68-70] следует, что из таких точек выходит счетное число бифуркационных кривых, отвечающих петлям седло-фокуса (2,1). Кроме того, в окрестности каждой быковской точки находится счетное множество других быковских точек, отвечающих более сложным гетероклиническим контурам.

2.3. О сценариях возникновения несимметричного восьмерочного спирального аттрактора. Заметим, что спиральные восьмерочные аттракторы могут возникать также в однопараметрических семействах систем, которые не обладают (центральной) симметрией. Основные отличия здесь связаны с тем, что вместо бифуркаций коразмерности два (бифуркация вилки, бифуркация образования сразу двух гомоклинических петель седло-фокуса) будут наблюдаться бифуркации коразмерности один. Основные этапы возникновения спирального несимметричного аттрактора представлены на рис. 13. Сначала устойчивое состояние O2 является единственным аттрактором в системе, см. рис. 13, а. Далее, при изменении (например, увеличении) управляющего параметра ц, на некотором расстоянии от O2 при ц = цт рождается седло-узел, см. рис. 13, b, который при ц > цзп разваливается на устойчивый узел O2 и седловое состояние равновесия O типа (2,1). При этом устойчивое двумерное многообразие седла O разграничивает бассейны притяжения устойчивых равновесий Oi и O2, а неустойчивые сепаратрисы Г1 и Г2 седла O стремятся соответственно к Oi и O2, рис. 13, с. Так же, как и в симметричном случае, при изменении ц, равновесие O становится седло-фокусом (2,1), а равновесия O1 и O2 поочередно становятся, например, оба седло-фокусами (1,2), рис. 13, c-d. При некотором ц = цд1 одна из сепаратрис седло-фокуса O, например, Г1, ложится на Ws(O), образуя гомоклинческую петлю. Затем Г2 сходит с Ws(O) и сразу начинает наматываться на сепаратрису Г2. Момент ц = цд2, когда Г2 впервые образует гомоклиническую петлю, рис. 13, е, можно теперь считать началом

Рис. 12. Симметричный быковский контур Fig. 12. Symmetric Bykov cycle

a

O„

O,

c

e

Рис. 13. Сценарий рождения восьмерочного спирального аттрактора в системах без центральной симметрии Fig. 13. A scenario of the birth of a figure-eight spiral attractor in systems without central symmetry

развития спирального хаоса. Поскольку теперь обе сепаратрисы «ходят вместе», то моменты возникновения вторичных гомоклинических петель сепаратрис Г1 и Г2 будут всюду плотны, но в отличие от симметричного случая, при одном значении параметра существует, вообще говоря, только одна петля. При этом развитие хаоса при увеличении у,, с учетом его асимметрии, будет в главных моментах похоже на то, что происходит в симметричном случае.

3. Примеры трехмерных систем с аттракторами Шильникова и спиральными аттракторами

В этом разделе мы рассмотрим некоторые классические системы со спиральным хаосом (систему Ресслера и две модели Арнеодо-Колле-Трессе), а также несколько известных систем из приложений.

3.1. Система Ресслера. Пожалуй одной из самых известных систем, обладающих аттрактором Шильникова, является система Ресслера. Существует несколько однотипных трехмерных систем Ресслера, демонстрирующих спиральный хаос. В качестве примера будем рассматривать систему

{х = —у — z

У = х + ay (25)

Z = bx — cz + xz,

которая была предложена в работе [71].15

Существует большое количество работ, посвященных исследованию хаотической динамики в системе Ресслера (25). В работе [73] впервые было указано на связь аттракторов, наблюдаемых в этой системе, с теоремой Шильникова. Ниже будет показано, что аттрактор в системе (25) возникает при изменении параметра а в соответствии со сценарием Шильникова, включающем образование гомоклинической петли седло-фокуса (1,2).

Замечание 5. Детальный двухпараметрический анализ системы (25) был проведен в работе [74], где подробно изучено бифуркационное множество в окрестности кривой, отвечающей возникновению петли сепаратрисы к седло-фокусу типа (1,2). Развитие этих результатов с помощью компьютерных методов содержится в работах [75, 76]. В частности, в работе [76] показано, что кривые локальных бифуркаций (седло-узловых и удвоения периода) в окрестности линии гомоклиники, образуются из так называемой беляковской точки [47] - точки на линии гомоклиники, в которой седловое состояние равновесия типа (1,2) обладает двумя кратными собственными числами.

Отметим, что система (25) имеет (при c = ab) два состояниями равновесия: Oi = (0, 0, 0) и O2 = (c — ab,b — c/a, —b + c/a). Далее зафиксируем параметры b и c (b = 0.3, c = 4.9) и проследим за развитием хаоса в системе при возрастании параметра a.

Заметим, что на всем интересующем нас интервале значений параметра a, состояние равновесия O2 является седло-фокусом типа (2,1). При этом состояние равновесия O1 является асимптотически устойчивым при a £ (0, a ah ~ 0.059). При

a = a ah

c2 + 1 — д/ (c2 + 1)2 — 4bc2 2c

15Заметим, что в первой работе Ресслера на тему спирального хаоса [72] рассматривалась система вида x = —y — z, y = x + ay, Z = b — cz + xz. Нетрудно видеть, что в случае c2 — 4ab > 0 эту систему можно записать в форме (25), если сдвинуть одно из ее состояний равновесия в начало координат.

точка O\ претерпевает суперкритическую бифуркацию Андронова-Хопфа, в результате которой из нее рождается устойчивый цикл L (рис. 14, a), а сама точка становится седло-фокусом типа (1,2).

Интересно, что при увеличении а при численном исследовании хорошо видна бифуркация удвоения периода цикла L, происходящая при а = apd ~ 0.23 (рис. 14, b), а тот момент, когда образуется воронка Шильникова, то есть у цикла L появляются комплексно-сопряженные муль-

-10

-10

d

0

-0.7

-7

g

-5 ^

-5 -2.5 0

a a=0.08

-5

-10

-10

-5 0 5

a=0.25

10

c

-5 0 5

a=0.275

-5 0 5

a=0.28

0

10 -5 0 5

e a=0.3

10 -5 0 5

f a=0.35

a=0.279

x -0.2 0 -7

h

x -0.2 0 -7

a=0.3

a=0.35

Рис. 14. Сценарий возникновения аттрактора Шильникова в системе Ресслера (25). (a-f) - двумерные проекции фазовых портретов; (g-i) - отображение Пуанкаре секущей Sо : {у = 0, x < 0} для различных аттракторов

Fig. 14. Scenario of the Shilnikov attractor appearance in the Rossler system (25). (a-f) - two-dimensional projections of phase portraits; (g-i) - the Poincare map of the section S0 : {y = 0, x < 0} for various attractors

b

l

типликаторы, весьма трудно уловим. Здесь и соответствующий интервал значений а очень короткий (длины порядка 10-7), и сами мультипликаторы экстремально малы (~ 10-6 по модулю). Соответственно при численном моделировании нельзя увидеть, что в этот момент траектории накручиваются на цикл, хотя для сценария этот момент важен. Эта особенность аттрактора Рес-слера (очень тонкая и уплощенная воронка Шильникова) характерна также и для многих других моделей со спиральным хаосом, хотя для некоторых из них момент образования воронки можно увидеть при численном моделировании, см., например, ниже - рис. ./, b.

При дальнейшем увеличении параметра а устойчивый цикл претерпевает каскад бифуркаций удвоения периода (см. рис. 14, b, c после первой и второй бифуркаций удвоения периода), в результате которого в системе возникает странный аттрактор (рис. 14, d), который при увеличении а постепенно усложняется (рис. 14, e, f). Сначала здесь наблюдается аттрактор Фейгенбау-ма (см. рис. 14, d), затем - аттрактор Ресслера, рис. 14, e (именно такой аттрактор был найден в [71]), а при а ~ 0.35 - гомоклинический аттрактор Шильникова, рис. 14, f Если взять секущую S0 : {у = 0, х < 0}, то у отображения Пуанкаре аттракторы, изображенные на рис. 14, d-f будут выглядеть так, как соответственно на рис. 14, g-i, то есть эффективно, как аттракторы некоторого одномерного отображения, поскольку сама система при данных значениях параметров является сильно диссипативной. Заметим, что у отображения Пуанкаре в случае рис. 14, g и h точка (х = 0, z = 0) секущей So, отвечающая седло-фокусу O\, не принадлежит аттрактору, а в случае рис. 14, i - принадлежит аттрактору.

Траектории аттрактора Ресслера, изображенного на рис. 14, е, не попадают в окрестность седло-фокуса Oi. При увеличении параметра а размеры этой окрестности уменьшаются, а при а = аьот ~ 0.35, когда образуется петля сепаратрисы к седло-фокусу O1, она стягивается до нуля. Этот момент соответствует образованию гомоклинического аттрактора Шильникова.

При дальнейшем увеличении параметра а странный аттрактор увеличивается в размерах, и его траектории приближаются к границе поглощающей области притяжения - двумерному устойчивому многообразию седло-фокуса O2. При этом, по мере приближения к границе, происходит усложнение формы аттрактора, см. рис. 15, на котором показаны несколько так называемых «аттракторов с воронками» (multi-funnel attractors). При приближении значений параметра а к а = аСп3 ~ 0.4745 число таких вторичных «воронок» увеличивается [77].

При а = аСп3 происходит столкновения аттрактора с двумерным устойчивым многообразием седло-фокуса O2. А так как одна из одномерных неустойчивых сепаратрис седло-фокуса O2

а=0.35, c=4.9

а

а=0.435, c=4.67

а=0.462, c=4.62

b

c

Рис. 15. Усложнение шильниковской воронки в системе Ресслера (25) при изменении параметров а и c (b = 0.3) вдоль бифуркационной кривой, отвечающей существованию гомоклинической петли седло-фокуса

Fig. 15. The complication of the Shilnikov whirlpool in the ROssler system (25) as the parameters a and c (b = 0.3) change along the bifurcation curve corresponding to the existence of a homoclinic loop of saddle-focus

типа (2,1) стремилась к аттрактору, а другая уходила на бесконечность, то, по факту, возникновение гомоклинической петли седло-фокуса O2 в системе (25) можно рассматривать как признак случившегося ранее кризиса аттрактора, после которого большинство траекторий в системе (25) убегают на бесконечность.

3.2. Системы Арнеодо-Калле-Трессе. Долгое время работы Л.П. Шильникова [2,7,8], в которых были заложены основы математической теории спирального хаоса, были известны лишь узкому кругу в основном русскоязычных математиков. По всей видимости, известность на Западе его работы получили благодаря циклу статей А.Арнеодо, П.Калле и К.Трессе [65,73,78,79], в которых была отмечена важность открытия Шильникова для теории спирального хаоса.

Уже в первой работе этих авторов [65] была дана геометрическая иллюстрация теоремы Шильникова. Также в ней был приведен простой пример кусочно-линейной осцилляторной модели вида

x + x + $x = /Дж), (26)

где

U(x)

1 + ax, x < 0, 1 — цж, x > 0,

(а и ц - параметры), в которой аналитически было установлено существование гомоклинической петли седло-фокуса (2,1) и численно были найдены странные аттракторы спирального типа (аттракторы Шильникова, в нашей терминологии).

В работе [73] была предложена уже гладкая трехмерная система

{x = У,

У = z, (27)

Z = —y — |3z + p,x(1 — x),

демонстрирующая спиральный хаос при определенных значениях параметров в и ц. Мы рассмотрим эту систему более подробно.

Так как система (27) имеет постоянную дивергенцию, равную —в, то аттракторы у нее могут существовать только при в > 0. При всех значениях параметров ц > 0, в > 0 система (27) имеет два состояния равновесия Oi(0, 0, 0) и O2(1, 0, 0). При этом Oi при в < \/3 всегда является седло-фокусом типа (2,1), а равновесие O2 может быть как устойчивым, так и седлофокусом типа (1,2).

Так же, как и в [73], мы зафиксируем в = 0.4, но теперь рассмотрим задачу о сценарии возникновения аттрактора Шильникова с седло-фокусом O2 при изменении параметра ц. На рис. 16 показаны основные его этапы.

При 0 < ц < ц1 = 0.4 устойчивое состояние равновесия O2 является единственным аттрактором в системе, а границей его области притяжения является двумерное устойчивое многообразие седло-фокуса O1. При ц = ц1 равновесие O2 претерпевает бифуркацию Андронова-Хопфа, в результате которой, при ц > ц1, от него отделяется устойчивый предельный цикл, а само состояние равновесия становится седло-фокусом (1,2), см. рис. 16, а. Устойчивый предельный цикл существует на интервале ц1 < ц < ц2 « 0.72. Начиная с ц = ц2, цикл начинает претерпевать каскад бифуркаций удвоения периода (см. рис. 16, b, c после первой и второй бифуркации удвоения), в результате которого у отображения Пуанкаре системы возникает странный аттрактор типа Фейгенбаума, рис. 16, d. Затем этот аттрактор трансформируется в аттрактор типа Эно (для потока - это аттрактор Рёсслера), рис. 16, е. При дальнейшем увеличении параметра ц вплоть до

y

0.4 -0.1 -0.6 -1.1

-0.6 -0.025 0.65 1.275 x

a

У 0.4 -0.1

-0.6 -1.1

ц=0.5

У 0.4 -0.1 -0.6 -1.1

-0.6 -0.025 0.65 1.275 x b

У 0.4 -0.1 -0.6 -1.1

ц=0.75

-0.6 -0.025 0.65 1.275 x

-0.6 -0.025 0.65 1.275 x -0.6 -0.025 0.65 1.275 x

d ц=0.782 e ц=0.8 ^ ц=0.863

Рис. 16. Сценарий возникновения странных аттракторов в системе Арнеодо-Калле-Трессе (27) Fig. 16. Scenario of the appearance of strange attractors in the Arneodo-Coullet-Tresser system (27)

^ = ^3 ^ 0.86311445 аттрактор качественно не меняется - он не является гомоклиническим, но его траектории проходят все ближе и ближе к седло-фокусу.

При ^ = ^з «дырка» исчезает, и траектории аттрактора начинают посещать любую окрестность седло-фокуса O2, см. рис. 16, f При этом удается численно построить гомоклиническую траекторию к этому седло-фокусу (рис. 17, a). Момент ^ = ^3 отвечает образованию гомоклинического аттрактора Шильникова.

Замечание 6. Мы видим, что и в этом случае возникновение гомоклинического аттрактора происходит в соответствии со сценарием Шильникова. Однако, в отличие от системы Рессле-ра, здесь при численном моделировании можно увидеть также момент образования воронки, когда цикл L становится циклом фокусного типа. Момент возникновения воронки Шильникова изображен на рис. 17, b, где параметр, отвечающий за дивергенцию системы, для наглядности взят достаточно маленьким (в = 0.01,), чтобы продемонстрировать, как неустойчивое двумерное многообразие седло-фокуса O2 наматывается на устойчивый предельный цикл L.

При дальнейшем увеличении параметра ^ вплоть до ^ = ^4 ~ 0.873 (так же, как и с аттрактором Ресслера) наблюдается явление усложнения структуры воронки Шильникова. При ^ = ^4 происходит кризис аттрактора - он разрушается в результате того, что его траектории начинают пересекаться с двумерным устойчивым многообразием седло-фокуса Oi. Заметим, что однообходная петля седло-фокуса O1, численно найденная в работе [73] при ^ = Ц5 « 1.6062

y

0.4 -0.1 -0.6 -1.1

-0.6 -0.025 0.65 1.275 x

a

jx=0.86311445

b

P=0.01, p=0.02

Рис. 17. a - Аттрактор Шильникова с петлей седло-фокуса O2 типа (1,2); b - иллюстрация образования шильниковской воронки; c - петля седло-фокуса Oi типа (2,1), здесь аттрактора в системе (27) уже нет

Fig. 17. a - Shilnikov attractor with a loop of a saddle-focus O2 of type (1,2); b - illustration of the formation of the Shilnikov whirlpool; c - a loop of saddle-focus Oi of type (2,1), here the attractor in system (27) is no longer there

(см. рис. 17, с), существует тогда, когда аттрактора в системе уже нет. Как мы говорили выше, это связано с тем, что вторая неустойчивая сепаратриса седло-фокуса O\ убегает на бесконечность.

Однако, если бы вторая сепаратриса в этот момент не уходила из поглощающей области (например, в силу имеющейся симметрии, она также образовывала бы петлю, или являлась «супергомоклинической» к первой петле [80] и т.п.), то вполне мог бы образоваться восьмерочный спиральный аттрактор. Впервые такой аттрактор был найден в работе А. Арнеодо, П. Калле и К. Трессе [64], в которой они, правда, не обсуждали его спиральный характер. В следующем подразделе мы рассмотрим систему из [64], как одну из самых простых по форме моделей, в которой наблюдается описанный нами в п. 2.2 сценарий возникновения восьмерочного спирального аттрактора.

3.3. Система Арнеодо-Колле-Трессе с центральной симметрией. В работе [64] было показано, что в системе

{ X = у

\у = z (28)

\z = —у — Pz + цх(1 — х)(1 + x),

с кубической нелинейностью при определенных значениях параметров в и ц существуют странные аттракторы.

Система (28) обладает центральной симметрией x ^ —х, у ^ —у, z ^ —z, и при ц = 0 она имеет три состояния равновесия 0(0,0, 0), Oi(1, 0, 0) и O2(—1, 0, 0). Далее зафиксируем в = 0.4 и покажем, что в этой системе может возникать спиральный аттрактор в соответствии со сценарием, предложенном в п. 2.2.

При ц £ (0,0.2) состояния равновесия Oi и O2 являются устойчивыми, а О - седлофокусом (2,1). Двумерное устойчивое многообразие Ws (O) разграничивает бассейны притяжения состояний равновесия Oi и O2, а также аттракторов, развивающихся впоследствии из этих точек. Неустойчивое многообразие Wи разбивается точкой O на 2 сепаратрисы Г1 и Г2. Сепаратриса Г1 стремится к состоянию равновесия O1, а Г2 - к O2 (рис. 18, a).

При ц = 0.2 состояния равновесия Oi и O2 одновременно претерпевают мягкую бифуркацию Андронова-Хопфа, в результате которой из них при ц > 0.2 рождаются устойчивые пре-

-0.1

-0.2

a

-2

d

-1 0 1 ц=0.43

02 О А-, \

\ у ■ о-

2-1 0 1 x ц=0.1

©

- ©

-1

-2

b

y

-2

x -2 e

0

ц=0.3

0

ц=0.45

x -2 -1

c

x -2

f

0 1 x

ц=0.4

0 1 ц=0.55

Рис. 18. Сценарий возникновения странных аттракторов в системе (28) Fig. 18. Scenario of the appearance of strange attractors in system (28)

1

1

0

1

1

1

1

1

2

X

дельные циклы l1 и l2 (рис. 18, b), а сами равновесия становятся седло-фокусами типа (2,1). При дальнейшем увеличении параметра ц устойчивые предельные циклы li и l2 претерпевают каскад бифуркаций удвоения периода (см. рис. 18, с, d после первых двух таких бифуркаций), в результате которого рождается пара странных аттракторов, изображенных на рис. 18, e. При этом неустойчивая сепаратриса Гi по-прежнему стремится к аттрактору, возникшему из точки O1, а Г2 - к аттрактору, образовавшемуся из O2.

С дальнейшим увеличением параметра ц странные аттракторы увеличиваются в размерах, подходят к многообразию Ws(O), разграничивающему их бассейны притяжения. При ц = ц ~ ~ 0.5218 неустойчивые сепаратрисы Г1 и Г2 одновременно ложатся на двумерное многообразие Ws(O) - образуется пара гомоклинических к седло-фокусу O траекторий (см. рис. 10), у которого седловая величина положительна, то есть выполняются условия теоремы Шильникова. При этом, практически сразу же, два симметричных странных аттрактора, сталкиваясь с устойчивым многообразием Ws(O), сливаются в один спиральный аттрактор (рис. 18, f).

Замечание 7. В процессе развития хаотической динамики из пары аттракторов, возникающих из состояний равновесия O1 и O2, могут образоваться гомоклинические аттракторы с петлями седло-фокусов O1 и O2, имеющих тип (1,2). То есть в рамках сценария рождения спирального аттрактора могут образоваться два симметричных аттрактора Шильникова. Более того, здесь также может возникнуть странный аттрактор более сложного типа, когда все 3 седлофокуса соединяются гетероклиническим контуром Быкова (см. рис 12).

3.4. Система Розенцвейга-Макартура. Аттракторы спирального типа также часто встречаются в системах из разных приложений. Один из примеров таких систем - это трехмерная система Розенцвейга-Макартура [81,82], описывающая динамику в пищевой цепочке «жертва -хищник - суперхищник» [82]

x

< У z

x{r{1 - K

ary

1+brx

У

z

a1 x

1 + b1x a2 У

1 + Ъ2У

a2z

1 + b2y

d2j.

•)

(29)

На возможность возникновения странных аттракторов в системе (29) было указано в статьях [82-84]. В работах [85], [86] было показано, что странные аттракторы здесь могут иметь спиральную природу за счет возникновения гомоклинических петель седло-фокуса.

Совсем недавно в [87] было установлено, что спиральные аттракторы в системе (29) возникают в соответствии со сценарием Шильникова (рис. 19). Чтобы это продемонстрировать, зафиксируем параметры системы

a1 = 5, a2 = 0.1, b1 = 3, b2 = 2, d1 = 0.4, d2 = 0.01, r = 0.79 (30)

9.13

9.11

9.09

9.07

0.68 0.69 0.7 0.71 x1 0.62 0.68 0.74 0.

a K=0.94 b K=1

x1 0.5 0.625 0.75 0.875 x1

c K=1.03

x3 x3

9.75- 9.9-

9.5 9.6

9.25- 9.3 -

9 9

0.5 0.625 0.75 0.875 x1 0.5 0.625 0.75 0.875 x1 0.45 0.6 0.75 0.9 x1

d K=1.036 e K=1.040115 f K=1.06356

Рис. 19. Сценарий возникновения аттрактора Шильникова в системе Розенцвейга-Макартура (29)

Fig. 19. Scenario of the Shilnikov attractor appearance in the Rosenzweig-MacArthur system (29)

x

3

и, варьируя параметр K, опишем основные этапы возникновения аттракторов Шильникова в системе (29).

При K < Ki ~ 0.965 аттрактором системы является устойчивое состояние равновесия O (рис. 19, a). При K = Ki это состояние равновесия претерпевает мягкую (субкритическую) бифуркацию Андронова-Хопфа, в результате которой состояние равновесия становится седло-фокусом типа (1,2) и из него рождается устойчивый предельный цикл (рис. 19, b). При дальнейшем увеличении параметра K, этот цикл претерпевает каскад бифуркаций удвоения периода (рис. 19, c, d), приводящий к появлению странного аттрактора (рис. 19, e). В момент K = Kh ~ 1.06356 образуется петля к седло-фокусу, и возникает гомоклинический аттрактор Шильникова (рис. 19, f).

3.5. Химический осциллятор. Важно отметить, что во всех приведенных выше системах, аттракторы Шильникова возникают согласно сценарию, в рамках которого переход от регулярной динамики к хаотической возникает за счет каскада бифуркаций удвоения периода устойчивого предельного цикла, рождающегося из устойчивого состояния равновесия.

На примере системы, описывающей колебания реагентов при протекании некоторой химической реакции, мы покажем, что в рамках сценария Шильникова переход от устойчивого предельного цикла к хаотической динамике может происходить также жестким образом, в результате жесткой (субкритической) бифуркации удвоения периода, когда седловой цикл удвоенного периода влипает в устойчивый предельный цикл.

Рассмотрим систему

X = х(|3х - fy - z + g),

< y = y(x + sz - a), (31)

^Z = (x — a z3 + bz2 — cz)/e,

предложенную П. Гаспаром и Г. Николисом в работе [88], в которой было показано, что в системе (31) могут существовать странные аттракторы, содержащие седло-фокус (1,2). Соответствующие области параметров, где такие аттракторы могут наблюдаться, были указаны в [89]. Здесь мы зафиксируем параметры системы следующим образом [89]

b = 3, £ = 0.01, f = 0.5, g = 0.6, s = 0.3, c = 4.8, a = 0.7825, (32)

а параметр в выберем в качестве управляющего.

При в < вли ~ 0.261 ненулевое состояние равновесия O системы (31) является устойчивым, см. рис. 20, а. При в = вли это равновесие претерпевает мягкую суперкритическую бифуркацию Андронова-Хопфа. После чего, на интервале в е (в ли, |3PD ~ 0.3817) аттрактором в системе является устойчивый предельный цикл I, см. рис. 20, b, а состояние равновесия O становится седло-фокусом типа (1,2). При в ~ 0.365 у цикла I появляются кратные мультипликаторы, а затем, на очень узком интервале значений параметра, комплексно-сопряженные - образуется шильниковская воронка, затягивающая все траектории, кроме одной из устойчивых сепаратрис равновесия O. При в ^ ftpD к циклу l подходит седловой предельный цикл ls удвоенного периода, см. рис. 20, b и влипает в него при в = ftpD. В результате этой субкритической бифуркации удвоения периода, при в > ftpD цикл l становится седловым, и мгновенно устойчивым режимом

Рис. 20. Сценарий возникновения аттрактора Шильникова в модели химического осциллятора (31): a - аттрактором в системе является устойчивое состояние равновесия O; b - к устойчивому предельному циклу l подходит седловой цикл ls удвоенного периода; с - гомоклинический аттрактор Шильникова

Fig. 20. Scenario of the Shilnikov attractor appearance in the model of the chemical oscillator (31): a - the attractor in the system is a stable equilibrium state O; b - a saddle cycle ls of double period approaches a stable limit cycle l; c - the Shilnikov homoclinic attractor

становится странный аттрактор. При дальнейшем увеличении параметра в траектории этого аттрактора начинают подходить все ближе и ближе к седло-фокусу O. При в = вh ~ 0.3921 образуется петля седло-фокуса O, то есть возникает гомоклинический аттрактор Шильникова, рис. 20, с.

Заключение

Настоящая работа, вторая часть нашего обзора по математической теории динамического хаоса, посвящена в основном теории спирального хаоса в трехмерных потоках и ее приложениям. Основной идеей этой работы было изложить эту теорию в том ключе, в каком она виделась, как нам кажется, ее основателю Л.П. Шильникову (см. также [90,91]). Поэтому мы сочли нужным объединить в единое целое классическую часть этой теории (теорема Шильникова и его сценарий возникновения спирального хаоса) с некоторыми современными ее аспектами, включая также результаты компьютерных исследований по этой тематике.

Однако заметим, что современная теория спирального хаоса трехмерных потоков выходит далеко за рамки данного обзора. Она включает в себя такие важные аспекты как изучение структуры бифуркационного множества гомоклинических петель к седло-фокусу [53,74,76,86], изучение механизмов усложнения шильниковской воронки («Shilnikov wirhlpool»), приводящих к возникновению так называемых «funnel» и «multi-funnel» аттракторов (аттракторов «с воронкой» и «с несколькими воронками») [77], изучение универсальных бифуркационных структур, проявляющих себя в форме так называемых «узлов периодичности» («periodicity hubs») [75,89], теория мультиспирального хаоса, включая теорию хаоса с быковскими контурами и т.д. Отдельный интерес представляет широкий спектр исследований, связанный с исследованием особенностей спирального хаоса в прикладных моделях. В частности, как было совсем недавно показано в работах [87,92], возникновение гомоклинических аттракторов Шильникова в моделях живых систем может приводить к так называемым «экстремальным событиям», влекущим затухание жизненных процессов (в частности, режима передачи нервных импульсов).

Важно отметить, что теория спирального хаоса трехмерных потоков является фундаментом для теории многомерного спирального хаоса (когда размерность фазового пространства потоков n > 4 и отображений n > 3), которая в настоящий момент находится в начале своего развития, хотя и здесь уже получен ряд весьма интересных результатов. В частности, был обобщен сценарий Шильникова на случай трехмерных отображений [40-42], заложены основы теории диких спиральных аттракторов [38,39,93], а также многомерный спиральный хаос (в том числе, и гиперхаос) был обнаружен в ряде моделей из приложений [29,94-97].

Библиографический список

1. Гонченко А.С., Гонченко С.В., Казаков А.О., Козлов А.Д. Математическая теория динамического хаоса и её приложения: Обзор. Часть 1. Псевдогиперболические аттракторы // Известия вузов. ПНД. 2017. Т. 25, № 2. С. 4-36.

2. Шильников Л.П. Об одном случае существования счетного множества периодических движений // ДАН СССР. 1965. Т. 169, № 3. C. 558-561.

3. Шильников Л.П. Об одном случае существования счетного множества периодических движений // Межвузовский симпозиум по КТДУ, 1964. 1 с.

4. Шильников Л.П.Леонтович-Андронова Евгения Александровна // Сб. Личности в науке. Женщины-ученые Нижнего Новгорода. Изд. ННГУ, 1999. С. 83-102.

5. Шильников Л.П. Некоторые случаи рождения периодических движений в n-мерном пространстве // ДАН СССР. 1962. Т. 143, № 2. С. 289-292.

6. Шильников Л.П. О рождении периодических движений в n-мерном пространстве // Мат. сб. 1963. № 4. С. 443-466.

7. Шильников Л.П. О существовании счетного множества периодических движений в четырехмерном пространстве в расширенной окрестности седло-фокуса // ДАН СССР. 1967. Т. 172, № 2. С. 298-301.

8. Шильников Л.П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус // Мат. сб. 1970. Т. 81(123), № 1. С. 92-103.

9. Lorenz E. Deterministic nonperiodic flow // Journal of the Atmospheric Sciences. 1963. Vol. 20, no. 2. P. 130-141.

10. Шарковский А.Н. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя // Украинский математический журнал. 1964. Т. 16, № 01. С. 61-71.

11. Smale S. Differentiable dynamical systems // Bull. AMS. 1963. Vol. 73. P. 747-817.

12. Chua L.O., Komuro M., Matsumoto T. The double scroll family // Circuits and Systems. IEEE Transactions on. 1986. Vol. 33, no. 11. P. 1072-1118.

13. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. М., 1990.

14. Arecchi F.T., Meucci R., Gadomski W. Laser dynamics with competing instabilities // Physical Review Letters. 1987. Vol. 58, no. 21. P. 2205.

15. Arecchi F.T., Lapucci A., Meucci R., Roversi J.A., Coullet PH. Experimental characterization of Shil’nikov chaos by statistics of return times // EPL (Europhysics Letters). 1988. Vol. 6, no. 8. P. 677.

16. Pisarchik A.N., Meucci R., Arecchi F.T. Theoretical and experimental study of discrete behavior of Shilnikov chaos in a CO2 laser // The European Physical Journal D-Atomic, Molecular, Optical and Plasma Physics. 2001. Vol. 13, no. 3. P. 385-391.

17. Zhou C.S., Kurths J., Allaria E., Boccaletti S., Meucci R., Arecchi F.T. Constructive effects of noise in homoclinic chaotic systems // Physical Review E. 2003. Vol. 67, no. 6. P. 066220.

18. Argoul F., Arneodo A., Richetti P Experimental evidence for homoclinic chaos in the Belousov-Zhabotinskii reaction // Physics Letters A. 1987. Vol. 120, no. 6. P. 269-275.

19. Arneodo A., Argoula F., Elezgarayab J., Richettia P Homoclinic chaos in chemical systems // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1993. Vol. 62, no. 1. P. 134-169.

20. Feudel U., Neman A., Pei X., Wojtenek W., Braun H., Huber M., Moss F. Homoclinic bifurcation in a Hodgkin-Huxley model of thermally sensitive neurons // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2000. Vol. 10, no. 1. P. 231-239.

21. Parthimos D., Edwards D.H., Griffith T.M. Shilnikov homoclinic chaos is intimately related to type-III intermittency in isolated rabbit arteries: role of nitric oxide // Physical Review E. 2003. Vol. 67, no. 5. P. 051922.

22. Koper M.T.M., Gaspard P., Sluyters J.H. Mixed-mode oscillations and incomplete homoclinic scenarios to a saddle focus in the indium / thiocyanate electrochemical oscillator // Journal of Chemical Physics. 1992. Vol. 97, no. 11. P. 8250-8260.

23. Chedjou J.C., Woafo P, Domngang S. Shilnikov chaos and dynamics of a self-sustained electromechanical transducer// Journal of vibration and acoustics. 2001. Vol. 123, no. 2. P. 170-174.

24. Bassett M.R., Hudson J.L. Shilnikov chaos during copper electrodissolution // Journal of Physical Chemistry. 1988. Vol. 92, no. 24. P. 6963-6966.

25. Noh T Shilnikov chaos in the oxidation of formic acid with bismuth ion on Pt ring electrode // Electrochimica Acta. 2009. Vol. 54, no. 13. P. 3657-3661.

26. Rucklidge A.M. Chaos in a low-order model of magnetoconvection // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1993. Vol. 62, no. 1. P. 323-337.

27. Henderson M.E., Levi M., Odeh F. The geometry and computation of the dynamics of coupled pendula // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1991. Vol. 1, no. 01. P. 27-50.

28. Гонченко А.С., Гонченко С.В., Казаков А.О. О некоторых новых аспектах хаотической динамики «кельтского камня» // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8, № 3. С. 507-518.

29. Gonchenko A.S., Gonchenko S.V, Kazakov A.O. Richness of chaotic dynamics in nonholonomic models of a Celtic stone // Regular and Chaotic Dynamics. 2013. Vol. 18, no. 5. Pp. 521-538.

30. Vano, J.A., Wildenberg J.C., Anderson M.B., Noel J.K., Sprott J.C. Chaos in low-dimensional Lotka-Volterra models of competition // Nonlinearity. 2006. Vol. 19, no. 10. P. 2391.

31. Овсянников И.М., Шильников Л.П. О системах с гомоклинической кривой многомерного седло-фокуса и спиральный хаос // Матем. сб. 1991. № 7. C. 1043-1073.

32. Afraimovich VS., Shilnikov L.P Strange attractors and quasiattractors // Nonlinear Dynamics and Turbulence / Eds G.I.Barenblatt, G. Iooss, D.D. Joseph (Boston, Pitmen), 1983.

33. Gonchenko S.E, Shilnikov L.P., Turaev D.V Quasi-attractors and homoclinic tangencies // Computers Math. Applic. 1997. Vol. 34, no. 2-4. P. 195-227.

34. Гаврилов Н.К., Шильников Л.П. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой // Матем. сб. 1972. Т. 88(130), № 4. C. 475-492.

35. Гаврилов Н.К., Шильников Л.П. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой // Матем. сб. 1973. Т. 90(132), № 1. C. 139-156.

36. Овсянников И.М., Шильников Л.П. О системах с гомоклинической кривой седло-фокуса // Математический сборник. 1986. Т. 130, № 4(8). С. 552-570.

37. Гонченко С.В. Об устойчивых периодических движениях в системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой // Мат. заметки. 1983. Т. 33, № 5. С. 745-755.

38. Тураев Д.В., Шильников Л.П. Пример дикого странного аттрактора//Матем. сборник. 1998. Т. 189, № 2. С. 137-160.

39. Gonchenko S.S., Kazakov A.O., TuraevD. Wild pseudohyperbolic attractors in a four-dimensional Lorenz system // arXiv preprint arXiv:1809.07250, 2018.

40. Гонченко А.С., Гонченко С.В., Шильников Л.П. К вопросу о сценариях возникновения хаоса у трехмерных отображений // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8, № 1. С. 3-28.

41. Gonchenko A.S., Gonchenko S.V., Kazakov A.O. and Turaev D. Simple scenarios of onset of chaos in three-dimensional maps // Int. J. Bif. and Chaos. 2014. Vol. 24, no. 8. 25 p.

42. Gonchenko A.S., Gonchenko S.V Variety of strange pseudohyperbolic attractors in three-dimensional generalized Henon maps // Physica D. 2016. Vol. 337. P. 43-57.

43. Шильников Л.П. Теория бифуркаций и турбулентность // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. сб. Горький: ГГУ, 1986. С. 150-163.

44. Шильников А.Л., Шильников Л.П., Тураев Д.В., ЧуаЛ. Методы качественной теории в нелинейной динамике. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований; Часть 1, 2004. 416 с.

45. Шильников А.Л., ШильниковЛ.П., Тураев Д.В., ЧуаЛ. Методы качественной теории в нелинейной динамике. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований; Часть 2, 2009. 546 с.

46. Беляков Л.А. Об одном случае рождения периодического движения с гомоклиническими кривыми // Математические заметки. 1974. Т. 15, № 4. С. 571-580.

47. Беляков Л.А. О бифуркационном множестве в системах с гомоклинической кривой седла // Математические заметки. 1980. Т. 28, № 6. С. 911-922.

48. Беляков Л.А. Бифуркации систем с гомоклинической кривой седло-фокуса с нулевой седловой величиной // Математические заметки. 1984. Т. 36, №. 5. С. 681-689.

49. Бирагов В.С., Шильников Л.П. О бифуркации петли седло-фокуса в трехмерной консервативной динамической системе // Сб. Методы качеств. теории и теории бифуркаций. Горький, 1989. C. 25-34.

50. Гонченко В.С., Шильников Л.П. О бифуркациях гомоклинической петли к седло-фокусу индекса 1/2 // Доклады Академии Наук. 2007. T. 417, № 6.

51. Gonchenko S.K, Turaev D.V., Shilnikov L.P. On models with nonrough Poincare homoclinic curves // Physica D. 1993. Vol. 62. P. 1-14.

52. Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. О моделях с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре // ДАН СССР. 1991. Т. 320, № 2. С. 269-272.

53. Gaspard P, Gonchenko S.K, Nicolis G., Turaev D.V Complexity in the bifurcation structure of homoclinic loops to a saddle-focus. Nonlinearity. 1997. Vol. 10. P. 409-423.

54. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence // Communications in Mathematical Physics. 1971. Vol. 20, no. 3. P. 167-192.

55. Feigenbaum M./.Quantitative universality for a class of nonlinear transformations // Journal of statistical physics. 1978. Vol. 19, no. 1. P. 25-52.

56. Pomeau Y., Manneville P Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems // Comm. Math. Phys. 1980. Vol. 74, no. 2. P. 189-197.

57. Лукьянов В.И., Шильников Л.П. О некоторых бифуркациях динамических систем с гомоклиническими структурами // Докл. АН СССР. 1978. Т. 243, № 1, С. 26-29.

58. Афраймович В.С., Шильников Л.П. Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стоха-стичность // Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький, 1983. С. 3-26.

59. Афраймович В.С., Шильников Л.П. О некоторых глобальных бифуркациях, связанных с исчезновением неподвижной точки типа седло-узел // Докл. АН СССР. 1974. Т. 219, № 6. С. 1281-1285.

60. Афраймович В.С., Шильников Л.П. Принцип кольца и задача о взаимодействии двух автоколебательных систем // ПММ. 1977. Т. 41. С. 618-627.

61. Aronson D.G., Chory M.A., Hall G.R., McGehee R.P. Bifurcations from an invariant circle for two-parameter families of maps of the plane: a computer-assisted study // Communications in Mathematical Physics. 1982. Т. 83, no. 3. P. 303-354.

62. Newhouse S.E., Palis J., Takens F. Bifurcations and stability of families of diffeomorphisms // Publications Mathematiques IHES. 1983. Vol. 57. P. 5-71.

63. Тураев Д.В., Шильников Л.П. Бифуркации квазиаттракторов тор-хаос // Математические механизмы турбулентности. Киев, 1986. С. 113-121.

64. Coullet Р, Tresser C., Arneodo A. Transition to stochasticity for a class of forced oscillators // Physics letters A. 1979. Vol. 72, no. 4-5. P. 268-270.

65. Arneodo A., Coullet P., Tresser C. Possible New Strange Attractors With Spiral Structure // Commun. Math. Phys. 1981. Vol. 79. P. 573-579

66. Шильников Л.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца // В кн.: Дж. Мардсен, М. МакКракен. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. С. 317-335.

67. Афраймович В.С., Быков В.В., Шильников Л.П. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца // Труды Московского математического общества. 1982. Т. 44, № 0. С. 150-212.

68. Быков В.В. О бифуркациях динамических систем, близких к системам с еепаратрисным контуром, содержащим седло-фокус // Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький, 1980. С. 44-72.

69. Bykov V.V. The bifurcations of separatrix contours and chaos // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1993. Vol. 62, no. 1-4. P. 290-299.

70. Bykov V.V. On systems with separatrix contour containing two saddle-foci // Journal of Mathematical Sciences. 1999. Vol. 95, no. 5. P. 2513-2522.

71. Rossler O.E. Continuous chaos-four prototype equations // Annals of the New York Academy of Sciences 1979. Vol. 316, no. 1. P. 376-392.

72. Rossler O.E. An equation for continuous chaos // Physics Letters A. 1976. Vol. 57, no. 5. P. 397-398.

73. Arneodo A., Coullet P, Tresser C. Oscillators with chaotic behavior: an illustration of a theorem by Shilnikov // Journal of Statistical Physics. 1982. Vol. 27, no. 1. P 171-182.

74. Gaspard P, Kapral R., Nicolis G. Bifurcation phenomena near homoclinic systems: a two-parameter analysis // Journal of Statistical Physics. 1984. Vol. 35, no. 5. P. 697-727.

75. Vitolo R., Glendinning P, Gallas J.A.C. Global structure of periodicity hubs in Lyapunov phase diagrams of dissipative flows // Physical Review E. 2011. Vol. 84, no. 1. P. 016216.

76. Barrio R., Blesa F., Serrano S., Shilnikov A. Global organization of spiral structures in biparameter space of dissipative systems with Shilnikov saddle-foci // Physical Review E. 2011. Vol. 84, no. 3. P. 035201.

77. Letellier C., Dutertre P, Maheu B. Unstable periodic orbits and templates of the Rossler system: toward a systematic topological characterization // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 1995. Vol. 5, no. 1. P. 271-282.

78. Arneodo A., Coullet P., Tresser C. Occurence of strange attractors in three-dimensional Volterra equations // Physics Letters A. 1980. Vol. 79, no. 4. P. 259-263.

79. Arneodo A., Coullet P, Spiegel E., Tresser C. Asymptotic chaos // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1985. Vol. 14, no. 3. P. 327-347.

80. Shilnikov L.P., Turaev D.V. Super-homoclinic orbits and multi-pulse homoclinic loops in Hamiltonian systems with discrete symmetries // Regul. Khaoticheskaya Din. 1997. Vol. 2, no. 3-4. P. 126-138.

81. Rosenzweig M.L. Exploitation in three trophic levels // The American Naturalist. 1973. Vol. 107, no. 954. P. 275-294.

82. Hastings A., Powell T. Chaos in a three-species food chain // Ecology. 1991. Vol. 72, no. 3. P. 896-903.

83. Rai V., Sreenivasan R. Period-doubling bifurcations leading to chaos in a model food chain // Ecological modelling. 1993. Vol. 69, no. 1-2. P. 63-77.

84. Kuznetsov Y.A., Rinaldi S. Remarks on food chain dynamics // Mathematical biosciences. 1996. Vol. 134, no. 1. P. 1-33.

85. Deng B. Hines G. Food chain chaos due to Shilnikov’s orbit // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2002. Vol. 12, no. 3. P. 533-538.

86. Kuznetsov Y.A., De Feo O., Rinaldi S. Belyakov homoclinic bifurcations in a tritrophic food chain model // SIAM Journal on Applied Mathematics. 2001. Vol. 62, no. 2. P. 462-487.

87. Bakhanova Y.V., Kazakov A.O., Korotkov A.G., Levanova T.A., Osipov G.V. Spiral attractors as the root of a new type of «bursting activity» in the Rosenzweig-MacArthur model // European Physical Journal. Special Topics. 2018. Vol. 227, no. 7-9. P. 959-970.

88. Gaspard P, Nicolis G. What can we learn from homoclinic orbits in chaotic dynamics? // Journal of statistical physics. 1983. Vol. 31, no. 3. P. 499-518.

89. Gallas J.A.C. The structure of infinite periodic and chaotic hub cascades in phase diagrams of simple autonomous flows // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2010. Vol. 20, no. 02. P. 197-211.

90. Afraimovich VS., Gonchenko S.V., Lerman L.M., Shilnikov A.L., Turaev D.V. Scientific heritage of L.P. Shilnikov // Regul. Chaot. Dyn. 2014. Vol. 19, no. 4. P. 435-460.

91. Афраймович В.С., Беляков Л.А., Гонченко С.В., Лерман Л.М., Морозов А.Д., Тураев Д.В., Шильников А.Л. Л.П. ШИЛЬНИКОВ. Избранные Труды // Изд-во Нижегородского университета, 2017. С. 429.

92. Korotkov A.G., Levanova T.A., Kazakov A.O. Effects of memristor-based coupling in the ensemble of FitzHugh-Nagumo elements // Eur. Phys. J. Special Topics. 2019. Vol. 228. P. 2325-2337.

93. Gonchenko A.S., Gonchenko S.V, Kazakov A.O., Kozlov A.D. Elements of Contemporary Theory of Dynamical Chaos: A Tutorial. Part I. Pseudohyperbolic Attractors // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2018. Vol. 28, no. 11. P. 1830036.

94. Borisov A.V., Kazakov A.O., Sataev I.R. Spiral chaos in the nonholonomic model of a Chaplygin top // Regular and Chaotic Dynamics. 2016. Vol. 21, no. 7-8. P. 939-954.

95. Гонченко А.С., Гонченко С.В., Казаков А.О., Самылина Е.А. Хаотическая динамика и мультистабильность в неголономной модели кельтского камня // Известия высших учебных заведений. Радиофизика. 2018. Т. 61, № 10. P. 867-882.

96. Stankevich N., Kuznetsov A., Popova E., Seleznev E. Chaos and hyperchaos after secondary Neimark-Sacker bifurcation in a model of radio-physical generator // Nonlinear dynamics. 2019. Vol. 97, no. 4. P. 2355-2370.

97. Garashchuk I.R., Sinelshchikov D.I., Kazakov A.O., Kudryashov N.A. Hyperchaos and multistability in the model of two interacting microbubble contrast agents // Chaos: Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2019. Vol. 29, no. 6. P. 063131.

References

1. Gonchenko A.S., Gonchenko S.V., Kazakov A O., Kozlov A D. Mathematical theory of dynamical chaos and its applications: review part 1. Pseudohyperbolic attractors. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, 2017, vol. 25, no. 2, pp. 4-36 (in Russian).

2. Shilnikov L.P. A case of the existence of a denumerable set of periodic motions. Doklady Akademii Nauk. Russian Academy of Sciences, 1965, vol. 160, no. 3, pp. 558-561.

3. Shilnikov L.P. A case of the existence of a denumerable set of periodic motions. Inter-University Symposium on KTDU, 1964, 1 p.(in Russian).

4. Shilnikov L.P. Leontovich-Andronova Evgeniya Aleksandrovna. Sb. Personality in Science. Women scientists of Nizhny Novgorod, Izdat. NNSU, 1999, pp. 83-102 (in Russian).

5. Shilnikov L.P. Some cases of generation of periodic motions in an n-dimensional space. Soviet Math. Dokl., 1962, vol. 3, pp. 394-397.

6. Shilnikov L.P. Some cases of generation of period motions from singular trajectories. Matemati-cheskii Sbornik, 1963, vol. 103, no. 4, pp. 443-466.

7. Shilnikov L.P. Existence of a countable set of periodic motions in a neighborhood of a homoclinic curve. Doklady Akademii Nauk, 1967, vol. 172, no. 2, pp. 298-301.

8. Shilnikov L.P. A contribution to the problem of the structure of an extended neighborhood of a rough equilibrium state of saddle-focus type. Matematicheskii Sbornik, 1970, vol. 123, no. 1, pp. 92-103.

9. Lorenz E. Deterministic nonperiodic flow. Journal of the Atmospheric Sciences, 1963, vol. 20, no. 2, pp. 130-141.

10. Sharkovsky O.M. Coexistence of the cycles of a continuous mapping of the line into itself. Ukrainskij matematicheskij zhurnal, 1964, vol. 16, no. 01, pp. 61-71.

11. Smale S. Differentiable dynamical systems. Bull. AMS, 1963, vol. 73, pp. 747-817.

12. Chua L.O., Komuro M., Matsumoto T. The double scroll family. Circuits and Systems, IEEE Transactions on, 1986, vol. 33, no. 11, pp. 1072-1118.

13. Anishchenko V.S. Complex oscillations in simple systems, M.: Nauka, 1990 (in Russian).

14. Arecchi F.T., Meucci R., Gadomski W. Laser dynamics with competing instabilities. Physical review letters, 1987, vol. 58, no. 21, p. 2205.

15. Arecchi F.T., Lapucci A., Meucci R., Roversi J.A., Coullet P.H. Experimental characterization of Shil’nikov chaos by statistics of return times. EPL (Europhysics Letters), 1988, vol. 6, no. 8, p. 677.

16. Pisarchik A.N., Meucci R., Arecchi F.T. Theoretical and experimental study of discrete behavior

of Shilnikov chaos in a CO 2 laser. The European Physical Journal D-Atomic, Molecular, Optical and Plasma Physics, 2001, vol. 13, no. 3, pp. 385-391.

17. Zhou C.S., Kurths J., Allaria E., Boccaletti S., Meucci R., Arecchi F.T. Constructive effects of noise in homoclinic chaotic systems. Physical Review E, 2003, vol. 67, no. 6, pp. 066220.

18. Argoul F., Arneodo A., Richetti P. Experimental evidence for homoclinic chaos in the Belousov-Zhabotinskii reaction. Physics Letters A, 1987, vol. 120, no. 6, pp. 269-275.

19. Arneodo A., Argoula F., Elezgarayab J., Richettia P. Homoclinic chaos in chemical systems. Physica D: Nonlinear Phenomena, 1993, vol. 62, no. 1, pp. 134-169.

20. Feudel U., Neiman A., Pei X., Wojtenek W., Braun H., Huber M., Moss F. Homoclinic bifurcation in a Hodgkin-Huxley model of thermally sensitive neurons. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 2000, vol. 10, no. 1, pp. 231-239.

21. Parthimos D., Edwards D.H., Griffith T.M. Shilnikov homoclinic chaos is intimately related to type-III intermittency in isolated rabbit arteries: role of nitric oxide. Physical Review E, 2003, vol. 67, no. 5, pp. 051922.

22. Koper M.T.M., Gaspard P., Sluyters J.H. Mixed-mode oscillations and incomplete homoclinic scenarios to a saddle focus in the indium/thiocyanate electrochemical oscillator. Journal of chemical physics, 1992, vol. 97, no. 11, pp. 8250-8260.

23. Chedjou J.C., Woafo P., Domngang S. Shilnikov chaos and dynamics of a self-sustained electromechanical transducer. Journal of Vibration and Acoustics, 2001, vol. 123, no. 2, pp. 170-174.

24. Bassett M.R., Hudson J.L. Shilnikov chaos during copper electrodissolution. Journal of Physical Chemistry, 1988, vol. 92, no. 24, pp. 6963-6966.

25. Noh T. Shilnikov chaos in the oxidation of formic acid with bismuth ion on Pt ring electrode. Electrochimica Acta, 2009, vol. 54, no. 13, pp. 3657-3661.

26. Rucklidge A. M. Chaos in a low-order model of magnetoconvection. Physica D: Nonlinear Phenomena, 1993, vol. 62, no. 1, pp. 323-337.

27. Henderson M.E., Levi M., Odeh F. The geometry and computation of the dynamics of coupled pendula. International Journal of Bifurcation and Chaos, 1991, vol. 1, no. 01, pp. 27-50.

28. Gonchenko A.S., Gonchenko S.V., Kazakov A.O. On some new aspects of Celtic stone chaotic dynamics. Nelineinaya Dinamika [Russian Journal of Nonlinear Dynamics], 2012, vol. 8, no. 3, pp. 507-518 (in Russian).

29. Gonchenko A.S., Gonchenko S.V., Kazakov A.O. Richness of chaotic dynamics in nonholonomic models of a Celtic stone. Regular and Chaotic Dynamics, 2013, vol. 18, no. 5, pp. 521-538.

30. Vano J.A., Wildenberg J.C., Anderson M.B., Noel J.K., Sprott J.C. Chaos in low-dimensional Lotka-Volterra models of competition. Nonlinearity, 2006, vol. 19, no. 10, p. 2391.

31. Ovsyannikov I.M., Shilnikov L.P. Systems with a homoclinic curve of multidimensional saddle-focus, and spiral chaos. Matematicheskii Sbornik, 1991, vol. 182, no. 7, pp. 1043-1073.

32. Afraimovich V.S., Shilnikov L.P. Strange attractors and quasiattractors. Nonlinear Dynamics and Turbulence, eds G.I.Barenblatt, G.Iooss, D.D.Joseph (Boston, Pitmen), 1983.

33. Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. Quasiattractors and homoclinic tangencies. Computers Math. Applic., 1997, vol. 34, no. 2-4, pp. 195-227.

34. Gavrilov N.K., Shilnikov L.P. On three-dimensional dynamical systems close to systems with a structurally unstable homoclinic curve. Part 1. Math. USSR Sb., 1972, vol. 17, pp. 467-485.

35. Gavrilov N.K., Shilnikov L.P. On three-dimensional dynamical systems close to systems with a structurally unstable homoclinic curve. Part 2. Math. USSR Sb, 1973, vol. 19, pp. 139-156.

36. Ovsyannikov I. M., Shilnikov L. P. On systems with a saddle-focus homoclinic curve. Matemati-cheskii Sbornik, 1986, vol. 172, no. 4, pp. 552-570.

37. Gonchenko S.V. On stable periodic motions in systems close to systems with nonrough homoclinic curve. Math. Notes, 1983, vol. 33, no. 5, pp. 745-755.

38. Turaev D.V., Shilnikov L.P. An example of a wild strange attractor. Sb. Math., 1998, vol. 189, pp. 291-314.

39. Gonchenko S.S., Kazakov A.O., Turaev D. Wild pseudohyperbolic attractors in a four-dimensional Lorenz system. arXiv preprint arXiv:1809.07250, 2018.

40. Gonchenko A.S., Gonchenko S.V., Shilnikov L.P. Towards Scenarios of Chaos Appearance in Three-Dimensional Maps. Nelineinaya Dinamika [Russian Journal of Nonlinear Dynamics], 2012, vol. 8, no. 1, pp. 3-28 (in Russian).

41. Gonchenko A.S., Gonchenko S.V., Kazakov A.O. and Turaev D. Simple scenarios of onset of chaos in three-dimensional maps. Int. J. Bif. and Chaos, 2014, vol. 24, no. 8, 25 p.

42. Gonchenko A.S., Gonchenko S.V. Variety of strange pseudohyperbolic attractors in three-dimensional generalized Henon maps. Physica D, 2016, vol. 337, pp. 43-57.

43. Shilnikov L.P. The theory of bifurcations and turbulence. Selecta Mathematica Sovietica, 1991, vol. 10, no. 1, pp. 43-53.

44. Shilnikov A.L., Shilnikov L.P., Turaev D.V., Chua L.O. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics. World Scientific; Part 1, 1998, 412 p.

45. Shilnikov A.L., Shilnikov L.P., Turaev D.V., Chua L.O. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics. World Scientific; Part 2, 2001, 577 p.

46. Belyakov L.A. A case of the generation of a periodic motion with homoclinic curves. Mathematical Notes, 1974, vol. 15, no. 4, pp. 336-341.

47. Belyakov L.A. Bifurcation set in a system with homoclinic saddle curve. Mathematical Notes, 1980, vol. 28, no. 6, pp. 910-916.

48. Belyakov L.A. Bifurcation of systems with homoclinic curve of a saddle-focus with saddle quantity zero. Mathematical Notes, 1984, vol. 36, no. 5, pp. 838-843.

49. Biragov V., Shilnikov L. On the bifurcation of a saddle-focus separatrix loop in a three-dimensional conservative dynamical system. Selecta Math. Soviet. 1992, vol. 11, no. 4, pp. 333-340.

50. Gonchenko V.S., Shilnikov L.P. On bifurcations of a homoclinic loop to a saddle-focus of index 1/2. Rus. Math. Docl., 2007, vol. 417, no. 6.

51. Gonchenko S.V., Turaev D.V., Shilnikov L.P. On models with nonrough Poincare homoclinic curves. Physica D, 1993. vol. 62, pp. 1-14.

52. Gonchenko S. V., Turaev D. V., Shilnikov L. P. On models with a structurally unstable homoclinic Poincare curve. Sov. Math. Dokl., 1992, vol. 44, no. 2., pp. 422-426.

53. Gaspard P., Gonchenko S.V., Nicolis G., Turaev D.V. Complexity in the bifurcation structure of homoclinic loops to a saddle-focus. Nonlinearity, 1997, vol. 10, pp. 409-423.

54. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence. Communications in Mathematical Physics, 1971, vol. 20, no. 3, pp. 167-192.

55. Feigenbaum M.J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations. Journal of statistical physics, 1978, vol. 19, no. 1, pp. 25-52.

56. Pomeau Y., Manneville P. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems. Comm. Math. Phys., 1980, vol. 74, no. 2 pp. 189-197.

57. Luk’yanov V.I., Shilnikov L.P. On some bifurcations of dynamical systems with homoclinic structures. Doklady Akademii Nauk, 1978, vol. 243, no. 1, pp. 26-29.

58. Afraimovich V.S., Shilnikov L.P. Invariant two-dimensional tori, their breakdown and stochasticity. Amer. Math. Soc. Transl., 1991, vol. 149, no. 2, pp. 201-212.

59. Afraimovich V.S., Shilnikov L.P. On some global bifurcations connected with the disappearance of a fixed point of saddle-node type. Doklady Akademii Nauk, 1974, vol. 219. no. 6, pp. 1281-1284.

60. Afraimovich V.S., Shilnikov L.P. The ring principle in problems of interaction between two self-oscillating systems. Prikladnaia Matematika i Mekhanika. 1977, vol. 41, pp. 618-627.

61. Aronson D.G., Chory M.A., Hall G.R., McGehee R.P. Bifurcations from an invariant circle for two-parameter families of maps of the plane: a computer-assisted study. Communications in Mathematical Physics, 1982, vol. 83, no. 3, pp. 303-354.

62. Newhouse S.E., Palis J., Takens F. Bifurcations and stability of families of diffeomorphisms. Publications Mathematiques IHES, 1983, vol. 57, pp. 5-71.

63. Turaev D.V., Shilnikov L.P. in book «Mathematical mechanisms of turbulence». Kiev, 1986, pp. 113-121 (in Russian).

64. Coullet P., Tresser C., Arneodo A. Transition to stochasticity for a class of forced oscillators. Physics letters A, 1979. vol. 72, no. 4-5. pp. 268-270.

65. Arneodo A., Coullet P., Tresser C. Possible New Strange Attractors With Spiral Structure. Commun. Math. Phys., 1981, vol. 79, pp. 573-579.

66. Shilnikov L.P. Bifurcation theory and the Lorenz model. Appendix to Russian edition of «The Hopf Bifurcation and Its Applications». Eds. J. Marsden and M. McCraken, 1980, pp. 317-335 (in Russian).

67. Afraimovich V.S., Bykov V.V., Shilnikov L.P. Attractive nonrough limit sets of Lorenz-attractor type. Trudy Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo, 1982, vol. 44, pp. 150-212.

68. Bykov V.V. Ob Bifurcations of dynamical systems close to systems with a separatrix contour containing a saddle-focus. Methods of Qualitative Theory of Differential Equations. Gorki, 1980, pp. 44-72 (in Russian).

69. Bykov V.V. The bifurcations of separatrix contours and chaos. Physica D: Nonlinear Phenomena, 1993, vol. 62, no. 1-4, pp. 290-299.

70. Bykov V.V. On systems with separatrix contour containing two saddle-foci. Journal of Mathematical Sciences, 1999, vol. 95, no. 5, pp. 2513-2522.

71. Rossler O.E. Continuous chaos-four prototype equations. Annals of the New York Academy of Sciences, 1979, vol. 316, no. 1, pp. 376-392.

72. Rossler O.E. An equation for continuous chaos. Physics Letters A, 1976, vol. 57, no. 5, pp. 397-398.

73. Arneodo A., Coullet P., Tresser C. Oscillators with chaotic behavior: an illustration of a theorem by Shilnikov. Journal of Statistical Physics, 1982, vol. 27, no. 1, pp. 171-182.

74. Gaspard P., Kapral R., Nicolis G. Bifurcation phenomena near homoclinic systems: a two-parameter analysis. Journal of Statistical Physics, 1984, vol. 35, no. 5, pp. 697-727.

75. Vitolo R., Glendinning P., Gallas J.A.C. Global structure of periodicity hubs in Lyapunov phase diagrams of dissipative flows. Physical Review E, 2011, vol. 84, no. 1, pp. 016216.

76. Barrio R., Blesa F., Serrano S., Shilnikov A. Global organization of spiral structures in biparameter space of dissipative systems with Shilnikov saddle-foci. Physical Review E, 2011, vol. 84, no. 3, pp. 035201.

77. Letellier C., Dutertre P., Maheu B. Unstable periodic orbits and templates of the Rossler system: toward a systematic topological characterization. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 1995, vol. 5, no. 1, pp. 271-282.

78. Arneodo A., Coullet P., Tresser C. Occurence of strange attractors in three-dimensional Volterra equations. Physics Letters A, 1980, vol. 79, no. 4, pp. 259-263.

79. Arneodo A. et al. Asymptotic chaos. Physica D: Nonlinear Phenomena, 1985, vol. 14, no. 3, pp. 327-347.

80. Shilnikov L.P., Turaev D.V. Super-homoclinic orbits and multi-pulse homoclinic loops in Hamiltonian systems with discrete symmetries. Regul. Khaoticheskaya Din., 1997, vol. 2, no. 3-4, pp. 126-138.

81. Rosenzweig M.L. Exploitation in three trophic levels. The American Naturalist, 1973, vol. 107, no. 954, pp. 275-294.

82. Hastings A., Powell T. Chaos in a three-species food chain. Ecology, 1991, vol. 72, no. 3, pp. 896-903.

83. Rai V., Sreenivasan R. Period-doubling bifurcations leading to chaos in a model food chain. Ecological modelling, 1993, vol. 69, no. 1-2, pp. 63-77.

84. Kuznetsov Y.A., Rinaldi S. Remarks on food chain dynamics. Mathematical biosciences, 1996, vol. 134, no. 1, pp. 1-33.

85. Deng B. Hines G. Food chain chaos due to Shilnikov’s orbit. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 2002, vol. 12, no. 3, pp. 533-538.

86. Kuznetsov Y.A., De Feo O., Rinaldi S. Belyakov homoclinic bifurcations in a tritrophic food chain model. SIAM Journal on Applied Mathematics, 2001, vol. 62, no. 2, pp. 462-487.

87. Bakhanova Y.V., Kazakov A.O., Korotkov A.G. Levanova T.A., Osipov G.V. (2018). Spiral attractors as the root of a new type of «bursting activity» in the Rosenzweig-MacArthur model. The European Physical Journal Special Topics, 227(7-9), pp. 959-970.

88. Gaspard P., Nicolis G. What can we learn from homoclinic orbits in chaotic dynamics? Journal of statistical physics, 1983, vol. 31, no. 3, pp. 499-518.

89. Gallas J.A.C. The structure of infinite periodic and chaotic hub cascades in phase diagrams of simple autonomous flows. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2010, vol. 20, no. 02, pp. 197-211.

90. Afraimovich V.S., Gonchenko S.V., Lerman L.M., Shilnikov A.L., Turaev D.V., Scientific heritage of L.P. Shilnikov. Regul. Chaot. Dyn., 2014, vol. 19, no. 4, pp. 435-460.

91. Afraimovich V.S., Belyakov L.A., Gonchenko S.V., Lerman L.M., Morozov A.D., Turaev D.V., Shilnikov A.L. «L.P. Shilnikov. Selected Works». UNN press, 2017, p. 429 (in Russian).

92. Korotkov A.G., Levanova T.A., Kazakov A.O. Effects of memristor-based coupling in the ensemble of FitzHugh-Nagumo elements. Eur Phys. J. Special Topics, 2019, vol. 228, pp. 2325-2337.

93. Gonchenko A.S., Gonchenko S.V., Kazakov A.O., Kozlov A.D. Elements of Contemporary Theory of Dynamical Chaos: A Tutorial. Part I. Pseudohyperbolic Attractors. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2018, vol. 28, no. 11, pp. 1830036.

94. Borisov A.V., Kazakov A.O., Sataev I.R. Spiral chaos in the nonholonomic model of a Chaplygin top. Regular and Chaotic Dynamics, 2016, vol. 21, no. 7-8, pp. 939-954.

95. Gonchenko A.S., Gonchenko S.V., Kazakov A.O., Samylina E.A, Chaotic dynamics and multistability in a nonholonomic model of Celtic stone. Izvestiya VUZ. Radiophysics, 2018, vol. 61, no. 10, pp. 867-882.

96. Stankevich N., Kuznetsov A., Popova E., Seleznev E. Chaos and hyperchaos after secondary Neimark-Sacker bifurcation in a model of radio-physical generator. Nonlinear dynamics, 2019, vol. 97, no. 4, pp. 2355-2370.

97. Garashchuk I.R., Sinelshchikov D.I., Kazakov A.O., Kudryashov N.A. Hyperchaos and multistability in the model of two interacting microbubble contrast agents. Chaos: Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 2019, vol. 29, no. 6, pp. 063131.

Гонченко Сергей Владимирович - родился в Горьком (1953). Окончил Горьковский государственный университет имени Н.И. Лобачевского (1975). Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук (1983, ГГУ) и доктора физико-математических наук (2004, ГГУ) по специальности 01.01.02 - «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление». Автор монографии «Гомоклинические касания» (в соавторстве с Л.П. Шильниковым). Опубликовано более 150 научных статей по направлениям, указанным выше. Федеральный профессор в области математики. Работает в ННГУ, заведующий лабораторией динамических и управляемых систем (с 2011).

Россия, 603950 Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23

Нижегородский национальный исследовательский университет имени Н.И. Лобачевского E-mail: [email protected]

Гонченко Александр Сергеевич - родился в 1987 году, окончил Нижегородский государственный университет имени Н.И.Лобачевского (2010). С 2010 по 2012 обучался в очной аспирантуре при ННГУ им Н.И. Лобачевского. Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук (2013, ННГУ) по специальности 01.01.02 - «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление». Работает в ННГУ научным сотрудником лаборатории динамических и управляемых систем. Опубликовал около 20 научных статей по исследованию динамического хаоса в различных динамических системах.

Россия, 603950 Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23

Нижегородский национальный исследовательский университет имени Н.И. Лобачевского E-mail: [email protected]

Казаков Алексей Олегович - родился в 1987 году, окончил Нижегородский государственный университет имени Н.И. Лобачевского (2010). С 2010 по 2012 обучался в очной аспирантуре в ННГУ им Н.И. Лобачевского. Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук (2013, НИУ МИФИ) по направлению 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ». Работал младшим научном сотрудником (2011-2013) в лаборатории «Нелинейного анализа и конструирования новых средств передвижения» в УдГУ (Ижевск). С 2013 года работает доцентом на кафедре «Теории управления и динамики систем» в ННГУ им. Н.И. Лобачевского. С 2015 года работает доцентом на кафедре фундаментальной математики, НИУ ВШЭ (Нижний Новгород). С 2018 года работает ведущим научным сотрудником лаборатории ТМД, НИУ ВШЭ (Нижний Новгород) Опубликовал более 40 научных статей по исследованию динамического хаоса в различных динамических системах.

Россия, 603155 Нижний Новгород, ул. Большая Печерская, д. 25/12 Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

E-mail: [email protected]

Козлов Александр Дмитриевич - родился в 1988 году, окончил Нижегородский государственный университет имени Н.И. Лобачевского (2011). После окончания ННГУ работает в исследовательской лаборатории компании Интел, параллельно занимается научной деятельностью в НИУ ННГУ и НИУ ВШЭ. Область научных интересов - странные аттракторы в многомерных диффеоморфизмах и потоках.

Россия, 603950 Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23

Нижегородский национальный исследовательский университет имени Н.И. Лобачевского E-mail: [email protected]

Баханова Юлия Викторовна - родилась в 1995 году, окончила Нижегородский государственный университет имени Н.И. Лобачевского (2019). С 2018 года работает стажером-исследователем в лаборатории топологическим методов в динамике в НИУ ВШЭ, Нижний Новгород. Является соавтором трех научных статей по исследованию спирального хаоса в различных динамических системах.

Россия, 603155 Нижний Новгород, ул. Большая Печерская, д. 25/12 Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

E-mail: [email protected]