Бифуркации и странные аттракторы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 364-366

УДК 517.9; 530.1

БИФУРКАЦИИ И СТРАННЫЕ АТТРАКТОРЫ © 2011 г. Л.П. Шильников

НИИ прикладной математики и кибернетики Нижегородского госуниверситета

им. Н.И. Лобачевского

&££е qu@unn. ac.ru

Поступила в редакцию 16.05.2011

Рассматривается теория странных аттракторов и их бифуркации. Все известные аттракторы могут быть разделены на три типа: гиперболические, псевдогиперболические и квазиаттракторы. К первым относятся аттракторы Аносова и соленоиды Смейла - Вильямса. Их можно получить в результате гло -бальных бифуркаций Для аттракторов второго типа дается общее определение и описание основных свойств, к ним принадлежат аттракторы лоренцевского типа и спиральные. Они негрубые, причем спиральные допускают гомоклинические касания и их возмущения не приводят к появлению устойчивых периодических движений. Напротив, квазиаттракторы допускают устойчивые периодические движения большого периода с узкой областью притяжения. Последние наиболее часто встречаются в задачах нелинейной динамики систем со сложным поведением траекторий.

Ключевые слова: странный аттрактор, бифуркация, псевдогиперболический, спиральный, гомоклини-ческое касание.

Одним из выдающихся событий ХХ века явилось открытие динамического хаоса. К хорошо известным явлениям нелинейной динамики, как-то: стационарные режимы, автоколебания, модуляции, добавились новые — хаотические колебания, вследствие чего многие задачи современного естествознания и техники, моделируемые в рамках дифференциальных уравнений, получили адекватные математические описания. С легкой руки Рюэля и Такенса математический образ динамического хаоса получил название «странный аттрактор».

Странные аттракторы можно разделить на три класса: гиперболические, псевдогипербо-лические, квазиаттракторы.

1. Характерный пример гиперболических аттракторов — аттракторы Аносова, в частности, предельное множество отображения x = = 1/2x, 0 = ASmodi, где A — положительная матрица с |A| = 1, не имеющая собственных значений на единичной окружности.

Другим примером является соленоид Смейла — Вильямса, полученный как гиперболическое отображение полнотория x = f (x,0), 0 = = m0 mod 1, где x = (xi, x2) иf достаточно сильно сжимает. Отсюда и первоначальное определение аттрактора: устойчивое транзитивное предельное множество с неустойчивым поведением траекторий. В случае гиперболических аттракторов, а они грубые, неустойчивое поведение означает

экспоненциальное разбегание.

В [1, 2] было установлено, что подобные аттракторы могут рождаться в результате глобальных бифуркаций, связанных с исчезновением периодического движения седло-узлового типа, а также тора с квазипериодической обмоткой.

В настоящее время найден ряд критериев существования гиперболических аттракторов в системах с седло-фокусом и седловым периодическим движением при подходящем взаимном расположении их устойчивых и неустойчивых многообразий.

2. Понятие псевдогипеболичности было введено в работах [3, 4]. Оно является эффективным критерием динамического хаоса в поглощающей области D «-мерного потока xt.

Пусть также выполняются следующие условия.

1) Для каждой точки из D можно указать пару трансверсальных подпространств N1 и N2 (dim N1 > 1) так, что данные семейства подпространств будут инвариантны относительно линеаризованного потока.

2) Для каждой траектории x(t) = Xt(x0) максимальный ляпуновский показатель, отвечающий N1 , строго меньше, чем ляпуновский показатель, отвечающий N2 .

3) Линеаризованный поток — экспоненциально сжимающий в ограничении на N1 .

4) Линеаризованный поток в N2 экспоненци-

ально растягивает объемы.

Из этого определения непосредственно следует, что максимальный ляпуновский показатель положителен, т.е. все траектории в О являются седловыми.

Отметим, что условие псевдогиперболичности не нарушается при малых гладких возмущениях системы. Из этого следуют важные утверждения:

1) Если система х = X(х) псевдогипербо-лична в области О, то при С'-малой р(х, 0), периодической по 0, псевдогиперболична и система х = X (х) + р( х, 0), 0 = 1вО х £1.

2) Если система х = X(х) псевдогиперболична в ю, то при С'-малых р(х, у) и д(х, у) такой будет и система х = X(х) + p(х, у), у = = X (х) + ц( х, у ).

Псевдогиперболическим поведением обладает геометрическая модель Лоренца ([5], там же приведены явные условия, налагаемые на отображение Пуанкаре). Позднее в [3] были даны условия для случая, когда сингулярным элементом аттрактора был седло-фокус с одномерным неустойчивым многообразием. В этом случае спиральный аттрактор будет негрубым, поскольку в нем будут существовать гомокли-нические касания. Гомоклинические касания будут существовать и в аттракторе, полученном при периодическом возмущении систем с аттракторами лоренцевского типа. Сейчас также строится теория псевдогиперболических аттракторов в случае, когда особым элементом являются седловые периодические движения с двумерным неустойчивым многообразием.

Однако здесь выяснилось, что в поглощающей области может не быть странного аттрактора. В качестве примера можно указать геометрическую модель Лоренца в бифуркационный момент, связанный с появлением лакуны. Поэтому для изучения псевдогиперболических аттракторов, допускающих гомоклинические касания, в [3, 4] было предложено новое определение странного аттрактора: притягивающее предельное цепно-транзитивное множество с неустойчивым поведением траекторий.

3. Квазиаттракторами мы называем такие

притягивающие множества, которые наряду с гиперболическими транзитивными множествами содержат гомоклинические касания либо сами, либо близкие к ним множества. В трехмерном диссипативном случае это приводит к существованию устойчивых периодических движений, аттракторов Бенедикса — Карлесона. В многомерном же случае, кроме указанных аттракторов, могут быть торы, а также псевдогиперболические аттракторы одного из указанных выше типов [6, 7]. Однако все они имеют узкие области притяжения, и поэтому при компьютерных исследованиях смотрятся как настоящие странные аттракторы.

Существование гомоклинических касаний в конкретных моделях — это весьма обычное явление. В частности, такими свойствами часто обладают системы с гомоклиническими петлями седло-фокуса с положительной седловой величиной. А это приводит к таким явлениям, как всюду плотная негрубость в областях параметров и возможность существования периодических решений любого порядка вырождения [8, 9]. Это говорит о том, что полный анализ модели, допускающей гомок-линические касания, принципиально невозможен.

Работа выполнена в рамках гранта Правительства РФ, контракт №11.034.31.0039.

Список литературы

1. Тураев Д.В. Шильников Л.П. // Докл. РАН. 1995. Т. 132, вып. 5. С.596—599.

2. Shilnikov L.P. // Proc. Int. Congress of Math. 2002, China, 2002. V. 3. P. 349—372.

3. Тураев Д.В., Шильников Л.П. // Матем. сб. 1998. Т. 189. С. 291—314.

4. Тураев Д.В., Шильников Л.П. // Докл. РАН. 2008. Т. 418, вып.1.

5. Афраймович В.С., Быков В.В., Шильников Л.П. // Труды Московс. матем. об-ва. 1982. Т. 44. С. 150—212.

6. Gonchenko S.V, Shilnikov L.P, Turaev D.V. // Regular and Chaotic Dynamics. 2009. V. 13, N1. P 136—146.

7. Gonchenko S.V, Shilnikov L.P., Turaev D.V. // Nonlimearity. 2008. V. 25, N5. P. 923—972.

8. Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. // Динамические системы. 1999. Т. 6. С. 69—128.

9. Gonchenko S.V, Shilnikov L.P., Turaev D.V. // Nonlimearity. 2007. V. 20, N2. P. 241—275.

BIFURCATIONS AND STRANGE ATTRACTORS L.P Shilnikov

The paper addresses the theory of strange attractors and their bifurcations. All known attractors can be divided into three types: hyperbolic and pseudo-hyperbolic attractors as well as quasi-attractors. The Anosov and Smale-Williams attractors are examples of hyperbolic ones and they can be born by some global bifurcations. For attractors of the second type, we give a definition and describe their main properties. Lorenz-like and spiral attractors belong to this type. They are structurally unstable, moreover, spiral attractors allow homoclinic tangencies but their perturbations do not lead to the appearance of stable periodic motions. Otherwise, quasi-attractors allow the existence of stable periodic orbits of large periods and with narrow attracting domains. The latter attractors are often met in problems of nonlinear dynamics of systems with a complicated orbit behavior.

Keywords: strange attractor, bifurcations, pseudo-hyperbolic, spiral, homoclinic tangency.