О некоторых бифуркациях двумерных диффеоморфизмов с гомоклиническим касанием к негиперболической неподвижнойточке Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского,2014, № 4 (1), с. 476-480

УДК 517.917

О НЕКОТОРЫХ БИФУРКАЦИЯХ ДВУМЕРНЫХ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ С ГОМОКЛИНИЧЕСКИМ КАСАНИЕМ К НЕГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ

© 2014 г.

О.В. Гордеева, В.И. Лукьянов Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

[email protected]

Поступила в редакцию 11.07.2014

Изучаются бифуркации в однопараметрическом семействе двумерных диффеоморфизмов, имеющих квадратичное гомоклиническое касание к неподвижной точке негиперболическое седло произвольного конечного вырождения. На бифуркационной диаграмме указывается счетная система интервалов, накапливающихся к началу координат, на каждом из которых имеется устойчивая однообход-ная траектория диффеоморфизма. Доказывается, что границы интервалов соответствуют бифуркациям однообходных периодических траекторий.

Ключевые слова: гомоклиническое касание, негиперболическое седло, отображение первого возвращения, рескейлинг.

Постановка задачи и основные результаты

Настоящая работа является продолжением и обобщением работ [1, 2] на случаи, когда неподвижная точка является п-вырожденным (п = 2т) седло-узлом или и-вырожденным седлом (п = 2т +1). В силу большой размерности всевозможные бифуркации неподвижной точки и вместе с ней гомоклинической структуры описать проблематично. В статье рассматриваются бифуркации двумерных диффеоморфизмов, связанные с глобальными бифуркациями гомоклинической траектории.

Рассматривается Сг -гладкий диффеоморфизм /0 (г > п +1), имеющий неподвижную точку типа негиперболическое седло и негрубую гомоклиническую к ней траекторию Г0. Предполагается, что других вырождений /0 не имеет, т.е. /0 удовлетворяет условиям:

А) /0 имеет неподвижную точку О типа негиперболическое седло с мультипликаторами Х1 = X , где |Х| Ф1, и X2 = 1 и ляпуновская величина !п_1 > 0.

Не изменяя общности, считаем, что 0 < < 1 и !п_1 > 0. Пусть ио - малая фиксированная окрестность неподвижной точки О. Тогда, как хорошо известно, через точку О в каждом рассматриваемом случае проходит сильно устойчивое Сг -гладкое инвариантное многооб-

разие IV™ , касающееся собственного направления, отвечающего мультипликатору X. Это многообразие представляет собой гладкую кривую, которая в случае седло-узла разделяет и0

на две подобласти - узловую и+ и седловую и ~, в случае сложного седла обе подобласти седловые. Положительная полутраектория диффеоморфизма /„ любой точки из и+ стремится к О в случае седло-узла, касаясь ведущего собственного направления, отвечающего мультипликатору X2 = 1. В седловых подобластях и+

и и ~ в случае седла существует общее С -гладкое инвариантное неустойчивое многообразие , состоящее из точек, отрицательные полутраектории которых стремятся к О . При этом остальные точки из и+ и и ~ покидают и 0 как при положительных, так и при отрицательных итерациях /0. Неустойчивое многообразие выходит из точки О, касаясь собственного направления, отвечающего мультипликатору X 2 = 1.

В) Инвариантные многообразия Wu (О) и Wss (О) имеют квадратичное касание в точках некоторой гомоклинической траектории Г0 .

Пусть М е W" п и0 - некоторая гомокли-ническая точка траектории Г0 и П + с и0 - ее достаточно малая окрестность. Обозначим через ¡и кусок ^ п П+ многообразия ^, который

содержит точку М. Будем различать два основных случая квадратичного гомоклиническо-го касания: касание «сверху», т.е. когда 1и с и", и касание «снизу», т.е. когда 1и с и+.

Напомним также следующие необходимые факты из теории инвариантных многообразий [3, 4]. Во-первых, у диффеоморфизма /0 в и0

существует центральное многообразие Рс (О), которое в случае седло-узла определяется неоднозначно. Каждое такое многообразие представляет собой инвариантную С -гладкую кривую, совпадающую с (О) в области и" ,

пересекающую область и + и касающуюся в ней ведущего собственного направления. Кроме того, у /0 в и0 существует единственное сильно устойчивое инвариантное С -гладкое слое-

^55

, состоящее из одномерных кривых -слоев, и Р55 - это один из его слоев. Каждый

" Т755

слой слоения Ь пересекает трансверсально любое центральное многообразие Рс (О) точки О,

в том числе все слои из и" трансверсальны .

Диффеоморфизмы, удовлетворяющие условиям А) и В), образуют в пространстве С -гладких диффеоморфизмов локально связную бифуркационную поверхность коразмерности п +1. В настоящей работе изучаются бифуркации диффеоморфизма /0, связанные с бифуркацией гомоклинической траекторией. Поэтому для изучения бифуркаций диффеоморфизма /0 мы будем рассматривать параметрическое семейство /-, диффеоморфизмов, пересекающих бифуркационную поверхность трансверсально при — = 0 . При этом /0 является элементом этого семейства при — = 0 .

Далее будет введен единственный управляющий параметр - - это величина, характеризующая расщепление многообразий и Р55 относительно некоторой гомоклинической точки, например точки М + , при условии, что неподвижная точка сохраняется.

Выберем в и0 при — = 0 две точки траектории Г0: М + е (О) и М "е (О). Пусть П+ и П - достаточно малые, диаметра е, окрестности точек М + и М" соответственно. Очевидно, существует натуральное q, такое,

что М + = /0! (М"). При всех достаточно малых — в и0 будут определены два отображения по траекториям диффеоморфизма /-: локальное

Т0 = /— | и0 и глобальное Т1 = /- : П ^ П+ . По

построению, любая однообходная периодическая траектория, целиком лежащая в и , должна иметь ровно по одной точке пересечения с окрестностями П+ и П" . Точку такой траектории на П+ можно рассматривать как неподвижную точку соответствующего отображения

первого

возвращения

(1)

Tk = T1 • T0k : П+ ^ П- ^ П+, где T0k действует

из П+ в П . Мы будем изучать бифуркации неподвижных точек отображений первого возвращения Tk для всех достаточно больших k .

Свойства отображений T0 и T1

В U0 можно выбрать С4 -гладкие локальные координаты (x, у), в которых отображение T0 запишется в виде, аналогичном [2]:

I x = )x + h(x, у, ц)x2у | у = у + у" + O( yn+1), где |Х(ц)| < 1, X(0) = X. Обратим внимание, что

второе уравнение системы (1) не зависит от x . В координатах (x, у) неподвижная точка O лежит в начале координат и ее инвариантные многообразия Wss и W" распрямлены: W" :{x = 0}, Wss :{у = 0}. В новых координатах,

--TVSS

при всех достаточно малых ц, слоение F состоит из горизонтальных прямых у = const. Отметим, что x = 0 также является инвариантной прямой.

Пусть (xi,у1), i = 0,.., k , - множество точек на U 0, таких, что T>( xi, у1) = (xM, ум). Одним из важных достоинств локальных координат (1) является то, что соотношение (xk, ук) =

= T0k (x0, у0) допускает в них весьма удобное для дальнейших исследований представление. А именно, в следующей лемме дано такое представление отображения T0k : U0 ^ U0 в так называемой перекрестной форме, аналогичной [1, 2]. Лемма 1. Для всех достаточно малых ц

отображение T0k: (x0, у0) ^ (xk, ук) может быть записано в следующем виде:

xk =Xk(Ц)x0 + o(Xk)§k (x0,Уk,Ц),

vk" (1 + Pk), -4 ус =v k + V n (Уk - у ) +

(у-)"

+ v"O((Уk - у-)2),

478

О.В. Гордеева, В.И. Лукьянов

где функции £,к (х0, ук, ц) равномерно ограничены вместе с производными до порядка (г - 2), ЫЬ ^ 0 и рк ^ 0 при к ^да , а

1

- +..., многоточием обозначе-

У к ((п - 1)к )1/( п-1) ны члены более высокого порядка малости.

Глобальное отображение Т : П ^ П+ при всех достаточно малых ц может быть записано в следующем виде:

) Х0 - х+ = у - у-, цХ [ у0 = x1, у1 - у-, ц X

(3)

где (х0, у0) е П +, (х1, у1) е П ; функции Е и О - С- -гладкие и Е (0,0,0) = 0(0,0,0) = 0. Условие В) означает, что Wu (О) и Wss (О) при ц = 0 касаются квадратично в точке М + (х+ ,0), откуда следует, что 0у (0,0,0) = 0,0уу (0,0,0) Ф 0 .

Перепишем отображение (3) еще и таким образом

х0 - х + = ох1 + Ь(у1 - у-) +

+ О(х2 + | хДУ1 - у-)| +(У1 - у-)2),

у0 = у +(ц) + сх1 + й ((1 - у-)2 + + О(х2 +1 х1(у1 - у-)| +1 у1 - у- |3),

тода состоит в том, чтобы с помощью гладких замен координат и параметров (перенормировок) привести отображение к некоторому стандартному виду, в котором малые члены уже не будут влиять на динамику. Следующая лемма формализует этот подход для нашего случая.

Лемма 2 (Рескейлинг-лемма). Пусть / -

семейство диффеоморфизмов, определенное выше. При всех достаточно малых значениях параметра ц , |ц| < ц , с помощью гладких замен координат (х0, ук) ^ (X, У) и параметров отображение первого возвращения Тк при любом достаточно большом к может быть приведено к следующему виду:

X = У,

У = м - У2 + о(1)к

(5)

где X,У,М определены в шаре ||Х,У,М|| < Ьк, Ьк ^ +да при к ^ да .Через о(1) обозначены некоторые функции от (X, У,М), которые стремятся к нулю вместе со своими производными (до порядка (г - 2)) при к ^ да , и

М = -

■(ц-у к +....).

(6)

(4)

Доказательство

где у + (ц), коэффициенты а,Ь, с, й, включая х + и у- , гладко зависят от ц. Так как Т1 -диффеоморфизм, то Ьс Ф 0 . Квадратичность гомоклинического касания означает, что й Ф 0 . Заметим при этом, что й > 0 отвечает случаю гомоклинического касания «сверху», а й < 0 -случаю касания «снизу».

Обозначим через ц = у + (ц) управляющий параметр, который отвечает за расщепление многообразий и ^ относительно некоторой гомоклинической точки. Поэтому всюду далее рассматриваем однопараметрическое семейство диффеоморфизмов.

Отображения первого возвращения

Используя формулы (2) и (4), мы можем построить (при всех достаточно больших к и малых ц) отображения первого возвращения

Тк = Т1Т0к: ст0 ^ П + в локальных координатах. Однако полученная при этом формула для отображения будет не всегда удобной для исследования, поскольку будет содержать слишком много «лишних» малых членов. Поэтому мы применим к полученной формуле так называемый рескейлинг-метод [5, 6]. Суть этого ме-

В силу (2), (4) мы можем записать отображение первого возвращения Тк в виде:

х - х + = аХкх + о(Хкк (х,у, ц) + Ь(у - у-) +

+ О(Х2кх2 + | X |к| х(у - у-)|+(у - у-)2),

V, +

Vкп (1 + Рк )

(у -)п

(у - у-) + упкО((у - у-)2) =

= ц + сУкх + cXkк(х,у,ц) + й(у - у-)2 + (7)

+ О(^кх2 +1 X |к|х( у - у-) I + \у - у- |3). Введем новые координаты хпем1 = х - х + +

+^1*, упе* = у-у-+У2к, где , V2к = О(^),

так, чтобы обнулить в первом уравнении из (7) свободный член и во втором уравнении - линейный член по упе№. Тогда отображение Тк в новых координатах запишется в виде:

х = аУкх + Ьу + О^ )О(х2) + XkO(ху) + О(у2),

у

V к (1 + Рк) пкО( у2) = М1 + cXkx +

(у-)п " ' * (8)

+ йу2 + о^ )О( х2) + 7кО(ху) + О( у3),

где М1 = ц - V к +.....

Теперь сделаем перенормировку (рескей-линг) координат следующим образом

Vк (1 + рк ) Vкп (1 + рк)

х = -Ь-^7—aX, у = ——У . й(у-)п й(у-)п

V

к

После этого отображение (8) для тех к, при которых V к асимптотически мало (V к ^ 0 при к ^ да), может быть представлено в виде (5), где для М будет справедлива формула (8). Лемма 2 доказана.

Лемма 2 показывает, что исследование бифуркаций отображений первого возвращения Тк при всех достаточно больших к сводится,

по существу, к исследованию стандартного отображения параболы:

У = М - У2, (9)

бифуркации которого хорошо известны. Так, при М е (-1 / 4, 3 / 4) отображение (9) имеет устойчивую неподвижную точку, которая рождается в результате седло-узловой бифуркации

при М = -1/4 и претерпевает бифуркацию удвоения периода при М = 3/ 4. Из (9) получаем, что для отображения Тк соответствующие бифуркационные точки - границы интервала

1

Ak ц =vk + 4d(77" "k

2n

V k + ...

Ц2 =V

3

k 4d(у- )2n k

+...

(10)

Здесь точка — отвечает седло-узловой бифуркации, а — 2 - бифуркации удвоения периода соответствующей неподвижной точки.

Таким образом, доказана следующая

Теорема.

1) В любой достаточно малой окрестности начала координат существует счетное множество непересекающихся интервалов Дк, таких,

что при ц е Ak диффеоморфизм f имеет

асимптотически устойчивую однообходную периодическую траекторию.

2) Границами интервала Ak являются бифуркационные значения параметра ц, отвечающие бифуркациям коразмерности один, седло-узловой и удвоения периода соответственно.

3) При k ^ +да интервалы Ak накапливаются к точке ц = 0.

Список литературы

1. Гонченко С.В., Гордеева О.В., Лукьянов В.И., Овсянников И.И. О бифуркациях двумерных диффеоморфизмов с гомоклиническим касанием к седло-узловой неподвижной точке // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2014. № 2(1). С. 198-209.

2. Гордеева О.В., Лукьянов В.И. Некоторые бифуркации предельных множеств в окрестности негрубой гомоклинической структуры с вырожденным периодическим движением // Нелинейный мир. 2007. Т. 5. № 1-2. С. 95-100.

3. Shilnikov L.P., Turaev D.V. A new simple bifurcation of a periodic orbit of «blue sky catastrophe» type, Methods of qualitative theory of differential equations and related topics // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2000. 2, 200. Р. 165-188.

4. Лукьянов В. И. О бифуркациях динамических систем с петлей сепаратрисы «седло-узла» // Диф. уравнения. 1982. Т. XVIII. № 9. С. 1493-1506.

5. Tedeschini-Lalli L., Yorke J.A. How often do simple dynamical processes have infinitely many coexisting sinks? // Commun. Math. Phys. 1986. V. 106. P. 635-657.

6. Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. Homoclinic tangencies of arbitrarily high orders in conservative and dissipative two-dimensional maps // Non-linearity. 2007. V. 20. Р. 241-275.

ON SOME BIFURCATIONS OF TWO-DIMENSIONAL DIFFEOMORPHISMS WITH A HOMOCLINIC TANGENCY TO A NONHYPERBOLIC FIXED POINT

O.V. Gordeeva, V.I. Lukyanov

We study bifurcations in one-parameter family of two-dimensional diffeomorphisms having a quadratic homoclinic tangency to a nonhyperbolic fixed point of an arbitrary finite degeneration. The bifurcation diagram specifies a counting system of intervals accumulating to the origin, each of which has a stable single-round diffeomorphic trajectory. We prove the boundaries of the intervals correspond to bifurcations of single-round periodic orbits.

Keywords: homoclinic tangency, nonhyperbolic saddle point, first return map, rescaling.

References

1. Gonchenko S.V., Gordeeva O.V., Luk'yanov V.I., Ovsyannikov I.I. O bifurkaciyah dvumernyh dif-feomorfizmov s gomoklinicheskim kasaniem k sedlo-uzlovoj nepodvizhnoj tochke // Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo. 2014. № 2(1). S. 198-209.

2. Gordeeva O.V., Luk'yanov V.I. Nekotorye bi-furkacii predel'nyh mnozhestv v okrestnosti negruboj gomoklinicheskoj struktury s vyrozhdennym peri-odicheskim dvizheniem // Nelinejnyj mir. 2007. T. 5. № 1-2. S. 95-100.

3. Shilnikov L.P., Turaev D.V. A new simple bifurcation of a periodic orbit of «blue sky catastrophe» type, Methods of qualitative theory of differential equations

480

О.В. Гордееeа, B.H. flyKbmoe

and related topics // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2000. 2, 200. P. 165-188.

4. Luk'yanov V.I. O bifurkaciyah dinamicheskih sis-tem s petlej separatrisy «sedlo-uzla» // Dif. uravneniya. 1982. T. XVIII. № 9. S. 1493-1506.

5. Tedeschini-Lalli L., Yorke J.A. How often do simple dynamical processes have infinitely many coexisting sinks?

// Commun. Math. Phys. 1986. V. 106. P. 635-657.

6. Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. Homoclinic tangencies of arbitrarily high orders in conservative and dissipative two-dimensional maps // Non-linearity. 2007. V. 20. P. 241-275.