О бифуркациях динамических систем коразмерности два с негрубой гомоклинической структурой седло узел Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование и оптимальное управление Вестник Нижегородского 'университета им. Н.И. Лобачевского, 2007, № 2, с. 1 75-180

УДК 517.92

О БИФУРКАЦИЯХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ КОРАЗМЕРНОСТИ ДВА С НЕГРУБОЙ ГОМОКЛИНИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ СЕДЛО - УЗЕЛ

© 2007 г. О.В. Гордеева, В.И. Лукьянов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]

Поступила в редакцию 19.02.2007

Исследуются динамические системы коразмерности 2 с негрубой гомоклинической структурой: двукратное периодическое движение типа седло-узел, полуустойчивое многообразие которого касается устойчивого по гомоклинической кривой. Строится бифуркационная диаграмма двухпараметрического семейства, обсуждается вопрос об О -достижимости и О -недостижимости бифуркационного множества в пространстве динамических систем.

На трёхмерном гладком Римановом много- таем ^(0,0) = 1, 0(0,0) - неподвижная точка, образии М3 растетршается семейство дина- соответствующая L0.

мических систем X- класса Ск , где к > 3, и „ ,_/ „ г,( + \

— ’ Пусть М (0, у ) и М+(х ,0) - точки пере-

- конечномерный вектор параметров. Предпо-

_ _ „ „ сечения гомоклинической кривой Г0 с неус-

лагается, что при — = 0 семейство X — имеет 0

тойчивым и устойчивым многообразием соот-вырождение коразмерности 2, а именно, не- + _ _ _

г ветственно, считаем, что X > 0, у > 0 .

грубое двукратное периодическое движение

типа седло-узел, неустойчивое полумногообра- Рассмотрим окрестности П 0 и П1 гомокли-

зие т0 которого касается устойчивого много- нических точек М+ и М , размеры которых

образия т+ по некоторой гомоклинической задаются следующим образом: П 0 :

кривой Г0, касание первого порядка. { (х, у): X _ X+ < £0, |у| < £0 } и П1 :

В работах [1, 2, 4] описано множество Ои (и) (/ ч і і і _ 1

\ (х, у): |х| < єх, у _у < єх ], причем є0 и

и

траектории системы, целиком лежащих в расширенной окрестности и^ Г0 ) гомоклиниче- таковы, что П 0 Пі Т П 0 = О

скоИ кривой Г 0 и периодического движения L0. П п Т _ П1 = 0.

Изучение множества Ои (и) проводилось с по- Определено л°кальн°е отображение

гг, _ ^ _ Т0 : П0 —— П, по траекториям Т в окрестно-

мощью локального Т и глобального Т1 отобра- 0 0 1

„ „ о сти начала координат, причем областью опре-

жении. Пусть о - секущая к периодическому

т деления Т0 является область В0, представ-

движению Ь0. Тогда отображение Пуанкаре 0 0

ляющая собой объединение непересекающихся Т : 0 — 0 по траекториям, близким к Ь0, в не- к

которых локальных координатах может быть между собоИ «полосок» в0 : 0 в0 = В0 , где

ГСП к=кі

записано в виде [5]: 1

х = а (и)х + / (х, у, и)х ; к1 - фиксированное число, а к порядка в

у = и + у + Я (у и)у 2 случае, когда и > 0, и равно да, когда и < 0 .

„к\\ „ При этом на каждой полоске Вк, отображение

где а(0) = а - мультипликатор периодического ^ 0 ^

движения Ь0 а < 1, и - скалярный параметр, Т0 совпадает с Тк , т.е. Т вк = Тк . Также П1

выражающийся через и , /, Я - гладкие функ- такова, что определено отображение

ции, /(0,0,0) = 0, не изменяя общности, счи- Т1 : П1 — П0 по траект0риям, близким к гло-

бальному куску Г0, которое в локальных коор-

динатах имеет вид:

х _ г + = Г(х, у _ у ,и) у = G(х,у _ у~,и)= Е(и)+ (2)

+ С(х,и)х + В(х, у,и)(у _ у_ -^(хи))2,

где Е (и) = G(0,^(0,u),u), Е (0) = 0, С (0,0) = с и в(0,у_) = d .

Из (1), (2) следует, что семейство общего положения двухпараметрическое (иЕ О)). Параметр и отвечает за бифуркации периодического движения, Е - за бифуркации, связанные с гомоклинической кривой. Очевидно, что при этом область параметров (и, Е) разбивается на три области, в каждой из которых система хо имеет заведомо отличную структуру (см. рисунок). При и = 0 расширенная окрестность и (4 и Г0 ) содержит основное периодическое движение £0 типа седло-узел, с уравнением устойчивого многообразия у = 0; при и > 0 основное периодическое движение исчезает; £0 распадается на два периодических движения 21о и 22о при и < 0, причем 21о - типа седло с уравнением устойчивого многообразия у = д/_ и и 22о - типа узел. Если Е = ^/- и , то существует только одна однообходная го-

л/_0_ Е

моклиническая кривая, если

В

Е = 4_и -Н^Н,

множество динамических систем, соответствующих области 2, Н3 - области 3.

При — < 0, в соответствии с [1, 2], введем в рассмотрение подсистему топологической схемы Бернулли из трех символов В3 (а, с, d, Е, —), выделенную следующим образом:

1. В3 содержит L = {..000...};

2. В3 не содержит траекторий, у которых

есть отрезки длины больше единицы, составленных из отличных от нуля символов;

3. Длина отрезка из нулей, следующего за

символом, отличным от нуля, не меньше к ;

4. Для траектории из В3 выполняется следующее условие:

5 _ с • У2а Л +д/_ и _ Е(и)

> 0,

где

л/_0 + 5 =

при и = 0

и + Л+1, при и < 0,

(3)

у = 1 + 2^_о ,

< 0, то

однообходных гомоклинических кривых нет; д/— — _ Е

если ----—-----> 0 , существуют две однооб-

ходные гомоклинические кривые. При этом в пространстве динамических систем при — = 0

или Е = 7 — — образуются пленки коразмерности один, а их пересечение при — = Е = 0 соответствует в пространстве систем пленке коразмерности два. Обозначим ее Н 00, а пленки,

соответствующие — = 0 , Е > 0 - Н0 и — = 0 , Е < 0 - Н0 , пленку, соответствующую

- множество динамиче-

ских систем, соответствующих области 1, Н 2 -

а V, У2 - некоторые положительные константы;

5. При Е (— )=л/ — — две асимптотические траектории склеены в одну Г — Е.

Теорема 1. Для любой достаточно малой фиксированной окрестности и^0 ^ Г0) периодического движения L0 существуют константы V и У2 и малое —* такие, что для всех — — * < — < 0 в Ои можно указать подсистему О, траектории которой эквивалентны надстройке над В3 (а, с, d, Е, —).

При этом следует отметить, что случай d < 0 и Е(—) < у/— — соответствует тривиальному описанию О(—): в и(Ь0 ^ Г0) содержится периодическое движение L0 (— = 0) или периодические движения, на которые оно распадается (— < 0), а также одна однообходная

гомоклиническая траектория (Е (—) = = ^/— — ).

В остальных случаях множество О(—) имеет сложную структуру: континуум траекторий, ус-

тойчивых по Пуассону, и счетное множество периодических движений седлового типа.

Для — > 0 в интервале 0 < — < — содержится счетное множество непересекающихся интервалов, для каждого из которых вводится в рассмотрение подсистема В^_к* )(а, с, d, Е)

схемы Бернулли из 2(к — к ) символов, обладающая свойствами:

1. В2(к—к.) не содержит траектории без символов, отличных от нуля;

2. В2(к к*) не содержит траекторий, у которых есть отрезки длины, больше единицы, составленных из отличных от нуля символов;

3. Длина отрезка из нулей, следующего за символом, отличным от нуля, не меньше некоторого к и не больше, чем к;

4. Для траектории из В (- *) выполняется

2 к-к

следующее условие:

>№' 18

5 , о

агс1^ _ к • агс18 ——

V и 1 + ^

d

/у(0,0,и)

_ Е (и)

d

> 0,

тижимым в достаточно малой расширенной окрестности и (Г 0 ^ L0) со стороны Н2,

при этом О = О = 2— и ^2— , если Е(— )<

< ^/— —, — < 0; и О = О* = 21—и22—иГ — , если

Е(—) = ^—— ; О = О* = L0 и Г0 , если — = Е = 0 .

Теорема 4. При с < 0, d > 0 а > 0 и

Е (—) < д/ — множествоН 00 "^Не—0 является О -достижимым из области Н 2, причем Н00 О -достижима по пленкам Н—Е и

Н0. Траектории системы Ои (—) топологически эквивалентны надстройке над схемой Бернулли из трех символов 0, 1, 2.

Данное утверждение следует из условия (2):

5- с •у1 ау +у1_ и _ Е(и)

d

> 0.

где

I— и + 5 —

^и'г+Ъ

при и — 0

— О + ^ Л+1, при и < 0,

(4)

X — 1 + 2у[—О.

Последнее оценим следующим образом, учитывая то, что d > 0:

где У3, V4, <5, ^ - некоторые положительные константы.

Теорема 2. Для любой достаточно малой фиксированной окрестности и^0 ^ Г0) периодического движения L0 существуют кон*

станты V3 и V4 и малое — такие, что отрезок (0, —*) разбивается на счетное множество непересекающихся интервалов таких, что для каждого — е(—к+1,—к) можно указать

подсистему О* ^ Ои, траектории которой эквивалентны надстройке над

В2(к—к * )(а с d, Е —) •

Аналогично работам [3, 4] несложно доказать следующие теоремы.

Теорема 3. Бифуркационное множество Н00 и Не—и Н0— , соответствующее случаю

d < 0, Е(—) < д/— —, — < 0 является О -дос-

5 — с • у2 а Л +

d

О _ Е(и) > 5 + |с|у2^Г > 0

d

Это верно для любых пар ^+1, причем

при условии Е(и) — д/_ и однообходные го-

моклинические кривые Г1о и Г2о склеятся в

одну, и им в схеме Бернулли будут соответствовать символические траектории (..., 0,..., 0,1,

0,..., 0,...) и (..., 0,..., 0, 2, 0,..., 0,...), которые также объединятся в одну.

Используя несложные выкладки, можно показать, что множество Н00иНЕи0Н+ является О -недостижимым со стороны Н1, а множество Н00 и Н^и Н0 О -недостижимо со стороны

Н2, исключая случай теоремы 3 (результат существования негрубых периодических траекторий).

Рассмотрим вопрос об О -достижимости Н00по пленкам Н +и Н0 . Для этого рассмотрим отображение Ту (е) — Т1Т^Т1Т<0> : В0 — В0 —

V

а

— В0 . Уравнение неподвижных точек этого рассмотрим такие і > у , которые удовле-

отображения можно записать так:

-,у V+

1 + і ух

— d(у _ у_):

— са х — са тх —

уь(х — у )

— е —

у

- — са'х — сагЬ(х —

(х — у_)

— е —

1 + уу

— d (у — у -) 2,

где у — у ~ <є1, х — у ~ < є1. Выберем те пары і и у , которые удовлетворяют условию

у~ + є1 1 + іГ(у ~ + є1)

— са1 (х — Ьє1) < 0.

творяют условию

у —є1

1 + іУ( у _—є1)

— са-1 (х ++ Ьє^ > 0. (6)

(5)

Возьмём значение а — а0 — 5 . Ясно, что при этих і, у , а, е система (5) имеет, по крайней мере, два разных корня. Пусть а — а0, выберем теперь те пары, которые удовлетворяют усло-

вию

у +є1

1 + іу( у +є1)

— са (х +— Ьє1) < 0. (7)

При с > 0 или с < 0, а < 0 таких пар счетное множество. Тогда, если е = 0 , система (4) не имеет решений, если е = е1 = —са1 (X + + е1) , система имеет по крайней мере два отличных решения. Так как система зависит от е непрерывно, следовательно, существует такое е1 < ен < 0, что система при е = ен имеет двой-

1 У У

ной корень, тогда отображение Ту (е) с таким е11 будет иметь негрубую неподвижную точку. Из вышесказанного вытекает следующее:

Теорема 5. При (d > 0, с > 0) или

(d > 0, с < 0, а < 0) бифуркационная поверхность Н 00 недостижима со стороны Н + иН Бифуркационное множество систем Н00 в

некоторых случаях устроено достаточно сложно. Справедлива следующая

Теорема 6. В множестве систем, принадлежащих Н 00, в случаях, когда (d > 0, с > 0) или (d > 0, с < 0, а < 0), всюду плотны системы, имеющие негрубые периодические движения.

Рассмотрим случай а > 0 , другие случаи рассматриваются аналогично. Пусть в (5) параметр е = 0 . Докажем сначала следующее утверждение:

Лемма. Каковы бы ни были а0 и 8 > 0 , существуют такие достаточно большие /, у (/ у при 8^ 0) и а*(/*, у *),

а0 — 8 < а < а0, что при а = а , I = I , 1 = 1 система имеет двойной корень.

Тогда система при таких выбранных і, у не имеет решений. Теперь выберем значения і и у , которые одновременно удовлетворяют условиям (6) и (7), т.е.

1

<і <-

(а + 5)—

с( х + — Ьє1) у( у _+є1) с( х + + Ьє1)

1

Г( У — е1)

Заметим, что при 8 ^ 0 индексы /, у стремятся к бесконечности. При любом фиксированном 8 таких пар счётное множество. Выбе-

**

рем из них какую-нибудь пару I , у , тогда система при а = а0 -8 имеет два решения, а при а = а0 ни одного, так как система зависит от а непрерывно, а все решения лежат в окрестности точки у , то существует такое а (I , у ), что система имеет кратный корень. Утверждение доказано.

Покажем, что бифуркационное можество Н00 и Н0— и Н0+ недостижимо со стороны Н3. Действительно, согласно теореме 2, отрезок (0, — ) разбивается на счетное множество не-пересекающихся интервалов. Для каждого — е (—к+1, —к ) с (0, — ) можно указать подсистему

О*

с О , траектории которой эквивалентны надстройке над В2(^—к> )(а, с, d, Е, —), а

так как схемы Бернулли с различным числом символов топологически неэквивалентны, следовательно, при — ^ 0 система претерпевает счетное множество бифуркаций. Более того,

х

множество систем, принадлежащих Н3, устроено весьма сложно. Рассмотрим случай фиксированного и > 0, таким образом, система

(хЕ, м3) такова, что отображение Т0 : £ — £

по траекториям вблизи периодического движения можно представить в следующем перекрестном виде:

у0 —

1§

у1 , л/О

аге1^—— к • агС^

Л

ыи

1 + у

где у « 0 (для простоты)

П1 —{| х1 -єь

Я

у1— у

П 0 — і х — х

- є0> у0 - є0

1),

}■

Рис.

Если й > 0 и Е > Е1 или d < 0 и Е < Е1, то

При этом используем упрощенный вид отобра- неподвижн^іх точек нет. Если й < 0 и Е > Е]

жения

Т1 : П1 — П 0 :

х 0 — х +

к ,

у0 — са х0 +

ь(у — у')>

й (у1 — у' )2

+ е.

Решая эти системы, получим уравнение неподвижных точек

(

у1 і

аге1^ —— К • агс^ -ї—

л/и 1+ У

V

— сакх + + й (у1 — у~ ) 2 + е + сакь(у1 — у~ ).

(8)

Правая часть представляет собой параболу, вершина которой находится в точке

у — у

— саКЬ 2й

а левая часть выражения пред-

ставляет собой монотонно возрастающую функцию. Найдем точку касания этих функций. Она будет удовлетворять уравнению:

1 + І82КагсІ8

1 + у

— саКЬ + 2й (у1 —

(

(у1— у ),

решение которого лежит в области ух — у < ^ . Подставляя это решение в (8), получим бифуркационное значение параметра Е1. Исследования показывают, что Е1 соответствует негрубой неподвижной точке типа седло-узел (рис.).

1

или d > 0 и Е < Е1, то неподвижных точек две,

т.е. при дальнейшем изменении параметра Е седло-узел претерпевает следующие бифуркации:

- если сЬак > 0, седло-узел распадается на две - неподвижную точку седло-минус и устойчивую неподвижную точку типа узел неориен-тируемого характера, далее седло не претерпевает качественных изменений, а узловая неподвижная точка в дальнейшем претерпевает бифуркацию удвоения периода,

- если сЬак < 0, то седло-узел распадается на седло-плюс и устойчивую неподвижную точку типа узел, при дальнейшем изменении параметра Е седло, как и в первом случае, не претерпевает бифуркаций, а узловая точка вырождается сначала в дикретический узел, потом в седло-фокус, затем в неориентируемый узел и, наконец, претерпевает бифуркацию удвоения периода.

Список литературы

1. Гордеева О.В., Лукьянов В.И. Описание траекторий динамических систем в окрестности гомоклинической структуры с двойным вырождением // Нелинейные колебания механических систем: Труды VII Всероссийской научной конференции. - Нижний Новгород, 2005. - С. 68-70.

2. Гордеева О.В., Лукьянов В.И. О системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой коразмерности два // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Сер. Математическое моделирование и оптимальное управление. Вып. 2(29). - Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2005. - С. 59-66.

и

+

2

3. Гаврилов Н.К., Шильников Л.П. О трехмерных динамических системах, близких к системе с негрубой гомоклинической кривой // I Матем. сб. 1972. Т. 88(130). № 4. С. 475-492; II Матем. сб. 1973. Т. 90(132). № 1. С. 139-156.

4. Гордеева О.В., Лукьянов В.И. Некоторые бифуркации предельных множеств в окрестности негрубой гомоклинической структуры с вырожденным

периодическим движением // Нелинейный мир. 2007. Т. 5. № 1-2. С. 65-100.

5. Лукьянов В.И. О существовании гладких инвариантных слоений в окрестности некоторых негрубых неподвижных точек диффеоморфизма // Межвуз. сб. / Дифференциальные и интегральные уравнения. - Горький, 1979. Вып. 3. -С. 60-66.

BIFURCATIONS OF CODIMENSION-TWO DYNAMICAL SYSTEMS WITH NONCOARSE HOMOCLINIC STRUCTURE OF «SADDLE - NODE»

O. V. Gordeeva, V.I. Luk'yanov

In this paper, we study codimension-two dynamical systems with noncoarse homoclinic structure, namely, the double periodic orbit of «saddle - node» type whose half-stability manifold is tangent to the stability manifold along a homoclinic curve. The bifurcation diagram of the two-parameter set is constructed. The problem of Q -accessibility and Q -inaccessibility of the bifurcation set in the space of dynamical systems is considered.