CC BY
8УДК 517.925/926
В.Н. Белых, профессор, д.ф.-м.н., зав. кафедрой ФГБОУВО «ВГУВТ» М.С. Киняпина, старший преподаватель, ФГБОУ ВО «ВГУВТ» Н.В. Шестерикова, доцент, ФГБОУ ВО «ВГУВТ» 603950, г. Нижний Новгород, ул. Нестерова, 5
ДИКИЙ АТТРАКТОР С ГОМОКЛИНИЧЕСКОЙ ВОСЬМЕРКОЙ СЕДЛО-ФОКУСА В ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ СИСТЕМЕ1
Ключевые слова: Дикий аттрактор, бифуркация, гомоклиническая восьмерка.
В статье рассматривается многопараметрическое семейство систем дифференциальных уравнений четвертого порядка. Доказывается существование области параметров, для точек которой существует дикий аттрактор с гомоклинической восьмеркой седло-фокуса. Результаты получены с помощью развития метода двумерных систем сравнения.
В настоящей работе рассматривается многопараметрическое семейство систем дифференциальных уравнений вида:
х = а Ф( х) + у + р1У1, у = Ьф(х) -Ху + р2у2, V = -ау1 + + ц1Ф( х), т>2 = -Юу1 - ау2 + ц 2Ф( х),
где переменные х,у е Я1, V е R2,
Ф :Я ^ Я1 - С1 - гладкая непрерывная функция, допускающая разрывы производных в критических точках, а,Ь, Х, та, р1, р2, ц1, ц2 - положительные параметры.
Для нелинейных функций Ф(х), подобных полиному нечетной степени Ф(х) = х (1 - х2), рассматривается задача о существовании дикого аттрактора при бифуркации гомоклинических траекторий седло-фокуса. Приводимый ниже анализ можно интерпретировать как развитие метода двумерных систем сравнения [1-3] для построения конусов, мажорирующих инвариантные многообразия.
Введем две двумерные системы сравнения А и Л :
Гх = а (ф(Х )± у) + y, (2)
1У = Ь (Ф(х)±у)-Ху ()
для первых двух уравнений в (1), записанных при р1 = ар, р2 = Ьр. Считаем, что система (1) диссипативна по переменным v1, v2 так, что при любых t е Я1 | V! < М , < М . При этом в (2) параметр у = рМ . Эта система уравнений (2) есть частный
1 Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 15-01-08776) и РНФ (проект 14-1200811)
30
случай двумерной системы, рассмотренной в работе [1], из которой следует утверждение.
Лемма 1. Система (2) при у = 0 имеет фазовые портреты, изображенные на рис. 1, соответствующие бифуркации гомоклинической восьмерки.
X > 0,а > 0 X = Я, а = 0 X > 0, а < 0
Рис. 1. Фазовые портреты двумерной системы (2)
Рассмотрим взаиморасположение сепаратрис седел одновременно и системы Л+ , и системы Л при у Ф 0. Сепаратрисы Ж"+ и Ж"- (Ж"+ и Ж*1-) не пересекаются
и образуют сепаратрисное русло gu (gs) - полосу, ограниченную сверху кривой
Ж"+ (Ж*-) и снизу Ж"- (Жх+ ) соответственно. Пересечение g0 = gu Пgs есть сед-
ловая клетка, ограниченная дугами кривых Ж"± и Ж'^±, соединяющими точки О с
единственными точками пересечения (жи+ П Ж")е (у > 0) и (ж"- П Ж'+^е (у < 0).
Лемма 2. Сепаратрисы седел систем Л и Л образуют сепаратрисные русла gu
и gs и седловую клетку g0 = gu П gs, изображенные на рис. 2.
Рис. 2. Расположение сепаратрисных русел и седловой клетки
Сепаратрисные русла при изменении параметров управляют потоками траекторий системы (1), если траектории не покидают область диссипации П=|<М,|у2|<М }.
Покажем, что система (1) действительно имеет область диссипации П.
Лемма 3. Система (1) диссипативна, т.е. существует компакт 5, в который входят все траектории системы (1).
Доказательство следует из того, что производная функции Ляпунова V = V1 + V2,
V 2 V 2 2
где V = + , У2 = — + k| Ф(х)dx в силу системы (1) отрицательна вне области [4-6].
Пусть х е/ = \х ; х+], где интервал I определен размером области 5. Рассмотрим подсистему
Гт>1 = + +ц1Ф(х) [т>2 =-^1 -(XV 2 + Ц 2Ф(х)
(3)
s1 < i 1 k ImS ReS
sf < t
Рис. 3
Запишем «замороженную систему», предполагая, что
Г x = 0,
I y = 0.
для любых (X, y) £ S. Тогда для траекторий внутри компакта S выполняется
max[Ф(x(t))]| xe/ = m.
_ f-аю^ i j 2 2
Для матрицы A =1 I выполняется aet A = а + ю ,
ю - aj
SpA = -2a , и ее собственные значения есть sl 2 = -a ± ю • i.
2 2 V V
Рассмотрим функцию Ляпунова V1 = + для подсистемы (3). Производная в силу системы равна
v1 = v1 • v1 + v2 • v2 =
= v1 • (- a v1 + ю v2 + ц1Ф(х(t))+ v2 • (- ю v1 - a v2 + ц2Ф(x(t)) =
= -a vf +ц1Ф(x(t))v1 - a v22 + ц 2Ф(x(t))v2
2 2 V V
Линии уровня функции Ляпунова V1 = + - концентрические окружности. Из ограниченности Ф( х) в области при V >-Цт и >ползаем Ух < 0.
a
a
Следовательно, нами получено, что в области v1 < M, V2 < M, где M =
ц m
a
/ = max /2} (см. рис. 4), подсистема (3) диссипативна и параметр M задает раз-
мер русел g и g .
Теорема. Существует область параметров, для точек которой система (1) имеет дикий аттрактор с гомоклинической восьмеркой седло-фокуса.
Действительно, система (1) в области g0 имеет седло-фокус, сепаратрисные многообразия которого мажорируются седловыми руслами g" и gs. Изменяя параметры системы так, чтобы русла g" и gs поменяли свое взаимное расположение (рис. 2) получаем существование гомоклинической восьмерки на бифуркационной поверхности Н соразмерности 1. Условие дикого аттрактора выполняется в тех точках поверхности Н, для которых дивергенция векторного поля системы (1) вдоль ведущего многообразия седло-фокуса положительна. Это условие выполняется при малых значениях параметра а.
Список литературы:
[1] Белых В.Н. Гомоклинические и гетероклинические траектории семейства многомерных динамических систем // Динамические системы и смежные вопросы: Сборник статей. К 60-летию со дня рождения ак. Д.В. Аносова. - М.: Изд-во «Наука» - МАИК «Наука». - 1997. - Т. 216. - 383 с. - С. 20-31.
[2] Belykh V.N. Homoclinic and heteroclinic linkages in concrete systems: nonlocal analysis and model maps // Translations of the American Mathematical Society-Series 2. - 2000. - Т. 200. - С. 5162.
[3] Белых В.Н., Киняпина М.С., Шестерикова Н.В. Бифуркации гомоклинической восьмерки в семействе систем Лоренцевского типа // Вестник Волжской государственной академии водного транспорта. - 2015. - Вып. 44. - С. 93-97.
[4] Belykh V.N. Homoclinic and heteroclinic linkages in concrete systems: nonlocal analysis and model maps //Translations of the American Mathematical Society-Series 2. - 2000. - Т. 200. - С. 5162.
[5] Belykh V.N. Bifurcations of separatrices of a saddle point of the Lorenz system // Differential equations, vol.20(10). - 1984. - С. 1184-1191.
[6] Belykh V.N. Generation of a structurally stable doubly asymptotic trajectory in a system with slow varying parameter Differential'nye Uravneniya 11 (1975) // English transl. in Differential Equtions 11 (1975). -1975. - C. 2083-2085.
THE WILD ATTRACTOR WITH FIGURE - EIGHT HOMOCLINIC STRUCTURE OF A SADDLE-FOCUS IN 4D SYSTEM
V.N. Belykh, M.S. Kinyapina, N. V. Shesterikova
Key words: wild attractor, bifurcation, a figure - eight homoclinic structure
The article considers the multi-parameter family of 4D dynamical systems. The authors prove the existence of a wild attractor with positive divergence along the leading manifold of a saddle-focus having a figure - eight homoclinic structure.
Статья поступила в редакцию 14.11.2016 г.
УДК 517.925
В.Н. Белых, д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой ФГБОУВО «ВГУВТ» И.А. Мордвинкина, старший преподаватель ФГБОУ ВО «ВГУВТ» 603950, г. Нижний Новгород, ул. Нестерова, 5
СЛОЖНЫЕ ИНВАРИАНТНЫЕ МНОЖЕСТВА МНОГОМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ1
Ключевые слова: аттракторы, многомерные отображения, подкова Смейла.
В статье представлен пример существования сложного аттрактора для конкретного многомерного отображения. Обнаружены сложные бифуркационные переходы от
простых фазовых структур с неподвижными точками к многомерным подковам
Смейла.
Введение
Как известно, существуют примеры отображений, имеющих свойства гиперболичности [1, 2, 5]. С другой стороны, в общем случае, трудно найти условия для правых частей отображений, чтобы обеспечить существование аттракторов данной динамической системы. Это является причиной недостатка примеров конкретных динамических систем.
Аттракторы такого типа для многомерных инвариантных отображений, с особенностями схожими с двумерным отображением Лози, изучены в настоящей работе.
Существование гиперболических аттракторов было доказаны для семейства двумерных отображений [3, 4].
Рассматривается множество отображений [: Ят+1 —1 Д"+1вида
где В1 = (Ьуесть (и+1) - квадратная матрица параметров; с = ё = сокитф:^, ...,с„), р = саЬагт^д,рп +1} и с? = со1итп(р^... ,ря) являются векторами-столбцами параметров; и = со1гагт V = саЬтап... ,ип') являются векторами-столбцами переменных, £1 есть скалярная функция, штрих означает транспонирование.
Это отображение может быть интерпретировано как разностная схема Эйлера для некоторых систем дифференциальных уравнений и также как модель дискретных систем автоматического управления.
1 Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 15-01-08776).
