CC BY
7УДК 517.925/926
В.Н. Белых, профессор, д.ф.- м.н., зав. кафедрой математики, ФГБОУ ВО «ВГУВТ» М.С. Киняпина, старший преподаватель, ФГБОУ ВО «ВГУВТ» Н.В. Шестерикова, доцент, ФГБОУ ВО «ВГУВТ» 603950, г. Нижний Новгород, ул. Нестерова, 5
БИФУРКАЦИЯ ГОМОКЛИНИЧЕСКОЙ ВОСЬМЕРКИ В СЕМЕЙСТВЕ СИСТЕМ ЛОРЕНЦЕВСКОГО ТИПА
Ключевые слова: системы Лоренцевского типа, странный аттрактор, бифуркация.
Показывается, что система общего вида с симметрией приводится к нормальной форме системы Лоренцевского типа. Доказывается существование бифуркации го-моклинических орбит, приводящей к рождению счетного числа периодических циклов.
Рассмотрим обобщенную систему вида:
X = Н + Яр(х, у, z) = P,
у = -Н + Яq(x,y,z ) = Q, (1)
^ = f (z) + аг( x,y) = R.
где а, Я неотрицательные параметры [1].
В системе (1) Н (х, у, г) - функция Гамильтона, имеющая следующий вид:
Н (х, у, г ) = к (х, у)+ ¡г (х, у )• г (2)
Для остальных функций выполняются следующие условия:
Р(0,0, г)= 0, 0(0,0, г )= 0, г(0,0)=0, к (0,0)= 0, / (о)= 0,
/(*)• г <0, г *0, /'(0)<0. (3)
Для системы (1) из условий (2) - (3) следует:
1. г(0,0)=0, гу(0,0)=0, р(0,0,г)=0, ^(0,0,г)=0;
2. 0(0,0,0) - состояние равновесия системы (1);
3. Ж^ (х = 0; у = 0; г е К1) - интегральная прямая с уравнением г=/ (г) на ней. Следовательно, прямая Ж^ лежит на устойчивом многообразии Ж5 седловой точки 0(0,0; 0).
Используя условия (2), (3) получаем, что при а = 0 система (1) имеет глобально
- устойчивое интегральное многообразие I(г = 0, х, у е К2) в К3, динамика на котором определяется системой второго порядка вида:
Гх = к + Яр(х, у,0)
I у ^ (4)
Iу = -кх +Мx, у,0) Тип состояния равновесия О определяется из условия f '(о) < 0 и двумя собственными значениями ^ и линеаризованной в окрестности О системы второго поряд-
ка (4). Предполагая, что состояние равновесия системы (4) O0(0,0) - седло (Sj • s2 < 0), неустойчивая сепаратриса W0U которого касается одномерного неустойчивого многообразия WU седловой точки трехмерной системы (1) 0(0;0;0). Устойчивое многообразие седла WS содержит прямую W0S . Предполагается, что при Л =0 интеграл гамильтоновой системы (4) h (x,y) = const как функция двух
переменных имеет три критические точки, которые служат состояниями равновесия системы
f х = h
\ y (5)
I y =-к
так, что 0(0; 0) - седло, а две точки 0l 2(x 2; 0) - центры.
Введем прямую L : (x = axy = a20, z = 0) , которая будет использоваться при построении глобальной секущей.
Предположение 1. Пусть для Л> 0
1) Неустойчивая сепаратриса W^ асимптотически приближается к состоянию равновесия отличному от O или к циклу системы (4) (нет петли сепаратрисы).
2) L трансверсально пересекает фазовые траектории (поток) системы (4) и пересекает неустойчивую сепаратрису W0U;
3) Система (1) диссипативна, так что область G :(|х|| < K) для некоторого достаточно большого значения К является поглощающей областью (все траектории вне шара входят в G и остаются в ней навсегда). Введем S = L х R1 полуплоскость имеющую Wq границей, а также функцию Ляпунова
z
V = H(x,y,z)+pa-¡f(r)dr . (6)
0
Предположение 2
1) Пусть полуплоскость S пересекается трансверсально потоком фазовых траекторий порождаемых системой (1), т.е.
(aiQ - a2Р)S * 0.
2) Пусть семейство сечений S' с произвольными a = a[, a2 = a'2 (покрывающее все пространство (R3 \ W0S)) пересекается с траекториями системы (1) для Л = 0 в области V > c некоторого большого значения c > 0 (линейная независимость (Hx, Hy)).
3) Функция (6) является неположительной в окрестности состояния равновесия О (0,0,0).
Из вышесказанного следует
Теорема 1. При прохождении точки параметров (a> 0,Л> 0) из области (a> 0, Л = 0) в область (a = 0, Л < 0) одномерное неустойчивое многообразие W0" седлового цикла либо попадает на устойчивое многообразие седлового состояния
равновесия, образуя гетероклиническую орбиту, либо возвращается в седло, образуя гомоклиническую кривую.
Рассмотрим частный случай системы (1), который получается при
И (х, у)= Х-- у + у-' г (х, у) = у'Р = 0'4 = ~У' ^ = ~к2' (7)
Тогда получим систему:
X = У,
y = (l -ßz -х2)х -Xy, (8)
, « 2
z = -kz Н— х .
2
функция Гамильтона которой имеет вид:
4 2 2 2
Н(х,у,г) = — - — + — + В- — • г . (9)
4 7 4 2 2 2
При замене переменной 2иоу = В • 2 и параметра 8 = ^^ система (8) сводится к
трехпараметрической системе Лоренцевского типа записанной в нормальной форме [2, 3, 4,5]:
ёх _ ёх
= (1 - г -х2) х -Ху, (10)
— = -кг + 5х2. _ ёх
Из теоремы 1 следуют основные свойства системы (10):
1) Система (10) обладает симметрией (х,у, 2) <->(-х, -у, 2).
2) Система (10) при к > 0 имеет три состояния равновесия : начало координат О - седловая точка с одномерным неустойчивым многообразием , и еще два симметричных состояния равновесия, которые сливаются с О. При 8 = 0 система (10) имеет устойчивое интегральное многообразие Ж^ : {г = 0} с динамической системой на нем вида:
\* = У
\у = (\-х2)х-Лу
3) Существует бифуркационная поверхность g(k,8,Х) = 0 такая, что g(к,0,0) = 0 соответствует двум симметричным гомоклиническим контурам (петлям), образованным Ж0" [2].
4) При 8 > 0 стандартный аттрактор Лоренца появляется, когда неустойчивое многообразие попадает на устойчивые 2ё-многообразия двух симметричных сед-ловых циклов, рожденных из «гомоклинической бабочки». Рождение этой «гомокли-нической бабочки» приводит к появлению хаотического множества траекторий [5, 6, 7, 8].
2А „ (И)
= \1-х )х~.
5) Бесконечное множество бифуркаций сопровождает переход как от различных типов аттракторов Лоренца так и других множеств притягивающих предельных множеств, которые демонстрируют различные типы квазиаттракторов [5].
Полученные результаты иллюстрируются результатами численного счета.
0.8
0.4
У 0
-0.4 -0.8
-0.8 -0.4 О 0.4 0.8
X
Рис. 1. Проекция фазовых траекторий системы (4) на плоскость Оху
2.4 2 1.6 2Г 1-2 0.8 0.4
0.4 0.8
системы (4) на плоскость Охг
О
-0.8 -0.4 О
X
Рис. 2. Проекция фазовых траекторий
Рис. 3. Проекция фазовых траекторий системы (4) на плоскость Oyz
На рис. 1-3 представлены проекции фазовых траекторий системы (4) для значе-
- ^ 7 и 3 х 67 1
ний параметров Л = ^ , k = ^ , о = ^ при начальных условиях x0 = 1,
Уо = 0, z0 = 1-
Основной результат может быть сформулирован в виде следующего утверждения: Теорема 2. Существует бифуркация двух гомоклинических орбит, в результате которой в системе появляется нетривиальная гиперболическая компонента неблуждающего множества, содержащая счетное число седловых периодических орбит.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 15-01-08776) и РНФ (проект 14-12-00811) Список литературы:
[1] Belykh V.N. Homoclinic and heteroclinic linkages in concrete systems: nonlocal analysis and model maps //Translations of the American Mathematical Society-Series 2. - 2000. - Т. 200. - С. 5162.
[2] Belykh V.N. Bifurcations of separatrices of a saddle point of the Lorenz system // Differential equations, vol.20(10). - 1984. - С. 1184-1191.
[3] Belykh V.N. Generation of a structurally stable doubly asymptotic trajectory in a system with slow varying parameter Differential'nye Uravneniya 11 (1975)// English transl. in Differential Equtions 11 (1975). -1975. - C. 2083-2085.
[4] Lorenz E. Deterministic nonperiodic flow, J.Atmos. Sci., vol.20 . - 1963- С. 130-141.
[5] Shilnikov A.L., Shilnikov L.P.,Turaev D.V. Normal forms and Lorenz attracors, Int.J. Bifurcation and Chaos, 3(5). - 1993. - С. 1123-1139.
[6] Afraimovich V.S., Bykov V.V. and Silnikov L.P. On the appearance and structure of Lorenz at-tractor, DAN SSSR, vol.234. - 1977- С. 336-339.
[7] Williams R. The structure of Lorenz attractors, Publ. Math. IHES,vol.50. - 1979- С. 101-152.
[8] Shilnikov L.P. Math problems of nonlinear dynamics: A tutorial // Int. J. Bifurcation and Chaos, vol. 7(9). - 1997- С. 1953-2001.
BIFURCATION OF FIGURE - EIGHT HOMOCLINIC ORBITS IN A FAMILY OF LORENZ TYPE SYSTEMS
V.N. Belykh, M.S. Kinypina, N.V. Shesterikova
Keywords: Lorenz type system, strange attractor, bifurcation
A general system with a symmetry is reduced to a normal form of Lorenz type system. Bifurcation of homoclinic orbits leading to the birth of countable number of cycles is proved.
УДК 517.925
В.Н. Белых, зав. кафедрой, профессор, д.ф.- м.н. ФГБОУ ВО «ВГУВТ» И.А. Мордвинкина, старший преподаватель ФГБОУ ВО «ВГУВТ» 603950, г. Нижний Новгород, ул. Нестерова, 5
БИФУРКАЦИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ И ГОМОКЛИНИЧЕСКИХ ОРБИТ ОДНОМЕРНОГО И ДВУМЕРНОГО ОТОБРАЖЕНИЙ
Ключевые слова: бифуркация, гомоклиническая орбита, аттрактор.
В статье проводится анализ структуры бифуркационного множества унимодальных отображений, основанной на свойстве его самоподобия . Изучаются одномерные и двумерные отображения, возникающие в приложениях. Обсуждаются некоторые особенности бифуркаций гомоклинической орбиты одномерного отображения. Установлены теоремы о бифуркации гомоклинических кривых двумерного отображения.
Введение
Бифуркационная теория унимодальных одномерных отображений была создана в конце 1970-х годов, в частности, в работах Фейгенбаума [2], Коле и Экмана [1] и др. Значительный вклад был также внесен А.Н. Шарковским [6]. В 1964 г. он опубликовал теорему, установившую общие закономерности сосуществования циклов различных периодов в одномерных непрерывных отображениях. Реальными экспериментами, которые служили подтверждением результатов Фейгенбаума и иллюстрацией их применения к реальным физическим системам, были исследования Либхайера и Мюрера бифуркаций удвоения периода на конвекционных катушках в системах Релея-Бенарда, исследования Хадсона и Манкина низкоразмерной динамики перехода к хаосу для реакции Белоусова-Жаботинского и др.
1. Аппроксимация бифуркационного множества одномерного отображения
Рассмотрим одномерное отображение д '■ й1 ~^ Й 1.1 имеющее у неподвижную точку V . Выберем в окрестности точки у,, точку такую, что
Это означает, что отображение находится вблизи бифуркации удвоения периода. Предположим также, что 3 (V) ^ 0 для некоторого интервала
Используя разложение в степенной ряд функции д(у) в окрестности точки у0 и подставляя у = Уо----..- ^ получим отображение
