CC BY
18A general system with a symmetry is reduced to a normal form of Lorenz type system. Bifurcation of homoclinic orbits leading to the birth of countable number of cycles is proved.
УДК 517.925
В.Н. Белых, зав. кафедрой, профессор, д.ф.- м.н. ФГБОУ ВО «ВГУВТ» И.А. Мордвинкина, старший преподаватель ФГБОУ ВО «ВГУВТ» 603950, г. Нижний Новгород, ул. Нестерова, 5
БИФУРКАЦИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ И ГОМОКЛИНИЧЕСКИХ ОРБИТ ОДНОМЕРНОГО И ДВУМЕРНОГО ОТОБРАЖЕНИЙ
Ключевые слова: бифуркация, гомоклиническая орбита, аттрактор.
В статье проводится анализ структуры бифуркационного множества унимодальных отображений, основанной на свойстве его самоподобия . Изучаются одномерные и двумерные отображения, возникающие в приложениях. Обсуждаются некоторые особенности бифуркаций гомоклинической орбиты одномерного отображения. Установлены теоремы о бифуркации гомоклинических кривых двумерного отображения.
Введение
Бифуркационная теория унимодальных одномерных отображений была создана в конце 1970-х годов, в частности, в работах Фейгенбаума [2], Коле и Экмана [1] и др. Значительный вклад был также внесен А.Н. Шарковским [6]. В 1964 г. он опубликовал теорему, установившую общие закономерности сосуществования циклов различных периодов в одномерных непрерывных отображениях. Реальными экспериментами, которые служили подтверждением результатов Фейгенбаума и иллюстрацией их применения к реальным физическим системам, были исследования Либхайера и Мюрера бифуркаций удвоения периода на конвекционных катушках в системах Релея-Бенарда, исследования Хадсона и Манкина низкоразмерной динамики перехода к хаосу для реакции Белоусова-Жаботинского и др.
1. Аппроксимация бифуркационного множества одномерного отображения
Рассмотрим одномерное отображение д '■ й1 ~^ Й 1.1 имеющее у неподвижную точку V . Выберем в окрестности точки у,, точку такую, что
Это означает, что отображение находится вблизи бифуркации удвоения периода. Предположим также, что 3 (V) ^ 0 для некоторого интервала
Используя разложение в степенной ряд функции д(у) в окрестности точки у0 и подставляя у = Уо----..- ^ получим отображение
Предполагая третью производную в точке у пренебрежительно малой, коэффициент М(у0) — у (уо)(у — 3(з'о) можно представить в виде разложения в степенной ряд
(3)
получим аппроксимированную величину
= (¿V) + 1X5 Су*) - з).
(4)
Наконец, отображение д трансформируется в логистическое отображение д-.К1 -» К1,вида
при следующем преобразовании переменных
(5)
(6)
На рис. (1) изображена бифуркационная диаграмма логистического отображения (5). Прежде всего заметим, что / может быть преобразована в стандартную форму
и поэтому является образцом аналогичного множества бифуркаций в промежутке [0,5/4] . При /л = -1 рождаются две неподвижные точки = — 1 + у' 1 +
При /и = 0 происходит первая бифуркация удвоения периода (/ = — 1) и появляется орбита периода-2 (д//-О-- При ц = 1/2 вторая бифуркация удвоения периода (/ //) ■ / (уТО — ~ 1) и рождается 4-цикл и т.д.
Рассмотрим простую процедуру, позволяющую создавать аппроксимацию бифуркационного множества отображения /. (Аналогичная была предложена А.П. Кузнецовым и С.П. Кузнецовым [4] для различных версий логистического отображеня). Рассмотрим повторную итерацию отображения / 2 как
(7)
Это отображение имеет две неподвижные точки и -^Щ при ц е (0; 1/2) и первую бифуркацию удвоения периода при ц =1/2. Значения производных в неподвижных точках = 1 - 4дид Х+^р) = -4(2/1 + 3>)„ Используя преобразование координат (6), получим соответствующее отображение
г2, при ¡а, = 4¡х2 — 1.
X = ¡1
(8)
Это отображение очевидно идентично отображению /, но только с новым параметром ц'. Увеличение ц' от 0 до 1/2 приводит от первого удвоения периода ко вто-
рому отображения (8). Увеличение ц' от 1/2 до
I
(корень уравнения
— = —:: - — '_], приводит от рождения 4-периода к рождению периода-8 отображения
(5). Следовательно, получим аппроксимирующее рекуррентное соотношение для бифуркационных значений параметра ц
(9)
При /.1(0) = -1 и п = 1,2,... уравнение задает последовательность бифуркаций удвоения периода 0,-,^3/8... с предельной точкой
■: = _ — л _ ;. Ь = и 6-и- . Эти значения отличаются меньше, чем на 0,3% от
численных результатов (8). Для Ц(0) = цк , где цк обозначает бифуркационный параметр, при котором рождается к цикл, последующие итерации (9) являются аппроксимацией значений для к 2п- циклов. Значения Цгм, соответствующие появлению нечетно периодических орбит / позволяют получить аппроксимацию значений 112т(21+1)> ^ = — Например, итерации, начинающиеся со значений = = С.ь"-. = С .£25 или ц9 =0,805, хорошо согласуются с численными расчетами.
Рис. 1. Бифуркационная диаграмма отображения .V = [I — Л" — X
2. Бифуркации гомоклинических орбит одномерных отображений
Целью настоящего раздела является обсуждение некоторых особенностей бифуркаций гомоклинических орбит одномерных отображений. Оно может быть рассмотрено как замечание к устоявшейся бифуркационной теории одномерных отображений, основанной на теории нидинговых [7] последовательностей или на более современную теорию вложенных структур, описанную Мира в своей работе [3]. Рассмотрим бифуркационное множество В одномерного отображения, которое зависит от па-
раметра X и имеет отрицательный Шварциан. Бифуркационные величины /./. соответствуют рождению орбит периода к. Построим отображение S: В —> В, для которого
последующие итерации аппроксимируют множество B и иллюстрируют самоподобную структуру В.
Рассмотрим гладкое отображение g '■ R1 R1, которое гладко зависит от параметра X. Пусть отображение f имеет неустойчивую неподвижную точку x = fix ).
Определим гомоклиническую орбиту Г неподвижной точки х как траекторию /. такую, что для зс.еГ,хйФ = х*. и либо Ига/Ь(ж0) =х* либо
/^С^о) = х"*, йг-l > 1. Аналогично гомоклиническая орбита р - периодической орбиты v -. . ■ 1 : ■ отображения f определяется как
Г = и Г,, (10)
1=1
где Г есть гомоклиническая орбита неподвижной точки x, отображения f p .
Рис. 2. Рождение гомоклинических орбит седло - узел.
Рис. 3. Рождение гомоклинической орбиты неустойчивой неподвижной точки
На рисунках 2-4 представлены три принципиально различные бифуркации гомоклинических орбит. Первый тип - это бифуркации семейства гомоклинических орбит седла - узла (рис. 2Ь), которая исчезает при уменьшении параметра (рис. 2а) или распадается на две гомоклинических орбиты, когда параметр увеличивается (рис. 2с). Эта бифуркация связана с Ротеап - МаппуШе сценарием создания взрывного хаоса (перемежаемость 1-го типа), а также с аналогичной бифуркацией диффеоморфизма. Второй тип - это образование гомоклинической орбиты неустойчивой неподвижной точки (рис. 3Ь). Ему соответствует начало перекрытия инвариантных подынтервалов /2 (пунктирная кривая на рис. 3Ь) и рождение нечетных периодических орбит /. Третий тип бифуркации (рис. 4) совпадает с появлением непрерывной инвариантной меры /. При переходе к случаю, изображенному на рис. 4, хаотический аттрактор исчезает «взрываясь», и остающееся гиперболическое множество нулевой лебеговой меры
есть однокомпонентное неблуждающее множество, схожее с подковой Смейла. Заметим, что при двукратном отображении / 2, бифуркация второго типа схожа с бифуркацией третьего типа. Этот факт играет существенную роль в последующих рассуждениях.
В дальнейшем анализе рассмотрим семейство унимодальных отображений единичного отрезка/ (х,А): I ^ I , имеющих отрицательный Шварциан и удовлетворяющих условиям:
и/а я) =о, при я е [од].
И
Рис. 4.
Графики таких функций иллюстрируют рисунки 3 и 4. Прототипом такого семейства является квадратичное отображение
В общем случае отображение д может удовлетворять условиям (11) в некоторых инвариантных интервалах 10 либо после седло - узловой бифуркации (см. пунктирный прямоугольник на рис. 2с) либо после бифуркации удвоения периода, ведущей к рождению устойчивого цикла периода 2. Имея одну критическую точку, это отображение может быть приведено к виду семейства (11) с помощью линейного нормализующего отображения
так, что 1,1,, = I и отображение / = Ьд (Ь~1 х ) удовлетворяет (11).
Известно, что для любого периода к > 2 к -циклы отображения/из семейства (11) рождаются при бифуркационных значениях
где А^"1 и А,(£) представляют собой соответственно первое и последнее рождение разных к-циклов, и г = г(к)>1 - число возвращений Мёрберга. Например, при к = 3,4,5,6,7 число г = 1,2,3,5,9. Кроме того, общее упорядочение бифуркаций состоит в том, что после пути с большим вращением последовательности следует путь с меньшим, так как параметр А увеличивается. Чтобы получить аппроксимацию бифуркационного
множества, сохраним только первое и последнее бифуркационные значения А^ и А([) в (14) и выберем следующий порядок
А^ ' * - - Л-2 ' * - - ^
(1)
< И(2) <...
(15)
Кроме того, а(1 и ), значения входящие в (15), удовлетворяют следующим условиям:
1) отрицательное значение а(1) при котором появляется неподвижная точка и значение а(1) первого удвоения периода включены в качестве существующего ранее семейства (11); значение а(1) может соответствовать возникновению гомоклинических орбит первого типа при седло - узловой бифуркации бифуркации (рис. 2);
2) номер к1следует после номера к2 (справа) и соответствует порядку Шарковско-
го
3) значение Ре = Л^ есть предел Фейгенбаума;
4) значение Н(2) определяемое уравнением Л = 1-х* = Н(2) соответствует рождению гомоклинических орбит второго типа (рис. 3);
5) значение Н(1) = 1 соответствует третьему типу бифуркации гомоклинических орбит (рис. 4).
Вернемся снова к отображению / 2 При А < Н(2), после нормализации (13), в каждом из двух инвариантных интервалов / 2 становится отображением из семейства (11). Поэтому /2 имеет множество бифуркаций схожих с (15), где 41}Д£}.....И(2) играют роль А^Д^'.....А^Д^.НО) в (15). Для завершения построения множества бифуркаций/2 добавим значение Н(3), определяющее го-моклиническую орбиту второго типа для / 2, и новую последовательность
2'4
(г;, 211
(Т~1
- ■ - следующую до А23 как последнюю бифуркацию к -циклов (но не последнюю для/). Аналогично для отображения/4 добавим //(4) и для последовательности А^ < А^': < ■■■ следующую до А4.3 и т.д. Обозначим первоначальную последовательность из (15) как
= №
< А:
с«
=. ^ 1(11 =. 1(1)
■---- - л^пг - + 1 -....
и расширенное множество неравенств
< А!
« 2т-4
< <- < <- Я® г
л2ш-5 ---- л2т-к Л2т(И-1 У'
где 1 < 1(к) < г в (14) при т > 0 и / = г при т = 0. Тогда (15) преобразуется в следующее расширенное множество неравенств
(16)
Очевидно, lira Н(т) = Fe, lim diam(c(m.)) = 0. Таким образом, получено счетное множество бифуркаций гомоклинических орбит H(1), H(2),..., такое что отображение f2m имеет 2m бифуркаций гомоклинических орбит третьего типа на каждом 2m инвариантном интервале при X = H(m).
Напомним, что каждая бифуркация к -цикла на множестве G(m). т = 1,2,... является бифуркацией неподвижной точки отображения fk,k = (21 + l)2'm_1, где
l, m = 1,2,. Эти бифуркации соответствуют значению X1 во множестве Е и, будучи седло - узловыми бифуркациями, совпадают с бифуркациями гомоклинических орбит первого типа. Более того, в то время как параметр X растет, начиная с Xk, инвариантные интервалы I0k возникают в соответствии со сценарием рис. 2, и последовательностью бифуркаций 5"k(1) аналогичных (16), с новым пределом Фейгенбаума Fek , новыми гомоклиническими орбитами бифуркаций Hk(m) и новыми множествами Ek и Gk(m). Следовательно, новое расширенное множество бифуркаций
возникает и может рассматриваться как первая итерация (16). Таким образом, получена рекуррентная процедура для расширения бифуркационного множества циклов периода k и бифуркаций гомоклинических орбит
(18 )
Если В это все множество бифуркаций семейства (11), то можно рассматривать (18) как отображение 5": В ^ В с начальным условием (16) и его предельным множеством
5й = Нга5(л) с В.
Таким образом, поставленная цель достигнута. Бифуркационное множество 5 может рассматриваться как аппроксимация В. Заметим, что точность приближения зависит от начальных условий, так что вместо (16) можно использовать следующий подход. Первое, можно сохранить только q > 2 бифуркационных значений в каждой
последовательности (14), основные бифуркации и Х([> при любых к, и все промежуточные значения /.к , ...,Лк
ч ы "к
если г(к) < q, а также произвольные промежуточные значения q, если q < г(к) Тогда вместо (18) получим
и новое предельное множество
S*(q) = lim£(q,Ti) с В.
(1)
3. Бифуркации периодических и гомоклинических орбит двумерного отображения Рассмотрим взаимнооднозначное двумерное отображение /
где X - малый параметр, такой что 0 < X < Х0 и Х0 < 1, в случае, когда д(х) е С1 - скалярная функция, удовлетворяющая условиям:
д(х) = 0 при \х\ = = т, д(х) = д (-%)■, д [У) < 0 при ж > 0; д "(х) < 0.
При X = 0 двумерное отображение вырождается в одномерное
При исследовании двумерного отображения (1) используются аттракторы и бифуркационные множества одномерного отображения (2). При применении теоремы о неявной функции и теоремы о промежуточном значении доказаны следующие утверждения
Теорема 1 Пусть отображение (2) имеет при а = ар бифуркацию периодической орбиты (^1., ■■■> хр< = Тогда при достаточно малых X отображение (1) имеет бифуркационную кривую а = CLp(X), (0) = ар, соответствующую бифуркации p - периодической орбиты отображения (1).
Теорема 2 Пусть отображение (2) имеет гомоклиническую орбиту Г неподвижной
точки x Г = | J {xk} lim x j- Тогда отображение (1) имеет гомоклиническую орбиту Г неподвижной точки (x ,0), близкую к последовательности I JX },0 I.
Следствие По теоремам 1 и 2 исходное отображение (2) имеет тоже самое бифуркационное множество, что и отображение (1). Бифуркационное множество S (q) отображения (2) сохраняется при увеличении X от нуля и служит аппроксимацией бифуркационного множества отображения (1).
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 15-01-08776)
Список литературы:
[1] Collet P. and Eckmann J.-P. Universal Properties of Continuous Maps of the Interval to Itself, in Lecture Notes in Physics vol.74? Springer, New York, 1979.
[2] Feigenbaum M.J., Stat. J. Phys. 21, 669(1979).
[3] Mira C., Chaotic Hierarchy from the One - Dimensional Box - Within - A - Box Bifurcations Structure Properties, in A Chaotic Hierarchy, G. Baier and M. Klein(eds.), Wold Scientific, Singapore, p. 285,1991.
[4] Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Критическая динамика одномерных отображений. Часть I. Сценарий Фейгенбаума. Известия вузов - прикладная нелинейная динамика, 1, 1993, №1, с. 15-32.
[5] Белых В.Н. Элементарное введение в качественную теорию и теорию бифуркаций динамических систем // Соросовский Образовательный Журнал. 1997, №1, с. 115-121.
[6] Шарковский А.Н. Существование циклов непрерывного отображения прямой в себя// Украинский математический журнал. 1964. Т.16, вып. 1.
[7] Collet P. and Eckmann J.-P. Progress in Physics, vol., Birkhausen, Boston, 1980.
HOMOCLINIC ORBITS BIFURCATIONS OF ONE-AND TWO-DIMENSIONAL MAPS
V.N. Belykh, I.A. Mordvinkina
Keywords: bifurcation, homoclinic orbit, attractors.
The paper analyzes the structure of the bifurcation set of unimodal maps based on the property of its self-similarity. We study the ID and 2D maps arising in applications. Some features of the homoclinic orbit bifurcations for one-dimensional mapping is discussed. Theorems on the bifurcations of homoclinic curves are stated for 2D maps
