CC BY
6
ТРУДЫ МФТИ. 2021. Том 13, № 3
И. А. Решетников
107
УДК 519.766
Б01: 10.53815/20726759__2021__13_3_107
И. А. Решетников
Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
Сложность языка поворотов двух дуг
Краткое сообщение
Работа посвящена изучению количества слов длины п, порождаемых повротами всевозможных двух дуг окружности на фиксированный иррациональный угол поворота е. В работе [1] (см. также [2]) получена кубическая оценка для арифметической сложности слов Штурма, откуда следует и кубическая оценка для количества слов, порождаемых поворотами двух дуг. В данной работе угол поворота предполагается фиксированным, в результате чего оценка на количество слов длины п получается квадратичной от п.
Ключевые слова: слова Штурма, арифметическая сложность, механические слова, динамические системы, поворот окружности, символическая динамика.
I.A. Reshetnikov
Moscow Institute of Physics and Technology
Complexity of the language of turns of two arcs
Short Communications Article
The paper is devoted to the study of the number of words of length n generated by-rotations of all possible two arcs of a circle by a fixed irrational angle of rotation e. In [1], (see also [2], a cubic estimate for the arithmetic complexity of Sturm's words is obtained, which implies a cubic estimate for the number of words generated by rotations of two arcs. In this paper, the angle of rotation is assumed to be fixed, as a result of which the estimate for the number of words of length n is quadratic in n. This work was is carried out with the help of the Russian Science Foundation Grant N 17-11-01377.
Key words: Sturmian words, arithmetic complexity, mechanical words, dynamical systems, circle rotation, symbolic dynamics.
1. Введение
Дана окружность единичной длинны. Пусть е — фиксированный иррациональный угол поворота. Цель данной работы — изучение количества слов длины п, порождаемых динамической системой поворота на е двух дуг, на которые разбита окружность. В работе [1] получена кубическая оценка для арифметической сложности слов Штурма, откуда следует и кубическая оценка для количества слов, порождаемых поворотами двух дуг. Если угол поворота предполагается фиксированным, то оценка на количество слов длины п получается квадратичной от п.
© Решетников И. А., 2021
© Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2021
108
Информатика и управление
ТРУДЫ МФТИ. 2021. Том 13, № 3
2. Основная часть
Нас интересует динамическая система (ш,а,Ке,Хо) — повороты окружности ш длины 1, разбитой на две дуги длины а и 1 — а на фиксированный иррациональный угол поворота е с начальной точкой хо- Если Щ(хо) € а, то п-я буква слова и> равна а, иначе Ь. Чтобы рассмотреть сразу все а, рассмотим тор Т 1 х 1, в котором каждое сечение прямой у = а, а € (0,1) является окружностью, разбитой на дуги а и 1 — а. Тогда поворот тора х = х + е преобразует все окружности как в (ш, а, К£, хо)- Прямые х = 0 = 1 у = 0 = 1и х = у разбивают тор на две части, в которых пишутся разные буквы при попадании. Вместо того, чтобы рассматривать то, как проходит траектория Ке(хо) рассмотрим, как разбивают тор образы прямых х = 0 = 1 у = 0 = 1и х = у при обратном преобразовании К-е.
После п — 1 итераци й К-е мы получи м п вертикальных прямых (х = 0,х = —е,х = {—2е},...), п наклонных прямых (х = у,х = у + е,х = {у + 2е},...) и одну горизонтальную у = 0. Чтобы подсчитать на сколько частей они разбивают тор, воспользуемся формулой Эйлера для графов на торе V — Е + Р = 0. В нашем случае множество вершин графа V — это точки пересечения указанных прямых, множество рёбер графа Е — отрезки, на которые прямые разбиваются точками пересечения. Множество граней разбиения Р — это множество областей, на которые прямые разбивают тор. Эти области соответствуют различным словам, порождённым символической динамикой (ш, а, Ке, Хо), где начальная точка Хо лежит в соответствующей области. Каждая вертикальная прямая пересекает п наклонных, каждая наклонная пересекает п вертикальных, горизонтальная прямая также пересечена всеми наклонными и вертикальными, но только в п точкж, являющимися итерациями точки (0, 0) Итого | V| = п2, 1Е| = 2п2 + п. Отсюда получаем, что искомое число частей разбиения Р = Е — V = п2 + п.
Работа поддержана Российским научным фондом, грант № 17-11-01377. Литература
1. Фрид А.Э. Нижняя оценка на арифметическую сложность слов Штурма // Сиб. электрон. матем. изв. 2005. N 2. С. 14-22.
2. Cassaigne J., Frid А.Е. On the arithmetical complexity of Sturmian words // Theoret. Comput. Sci. 2007. N 3. P. 304-31.
References
1. Frid A.E. A lower bound for the arithmetic complexity of Sturmian words. Sib. Elektron. Mat. Izv. 2005. N 2. P. 14-22. (in Russian).
2. Cassaigne J., Frid A.E. On the arithmetical complexity of Sturmian words // Theoret. Comput. Sci. 2007. N 3. P. 304-31.
Поступила в редакцию 24-08.2021
