CC BY
17
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 22. Выпуск 1.
УДК 517 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-1-482-487
О последовательности первых двоичных цифр дробных частей
^ 1 значении многочлена
А. Я. Белов, Г. В. Кондаков, И. В. Митрофанов, М. М. Голафшан
Посвящается 70-летию академика А. Л. Семёнова
Алексей Яковлевич Канель-Белов — Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Университет Бар-Илана (г. Москва, Израиль). e-mail: kanelster@gmail.com
Григорий Вячеславович Кондаков — кандидат физико-математических наук, Московский физико-технический институт (г. Москва). e-mail: kondakov@yandex.ru
Иван Викторович Митрофанов — Высшая нормальная школа, Исследовательский университет FSL (Франция). e-mail: phortim@yandex.ru
Мехди Голафшан — Московский физико-технический институт (г. Москва). e-mail: m.golafshan@phystech.edu
Иван Андреевич Решетников — Московский физико-технический институт (г. Москва). e-mail: m.golafshan@phystech.edu
Аннотация
Пусть Р (п) - многочлен, коэффициент при старшей степени которого иррациональное число. Пусть слово w (w = (wn),n G N) состоит из последовательности первых двоичных цифр {Р(п)} т.е. wn = [2{Р(п)}]. Обозначим через Т(к) число различных подслов длины к слова w. Основной результат данной работы заключается в следующем:
Теорема. Существует многочлен Q(k), зависящий только от степени многочлена Р, такой, что при достаточно больших k выполнено равенство Т(к) = Q(k).
Ключевые слова: Комбинаторика слов, символическая динамика, унипотентное преобразование тора, лемма Вейля.
Библиография: 6 названий. Для цитирования:
А. Я. Канель-Белов, Г. В. Кондаков, И. В. Митрофанов, М. М. Голафшан, И. А. Гешетни-ков. О последовательности первых двоичных цифр дробных частей значений многочлена // Чебышевский сборник, 2021, т. 22, вып. 1, с. 482-487.
1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №17-11-01377.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 22. No. 1.
UDC 517 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-1-482-487
On the sequence of the first binary digits of the fractional parts
of the values of a polynomial
A. Ya. Belov, G. V. Kondakov, I. V. Mitrofanov, M. M. Golafshan To the 70th anniversary of academician A. L. Semyonov
Alexey Yakovlevich Kanel-Belov — M. V. Lomonosov Moscow State University, Bar-Han University (Moscow, Israel). e-mail: kanelster@gmail.com
Gregory Vyacheslavovich Kondakov — candidate of physical and mathematical sciences, Moscow Institute of Physics and Technology (Moscow). e-mail: kondakov@yandex.ru
Ivan Viktorovich Mitrofanov — Ecole Normale Superieur, PSL Research University (France). e-mail: phortim@yandex.ru
Mehdi Golafshan — Moscow Institute of Physics and Technology (Moscow). e-mail: m.golafshan@phystech.edu
Ivan Andreevich Reshetnikov — Moscow Institute of Physics and Technology (Moscow). e-mail: m.golafshan@phystech.edu
Abstract
Let P(n) be a polynomial, having an irrational coefficient of the highest degree. A word w (w = (wn),n € N) consists of a sequence of first binary numbers of {P(n)} i.e. wn = [2{P(n)}]. Denote by T(k) the number of different subwords of w of length к . We'll formulate the main result of this paper.
Theorem. There exists a polynomial Q(k), depending only on the power of the polynomial P, such that T(к) = Q(k) for sufficiently great к.
Keywords: Combinatorics on words, symbolical dynamics, unipotent torus transformation, Weiyl lemma.
Bibliography: 6 titles. For citation:
A. Ya. Kanel-Belov, G. V. Kondakov, I. V. Mitrofanov, M. M. Golafshan, 2021, "On the sequence of the first binary digits of the fractional parts of the values of a polynomial" , Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 1, pp. 482-487.
1. Введение
Многие классические задачи аналитической теории чисел связаны с изучением последовательностей дробных частей значений многочленов в целых точках. Эти последовательности играют важную роль в ряде других областей, в частности, в эргодической теории, теории сложности, теории передачи информации и [1-5].
Мы используем методы символической динамики для изучения дробных частей значений многочлена, а именно, изучаем унипотентные преобразование тора.
2. Постановка задачи
Пусть Р(п) - многочлен, коэффициент при старшей степени которого иррациональное число. Пусть слово и> (ад = (адп),п € М) состоит из последовательности первых двоичных цифр {Р(п)} т.е. адп = [2{Р(п)}]. Обозначим через Т(к) число различных подслов длины к слова ад. Основной результат данной работы заключается в следующем:
Теорема 1. Существует многочлен (^(к), зависящий только от, степени многочлена Р, такой, что при достаточно больших к выполнено равенство Т(к) = Q(к).
Нам понадобится изучить унипотентные преобразования тора. Сформулируем необходимые определения. Пусть / : М ^ М — непрерывное отображение пространства М, и пусть и С М. Начальная точка х задает последовательность точек х, /(х),..., /(п) (х),..., которой соответствует описывающее эволюцию точки х слово ад, составленное из нулей и единиц по следующему правилу: адп = 1, если /(п\х) € и и адп = 0 если /(п\х) € и.
Будем считать, что и - открытое множество, тев(ди) = 0 и М - компактное метрическое пространство с лебеговой мерой, которую отображение £ сохраняет. Началом адь слов а ад назовем последовательность х, /(х),..., /^(х), п € N.
Определение 1. Конечное слово V? называется существенной конечной эволюцией точки х*, если в любой окрестности точки х* существует открытое множество V, для любой точки х € V которого выполнено равенство уь(х) = V?. Бесконечное слово ад называется существенной эволюцией точки х*, если любое его начальное подслово - существенная конечная эволюция точки х*.
Под эволюцией точки, когда это не вызывет недоразумений, будем понимать, существенную эволюцию. Отметим, что точка может иметь несколько существенных эволюций. Пусть V .......... конечное слово. Тогда множество точек с конечной существенной эволюцией V замкнуто.
Аналогичное утверждение верно для бесконечного слова ад.
Понятие м,орфизм,а, эпиморфизма, мономорфизма и изоморфизма динамик вводится обычным образом. Фактор-динамика естественным образом определяется на фактор-топологии тогда и только тогда, когда / переставляет классы эквивалентности. Отметим, что прообразы точек при морфизмах замкнуты. Множество V называется несводимым, если его замыкание является прообразом замкнутого множества только при мономорфизме.
Лемма 1. Пусть и - несводимое множество, тогда разные точки имеют разную эволюцию и для любого е > 0 существует N(е), что любые слова длины, N(е), соответствующее начальным, точкам на, расстоянии большем е, различны.
Определение 2. Замкнутое множество N называется квазиинвариантным, если для любых двух точек А и В и сходящейся последовательности /(п1\А) ^ С (С € Ж, щ ^ гх>) люба,я, предельная, точка, последовательности {/(п1\В)} лежит в N.
Легко проверить, что каждое замкнутое инвариантное множество является квазиинвариантным; каждой фактор-динамике соответствует разбиения на квазиинвариантные множества и обратно; образ квазинвариантного множества квазиинвариантен; множество точек с данной существенной эволюцией образует квазиинвариантное множество.
Определение 3. {А — В)-облаком с центром, в точке А, порожденным, точкой В, назовем, множество условных предельных точек /(В), при условии /(п1 )(А) ^ А.
Отметим, что (А — В)-облако замкнуто. Образ (А — В)-облака при к-ой итерации есть (/^(А) — /(к\В))-облако. Обозначим (А — В)-облако через Ь&, через обозначим замыкание объединения всевозможных (А^ — В^) - облаков, для которых А^, В^ € Ь^. Положим
Lab = U Lí- Факторизация, порожденная множеством Lab ~ это самая слабая факторизация из тех, которые склеивают точки А и В.
Пусть Р (п) - многочлен степени т + 1, старший коэффициент ат+\ которого - иррациональное число. Определим последовательность многочленов {Р^(п)} к = 0,...,т: Рт(п) = Р(п), Pm-i(n) = Рт(п + 1) - Рт(п), . . ., Pí-l(n) = Рг(п + 1) - Pí(n), . . .. Из ЭТИХ формул следует, что Р0(п) = п\ат+1 — ирациональное число. Положим е = Р0(п), хг(п) = {Рг(п)} и xí(n) = Хг(п + 1), и перепишем приведенные выше уравнения в следующую систему
хт — Хт + Хт— 1 modi xm-l = Хт—1 + %т—2 mod1 ^^
х'1 = х1 + е mod1,
При этом условие [2{Р(та)}] = 0 переходит в условие 0 ^ хт(п) < 1/2. Вектор (х1,..., х'т) связан с вектором (х1, ■■■ ,хт) унипотентным преобразованием (преобразованием, соответствующем линейному преобразованию с единичными собственными числами). Пусть F : х ^ х'. Образы гиперплоскостей хт = 0 и хт = 1/2 при отображениях
разбивают пространство на многогранники. Точкам одного и того же многогранника соответствуют одинаковые слова длины к.
Теорема 2. Пусть w и v - две различные эволюции точки х0 <Е Т. Тогда p(w,v) = 0; где
, Л T!j=1 {w j + V j )mod2 p(w,v) = iim -;-.
Если x и x* различны и имеют разную эволюцию, то плотность рассогласования p(wx,wx*) определена и положительна.
Теорема 3. Пусть Т - m-мерный тор. Тогда, существует плоская область U с аналитической границей и начальная точка х*, имеющая бесконечно много попарно различных эволюций, которые попарно различаются в бесконечном числе позиций.
Пусть точки A (xi, ■ ■ ■ , Хт) и В (xi + Дж1, ■ ■ ■ , хт + Ахт) имеют одинаковую эволюцию. Тогда выполнены следующие утверждения:
Утверждение 1. Пусть I, е, Axí линейно независимы над Q. Тогда, (А — В)-облако содержит все точки, у которых первые i — 1 координаты, совпадают с координатам,и точки В.
Утверждение 2. Пусть Axí - иррациональное число. Тогда для любого ¿(0 ^ ö ^ 1) существует точка B¿, эволюция которой совпадает с эволюцией, точек А и В, г-ая координата, которой отличается от, i-ой координаты точки А ровно на, 5.
Случай, когда все Axj - рациональные приводит к фактор-динамике, при которой г-ая "сторона тора отвечающая оси OXi, делится на Mi = Пmj частей, где mj - произвольные натуральные числа и точки тора х = х* отождествляются при выполнении для всех 1 ^ j ^ т равенств: MjXj = Mjх*.
Следствие 1. Класс замкнутых сводимых множеств состоит из множеств, которые переходят сам,и в себя, при сдвигах на, 1/Mi вдол,ь i-ой координат,ы, или при любых сдвигах вдоль координат, с номером большем какого-то фиксированного. Множество 0 ^ хт < 1/2 -несводимо.
Утверждение 3. Рассмотрим динамику т,ора,, задаваемую системой (1) и пусть множество U, задаваемое уеловием 0 ^ хт ^ 1/2, несводимо. Тогда, существует такое к, что точки с одинаковой, конечной, эволюцией, длины, к разбивают тор на, замкнутые выпуклые многогранники, причем разным, многогранникам соответствуют различные эволюции.
3. Результаты
Доказательство теоремы 1. Множество и несводимо, поэтому в силу леммы 1 существует такое N(§'), что N(У)-эволюция точек, находящихся на расстоянии большем 5', различна. Очевидно, что Ж-эволюция всех внутренних точек многогранника, полученного после N-06 итерации совпадает. Назовем ее эволюцией многогранника. При дальнейшем разбиении многограника, диаметр которого меньше 5', не могут образовываться многогранники с одинаковой эволюцией (в противном случае один из многогранников разбиения пересекается двумя "соседними" плоскостями з-ой системы (в > N(5')) и соображения обращения времени позволяют найти две точки, принадлежащие одному многограннику, на расстоянии й{й> 1/2 >5'). Многогранники разбиения, имеющие общую границу, имеют различную эволюцию, а для многогранников разбиения, не имеющих общих точек, существует §*, меньшее всевозможных попарных расстояний между ними. Положив К = шах(Ж(§'), N(5*)), получим число итераций, начиная с которого выполнено равенство между числом областей и числом под слов длины к. Из иррациональности е следует, что через точки пересечения плоскостей проходит ровно т плоскостей. Многогранники разбиения и точки пересечения областей находятся во взаимнооднозначном соответствии. Число точек пересечения гиперплоскостей Q(k), а, следовательно, и число подслов Т(к) (к ^ К) длины к, вычисляется по формуле:
Q(k) = ^
0^к1<...<кт^к
1 (Y)
™m ] v m )
1 (Y)
m(m + 1) ,deg Q{k) =-^-•
17''' \т)
В зависимости от Р равенство Т(к) = Q(k) может начинать выполняться со сколь угодно большого номера к.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. И.М. Виноградов. К вопросу о распределении дробных частей многочлена. Изв. АН., сер. матем. 1961, т.25 с.749-754
2. Л. Кейперс, Г. Ниддеррейтер Равномерное распределение последовательностей. М.:Наука, 1985.
3. Л.Д. Пустыльников Распределение дробных частей значений многочлена. УМН, 1993 т.48, выпуск 4 (292), с 131 - 166.
4. R.N. Izmailov and A.A. Vladimirov. Dimension of aliasing structures. An International Journal of Systems. Applications in Computer Graphics., 1993, Vol 17, No 5.
5. M. Morse and G.A. Hedlund. Symbolic dynamics II: Sturmian trajectories. Amer. J. Math., 62:1-42, 1940.
6. H. Wevl. Uber der gleichverteilung von zahlen mod. 1. Math. Ann., 77:313-352, 1916.
REFERENCES
1. И.М. Виноградов. К вопросу о распределении дробных частей многочлена. Изв. АН., сер. матем. 1961, т.25 с.749-754
2. Л. Кейперс, Г. Ниддеррейтер Равномерное распределение последовательностей. М.:Наука, 1985.
3. Л.Д. Пустыльников Распределение дробных частей значений многочлена. УМН, 1993 т.48, выпуск 4 (292), с 131 - 166.
4. R.N. Izmailov and A.A. Vladimirov. Dimension of aliasing structures. An International Journal of Systems. Applications in Computer Graphics., 1993, Vol 17, No 5.
5. M. Morse and G.A. Hedlund. Symbolic dynamics II: Sturmian trajectories. Amer. J. Math., 62:1-42, 1940.
6. H. Wevl. Uber der gleichverteilung von zahlen mod. 1. Math. Ann., 77:313-352, 1916.
Получено 21.11.2020 г. Принято в печать 21.02.2021 г.
