КОМБИНАТОРИКА СЛОВ, ФАКТОРДИНАМИКА И НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 22. Выпуск 2.

УДК 519.766 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-2-202-235

Комбинаторика слов, фактординамика и нормальные формы

И. А. Решетников

Решетников Иван Андреевич — аспирант, Московский физико-технический институт (г. Москва).

e-mail: reshetnikov.ivan@phystech.edu

Аннотация

Методы символической динамики играют существенную роль в изучении комбинаторных свойств слов, задачах теории чисел и теории динамических систем. Работа посвящена задачам комбинаторике слов, её приложениям в алебре и динамических системах. В разделе 2.1 рассматривается одномерный случай на ключевом примере слов Штурма. Даётся доказательство критерия подстановочности палиндромов Штурма с помощью индукции Рози, рассматривается случай одномерной фактординамики. В разделе 2.2 рассматривается сдвиг тора и фрактал Рози, порождающий слово Трибоначчи. Рассказывается связь периодичности схем Рози и подстановочности слова, порождённого этой системой. Приводится реализация слова Трибоначчи через перекладывание отрезков. Намечается подход к гипотезе Пизо. В разделе 2.3 говорится об унипотентных преобразованиях тора и бильярдах в многоугольниках.

В главе 3 рассказывается о нормальных формах и росте групп и алгебр. Глава 4 посвящена графам Рози, базисам Гребнера и ко-росту, а также алгебраическим применениям. В разделе 4.1 говорится о результатах в комбинаторике полилинейных слов, разитой В. Н. Латышевым и поставленных им проблемах. В параграфе 4.2 говорится о конечно опредлённых объектах и проблемах контроля над определяющими их соотношениями. В разделе 4.3 описываются некоторые мономиальные алгебры в терминах равномерно рекуррентных слов.

Глава 5 посвящена проблеме о высоте и нормальным формам.

Ключевые слова: комбинаторика слов, слова Штурма, фактординамика, фракталы Рози, перекладывания отрезков, символическая динамика, теорема Ширшова о высоте, почти периодическая последовательность, теорема о высоте, непериодические мозаики, DOLL-системы, теоремы типа теоремы Вершика-Лившица, схемы Рози,определимость в структурах, базис Гребнера-Ширшова, n-разбиваемость, теоремы Дилуорса, проблемы бернсай-довского типа

Библиография: 143 названия. Для цитирования:

И. А. Решетников. Комбинаторика слов, фактординамика и нормальные формы // Чебы-шевский сборник, 2021, т. 22, вып. 2, с. 202-235.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 22. No. 2.

UDC 519.766 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-2-202-235

Combinatorics on words, facrordynamics and normal forms

I. A. Reshetnikov

Reshetnikov Ivan Andreevich — graduate student, Moscow Institute of Physics and Technology (Moscow).

e-mail: reshetnikov.ivan@phystech.edu

Abstract

Methods of symbolic dynamics play an essential role in the study of combinatorial properties of words, problems in number theory and the theory of dynamical systems. The paper is devoted to the problems of combinatorics on words, its applications in algebra and dynamical systems. Section 2.1 considers the one-dimensional case using the key example of Sturm's words. The proof of the criterion for substitutionality of Sturm palindromes using the Rauzy induction is given, the case of one-dimensional facordynamics is considered. Section 2.2 discusses the shift of the torus and the Rauzy fractal that generates the word Tribonacci. The relationship between the periodicity of Rauzy's schemes and the substitutionality of the word generated by this system is discussed. The implementation of the word Tribonacci through the rearrangement of line segments is given. An approach to the Pisot hypothesis is outlined. Section 2.3 talks about unipotent torus transformations and billiards in polygons.

Chapter 3 talks about normal forms and the growth of groups and algebras. Chapter 4 is devoted to Rosie graphs, Grobner bases and co-growth, and algebraic applications. Section 4.1 discusses the results in the combinatorics of multilinear words developed by V. N. Latyshev and the problems he posed. Section 4.2 talks about finitely defined objects and the problems of controlling the relationships that define them. Section 4.3 describes some monomial algebras in terms of uniformly recurrent words.

Chapter 5 deals with the problem of height and normal forms.

Keywords: combinatorics of words, Sturm words, factordynamics, Rauzy fractals, interval exchangings, symbolic dynamics, Shirshov's height theorem, almost periodic sequence, height theorem, non-periodic mosaics, DOLL-systems, Vershik-Livshitz type theorems, Rauzy schemes, definability in structures , the Grobner-Shirshov basi, n-splitability, Dilworth's theorems, Burnside type problems

Bibliography: 143 titles. For citation:

I. A. Reshetnikov, 2021, "Combinatorics on words, facrordynamics and normal forms", Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 2, pp. 202-235.

Введение

Комбинаторика слов находит свое применение в самых разных разделах математики. Например, в алгебре при изучении базисов и нормальных форм, в алгебраической топологии, в символической динамике. Ряд проблем, относящихся к комбинаторике слов находится на стыке алгебры и теории динамических систем. Многие проблемы комбинаторики слов представляют самостоятельный интерес.

Комбинаторика слов и символическая динамика

Методы символической динамики играют существенную роль в изучении комбинаторных свойств слов, задачах теории чисел и теории динамических систем. Пусть М — компактное метрическое пространство, и С М — его открытое подмножество, / : М ^ М — гомеоморфизм компакта в себя и х € М — начальная точка. По последовательности итераций можно построить бесконечное слово ад над бинарным алфавитом А — {а, Ь}:

,„ = , а, /(п) Ы € и

Шп —

Г а,

I ь,

/(п)(ха) € и,

которое называется эволюцией точки жо. Символическая динамика исследует взаимосвязь свойств динамической системы (М, /) и комбинаторных свойств слова Для слов над алфавитом, состоящим из большего числа символов, нужно рассмотреть несколько характеристических множеств: и\,... ,ип.

Для того, чтобы легко разобраться со случаем, когда Хо лежит на границе множества и введём понятие существенной эволюции точки х0. Конечное слово V называется конечной существенной эволюцией точки, если в любой окрестности точки х0 найдётся открытое множество, все точки которого имеют конечную эволюцию V. Бесконечное слово и> называется существенной эволюцией точки ж0, если любое его начальное подслово — существенная конечная эволюция точки жо.

Под прямой .задачей символической динамики понимается изучение комбинаторных свойств слов, порожденных данной динамической системой, обратная .задача символической динамики изучает свойства динамической системы, то есть свойства компакта М и преобразования / по комбинаторным свойствам слова ад.

Известно, что если слово ад равномерно-рекуррентно, то полученная динамическая система минимальна, то есть не содержит нетривиальных замкнутых инвариантных траекторий. Свойство единственности инвариантной меры переводится на комбинаторный язык так. Пусть и есть подслово равномерно рекуррентного сверхслова ад. Предположим, что для любого под-слова и бесконечного слова ад верхняя и нижняя плотности, с которыми оно встречается в слове ад совпадают. Тогда соответствующая инвариантная мера единственная.

Можно сформулировать комбинаторные условия на то, что динамическая система является сдвигом тора, в терминах функции рассогласования. (В частности, это означает, что у нее дискретный спектр). Определим функцию рассогласования р(и, V) как верхнюю плотность множества позиций в словах и,У в которых стоят разные символы.

Одномерный случай Последовательности ^Штурма

В этом разделе речь идёт о словах над двухсимвольным алфавитом.

Определение 1. Односторонне бесконечное слово (бесконечное слово) над алфавитом А — это отображение N ^ А.

Определение 2. Двусторонне-бесконечное слово ад — это отображение ^ ^ А, где А — алфавит слова ад. Будем обозначать ад(п) через адп.

Определение 3. Слово ад над алфавитом А называется сбалансированным, если для любого натурального п и любого а € А количество символов а в любых двух его подсловах длины п отличается не больше, чем на 1.

Если для какого-нибудь п во всех словах длины п фиксированное число символов а, то слово очевидным образом получается периодическим.

Определение 4. Обозначим через Tn(w) функцию сложности слова w - количество подслое в слове w. Бесконечное слово w называется словом Штурма (Sturmian word), если для любого натурального п > 1 выполнено равенство Тп(w) = п + 1.

Слова Штурма имеют богатую комбинаторику. Даже для двухбуквенного алфавита мощность множества слов Штурма над алфавитом А несчётна.

Если для слова w для какого-то п Tn(w) = Tn+\(w), то подслово длины п однозначно определяет следующий за ним символ. Всего подслов длины п конечное число. Докажем, что слово w периодическое. Рассмотрим n-ный граф Рози RGn для слова w. RGn = (V,E), V — множество подслов длины п в слове w, две вершины ы и V2 соединены ребром, если слово, получающееся приписыванием некоторой буквы к слову v\ оканчивается на слово г>2. Исходящая степень каждой вершины не меньше 1. Если Tn(w) = Tn+\(w), то исходящая степень каждой вершины в точности равна 1, поэтому в графе найдётся цикл, из которого не выходит ребёр, значит, слово w циклично: если мы попали на подслово из цикла, то из цикла мы уже не выйдем. Это доказательство приведено для того, чтобы показать, как естественным образом возникают графы Рози в связи со словами Штурма.

Пусть есть символическая динамика (М, Ra, xq, U), где М — окружность, U — дуга угловой меры а, (а иррациональное), Ra — поворот на а относительно центра окружности (угловую меру всей окружности считаем единицей) — функция эволющии, xq — начальная точка — начало дуги а. Динамическая система (М, Ra) порождает некоторое бесконечное слово w, эволюцию точки xq. Такие слова называются механическими.

Теперь мы можем сформулировать теорему об эквивалентности ([129] ,[125]) следующим образом

Теорема 1. Эквивалентны следующие условия для слова w

1. Слово w является словом Штурма;

2. Слово w сбалансировано и непериодично.

3. Слово w пораждается символической динамикой (М, Ra,x0,U), где угол поворота и дуги U а иррационален.

4. Слово w получается путем предельного перехода последовательности слов, каждое из которых получается из предыдущего путем подстановки вида akb ^ Ь, ак+1Ъ ^ а либо подстановки вида bkа ^ a,bk+la ^ Ь. Показатель к зависит от шага.

5. Бесконечное слово w равномерно рекуррентно и имеет последовательность графов Рози с одной входящей и одной исходящей развилкой.

Эта теорема связвает комбинаторные свойства слова w и геометрические свойства динамики (M,Ra,xo,U), что позволяет искать геометрические подходы к решению комбинаторных задач. Ярким примером геометрического подхода является метод индукции Рози.

При изложении результата про подстановочность некоторых палиндромов нам понадобятся несколько определений.

Определение 5. Двусторонне-бесконечное слово w называется палиндромом, если Уп <Е Z : wn = w-n (палиндром, симметричный относительно буквы) или Уп <Е Z : wn = wi-n (палиндром, симметричный относительно междубуквия).

Определение 6. Правосторонне-бесконечное слово w над алфавитом А называется чисто подстановочным, если оно представляется в виде w = ф^(а), где а <Е А — буква, а ф — подстановка, такая, что ф(а) = aU, где U <Е А*, непустое.

Определение 7. Слово ад называется подстановочным, если получается из чисто подстановочного слова ад' подстановкой Ъ применённой к слову ад': ад — Ъ(ад').

Таким образом, в теореме 1 если последовательность подстановок периодична, то обозначив период за новую подстановку, получаем, что полученное слово ад подстановочно.

Тогда ф(ф(а)) — аЦ~ф(и), ф(ф(ф(а))) — аЦ~ф((иф(и)) и т.д. Предельным переходом получаем ад — ф^(а).

Понятия подстановочности и чистой подстановочности слов, бесконечных в обе стороны вводятся аналогично с той лишь разницей, что для двусторонне бесконечного подстановочного слова подстановка должна обладать свойством ф(а) — 11а и ф(Ъ) — ЪШ. Тогда двусторонне-бесконечное слово ад будет конкатенацией левосторонне-бесконечного подстановочного слова (позиции от —те до 0 включительно)и правосторонне-бесконечного подстановочного слова (позиции большие нуля) и будет представимо в виде ад — ф^(а1Ь).

Индукция Рози

Метод индукции Рози [133] позволяет перейти от изучения некоторых механических слов к изучению цепных дробей. Его можно сформулировать следующим образом.

Пусть есть символическая динамика (М, Ка, хо, и), где М — окружность, и — дуга угловой меры а, (а иррациональное), Ка — поворот на а относительно центра окружности (угловую меру всей окружности считаем единицей) — функция эволющии, хо — начальная точка — начало дуги а. Динамическая система (М, Ка) порождает некоторое бесконечное слово ад, эволюцию точки Хо.

Требование иррациональности числа а продиктовано периодичностью сдвигов на рациональный угол, этот тривиальный случай мы оставляем на разбор читателю.

Метод индукции Рози состоит в следующем. Мы преобразуем символическую динамику (М, Ка,хо, и) в символическую динамику (М, Ка,хо, и) по следующим правилам.

1. Если а < 1, то в слове ад после а всегда следует Ь. Поэтому слово ад получается из слова ад заменой

а ^ аЬ Ь ^ Ь.

Возьмём М — окружность длины 1 — а. Более наглядно, мы вырезаем из окружности М дугу длины а (следующую за выделенной дугой и). Тогда слово ад будет порождаться символической динамикой (М, Ка — Ка, хо — хо, и — и).

2. Если же а > 1, то заменим а на Ь и наоборот. Для этого надо положить й — М\и.

Можно заметить, что описанный алгоритм аналогичен алгоритму разложения а в цепную дробь. Таким образом, если а — квадратичная иррациональность (её цепная дробь периодична), то в какой-то мы получим символическую динамику, эквивалентную уже встречавшейся, а значит можем записать подстановку, с помощью которой можно вырастить слово ад. Обозначим за (р композицию подстановок, образующих период, а за ф комозицию подстановок, образующих предпериод. Слово ад представимо в виде ад — ф о р^(а), то есть подстановочно. Если же предпериод отсутствует, то слово ад чисто подстановочно.

Если же а — не квадратичная иррациональность, то процесс не зациклится, но в любом случае можно будет изучать свойства цепной дроби а и соотносить их со свойствами слова ад.

Одномерная динамика и подстановочность

Пусть есть динамическая система (М, Яа,хо, и). Фактординамика получается отождеств-

тп

лением точек различающиеся на —, где п фиксировано, а т € N. Такая обобщённая точка

п

будет правильным п-угольником. Тогда попаданий в выделенную дугу может быть либо

к =

а

1/п

= [па],

либо на 1 больше для каждой обобщённой точки. Будем писать а, если их к + 1 и Ь иначе. Обозначим эту фактординамику через

(М/п,Яа,х0 ,и/п).

Теорема 2. Если слово ю, порождённое символической динамикой (М, Яа, х0, и) подстановочное, то и слово и)', порождённое символической фактординамикой (М/п, Яа,х0,и/п) тоже подстановочное.

Заметим, что множество, получающееся факторизацией окружности по данному отношению эквивалентности, изоморфно окружности ш длины —. При этом точки, при попадании

п

на которые мы пишем а (множество и') образуют дугу а' длины

, [па] к

а = а--= а--.

п п

Поворот на угол а на окружности М отвечает повороту на угол па на окружности ш. Увили-чив длину окружности ш и длину дуги а' вп раз (сделав гомотетию) получим, соответственно, символическую динамику (М, Япа,хо,и'). Угол па отличается от угла а' несколькими оборотами вокруг окружности, поэтому поворот на угол па совпадает с поворотом на угол а'. Таким образом мы получили стандартную символическую динамику поворотов окружности единичной длины на угол а'. Благодаря методу индукции Рози мы знаем, что слово является подстановочным тогда и только тогда, когда а — квадратичная иррациональность. Если слово и> подстановочное, то а — квадратичная иррациональность, а значит, и а' — квадратичная иррациональность, поэтому слово т1 также будет подстановочным.

Критерий подстановочности палиндромных слов ^Штурма

Всего есть три двусторонне бесконечных палиндрома, являющихся механическими словами параметра а. Это слова, отвечающие серединам дуг и слово, получающееся из точки, которая первым поворотом переходит в точку, симметричную ей относительно оси симметрии динамической системы. Палиндромы, получающиеся из середин дуг симметричны относительно своей буквы, а третий палиндром симметричен относительно междубуквия.

Аналог индукции Рози для палиндромов

В этом разделе мы докажем следующий критерий подстановочности палиндромов Штурма. Во всём разделе полагаем алфавит А = {0,1}.

Теорема 3. Символическая динамика (М,Яа,хт,и),гдехт — середина дуги и длинна на окружности М длины 1 порождает подстановочный двусторонне-бесконечный палиндром р тогда и только тогда, когда а — квадратичная иррациональность

Так как наше преобразование окружности обратимо, то можно говорить и о двусторонне-бесконечных словах, порождаемых символической динамикой. В частности, о словах-палиндромах. Доказательство будет основано на сходстве некоторого алгоритма с индукцией Рози.

Доказательство. В одну сторону: если слово р является подстановочным, то а — квадратичная иррациональность. а - доля числа единиц. Пусть подстановка ф порождает слово р. Пусть при действии порождающей подстановки ф 0 переходит в слово с а нулями и Ь единицами, а 1 переходит в слово с с нулями и й единицами. Тогда, так как р — неподвижная точка подстановки ф, получаем квадратичное относительно а уравнение

Ь(1 — а) + йа

а

(а + Ь)(1 — а) + (с + й)ау

значит, а — квадратичная иррациональность.

В другую сторону, если а — квадратичная иррациональность, то р подстановочно. Пусть есть бесконечное слово Штурма р — палиндром над алфавитом {0,1}. Пусть в нём доля единиц равна а. Если нулей меньше, чем единиц, то сделаем подстановку Е : 0 о 1. Остаётся

расписать действия алгоритма при а < —. Так как р является словом Штурма и а < — в нём не могут встретиться две единицы подряд. Возможны несколько случаев.

1. Слово р симметрично относительно 1. Будем относить эту 1 к левой половине слова р. Так как в слове р нулей больше, чем единиц, то перед каждой единицей идёт ноль. Значит, слово р получается подстановкой (обозначение согласовано с [126])

Г .1 ^ 01

из некоторого слова р'. Причём подстановка подобрана так, что левая и правая части слова р получаются из левой и правой части слова р'. Так как количество нулей в каждой группе нулей уменьшилось на 1, а больше ничего не произошло, то слово р' также является палиндромом, симметричным относительно 1.

2. Слово р симметрично относительно 0. Будем относить этот 0 к левой половине слова р. Так как в слове р нулей больше, чем единиц, то после каждой единицы идёт ноль. Значит, слово р получается подстановкой

'1 ^ 10

:

с- ' 0 ^ 0

из некоторого слова р'. Левая и правая части слова р получаются соответсвенно из левой и правой частей слова р'. Количество нулей в каждой группе нулей уменьшилось на 1, поэтому слово р' также является палиндромом, но на этот раз симметричным относительно междубуквия.

3. Слово р симметрично относительно междубуквия. Тогда буквы адо и ад\ должны быть нулями. Тогда слово р получается подстановкой С из некоторого слова р', при этом слово р' симметрично относительно нуля.

В нашем случае а — квадратичная иррациональность. При действии приведённого алгоритма а претерпевает такие же изменения, как и в индукции Рози, а значит, так как а — квадратичная иррациональность, то доля единиц а начиная с некоторого момента будет изменяться периодически. Для каждого а возможны лишь три варианта симметричности, три различных палиндрома. Поэтому возможно лишь конечное число пар (а,]), где ] — номер варианта симметричности. Для каждой пары однозначно определён переход согласно алгоритму к некоторой другой паре. Поэтому процесс и в общем также цикличен. Из цикличности процесса следует, что палиндром р подстановочен: как и в разделе 9. □

Чистая подстановочность двусторонне-бесконечного палиндрома Фибоначчи-ШШтурма

Если мы предъявим подстановку ф, оставляющую на месте слово ад, такую, что ф(а) = иа и ф(Ь) = ЬШ для каких-то непустых слов и и Ш, тогда двусторонне-бесконечное слово ад будет являться чисто подстановочным.

Теорема 4. Подстановка ф : 0 ^ 00101,1 ^ 001 оставляет на месте палиндром ад и обладает свойством ф(а) = и а и ф(Ь) = ЬШ, значит двусторонне-бесконечный палиндром ад , симметричный относительно 1 для а = ф (здесь ф — золотое сечение) растится этой подстановкой, т.е. ад = фте(1|0).

Доказательство. Данная подстановка ф получается композицией двух подстановок ф = = ф2 ° Ф\, где ф\ : 0 ^ 01,1 ^ 1 и ф2 : 0 ^ 001,1 ^ 01, каждая из которых сохраняет отношение количества нулей и единиц в слове, в котором отношение нулей и единиц такое же, как в слове фибоначчи. При этом обе эти подстановки сохраняют свойство палиндромности. Первая подстановка увеличивает количество нулей в каждой группе нулей на 1, а значит сохраняет палиндромность. Вторая порождает группы нулей, симметричные относительно точки симметрии слова. ф\ слово, симметричное относительно 1, переводит в слово, симметричное относительно междубуквия, а слово, симметричное относительно междубуквия, переводит в слово, симметричное относительно 1. Так как такое сбалансированное слово только одно для данного отношения количеств нулей и единиц, то ф, переводящая слово, симметричное относительно 1 в слово, симметричное относительно 1, при этом оставляя неизменным отношение количеств 0 и 1, оставляет слово ад без изменений. □

Фракталы Рози

Напомним критерий того, что равномерно рекуррентное слово получается из сдвига тора. Итак, пусть Ш сверхслово, полученное сдвигом тора, Т есть оператор сдвига. Тогда функции рассогласования между сдвигами Ш удовлетворяют следующим свойствам.

1. Существует последовательность {щ}с=1 такая, что р(Т ),Ш) 0.

2. Существуют сколь угодно большие пары взаимно простых чисел (пг,п^); ^ те из этой последовательности.

При этом интересно и важно исследовать такие слова, которые кроме того являются мор-фическими. Назовем соответствующую ^¿¿-систему йо11-системой евклидова типа. В случае одномерного тора, по всей видимости, мы получим теорию слов Штурма. Типичным примером является слово Фибоначчи. Рассмотрим подстановку ф : 0 ^ 001,1 ^ 01. Слово Фибоначчи получается из символа 0 как ф^(0). Оно является словом Штурма. Слово трибоначчи т^(0) = 01020100102010 получается с помощью подстановки т(0) = 01, т(1) = 02, т(2) = 0.

В работе [130] О.Иашу показал, что ему отвечает вращение 2-мерного тора Т2, разбитого на три фрактальные области, именуемыми фракталами Рози отвечающие символам 0,1, 2. Теория фракталов Рози обобщается для так называемых подстановок Пизо.

Теория фракталов Рози дает другие образцы для исследования и обобщений, помимо теории последовательностей Штурма. В этой ситуации имеется очень красивое соответствие между арифметикой, теорией динамических систем и комбинаторики. Подробности см. [127].

Было бы интересно исследовать каким точкам фракталам Рози отвечают какие сверхслова, в частности какие НБОЬ-системы.

Фракталы Рози и перекладывания отрезков

Рассмотрение общего случая слов у которых графы Рози имеют большее число развилок (но все же их число конечно), т.е. слов с линейной функцией сложности приводит к изучению слов, порождаемых перекладыванием отрезков. Известно, что если перекладывание к отрезков регулярно, то есть траектория любого из концов отрезка перекладывания не попадает на конец другого отрезка, то слово, порождаемое данным перекладыванием, имеет функцию сложности Т(п) — п(к — 1) + 1.

Перекладывания отрезков т.е. кусочно непрерывные преобразования одномерного комплекса естественным образом служат обобщением вращения. Эти преобразования были введены Оселедецом [45], следовавшим идее В. И. Арнольда [6], (см. также [30]). Рози [133] впервые показал, что связь между вращениями круга и последовательностями Штурма обобщается если рассматривать перекладывания отрезков. В связи с этим (в той же работе) он задал вопрос описания последовательностей, связанных с перекладываниями отрезков.

Такие последовательности являются еще одним естественным обобщением слов Штурма. В частном случае, для к — 3 отрезков, описание таких последовательностей было получено в работе [113], а работе [115] были изучены частные случаи последовательностей, порождаемых перекладыванием 4-х отрезков. Стоит также отметить работы [64, 65, 66]. В случае произвольного числа отрезков также получен ряд интересных результатов. В работе [114] получен комбинаторный критерий на порождаемость слов, получаемых симметричным перекладыванием отрезков, то есть перекладыванием, связанным с перестановкой (1 ^ к, 2 ^ к — 1,... ,к ^ 1).

Комбинаторный критерий (для общего случая, не обязательно являющегося регулярным) того, что данное сверхслово является перекладыванием отрезков в терминах размеченных графов Рози описано в работе [99]. В этой работе показано следующее:

Теорема 5. Равномерно-рекуррентное слово Ш порождается перекладыванием отрезков, тогда и только тогда, когда слово обеспечивается асимптотически правильной эволюцией размеченных графов Рози и Порождается перекладыванием отрезков с сохранением ориентации тогда и только тогда, когда слово обеспечивается асимптотически правильной ориентированной эволюцией размеченных графов Рози.

В работе [116] был независимо получен другой критерий порождаемости слов преобразованием перекладывания отрезков, для важного частного случая: при дополнительном условии: траектория каждой концевой точки отрезка перекладывания не попадает на концевую отрезка перекладывания, в том числе сама на себя. В этом случае, как не сложно видеть, слова будут иметь функцию сложности Т(п) — (к — 1)п + 1.

Отметим, что задача о перекладывании отрезков возникает при изучении бильярда в многоугольнике, все углы которого суть рациональные кратные ж. В этом случае множество направлений звеньев бильярдной траектории конечно и можно рассмотреть положения на сторонах многоугольника. Множества пар (точка на стороне, направление) задает систему отрезков, а переход к следующему такому состоянию - кусочно линейное их отображение. Инвариантная мера задает длину этих отрезков, так что получается перекладывание.

В связи с теоремой 5 возникают вопросы. Прежде всего, верно ли, что если слово получается из перекладывания отрезков и оно рекуррентно, то оно равномерно рекуррентно? Верно ли, что число типов слов возникающих из заданного перекладывания отрезков конечно? Т.е. верно ли что число существенно различных эволюций конечно?

Теория слов Штурма должна хорошо соотноситься с проблемами перекладывания отрезков. Некоторые факты переносятся, но есть и различия. Например, спектр уже не обязательно оказывается дискретным. В.РегепС поставил задачу получения прямого комбинаторного доказательства того, что если длины отрезков имеют общее положение (с точностью до меры

нуль), и перекладывание не сводится к перекладыванию меньшего числа отрезков, то спектр не имеет дискретной компоненты.

Обратимся к условию (5) на последовательности Штурма. Случайному переключению развилок в графе Рози отвечает Гауссова мера на отрезке [0,1] инвариантная относительно преобразования х ^ {х-1}. Теорема 5 дает возможность аналогичным образом вводить меру на множестве перекладываний отрезков. Она должна соотноситься с системой представителей Тейхмюллера.

Далее. Теорию цепных дробей можно переносить на теорию перекладываниий отрезков, в частности находить в терминах индукции Рози, моменты наилучшего приближения к данной точке.

Хотелось бы найти или доказать утверждение, что сдвиг окружности, управляемый д,о11-системой, связан с квадратичной иррациональностью. Существуют примеры йой-систем, связанной с перекладыванием отрезков и управляемых высшей иррациональностью. Эти примеры следует изучить (см. раздел 9).

Они приводят к исследовании фракталов в бильярдах с рациональными углами. Отметим, что внешний бильярд двойственен внутреннему и что компьютерные эксперименты обнаруживают фрактальную картину для случая правильного п-угольника. Ситуация однако, исследована при п — 3, 4, 6 (тривиальный случай), п — 5, 8,10.

Схемы Рози и ^П-системы

Графы Рози представляются комбинаторным языком, наиболее приспособленным для задания динамических систем. Другим комбинаторным языком является язык подстановок. Подстановочные динамические системы интенсивно исследовались рядом авторов. В этой связи следует обратиться к характеризации слов Штурма через свойство (4). Что можно сказать про динамические системы для произвольной системы подстановок? В частности, нас интересует случай периодичности системы подстановок. Для поворота окружности периодичность может наблюдаться только для случая ранга 2, т.е. для подстановок собственные значения соответствующей матрицы которых есть квадратичная иррациональность. Для перекладывания отрезков в общем случае возможно появление высших иррациональностей.

В этой связи важно уметь переводить свойство периодичности на язык графов Рози. Эту возможность предоставляет следующая теорема:

Теорема 6 ([81]). Равномерно рекуррентное слово является образом инвариантного слова относительно некоторой подстановки при некотором морфизме тогда и только тогда, когда у него есть периодическая схема Рози.

Из этой теоремы вытекает теорема Вершика-Лившица о периодичности диаграмм Брател-ли для марковских компактов, порожденных подстановочными системами [140, 141].

Доказательство теоремы Вершика-Лившица основано на явной конструкции. Доказательство теоремы 6 сложнее и явная конструкция нам не известна. Оно использует тонкие резуль-татаы Ж.Кассиня.

Теорема 6 вместе с техникой доказательства позволила решить проблемы об алгоритмической разрешимости проверки периодичности а также равномерной рекуррентности для НИОЬ-систем. Проблема периодичности була поставлена в 1980 году и была независимо решена И.Митрофановым и Ф.Дюрандом [78, 79, 42, 41]

Слово Трибоначчи

Слова Штурма соответсвуют вращениям одномерного тора. Тесно связанными со словами Штурма оказываются подстановочные слова в трёхбуквенном алфавите. Простейший и очень важный пример — слово Трибоначчи, получающееся подстановкой

1 ^ 12 т : < 2 ^ 13 3 ^ 1.

Определение 8. Бесконечное слово тте(0), получающееся бесконечным применением подстановки т называется словом Трибоначчи.

В работе [130] О.Иашу показал, что ему отвечает вращение 2-мерного тора Т2, разбитого на три фрактальные области, именуемыми фракталами Рози, отвечающие символам 1, 2, 3.

Рассмотрим ломаную А1А2 ... в пространстве, построенную по следующему правилу. Вершина А1 — это начало координат. Каждое ребро имеет длину 1 и параллельно одной из осей, в зависимости от знака в слове Трибоначчи на соответсвующем месте. Причём вершины красятся в цвет, соответствующий знаку. Так как матрица подстановки

'1 1 1 0 0 010

имеет три собственных значения: один вещественный, Р > 1 и два комплексных, по модулю меньше 1. Таким образом Р — число Пизо этой подстановки и существует предел отношения

I Ап

иш

п^те \ п

^Ап(х)^

где Ап(х) — количество символов х среди первых п символов слова Трибоначчи.

Эта ломаная есть целочисленное приближение прямой растягивающего направления (1,1, ), причём наилучшее [101]. Такие же конструкции диофантовых приближений есть и для случая размерности 2, с помощью последовательностей Штурма [101].

Спроецировав вершины вдоль собственного вектора на какую-нибудь плоскость получим разноцветную картинку. Из рекуррентности слова Трибоначчи следует фрактальность полученной картинки: маленькие части переходят внутрь больших, а большие при некотором сжимающем отображении (задаваемом двумя собственными векторами матрицы подстановки, меньшими 1) переходят в меньшие части. Эта картинка называется фракталом Рози.

Реализация слова Трибоначчи

В этом разделе мы обсудим, как с помощью перкладывания отрезков окружности получить слово Трибоначчи. Другими словами, построим пример символической динамики, порождающей слово Трибоначчи, основываясь на работе [101].

Случай перекладывания трёх отрезков. Всего возможно 5 перестановок трёх отрезков, отличных от тождественной (213), (132), (231), (312) и (321). Но в первых четырёх случаях есть два отрезка рядом, не поменявшие порядок, (с учётом того, что окружность можно вращать), что сводится к перекладыванию двух отрезков, а для двух это доказано [101]. Таким образом, остаётся только следующее перекладывание трёх отрезков окружности длин 1.

{х + 1 — а, х € [0, а)

х + 1 — 2а — Р, х € [а, а + Р) х — а — Р, х € [а + Р, 1)

Это перекладывание отрезков отвечает перестановке (321) отрезков. Должны также выполняться следующие 3 условия для любых целых р и д:

1. р а + д рР = р — д

2. ра + яР — р — д — 1

3. ра + — р — д + 1,

что отвечает бесконечности орбит особых точек (и эргодичности системы, соответственно). В этом случае возможно [101] применить индукцию Рози, чтобы свести этот случай к одному из других случаев перекладывания трёх отрезков, а значит и к случаю перекладывания двух отрезков, чтобы доказать, что Т отвечает вращению тора Т2.

Слово Трибоначчи перекладыванием отрезков

Рассотрим символическую динамику Тх на окружности, являющуюся перекладыванием отрезков. Пусть а + а2 + а3 — 1

Т (х) — <

Х + 2 + 2, г — ^ + 1

•ь 22 + 2 ,

X + + 2 ,

_ О? + 1 ■ь 2 + 2 ,

X + + 2,

т _ О? + 1 ■ь 2 + 2 ,

х е [0, |) ж е [ %, !)

2

х е [а, а + ) х е [а + 92т ,а + а2) х е [а + а2, а + а2 + \) х е [а + а2 + , 1)

Опишем это перекладывание отрезков словами. Вначале мы разбиваем окружность длины 1 на три части с такими длинамиа, а2 и а3. Затем каждую из трёх частей разрезаем на два равных куска и меняем куски каждой части между собой. Полученное перекладывание затем ещё вращаем на половину длины окружности. При этом когда мы попадаем в первую часть длины а, мы пишем 1, когда во вторую и третью части — 2 и 3, соответственно. Для обоих кусков каждой части мы пишем одно и то же.

В статье [61] доказано следующее

Теорема 7. Символическая динамика Т(0) порождает слово Трибоначчи.

О гипотезе Пизо

Теория фракталов Рози обобщается для так называемых подстановок Пизо. Доказано, что для подстановок Пизо фрактал Рози накрывает тор в несколько слоёв.

Если бы удалось доказать, что для любой подстановки ф соответсвующий фрактал Рози всегда накрывает тор в один слой (как в случае со словом Трибоначчи), то по теореме фон Неймана спектр соответсвующего ф сдвига тора дискретен. И тогда удалось бы доказать в общем случае гипотезу Пизо о том, что подстановочные системы обладают дискретным спектром. Здесь можно выделить работу Дюранда [80].

В тех случах, когда фрактал Рози накрывает тор в несколько слоёв — непонятно. Это и есть мотивировка изучать фактординамику сдвигов тора.

В одномерном случае есть подстановочная система, она покрывает в несколько слоёв другую окружность. Хочется доказать, что полученная там система тоже подстановочна.

Теория фракталов Рози дает другие образцы для исследования и обобщений, помимо теории последовательностей Штурма. В этой ситуации имеется очень красивое соответствие между арифметикой, теорией динамических систем и комбинаторики. Подробности см. [127].

Таким образом, изучая фракталы Рози, можно получить результаты, связанные с гипотезой Пизо, доказательство которой стало бы прорывом.

Например, можно изучать интересные точки на фрактале Рози. На окружности это концы дуг, середины дуг. На двумерном торе — точки схождения всех трёх областей фрактала.

Другие идеи, как подступиться к гипотезе Пизо — можно сформулировать комбинаторные условия на то, что динамическая система сопряжена сдвигу тора и имеет чисто дискретный спектр, в терминах функции рассогласования. Определим функцию рассогласования р(и, V) как верхнюю плотность множества позиций в словах и,и в которых стоят разные символы. Её развитие остаётся за рамками данной работы.

Унипотентные преобразования тора

Отметим, что язык графов Рози хорошо описывает одномерные системы. Необходимы и другие модели. Обратные задачи символической динамики, связанные с унипотентным преобразованием тора, изучались в работе [14]. В частности, такие слова, получаются из взятия дробных частей многочленов со старшим иррациональным коэффициентом в целых точках.

Пусть Р(п) - многочлен, коэффициент при старшей степени которого иррациональное число. Слово ад (ад = (адп),п € N состоит из последовательности первых двоичных цифр {Р(п)} т.е. адп = [2{Р(п)}]. Обозначим через Т(к) число различных подслов длины к слова ад. Имеет место следующая

Теорема 8. Существует многочлен Q(k), зависящий только от степени многочлена Р, такой, что при достаточно больших к выполнено равенство Т(к) = Q(k).

Аналогичные вопросы исследовались в работе [63], [105]. Исследование бильярда с произвольными углами так же соотносится с теорией перекладывания отрезков, как повороты окружности с унипотентными преобразованиями тора. Возникает вопрос. Верно ли, что число слов растет точно полиномиально? По всей видимости, ответ отрицателен ибо не каждый бильярд эргодичен.

Комбинаторика слов и нормальные формы

Исследование комбинаторных и ассимптотических свойств алгебраических объектов имеет важные приложения. Можно выделить работы Фон Неймана, Дэя, Е. С. Голода и И. Р. Ша-фаревича, М. Громова, Вольфа, Фьюрстенберга, Столингса. Функции роста к.п. групп введены независимо А. А. Шварцем и Дж. Милнором при исследовании накрытий римановых пространств (с неположительной кривизной) см. [16], [17], [18], [49], [119], [128]. С понятием канонической или нормальной формы тесно связано понятие роста, которое интенсивно изучается. С каждой алгеброй можно связать мономиальную алгебру с таким же нормальным базисом [10].

Функция роста конечно порожденного, но бесконечного объекта измеряет насколько он отличается от конечного. Функции роста интенсивно исследуются в разных разделах математики. Известен классический результат М.Громова, утверждающий что группа с полиномиальным ростом есть расширение нильпотентной группы с помощью конечной. Знаменитая проблема Дж.Милнора утверждает наличие групп промежуточного роста. Она была решена Р. И. Григорчуком. Фундаметальное понятие голономного И-модуля в теории дифференциальных операторов формулируется на языке функции роста. Известная конструкция Голода-Шафаревича позволяющая строить ненильпотентные конечно порожденные ниль-кольца основана на анализе рядов Гильберта. В дальнейшем прорыв в этой области был осуществлен А. Смоктунович. Если функция роста полиномиальна, то показатель степени есть размерность Гельфанда-Кириллова. Теорема И. Бернштейна утверждает, что размерность Гельфанда-Кириллова нетривиального модуля над алгеброй Вейля Шга = С[х1,... ,хп,д1,..., дп] не менее п, если же она равна п, то такой модуль называется голоном-ным. Известно, что ряд Гильберта относительно свободной алгебры рационален ([11], [91]).

Функциям роста и проблемам рациональности посвящена обширная библиография. Подробный обзор - см. К. И. Бабенко [8]. Функции роста для мономиального случая а также в словах - см. [10]. Для бесконечно порожденного случая аналогом ряда Гильберта являются ряды коразмерности, введенные А.Регевым, которые сейчас интенсивно изучаются.

Задание элемента в алгебре осуществляется с помощью линейной комбинации слов, поэтому наиболее "чистыми" вопросами являются вопросы, относящиеся к комбинаторике слов. К комбинаторике слов сводится изучение роста алгебр и рядов Гильберта. Эффекты, связанные с периодичностью, возникают при рассмотрении вопросов бернсайдовского типа, таких, как теорема Ширшова о высоте, теорема о независимости, нильпотентность радикала PI-алгебры и т.п.

Мономиальные алгебры - это алгебры, все определяющие соотношения которых задаются словами от образующих. Их исследование имеет своей целью выявление идей, необходимых для построения комбинаторной теории колец. Благодаря этому исследованию стала более понятной роль равномерно рекуррентных слов и связь комбинаторной теории колец с символической динамикой.

Комбинаторика слов используется при изучении произвольных алгебр, не обязательно мо-номиальных. Комбинаторные леммы хорошо работают при изучении канонических базисов алгебр, нормальной формы ее элементов, проблемах бернсайдовского типа.

Графы Рози, Базисы Гребнера и ко-рост

Одним из основных инструментов исследования нормальных форм в различных исчислениях является базис Гребнера (правильнее говорить базис Гребнера-Ширшова. Базисы Гребнера активно исследуются в частности Л. А. Бокутем и его школой. На основе вычисления базисов Гребнера работают многие программы компьютерной алгебры, им посвящена обширная литература.

Пусть А - алгебра с образующими а\,... ,as, I - идеал соотношений алгебры А. Порядок на образующих индуцирует порядок на множестве мономов (сперва по длине, потом лексикографически). Набор элементов fi,...,fk G I называется базисом Гребнера идеала I, если для любого f G I старший моном f содержит для некоторого i подмономом старший член fi элемента fi. Если при этом старшие члены fi не сравнимы по включению, то базис Гребнера является редуцированным. Если вхождения fi перекрываются, то это называется зацеплением. Известна так называемая Bergman Diamond-Lemma (на самом деле восходящая к А. И. Ширшову), что если все зацепления редуцируются к нулю, то набор {fi} является базисом Гребнера.

Благодаря конечности базиса Гребнера для ^-модулей можно осуществлять переход в конечную характеристику, что привело к прогрессу в проблеме Якобиана [70]. Хотя в случае конечности базиса гребнера проблема равенства разрешима, проблема делителей нуля - вообще говоря, нет [29]. (В мономиальном случае однако она все же разрешима [10], [71].) В общем случае базис Гребнера бесконечен, и его вычисление является алгоритмически неразрешимой задачей. В этой связи представляет интерес исследование короста идеала соотношений или роста количества редуцируемых мономов степени п не содержащих редуцируемых подслов.

Поскольку степень композиции меньше суммы степеней зацеляющихся членов, в конечно определенном случае корост либо конечен, либо не менее чем логарифмичен. Это дает надежду построить рекурсивный нормальный базис, который не реализуется в конечно определенной алгебре. Естественным образом определяется корост в словах, в частности исследование кодлины периода длины п или минимального числа запретов, задающих периодическую последовательность. В работе [54] установлена нижняя логарифмическая оценка, и приведены примеры последовательностей периода п с кодлиной порядка логарифма. Точная константа была вычислена в работе П.Лаврова [25] и позднее в работе И.Богданова и Г.Челнокова [26]

несколько другим методом.

Эти примеры тесно связаны с последовательностями Штурма. В этой связи представляется интересным короста для равномерно рекуррентных слов а также морфических слов а также взаимосвязь функций роста и короста. Предполагается, что для равномерно рекуррентного слова Ш корост Кщ(п) не менее чем логарифмичен (в смысле верхнего предела), а для мор-фического равномерно рекуррентного слова он просто логарифмичен. Предполагается что оптимальная ситуация достигается в слове Фиббоначчи. По всей видимости, для равномерно-рекууррентного слова экспоненциальность роста влечет экспоненциальность короста. По всей видимости вообще говоря Иш\и(Кщ(п))/п и \\ш\п(Кщ(п))/п могут быть различными величинами. В работе [21] установлено, что функция короста конечно представленной алгебры либо ограничена, либо по крайней мере логарифмична.

Такое исследование тесно связано с исследованием графов Рози. Функция короста оказывается тесно связана с перечислением биспециальных слов. Интересно также исследовать взаимосвязь функции роста и короста. Например, выяснить вопрос. Верно ли что промежуточность роста влечет промежуточность короста. Для автоматных мономиальных алгебр корост рационален. А.Кумок (в печати) осуществил оценку максимальной длины обструкции в зависимости от размера автомата для автоматной конечно определенной мономиальной алгебры.

Комбинаторика полилинейных слов

Значение понятия п-разбиваемости выходит за рамки проблематики, относящейся к проблемам бернсайдовского типа. Оно играет роль и при изучении полилинейных слов, в оценке их количества, где полилинейным называется слово, в которое каждая буква входит не более одного раз. В. Н. Латышев применил теорему Дилуорса для получения оценки числа не являющихся т-разбиваемыми полилинейных слов степени п, над алфавитом {а\,... ,ап}. Эта оценка: (т — 1)2п и она близка к реальности.

Из данной оценки следует выполнимость полилинейных тождеств, отвечающих неприводимому модулю, диаграмма Юнга которого содержит квадрат п4. Это в свою очередь, во-первых, позволило получить прозрачное доказательство теоремы Регева о том, что тензорное произведение Р1-алгебр снова является Р1-алгеброй, во-вторых, установить существование разреженного тождества в общем случае, а также тождества Капелли в конечно порожденном случае (тем самым, в частности, доказать теорему о нильпотентности радикала), и в-третьих, осуществить "супертрюк" А. Р. Кемера, сводящий изучение тождеств общих алгебр к изучению супер-тождеств конечно порожденных супералгебр в нулевой характеристике.

Вопросы, связанные с перечислением полилинейных слов, не являющихся п-разбиваемы-ми, имеют самостоятельный интерес. (Например, существует биекция между не 3-разбивае-мыми словами и числами Каталана.) С одной стороны, это чисто комбинаторная задача, с другой стороны, она связана с рядом коразмерностей для алгебры общих матриц.

Исследование полилинейных слов представляется чрезвычайно важной. В. Н. Латышев (см. например [77]) поставил проблему конечной базируемости множества старших полилинейных слов для Т-идеала относительно взятия надслов и изотонных подстановок. Из этой проблемы вытекает проблема Шпехта для полилинейных многочленов, имеется тесная связь с проблемой слабой нетеровости групповой алгебры бесконечной финитарной симметрической группы над полем положительной характеристики (для нулевой характеристики это было установлено А. Залесским). Для решения проблемы Латышева надо уметь переводить свойства Т-идеалов и их носителей на язык полилинейных слов. В работах [10, 12] была попытка осуществить программу перевода структурных свойств алгебр на язык комбинаторики слов. На язык полилинейных слов такой перевод осуществить проще, в дальнейшем можно получить информацию и о словах общего вида.

Для осуществления такого перевода необходимо исследовать случаи матриц второго и третьего порядка а также нематричных многообразий.

Есть основания для оптимизма. Ряд Гильберта относительно свободных алгебр рационален, а размерности однородных компонент в конечно порожденной относительно свободной алгебры (если число образующих достаточно велико) определяют кратности в последовательности ко-характеров [84], так что явные формулы для ряда коразмерностей существуют.

Перечисление не п-разбиваемых полилинейных слов осуществлено в работах см также

Исследования полилинейных слов связано с градуированнной версией проблемы Шпехта. В работе [75] доказана локальная конечная базируемость и локальная представимость многообразий алгебр градуированных конечной группой. При этом требовалось наличие обычного (неградуированного) тождества. По всей видимости, за счет анализа полилинейных слов это условие есть шанс снять. Кроме того, возможно обобщение результата [86].

Конечно определенные объекты

Проблема контроля над определяющими соотношениями и процедурами вывода является важной и актуальной проблемой современной алгебры и математической логике.

Непосредственным методом контроля является построение нормального базиса, но это не всегда возможно. Другим инструментом контроля служит базис Гребнера и ё1ашопё-1ешша.

Задачи, связанные с доказательством алгоритмической неразрешимости, обычно решаются путем построения интерпретации машины Минского, при этом автоматная головка, осуществляющая вычислительный процесс, обычно только одна и локализована в определенном месте.

Более сложным и важным инструментом работы является теория малых сокращений в группах. Для решения многих проблем теории колец крайне желательно иметь аналог теории малых сокращений, т.е. понять что означает малое зацепление. К сожалению, мы сейчас далеки от понимания всего этого. Вопросы посторения конечно определенной бесконечной ниль-полугруппы (проблема Шеврина), бесконечномерного конечно определенного нилькольца (проблема Латышева), или построения бесконечной конечно определенной периодической группы представляют собой способ говорить о проблеме контроля над соотношениями.

Групповая задача может быть исследована с помощью кольцевой, а для понимания кольцевой ситуации важны полугруппы.

А. Я. Белов и И. А. Иванов-Погодаев анонсировали решение проблемы Шеврина. Доказательство основано на следующих соображениях. Существуют законы примыкания плиток, которые может удовлетворить только непериодическая мозаика. Мозаику можно рассматривать как обобщение слова ибо слово есть расположение букв на отрезке прямой. Элемент полугруппы интерпретируется как путь на мозаике. Если соответствующие последовательности плиток локально определяют друг друга, то эти пути равны и один участок можно перебросить в другой. Если же нет локального продолжения, то соответствующий путь нулевой. Процедура вывода соотношений отвечает выкладыванию плиток, однако язык переброски путей является все же более слабым. Для того, чтобы он оказался достаточно сильным, необходимо чтобы существовало такое е > 0 что для любого И любые две точки на расстоянии И соединялись семейством перетягиваемых друг в друга геодезических так что точки крайних геодезических находящиеся на расстоянии от концов находились бы на расстоянии не менее чем е • I друг от друга. Отметим, что такое пространство не может быть билипшицево эквивалентно плоскости. Оно представляет собой достаточно сложный комплекс.

Алгебры и равномерно-рекуррентные слова

Использование сверхслов позволяет проводить неконструктивные комбинаторные рассуждения с помощью соображений компактности (из кусков бесконечного множества конечных слов можно составить одно бесконечное слово).

С этой точки зрения чрезвычайно важным является понятие равномерно рекуррентного слова Ш. Равномерно рекуррентные (р.р.) слова позволяют, к примеру, описать все почти простые мономиальные алгебры (т.е. алгебры, любой фактор которых нильпотентен): это алгебры вида Ащ, где А — р.р. непериодическое сверхслово. (Через Ащ обозначается мономи-альная алгебра, все ненулевые слова которой являются подсловами сверхслова Ш.) Основой доказательства этого факта является лемма, представляющая собой аналог теоремы плотности: для любых двух подслов и = V непериодического р.р. слова Ш существуют подслова г^ СШ такие, что гиЪ С Ш, гу1 С Ш.

Этот результат используется при доказательстве теоремы о совпадении нильрадикала мо-номиальной алгебры и радикала Джекобсона. Нильрадикал мономиальной алгебры оказывается равным пересечению идеалов, факторы по которым мономиально почти просты. (Мо-номиальная алгебра называется мономиально почти простой, если каждый ее фактор по идеалу, порожденному мономом, нильпотентен.) Мономиально почти простая алгебра — это алгебра вида Ащ, где Ш — произвольное р.р. сверхслово.

С помощью сверхслов получается также описание слабо нетеровых мономиальных алгебр, короткие доказательства теоремы о независимости и теоремы о локальной нильпотентности алгебры Ли, порожденной сэндвичами, что является одним из ключевых шагов в решении проблем Бернсайдовского типа для алгебр Ли. В терминах сверхслов естественно определяется порядок Уфнаровского — правые сверхслова образуют линейно упорядоченное множество.

Нормальные формы в алгебрах и теорема Ширшова о высоте.

Теоремы о высоте и о независимости а также теория представлений мономиальных алгебр оказываются тесно связанными, с одной стороны, с комбинаторикой слов и нормальных форм, а с другой — со свойствами первичных ассоциативных алгебр и комбинаторикой матричных единиц. Первым чисто комбинаторным результатом такого рода явилась

Теорема А. И. Ш^иршова о высоте. Пусть А — конечно-порожденная PI-алгебра. Тогда существует конечный набор элементов Y и число H G N такие, что А линейно представима (т.е. порождается линейными комбинациями) множеством элементов вида

V\1 v22 ...vkh , где h ^ H, Vi G Y

В качестве Y можно взять набор слов степени не выше т. Такое Y называется базисом Ширшова алгебры А.

Из этой теоремы вытекает положительное решение проблемы Куроша, и других проблем бернсайдовского типа для PI-колец. Ведь если Y - базис Ширшова, и все элементы из Y -алгебраичны, то алгебра А конечномерна. Тем самым теорема Ширшова дает явное указание множества элементов, алгебраичность которых ведет к конечномерности всей алгебры. Как следствие получается, что если А - PI-алгебра степени т и все слова от образующих Астепени не выше т алгебраичны, то А - локально конечна а также если конечность размерности Гельфанда-Кириллова. В ряде случаев эти импликации можно обобщить. Вместо понятия высоты удобнее пользоваться близким понятием существенной высоты. Говоря неформально, любое длинное слово есть произведение периодических частей и "прокладок" ограниченной длины. Существенная высота есть число таких периодических кусков, а обычная еще учитывает "прокладки".

В связи с теоремой о высоте возникли следующие вопросы:

1. На какие классы колец можно распостранить теорему о высоте? Теорема о высоте была распостранена на некоторые классы колец, близких к ассоциативным. С. В. Пчелинцев [46] доказал ее для альтернативного и (-1,1) случаев, С. П. Мищенко [40] получил аналог теоремы о высоте для алгебр Ли с разреженным тождеством. В работе автора [12] теорема о высоте была доказана для некоторого класса колец, ассимптотически близких к ассоциативным, куда входят, в частности, альтернативные и йордановы PI-алгебры.

2. Над какими Y алгебра А имеет ограниченную высоту? Пусть А — PI-алгебра, и подмножество М С А является ее s-базисом. Тогда, если все элементы множества М алгебраич-ны над К, то алгебра А конечномерна (проблема Куроша). Ограниченность существенной высоты над Y влечет "положительное решение проблемы Куроша над Y". Обратное утверждение значительно менее тривиально [10].

3. Как оценить высоту? Первоначальное доказательство А. И. Ширшова хотя и было чисто комбинаторным (оно основывалось на технике элиминации, развитой им в алгебрах Ли, в частности, в доказательстве теоремы о свободе), однако оно не давало разумных оценок на высоту. Позднее А. Т. Колотов [33] получил оценку на ht(A) ^ ssm (т = deg(A), s - число образующих). Позднее Е. И. Зельманов [20] поставил вопрос о наличии экспоненциальной оценки, которая была получена автором [13]. В дальнейшем была получена субэкспоненциальная оценка.

Теорема 9 ([74]). Высота множества не п-разбиваемых слов над l-буквенным алфавитом относительно множества слов длины меньше п не превышает Ф(п, I), где

Ф(П,1)= Eil ■ пЕ2+9{2е2 + 1)Ып, где Е1 = 123(2е2+1)lni2+3 + 1,Е2 = 9 + ln2 + 6(2е2 + 1) In 12.

Из данной теоремы путем некоторого огрубления и упрощения оценки получается, что при фиксированном I и п ^ те

Ф(П,1) < n9(i+2e2)(i+o(l))lnп,

а при фиксированном п и I ^ те

Ф(п,1) < С(п)1.

Следствие 1. Высота 1-порождённой PI-алгебры с допустимым полиномиальным тождеством степени п над множеством слов длины меньше п не превышает Ф(п,1).

Как следствие получаются субэкспоненциальные оценки на индекс нильпотентности I-порожденных ниль-алгебр степени п для произвольной характеристики.

В этой связи возникает естественный

Вопрос. Можно ли получить полиномиальную оценку для высоты?

4. Как устроен вектор степеней (ki,... ,kh)? Прежде всего: какие множества компонент этого вектора являются существенными, т.е. какие наборы ki могут быть одновременно неограниченными? Какова существенная высота?

5. Вопрос о более тонком устройстве множества векторов степеней. Верно ли что оно обладает теми или иными свойствами регулярности? Хотя в представимом случае размерность Гельфанда-Кириллова и существенная высота ведут себя хорошо. Тем не менее даже тогда множество векторов степеней может быть устроено плохо — а именно, может быть дополнением к множеству решений системы экспоненциально-полиномиальных ди-офантовых уравнений. Поэтому существует пример представимой алгебры с трансцендентным рядом Гильберта. Однако для относительно свободной алгебры ряд Гильберта рационален.

6. Какие наборы слов можно взять в качестве {Описание дает следующая теорема:

Теорема 10 (А. Я. Белов). Множество слов У является базисом Ширшова алгебры А тогда и только тогда, когда для любого слова и длины не выше т = Р1ё(А) — сложности алгебры А — множество У содержит слово, циклически сопряженное к некоторой степени слова и.

Отметим, что число п является точной оценкой.

Гипотеза Шестакова была решена В. А. Уфнаровским [50] и Г. П. Чекану [52]. В дальнейшем было показано [12], что в качестве {и^} можно взять множество слов из гипотезы Шестакова. Этот результат был также анонсирован Г. П. Чекану [53]. Затем другое доказательство этого факта было получено В. Дренским.

Первоначальные доказательства теоремы о независимости были достаточно сложными. Применение методов символической динамики, связанных с бесконечными словами или сверхсловами, позволило сделать их прозрачными. Техника сверхслов оказалась довольно близкой по духу структурной теории. Ее роль не исчерпывается доказательством утверждений типа теоремы о независимости. С помощью сверхслов доказывается теорема о высоте, нильпотентность алгебры Ли, порожденной сэндвичами [51], совпадение нильрадикала и радикала Джекобсона в мономиальных алгебрах, получается описание базисов алгебр с экстремальной функцией роста Уа(п) = п(п+3 а также слабонетеровых, полупростых и полупервичных мо-номиальных алгебр [10] и получить ряд других комбинаторных результатов, относящихся к теории полугрупп и колец.

Работа поддержана Российским научным фондом, грант № 17-11-01377.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. С.И. Адян. Проблема Бернсайда и тождества в группах // М., Наука, 1975.

2. Адян С. И., Разборов А. А. Периодические группы и алгебры Ли. // Успехи мат. наук, 1987, т. 42, по 2, стр. 2-68.

3. С. В. Алешин, Свободная группа конечных автоматов, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1983, № 4, 12-14

4. С.В. Алешин, О суперпозициях автоматных отображений // Кибернетика, Киев, 1975, |1, 29-34.

5. С.В. Алешин, Конечные автоматы и проблема Бернсайда о периодических группах // Мат. Заметки 11 (1972), 319-328.

6. В. И. Арнольд, Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике// Успехи Мат. Наук, 1963, 18:6(114), стр. 91Ц192

7. Ю.А. Бахтурин, Тождества в алгебрах Ли // Москва, Наука, 1985, 448 стр.

8. Бабенко И. К. Проблемы роста и рациональности в алгебре и топологии.// Успехи мат. наук, 1986, vol 41, no 2, pages 96-142.

9. А.Я.Белов, Классификация слабо нетеровых мономиальных алгеб // Фунд. и прикл. мат. - 1995.-1.,т1,|4, -С. 1085-1089.

10. А.Я.Белов, В.В.Борисенко, В.Н.Латышев, Мономиальные алгебры // Итоги науки и техники. Совр. Мат. Прил. Тем. Обзоры т. 26 (алг. 4), М. 2002. 35-214.

11. Белов А. Я. О рациональности рядов Гильберта относительно свободных алгебр. //Успехи мат. наук, 1997, т. 52, no 2, стр. 153-154.

12. Белов А. Я. О базисе Ширшова относительно свободных алгебр сложности п.// Мат. сб., 1988, т. 135, No 31, стр. 373-384.

13. Белов А. Я. Теорема о высоте для йордановых и лиевых Pl-алгебр.// Сиб. школа по многообр. алгебраических систем. Тезисы. — Барнаул, 1988, стр. 12-13.

14. А.Белов, Г.Кондаков, Обратные задачи символической динамики // Фундаментальная и прикладная математика, Т1, |1, 1995

15. Голод Е. С., Шафаревич И. Р. О башне полей классов. // Изв. АН СССР. Сер. мат., 964, т. 28, no 2, стр. 261-272.

16. Голод Е. С. О нильалгебрах и финитно-аппроксимируемых р-группах.// Изв. АН СССР. Сер. мат., 1964, т. 28, no 2, стр. 273-276.

17. Григорчук Р. И. К проблеме Милнора о групповом росте. //Докл. АН СССР, 1983, т. 271, | 1, стр. 53-54.

18. Григорчук Р. И. Степени роста конечно порожденных групп и теория инвариантных средних.// Изв. АН СССР. Сер. мат., 1984, т. 48, no 5, стр. 939-985.

19. Григорчук Р. И. О рядах Гильберта-Пуанкаре градуированных алгебр, ассоциированных с группами.// Мат. сб., 1989, т. 180, no 2, стр. 207-225.

20. Днестровская тетрадь: оперативно-информац. сборник — 4-е изд. — Новосибирск: изд. ин-та матем. СО АН СССР, 1993, 73 стр.

21. A. Kanel-Belov, I. Melnikov, I Mitrofanov, On cogrowth function of algebras and its logarithmical gap, //Comptes Rendus - Serie Mathematique., 2021. (to appear)

22. М. И. Харитонов, Оценки структуры кусочной периодичности в теореме Ширшова о высоте, //Вестник Московского университета, Серия 1, Математика. Механика., 2013, № 1, 10—16 arXiv:1108.6295

23. М. И. Харитонов, Двусторонние оценки существенной высоты в теореме Ширшова о высоте,// Вестник Московского университета, Серия 1, Математика. Механика., 2, 2012, с. 24-28.

24. М. И. Харитонов, Оценки, связанные с теоремой Ширшова о высоте, //диссертация, 2015

25. Petr Lavrov, Number of restrictions required for periodic word in the finite alphabeA. // arXiv:1209.0220

26. Bogdanov, Ilya I.; Chelnokov, Grigory R. The maximal length of the period of a periodic word defined by restrictions.// arXiv:1305.0460

27. Mikhail Kharitonov, Estimates on the number of partially ordered sets.// arXiv:1307.1886

28. Каргаполов М.И. Мерзляков Ю.И. Основы теории групп, //(3е изд., Наука, 1982) 288стр.

29. И. А. Иванов-Погодаев. Алгебра с конечным базисом Грёбнера и неразрешимой проблемой делителей нуля. // Фундамент. и прикл. матем., 12:8 (2006), 79-96

30. А. Б. Каток, А. М. Степин, Аппроксимации в эргодической теории // Успехи Мат.Наук, 1967, 22:5(137), 81Ц106

31. А.Т. Колотов, Апериодические последовательности и функции роста в алгебрах // Алгебра и логика, 20 (1981), 138-154, 250.

32. А.Т. Колотов, Алгебры и полугруппы с периодической функцией роста // Алгебра и логика, 19 (1980), 659-668, 745.

33. А. Г. Колотов О верхней оценке высоты конечно-порожденной алгебры с тождественными соотношениями //Сиб. мат. ж., 1982, т. 23, N 1, стр. 187-189.

34. Кострикин А. И. Вокруг Бернсайда. — М.: Наука, 1986, 232 стр.

35. Курош А. Г. Проблемы теории колец, связанные с проблемой Бернсайда о периодических группах.// Изв. АН СССР, сер. мат., 1941, т. 5, стр. 233-240.

36. В. Б. Кудрявцев, С. В. Алешин, А. С. Подколзин, Введение в теорию автоматов — Москва, "Наука", 1985. 320 стр.

37. В.Н. Латышев, К теореме Регева о тождествах тензороного произведения Pi-алгебр // Успехи матем. наук, 1972, т. 27, | 4, стр. 213-214

38. Р.Линдон, П.Шупп, Комбинаторная теория групп — М., Мир, 1980.

39. Михалев А. А. Техника композиции А. И. Ширшова в супералгебрах Ли (некоммутативные базисы Гребнера).// Тр. семинара им. И. Г. Петровского, 1994, т. 18,

40. Мищенко С. П., Вариант теоремы о высоте для алгебр Ли.// Мат. заметки, 1990, ;7, no 4, стр. 83-89.

41. Ivan Mitrofanov On uniform recurrence of HD0l systems, arXiv:1111.1999 20 pages.

42. Ivan Mitrofanov, A proof for the decidability of HD0L ultimate periodicity. arXiv:1110.4780 33 pages.

43. Митрофанов И. В., Алгоритмические проблемы, связанные с морфическими последовательностями, диссертация 2017

44. Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. сер. Соврем. алгебра. М.: Наука, 1989, 447 стр.

45. В.И.Оселедец, О спектре эргодических автоморфизмов // ДАН СССР, 1966, 168, 1009Ц1011.

46. Пчелинцев С. В. Теорема о высоте для альтернативных алгебр.// Мат. сб., 1984, т. 124, No 4, стр. 557-567.

47. Саломаа А. Жемчужины формальных языков. — М.: Мир, 1986, 159 стр.

48. Я.Г. Синай, Введение в эргодическую теорию // М.: ФАЗИС, 1996. 144 с.

49. Трофимов В. И. Об одном признаке экспоненциального роста градуированных алгебр. В кн.: Исследование алгебраических систем по свойствам их подсистем. — Свердловск, 1980, стр. 152-160.

50. Уфнаровский В. А. Теорема о независимости и ее следствия. Мат. сб., 1985, т. 128, no

1, стр. 124-132.

51. Уфнаровский В.А. Комбинат. и асимпт. методы в алгебре. // Итоги науки и тех. Серю Совр. Пробл. Мат. Фунд. направл. М. ВИНИТИ. 1990- 57, стр 5-177. (РЖМат, 1990).

52. Чекану Г. П. О локальной конечности алгебр. Мат. исслед. (Кишинев), 1988, N 105, стр. 153-171.

53. Чекану Г. П. К теореме Ширшова о высоте. XIX Всес. алгебр. конф.: Тезисы сообщ. I. — Львов, 1987, стр. 306.

54. Г. Р. Челноков О числе запретов, задающих периодическую последовательность Моделирование и анализ информационных систем, Т.13, N3 (2007) 66-70

55. Ширшов А. И. О некоторых неассоциативных ниль-кольцах и алгебраических алгебрах.// Мат. сб., 1957, т. 41, no 3, 381-394.

56. Ширшов А. И. О кольцах с тождественными соотношениями.// Мат. сб., 1957, т. 43, no

2, стр. 277-283.

57. Ширшов А. И. О свободных кольцах Ли.// Мат. сб., 1958, т. 45, no 2, стр. 113-122.

58. Ширшов А. И. О базах свободной алгебры Ли. //Алгебра и логика, 1962, т. 1, no 1, стр. 14-19.

59. A.Aberkane, Words whose complexity satisfies limp(n)/n = 1 // Theor. Comp. Sci., 307, (2003), 31-46.

60. P.Ambro z, L. Hakov , E. Pelantova, Properties of 3iet preserving morphisms and their matrices // ProceedingsWORDS 2007, Eds. P. Arnoux, N. Bedaride, J. Cassaigne, (2007), 18-24.

61. P. Arnoux, Un exemple de semi-conjugaison entre un echange d'intervalles et une translation sur le tore // Bull. Soc. Math. France 116 (1988), 489-500.

62. P. Arnoux and G. Rauzy [1991], Representation geometrique des suites the complexite 2n + 1 // Bull. Soc. Math. France 119, 199-215.

63. Arnoux, Pierre; Mauduit, Christian; Shiokawa, Iekata; Tamura, Jun-ichi. Complexity of sequences defined by billiard in the cube.// Bull. Soc. Math. France 122 (1994), no. 1, 1-12.

64. P.Balazi, Infnite Words Coding Three-Interval Exchange // diploma work CTU (2003).

65. P.Balazi, Substitution properties of ternary words coding 3- interval exchange, // Proceedings WORDS 2003, Eds. T. Harju and J. Karhumдaki, (2003), 119-124.

66. P. Balazi, Z. Masakova, E. Pelantova, Characterization of substitution invariant 3iet words, submitted to Integers // arXiv:0709.2638, (2007).

67. A.Belov, Т. Gateva-Ivanova, Radicals of monomial algebras // Proceedings of Taiwan-Moscow Algebra Workshop, - C. 159-169, 1994.

68. A. Belov. Some estimations for nilpotence of nil-algebras over a field of an arbitrary characteristic and height theorem // Communications in algebra, 20 (10):2919-2922, 1992.

69. Belov, A., Michailov R. Free subalgebras of Lie algebras close to nilpotent. // Groups, Geometry, and Dynamics, No 1, 2010, pp. 15-29.

70. Belov, A.; Kontsevich M.L. Jacobian and Dixmier Conjectures are stably equivalent. //Moscow Mathematical Journal. Vol. 7 (2007) (A special volume dedicated to the 60-th anniversary of A.G.Khovanskii), No 2, pp 209-218.

71. А. Я. Белов. Линейные рекуррентные уравнения на дереве. // Матем. заметки, 78:5 (2005), 643-651

72. Kanel-Belov A., M.Kharitonov. Subexponential estimates in the height theorem and estimates on numbers of periodic parts of small periods. //Fundam. Prikl. Mat. (Fundamental and Applied Mathematics), 2011/2012, Vol. 17, No 5, p. 21-54 ;

73. Kanel-Belov A., Rowen Louis H.; Vishne, Uzi Full exposition of Specht's problem.// Serdica Math. J. 38 (2012), 313-370.

74. А. Я. Белов, М. И. Харитонов Субэкспоненциальная оценка в теореме Ширшова о высоте. //Матем. Сборник. 2012, vol. 203, N 4, p. 81-102.

75. Kanel-Belov A., Eli Aljadeff. Representability and Specht problem for G-graded algebras.// Adv. in Mat., vol. 225, No 5, 2010, pp. 2391-2428.

76. Kanel-Belov A., Rowen Louis H.; Vishne, Uzi Structure of Zariski-closed algebras.// Trans. Amer. Math.Soc., Vol.362, No 9, Pages 4695-4734.

77. В. Н. Латышев. Комбинаторные порождающие полилинейных полиномиальных тождеств. // Фундамент. и прикл. матем., 12:2 (2006), стр. 101-110

78. Durand, Fabien. Decidability of uniform recurrence of morphic sequences. arXiv:1204.5393

79. Durand, Fabien. Decidability of the HD0L ultimate periodicity problem. arXiv:1111.3268

80. Fabien Durand, Samuel Petite, Unimodular pisot substitutions and domain exchanges. arXiv: 1408.2110 [math.DS]

81. A.Белов, И.Митрофанов. Периодичность схем Рози и подстановочные системы // arXiv: 1107.0185

82. A.Ya.Belov, G.V.Kondakov, I.Mitrofanov. Inverse problems of symbolic dynamics.// Banach Center Publ. 94 (2011), 43-60.

83. Belov A. J., Ivanov I.A. Construction of semigroups with some exotic properties. //Acta Appl. Math. 85 (2005), no. 1-3, 49-56.

84. Berele, Allan. Applications of Belov's theorem to the cocharacter sequence of p.i. algebras. // J. Algebra 298 (2006), no. 1, 208-214.

85. Kanel-Belov A., Rowen Louis H.; Vishne, Uzi Full quivers of representations of algebras. //Trans. Amer. Math. Soc. 364 (2012), 5525-5569.

86. Kanel-Belov A., Eli Aljadeff. Hilbert series of PI-relative free g-graded algebras are rational functions.// Bull. London Math. Soc., (2012), 44(3): 520-532, doi:10.1112/blms/bdr116

87. Kanel-Belov A., Malev S., Rowen Louis H. The images of non-commutative polynomials evaluated on 2 x 2 matrices.// Proc. Amer. Math. Soc. 140 (2012), 465-478 (posted in arxiv.:1005.0191v2).

88. Kanel-Belov A., Rowen Louis H.; Vishne, Uzi Application of full quivers of representations of algebras, to polynomial identities. //Comm. in Algebra, vol. 39: 4536-4551, 2011.

89. Kanel-Belov A., Rowen Louis H.; Vishne, Uzi Normal bases of PI-algebras. // Adv. in Appl. Math. 37 (2006), no. 3, 378-389.

90. Kanel-Belov A., Rowen Louis H. Perspectives on Shirshov's Height Theorem.// in book: selected papers of A.I.Shirshov, Birkhuser Verlag AG (2009), 3-20.

91. Kanel-Belov, Alexei; Rowen, Louis Halle Combinatorial aspects in polynomial identities. //Research Notes in Mathematics, 9. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 2005. xxii+378

92. Belov, A. Local finite basis property and local representability for varieties of associative rings.// Doclady Academii Nauk (Reports (CR) of Acad. of Sci. of Russia). 2010, v.432, No 6, pp. 727-731, (Doklady Mathematics), Engl. transl.: 2010, Vol. 81, No. 3, pp. 458-461.

93. Belov, A. Local finite basis property and local representability of varieties of associative rings. //Izvestia of Russian Academia of science, No 1, 2010, pp. 3-134. English transl.: Izvestiya: Mathematics, vol. 74, No 1, pp. 1-126.

94. A.L. Chernyat'ev, Balanced Words and Dynamical Systems // Fundamental and Applied Mathematics, 2007, vol. 13, No 5, pp. 213-224

95. A.L. Chernyat'ev, Words with Minimal Growth Function // Vestnik Mosk. Gos. Univ., 2008.

96. A.Ya. Belov and A.L. Chernyat'ev, Describing Sturmian Words over an n-letter Alphabet // Math. Met. Appl. IV, MGSU, 1999, pp 122-128.

97. Belov A. J. About Non-Specht varieties.// Fund. i prikl. matem., 1999, vol. 5, N 1, pp. 47-66.

98. Belov A. J. Counterexamples to the Specht problem.// Mat. sb., 1999, vol. 191, N 3, p.13-24. (Engl. transl. Sbornik: Mathematics 191:3, 329-340.)

99. A.Ya. Kanel-Belov, A.L. Chernyat'ev. Describing the set of words generated by interval exchange transformation.// Comm. in Algebra, Vol. 38, No 7, July 2010, pages 2588-2605.

100. G.M. Bergman, A note on growth functions of algebras and semigroups // Research Note, University of California, Berkeley, 1978.

101. V. Berthe, S. Ferenczi, L.Zamboni: Interactions between dynamics, arithmetics and combinatorics: the good, the bad, and the ugly,// AMS Contemporary Math. 385 (2005), p. 333-364.

102. J. Berstel, P. Seebold, Sturmian words, in: M. Lothaire (Ed.) // Algebraic Combinatorics on Words, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, Vol. 90, Cambridge University Press, Cambridge, 2002 (Chap. 2).

103. J.Berstel, Resent results on Sturmian words // Developments in language theory II, 13-24, World Scientific, 1996.

104. J.Cassaigne. Special factors with linear subword complexity. // Developments in language theory, II (Magdeburg, 1995), 25-34, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1996.

105. Cassaigne, J. (F-CNRS-IML); Hubert, P. [Hubert, Pascal] (F-CNRS-IML); Troubetzkoy, S. (F-CNRS-IML) Complexity and growth for polygonal billiards. // Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 52 (2002), no. 3, 835-847.

106. X. Droubay, G. Pirillo, Palindromes and sturmian word// Theroret. Comput. Sci., 223:73-85, 1999.

107. X.Droubay, J.Justin, G.Pirillo, Episturmian words and some construction of de Luca and Rauzy // Theoret. Comp. Sci.,(2001) 539-553.

108. Drensky V. Codimensions ofT-ideals and Hilbert series of relatively free algebras.// J. Algebra, 1984, vol 91, no 1, pages 1-17.

109. Drensky V. Free algebras and Pl-algebras. Springer, 2000, Pages 271.

110. H. Furstenberg. Poincare reccurence and number theory.// Bull. Amer. Math. Soc., 5:211-234, 1981.

111. R. L. Graham, Covering the Positive Integers by disjoints sets of the form {[na + : n = 1,2,...} //J. Combin. Theory Ser A15 (1973) 354-358.

112. P. Hubert, Well balanced sequences // Theoret. Comput. Sci. 242 (2000) 91^08.

113. S. Ferenczi, C. Holton, L. Zamboni, The structure of three-interval exchange transformations II: a combinatorial description of the trajectories// J. Anal. Math. 89 (2003), p. 239-276.

114. Ferenczi, L. Zamboni, A new induction for symmetric fc-interval exchange transformations and distances theorem, submitted, Available at: http://iml.univ-mrs.fr/ ferenczi/fz1.pdf

115. Ferenczi, L. Zamboni, Examples of 4-interval exchange transformations, preprint (2006), Available at: http://iml.univ-mrs.fr/ ferenczi/fz2.pdf

116. Ferenczi, L. Zamboni, Languages of k-interval exchange transformations, submitted, Available at: http://iml.univ-mrs.fr/ ferenczi/fz3.pdf

117. Giambruno A., Zaicev M. Exponential Codimentional Growth of Pl-algebras: an exact estimate.// Adv.in Math., 1999, vol 142, pages 221-243.

118. Giambruno A., Zaicev M. Minimal varieties of exponential growth.// Adv.in Math., 142, 1999, vol 142, pages 221-243.

119. Gromov M. Groups of polynomial growth and extending maps. // Publ. Math. inst. hautes etud. sci., 1981, vol. 53, pages 53-73.

120. Kemer A. R. Multilinear identities of the algebras over a field of characteristic p.// Intern. J. of Algebra and Computations., 1995, vol 5, no 2, pages 189-197.

121. Krause, G.; Lenagan, T.H.: Growth of algebra and Gelfand-Kirillov dimension // Research Notes in Math., Pitman, London, 1985.

122. A. de Luca, Sturmian words: structure, combinatorics and their arithmetics // Theoret. Comp. Sci., 183, (1997), 45-82.

123. A. de Luca and S. Varricchio. Combinatorial properties of uniformly recurrent words and an application to semigroups. // Inter. J. Algebra Comput., 1(2):227-246, 1991.MR 92h:20084.

124. Application of Adic representations in the investigations of metric, spectral and topological properties of dynamical systems. Sanct-Petersburg, 1995, 176 pages.

125. M. Lothaire, Combinatorics on Words // Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Addison-Wesley, Reading, MA, 1983, Vol. 17.

126. M. Lothaire, Algebraic combinatorics on words. A collective work by Jean Berstel, Dominique Perrin, Patrice Seebold, Julien Cassaigne, Aldo De Luca, Steffano Varricchio, Alain Lascoux, Bernard Leclerc, Jean-Yves Thibon, Veronique Bruyere, Christiane Frougny, Filippo Mignosi, Antonio Restivo, Christophe Reutenauer, Dominique Foata, Guo-Niu Han, Jacques Desarmenien, Volker Diekert, Tero Harju, Juhani Karhumaki and Wojciech Plandowski. With a preface by Berstel and Perrin. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 90. Cambridge University Press, Cambridge, 2002, 504 pp.

127. Mauduit, C. Substitutions, arithmetic and finite automata: an introduction. Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics, 35-52, Lecture Notes in Math., 1794, Springer, Berlin, 2002, 37B10 (11B85) PDF Clipboard Series Chapter

128. Milnor J. Problem 5603. American Mathematical monthy, 1968, vol. 75, No 6, pages 675-686.

129. M. Morse and G. A. Hedlund [1940], Symbolic dynamics II. Sturmian trajectories, // Amer. J. Math. 62, 1-42.

130. G. Rauzy, Nombres algebriques et substitutions, Bull. Soc. Math. France, 110 (1982), p. 147178.

131. G. Rauzy, Mots infnis en arithmetique, in: Automata on Infnite Words // Ecole de Printemps d'Informatique Thfeorique, Le Mont Dore, May 1984, ed. M. Nivat and D. Perrin, Lecture Notes in Computer Science, vol. 192, Springer-Verlag, Berlin etc., pp. 165-171, 1985

132. G. Rauzy, Suites a termes dans un alphabet fini //In Sémin. Théorie des Nombres, p. 25-0125-16, 1982-1983, Expose No 25.

133. G. Rauzy, Echanges d'intervalles et transformations induites, //(in French), Acta Arith. 34 (1979), p. 315-328.

134. G. Rozenberg and A. Salomaa // The Mathematical Theory of L Systems, Academic Press, New York etc., 1980

135. G.Rote, Sequences with subword complexity 2n // J. Number Theory 46 (1994) 196-213.

136. R.Tijdeman, Decomposition of the integers as a direct sum of two subsets // in: Number Theory, ed. by S. David, Number Theory Seminar Paris 1992-93, Cambridge University Press, (1995), 261-276

137. R.Tijdeman, Fraenkel's conjecture for six sequences // Discrete Mathematics, Volume 222, Issue 1-3, 223 - 234, 2000

138. L. Vuillon, Balanced words // Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 10 (2003), no. 5, 787-805

139. L.Vuillon, A characterization of Sturmian word by return words // European Journal of Combinatorics (2001) 22, 263-275.

140. Vershik, A. M. The adic realizations of the ergodic actions with the homeomorphisms of the Markov compact and the ordered Bratteli diagrams. //Zap. Nauchn. Sem. S.-Peterburg. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (POMI) 223 (1995), Teor. Predstav. Din. Sistemy, Kombin. i Algoritm. Metody. I, 120-126, 338; translation in J. Math. Sci. (New York) 87 (1997), no. 6, 4054-4058.

141. Vershik, A. M.; Livshits, A. N. Adic models of ergodic transformations, spectral theory, substitutions, and related topics. Representation theory and dynamical systems, //185-204, Adv. Soviet Math., 9, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1992.

142. Belov A. J. Rationality of Hilbert series with respect to free algebras., //Uspehi mat. nauk, 1997, vol. 55, N 2, p. 153-154. translation in Russian Math. Surveys 52, 1997, N 2, 394-395

143. H.Weyl, Über der gleichverteilung von zahlen mod 1, // Math. Ann., v. 77, 313-352, 1916. REFERENCES

1. Adian S.I. The Burnside problem and identities in groups, (in Russian) Izdat. Nauka', Moscow, 1975. 335 pp.

2. Adian,S.I., Razborov A.A., Periodic groups and Lie algebras, Russian Mathematical Surveys (1987),42(2):1 Available at: http://dx.doi.org/10.1070/RM1987v042n02ABEH001307

3. Aleshin S.V., Free group of finite automata, Vestn. Moscow un. Ser. 1. Mat., Mekh., 1983, no. 4, pp12-14

4. Aleshin S.V., On superpositions of automata mappings, Cybernetics, Kiev, 1975, | 1, 29-34.

5. Aleshin S.V., Finite automata and Burnside's problem for periodic groups, Math. Notes, 11:3 (1972), 199-203

6. Arnol'd,V. I. Small denominators and problems of stability of motion in classical and celestial mechanics, Russian Mathematical Surveys(1963),18(6):85 Available at: http://dx.doi.org/ 10.1070/RM1963v018n06ABEH001143

7. Yu. A. Bahturin, Identities in the universal enveloping algebra for a Lie superalgebra, Math. USSR-Sb., 55:2 (1986), 383-396

8. Babenko, I K. Problems of growth and rationality in algebra and topology. Russian Mathematical Surveys (1986), 41(2):117 Available at: http://dx.doi.org/10.1070/RM1986v041n02 ABEH003243

9. Belov A.Ya., Classification of Weakly Noetherian Monomial algebras Fund. and app. mat. -1995 .- 1., vol,1, | 4, -p. 1085-1089.

10. Belov, A.Ya., Borisenko, V.V. & Latyshev, V.N. Monomial algebras. J Math Sci 87, 3463-3575 (1997). Available at: https://doi.org/10.1007/BF02355446

11. Belov, A.Ya. Rationality of Hilbert series with respect to free algebras, Uspekhi Mat. Nauk 52 (1997), no. 2(314), 153-154 (Russian); English transl., Russian Math. Surveys 52 (1997), no. 2, 394-395. MR 1480146, https://doi.org/10.1070/RM1997v052n02ABEH001786

12. Belov, A.Ya. On a Shirshov basis of relatively free algebras of complexity n, Math. USSR-Sb., 63:2 (1989), 363-374

13. Belov, A.Ya. Height theorem for Jordan and Lie PI -algebras. (Russian) Sib. school for versatile algebraic systems. Abstracts. — Barnaul, 1988, pp. 12-13.

14. Belov , A. Ya. , Kondakov , G. V.. Inverse problems of symbolic dynamics. (Russian) Fundamental and Applied Mathematics 1 ( 1995 ) : 71 - 79 .

15. Golod E. S., Shafarevich I. R. About the tower of class fields. (Russian) Izv. Academy of Sciences of the USSR. Ser. mat., 964, v. 28, no. 2, pp. 261-272.

16. Golod, E. S. On nil-algebras and finitely approximable p-groups. (Russian) Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 28 1964 273-276.

17. Grigorchuk R. I. On the Milnor problem of group growth, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 271:1 (1983), 30-33

18. Grigorchuk, R. I. Degrees of growth of finitely generated groups, and the theory of invariant means., Mathematics of the USSR-Izvestiya(1985),25(2):259

19. Grigorchuk, R. I. On the Hilbert-Poincare series of graded algebras associated with groups, Math. USSR-Sb., 66:1 (1990), 211-229

20. Dniester notebook: operational information. collection — 4th ed. — Novosibirsk: ed. in - that mat. SO AN SSSR, 1993, 73 pages

21. A. Kanel-Belov, I. Melnikov, I Mitrofanov, On cogrowth function of algebras and its logarithmical gap, Comptes Rendus - Serie Mathematique., 2021. (to appear)

22. Kharitonov, M.I. Piecewise periodicity structure estimates in Shirshov's height theorem. Moscow Univ. Math. Bull. 68, 26-31 (2013). https://doi.org/10.3103/S0027132213010051

23. Kharitonov, M.I. Two-sided estimates for essential height in Shirshov's Height Theorem. Moscow Univ. Math. Bull. 67, 64-68 (2012). https://doi.org/10.3103/S0027132212020052

24. Kharitonov, M.I., Estimates in shirshov height theorem, Candidate Sceince Thesis, 2015

25. Petr Lavrov, Number of restrictions required for periodic word in the finite alphabet. arXiv:1209.0220

26. Bogdanov, Ilya I.; Chelnokov, Grigory R. The maximal length of the period of a periodic word defined by restrictions. arXiv:1305.0460

27. Mikhail Kharitonov, Estimates on the number of partially ordered sets. arXiv:1307.1886

28. Kargapolov M.I. Yu.I. Merzlyakov Foundations of group theory, (russian) (3rd ed., Science, 1982) 288p.

29. Ivanov-Pogodaev, I.A. Finite Grobner basis algebra with unsolvable problem of zero divisors., J Math Sci 152, 191-202 (2008). https://doi.org/10.1007/s10958-008-9062-y

30. Katok A. B., Stepin A.M., Approximations in ergodic theory Russian Mathematical Surveys (1967), 22(5):77

31. А.Т. Колотов, Апериодические последовательности и функции роста в алгебрах // Алгебра и логика, 20 (1981), 138-154, 250.

32. Kolotov A.T., Algebras and semigroups with periodic growth function, Algebra and Logic, 19 (1980), 659-668, 745.

33. Kolotov A.T. On an upper bound for the height in finitely generated algebras with identities. Sibirsk. mat. Zh., 1982, vol. 23, No. 1, p. 187-189.

34. Kostrikin A. I. Around Burnside. — M .: Nauka, 1986, 232 pp. (russian)

35. Kurosh A. G., ]it Problems in ring theory which are related to the Burnside problem for periodic groups, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., 5, 233-241 (1941).

36. Kudryavtse V. B, Aleshin S. V., Podkolzin A. S., Introduction to the Theory of Automata, Moscow, Nauka, 1985.320 pp.

37. Latyshev V. N., On Regev's theorem on indentities in a tensor product of Pl-algebras, Usp. Mat. Nauk, 27, 213-214 (1972).

38. R. Lindon and P. Schupp, Combinatorial group theory, Moscow, Mir, 1980.

39. Mikhalev A. A. A. I. Shirshov's Composition Technique in Superalgebras Lie (non-commutative Grobner bases). Tr. seminar them. I. G. Petrovsky, 1994, vol. 18,

40. Mishchenko, S.P. A variant of the height theorem for Lie algebras. Mathematical Notes of the Academy of Sciences of the USSR 47, 368-372 (1990). https://doi.org/10.1007/BF01163820

41. Ivan Mitrofanov On uniform recurrence of HD0l systems, arXiv:1111.1999 20 pages.

42. Ivan Mitrofanov, A proof for the decidability of HD0L ultimate periodicity. arXiv:1110.4780 33 pages.

43. Mitrofanov I. V., it Algorithmic problems associated with morphic sequences, Candidate Sceince Thesis 2017

44. Olshansky A. Yu. Geometry of defining relations in groups. ser. Modern algebra. Moscow: Nauka, 1989, 447 pp.

45. V. I. Oseledec, The spectrum of ergodic automorphisms, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 168 (1966), 1009-1011 (Russian) Math-Net.Ru MathSciNet ; English translation: Soviet Math. Dokl., 7 (1966), 776-779

46. Pchelintsev S. V., A theorem on height for alternative algebras, Math. USSR-Sb., 52:2 (1985), 541-551

47. A. Salomaa, Jewels of Formal Language Theory, Computer Science Press, Rockville (1981).

48. Sinai Ya.G., Introduction to ergodic theory, Moscow: FASIS, 1996.144 p.

49. Trofimov V. I. On one criterion of the exponential growth of graded algebras. In the book: Investigation of algebraic systems by the properties of their subsystems. — Sverdlovsk, 1980, p. 152-160.

50. Ufnarovskii V. A., An independence theorem and its consequences, Math. USSR-Sb., 56:1 (1987), 121-129

51. Ufnarovsky V.A. Combine. and asymp. methods in algebra., Summary science and tech. Seryu Sovr. Probl. Mat. Fund. direction M. VINITI. 1990-57, pp. 5-177. (RZhMat, 1990).

52. Chekanu G. P. On the local finiteness of algebras. Mat. issled. (Kishinev), 1988, N 105, pp. 153-171.

53. Chekanu G. P. On Shirshov's height theorem. XIX All algebras. Conf .: Abstracts I. — Lviv, 1987, p. 306.

54. Chelnokov G. R. , On the number of restrictions defining a periodic sequence. Model and analysis of inform. systems, 14:2 (2007), 12-16, in Russian

55. Shirshov A. I., On some nonassociative nil-rings and algebraic algebras, Mat. Sb.,41, No. 3, 381-394 (1957).

56. Shirshov A. I., On rings with identity relations,Mat. Sb.,43, No. 2, 277-283 (1957).

57. Shirshov A. I., O svobodnykh koltsakh Li, Matem. sb., 45:2 (1958), 113-122

58. Shirshov A. I., On bases of free Lie algebras, Algebra Logika, 1:1 (1962), 14-19

59. A.Aberkane, Words whose complexity satisfies limp(n)/n = 1 , Theor. Comp. Sci., 307, (2003), 31-46.

60. P.Ambro z, L. Hakov , E. Pelantova, Properties of 3iet preserving morphisms and their matrices, ProceedingsWORDS 2007, Eds. P. Arnoux, N. Bedaride, J. Cassaigne, (2007), 18-24.

61. P. Arnoux, Un exemple de semi-conjugaison entre un échange d'intervalles et une translation sur le tore, Bull. Soc. Math. France 116 (1988), 489-500.

62. P. Arnoux and G. Rauzy [1991], Representation geometrique des suites the complexite 2n + 1, Bull. Soc. Math. France 119, 199-215.

63. Arnoux, Pierre; Mauduit, Christian; Shiokawa, Iekata; Tamura, Jun-ichi. Complexity of sequences defined by billiard in the cube. Bull. Soc. Math. France 122 (1994), no. 1, 1-12.

64. P.Balazi, Infnite Words Coding Three-Interval Exchange, diploma work CTU (2003).

65. P.Balazi, Substitution properties of ternary words coding 3- interval exchange, Proceedings WORDS 2003, Eds. T. Harju and J. Karhumgaki, (2003), 119-124.

66. P. Balazi, Z. Masakova, E. Pelantova, Characterization of substitution invariant 3iet words, submitted to Integers // arXiv:0709.2638, (2007).

67. A.Belov, T. Gateva-Ivanova, Radicals of monomial algebras, Proceedings of Taiwan-Moscow Algebra Workshop, - C. 159-169, 1994.

68. A. Belov. Some estimations for nilpotence of nil-algebras over a field of an arbitrary characteristic and height theorem, Communications in algebra, 20 (10):2919-2922, 1992.

69. Belov, A., Michailov R. Free subalgebras of Lie algebras close to nilpotent. Groups, Geometry, and Dynamics, No 1, 2010, pp. 15-29.

70. Belov, A.; Kontsevich M.L. Jacobian and Dixmier Conjectures are stably equivalent. Moscow Mathematical Journal. Vol. 7 (2007) (A special volume dedicated to the 60-th anniversary of A.G.Khovanskii), No 2, pp 209-218.

71. Belov, A.Y. Linear Recurrence Equations on a Tree. Math Notes 78, 603-609 (2005). https://doi.org/10.1007/s11006-005-0163-3

72. Kanel-Belov A., M.Kharitonov. Subexponential estimates in the height theorem and estimates on numbers of periodic parts of small periods. Fundam. Prikl. Mat. (Fundamental and Applied Mathematics), 2011/2012, Vol. 17, No 5, p. 21-54 ;

73. Kanel-Belov A., Rowen Louis H.; Vishne, Uzi Full exposition of Specht's problem. Serdica Math. J. 38 (2012), 313-370.

74. Belov A. Ya., Kharitonov M. I., Subexponential estimates in Shirshov's theorem on height, Sb. Math., 203:4 (2012), 534-553

75. Kanel-Belov A., Eli Aljadeff. Representability and Specht problem for G-graded algebras. Adv. in Mat., vol. 225, No 5, 2010, pp. 2391-2428.

76. Kanel-Belov A., Rowen Louis H.; Vishne, Uzi Structure of Zariski-closed algebras. Trans. Amer. Math.Soc., Vol.362, No 9, Pages 4695-4734.

77. Latyshev, V.N. Combinatorial generators of the multilinear polynomial identities. J Math Sci 149, 1107-1112 (2008). https://doi.org/10.1007/s10958-008-0049-5

78. Durand, Fabien. Decidability of uniform recurrence of morphic sequences. arXiv:1204.5393

79. Durand, Fabien. Decidability of the HD0L ultimate periodicity problem. arXiv:1111.3268

80. Fabien Durand, Samuel Petite, Unimodular pisot substitutions and domain exchanges. arXiv: 1408.2110 [math.DS]

81. A.Ya. Belov, I. Mitrofanov Periodicity of Rauzy scheme and substitutional systems, arXiv: 1107.0185

82. A.Ya.Belov, G.V.Kondakov, I.Mitrofanov. Inverse problems of symbolic dynamics. Banach Center Publ. 94 (2011), 43-60.

83. Belov A. J., Ivanov I.A. Construction of semigroups with some exotic properties. Acta Appl. Math. 85 (2005), no. 1-3, 49-56.

84. Berele, Allan. Applications of Belov's theorem to the cocharacter sequence of p.i. algebras. J. Algebra 298 (2006), no. 1, 208-214.

85. Kanel-Belov A., Rowen Louis H.; Vishne, Uzi Full quivers of representations of algebras. Trans. Amer. Math. Soc. 364 (2012), 5525-5569.

86. Kanel-Belov A., Eli Aljadeff. Hilbert series of PI-relative free g-graded algebras are rational functions. Bull. London Math. Soc., (2012), 44(3): 520-532, doi:10.1112/blms/bdr116

87. Kanel-Belov A., Malev S., Rowen Louis H. The images of non-commutative polynomials evaluated on 2 x 2 matrices. Proc. Amer. Math. Soc. 140 (2012), 465-478 (posted in arxiv.:1005.0191v2).

88. Kanel-Belov A., Rowen Louis H.; Vishne, Uzi Application of full quivers of representations of algebras, to polynomial identities. Comm. in Algebra, vol. 39: 4536-4551, 2011.

89. Kanel-Belov A., Rowen Louis H.; Vishne, Uzi Normal bases of PI-algebras. Adv. in Appl. Math. 37 (2006), no. 3, 378-389.

90. Kanel-Belov A., Rowen Louis H. Perspectives on Shirshov's Height Theorem. in book: selected papers of A.I.Shirshov, Birkhüser Verlag AG (2009), 3-20.

91. Kanel-Belov, Alexei; Rowen, Louis Halle Combinatorial aspects in polynomial identities. Research Notes in Mathematics, 9. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 2005. xxii+378

92. Belov, A. Local finite basis property and local representability for varieties of associative rings. Doclady Academii Nauk (Reports (CR) of Acad. of Sci. of Russia). 2010, v.432, No 6, pp. 727-731, (Doklady Mathematics), Engl. transl.: 2010, Vol. 81, No. 3, pp. 458-461.

93. Belov, A. Local finite basis property and local representability of varieties of associative rings. Izvestia of Russian Academia of science, No 1, 2010, pp. 3-134. English transl.: Izvestiya: Mathematics, vol. 74, No 1, pp. 1-126.

94. A.L. Chernyat'ev, Balanced Words and Dynamical Systems // Fundamental and Applied Mathematics, 2007, vol. 13, No 5, pp. 213-224

95. A.L. Chernyat'ev, Words with Minimal Growth Function // Vestnik Mosk. Gos. Univ., 2008.

96. A.Ya. Belov and A.L. Chernyat'ev, Describing Sturmian Words over an n-letter Alphabet // Math. Met. Appl. IV, MGSU, 1999, pp 122-128.

97. Belov A. J. About Non-Specht varieties. Fund. i prikl. matem., 1999, vol. 5, N 1, pp. 47-66.

98. Belov A. J. Counterexamples to the Specht problem. Mat. sb., 1999, vol. 191, N 3, p.13-24. (Engl. transl. Sbornik: Mathematics 191:3, 329-340.)

99. A.Ya. Kanel-Belov, A.L. Chernyat'ev. Describing the set of words generated by interval exchange transformation. Comm. in Algebra, Vol. 38, No 7, July 2010, pages 2588-2605.

100. G.M. Bergman, A note on growth functions of algebras and semigroups, Research Note, University of California, Berkeley, 1978.

101. V. Berthe, S. Ferenczi, L.Zamboni Interactions between dynamics, arithmetics and combinatorics: the good, the bad, and the ugly, AMS Contemporary Math. 385 (2005), p. 333-364.

102. J. Berstel, P. Seebold, Sturmian words, in: M. Lothaire (Ed.) Algebraic Combinatorics on Words, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, Vol. 90, Cambridge University Press, Cambridge, 2002 (Chap. 2).

103. J.Berstel, Resent results on Sturmian words, Developments in language theory II, 13-24, World Scientific, 1996.

104. J.Cassaigne. Special factors with linear subword complexity. Developments in language theory, II (Magdeburg, 1995), 25-34, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1996.

105. Cassaigne, J. (F-CNRS-IML); Hubert, P. [Hubert, Pascal] (F-CNRS-IML); Troubetzkoy, S. (F-CNRS-IML) Complexity and growth for polygonal billiards. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 52 (2002), no. 3, 835-847.

106. X. Droubay, G. Pirillo, Palindromes and sturmian word, Theroret. Comput. Sci., 223:73-85, 1999.

107. X.Droubay, J.Justin, G.Pirillo, Episturmian words and some construction of de Luca and Rauzy, Theoret. Comp. Sci.,(2001) 539-553.

108. Drensky V. Codimensions ofT-ideals and Hilbert series of relatively free algebras. J. Algebra, 1984, vol 91, no 1, pages 1-17.

109. Drensky V. Free algebras and Pl-algebras. Springer, 2000, Pages 271.

110. H. Furstenberg. Poincare reccurence and number theory. Bull. Amer. Math. Soc., 5:211-234, 1981.

111. R. L. Graham, Covering the Positive Integers by disjoints sets of the form {[na + : n = 1,2,...}, J. Combin. Theory Ser A15 (1973) 354-358.

112. P. Hubert, Well balanced sequences, Theoret. Comput. Sci. 242 (2000) 91^08.

113. S. Ferenczi, C. Holton, L. Zamboni, The structure of three-interval exchange transformations II: a combinatorial description of the trajectories J. Anal. Math. 89 (2003), p. 239-276.

114. Ferenczi, L. Zamboni, A new induction for symmetric k-interval exchange transformations and distances theorem, submitted, Available at: http://iml.univ-mrs.fr/ ferenczi/fz1.pdf

115. Ferenczi, L. Zamboni, Examples of 4-interval exchange transformations, preprint (2006), Available at: http://iml.univ-mrs.fr/ ferenczi/fz2.pdf

116. Ferenczi, L. Zamboni, Languages of k-interval exchange transformations, submitted, Available at: http://iml.univ-mrs.fr/ ferenczi/fz3.pdf

117. Giambruno A., ZaicevM. Exponential Codimentional Growth of Pi-algebras: an exact estimate. Adv.in Math., 1999, vol 142, pages 221-243.

118. Giambruno A., Zaicev M. Minimal varieties of exponential growth. Adv.in Math., 142, 1999, vol 142, pages 221-243.

119. Gromov M. Groups of polynomial growth and extending maps. Publ. Math. inst. hautes etud. sci., 1981, vol. 53, pages 53-73.

120. Kemer A. R. Multilinear identities of the algebras over a field of characteristic p. Intern. J. of Algebra and Computations., 1995, vol 5, no 2, pages 189-197.

121. Krause, G.; Lenagan, T.H. Growth of algebra and Gelfand-Kirillov dimension, Research Notes in Math., Pitman, London, 1985.

122. A. de Luca, Sturmian words: structure, combinatorics and their arithmetics, Theoret. Comp. Sci., 183, (1997), 45-82.

123. A. de Luca and S. Varricchio. Combinatorial properties of uniformly recurrent words and an application to semigroups. // Inter. J. Algebra Comput., 1(2):227-246, 1991.MR 92h:20084.

124. Application of Adic representations in the investigations of metric, spectral and topological properties of dynamical systems. Sanct-Petersburg, 1995, 176 pages.

125. M. Lothaire, Combinatorics on Words, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Addison-Wesley, Reading, MA, 1983, Vol. 17.

126. M. Lothaire, Algebraic combinatorics on words. A collective work by Jean Berstel, Dominique Perrin, Patrice Seebold, Julien Cassaigne, Aldo De Luca, Steffano Varricchio, Alain Las-coux, Bernard Leclerc, Jean-Yves Thibon, Veronique Bruyere, Christiane Frougny, Filippo Mignosi, Antonio Restivo, Christophe Reutenauer, Dominique Foata, Guo-Niu Han, Jacques Desarmenien, Volker Diekert, Tero Harju, Juhani Karhumaki and Wojciech Plandowski. With a preface by Berstel and Perrin. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 90. Cambridge University Press, Cambridge, 2002, 504 pp.

127. Mauduit, C. Substitutions, arithmetic and finite automata: an introduction. Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics, 35-52, Lecture Notes in Math., 1794, Springer, Berlin, 2002, 37B10 (11B85) PDF Clipboard Series Chapter

128. Milnor J. Problem 5603. American Mathematical monthy, 1968, vol. 75, No 6, pages 675-686.

129. M. Morse and G. A. Hedlund [1940], Symbolic dynamics II. Sturmian trajectories, // Amer. J. Math. 62, 1-42.

130. G. Rauzy, Nombres algebriques et substitutions, Bull. Soc. Math. France, 110 (1982), p. 147178.

131. G. Rauzy, Mots infnis en arithmetique, in: Automata on Infnite Words, Ecole de Printemps d'Informatique Thfeorique, Le Mont Dore, May 1984, ed. M. Nivat and D. Perrin, Lecture Notes in Computer Science, vol. 192, Springer-Verlag, Berlin etc., pp. 165-171, 1985

132. G. Rauzy, Suites E termes dans un alphabet fini, In Sémin. Théorie des Nombres, p. 25-01-2516, 1982-1983, Expose No 25.

133. G. Rauzy, Echanges d'intervalles et transformations induites, (in French), Acta Arith. 34 (1979), p. 315-328.

134. G. Rozenberg and A. Salomaa The Mathematical Theory of L Systems, Academic Press, New York etc., 1980

135. G.Rote, Sequences with subword complexity 2n, J. Number Theory 46 (1994) 196-213.

136. R.Tijdeman, Decomposition of the integers as a direct sum of two subsets// in: Number Theory, ed. by S. David, Number Theory Seminar Paris 1992-93, Cambridge University Press, (1995), 261-276

137. R.Tijdeman, Fraenkel's conjecture for six sequences, Discrete Mathematics, Volume 222, Issue 1-3, 223 - 234, 2000

138. L. Vuillon, Balanced words, Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 10 (2003), no. 5, 787-805

139. L.Vuillon, A characterization of Sturmian word by return words, European Journal of Combinatorics (2001) 22, 263-275.

140. Vershik, A. M. The adic realizations of the ergodic actions with the homeomorphisms of the Markov compact and the ordered Bratteli diagrams. Zap. Nauchn. Sem. S.-Peterburg. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (POMI) 223 (1995), Teor. Predstav. Din. Sistemy, Kombin. i Algoritm. Metody. I, 120-126, 338; translation in J. Math. Sci. (New York) 87 (1997), no. 6, 4054-4058.

141. Vershik, A. M.; Livshits, A. N. Adic models of ergodic transformations, spectral theory, substitutions, and related topics. Representation theory and dynamical systems, 185-204, Adv. Soviet Math., 9, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1992.

142. Belov A. J. Rationality of Hilbert series with respect to free algebras., Uspehi mat. nauk, 1997, vol. 55, N 2, p. 153-154. translation in Russian Math. Surveys 52, 1997, N 2, 394-395

143. H.Weyl, Uber der gleichverteilung von zahlen mod 1, Math. Ann., v. 77, 313-352, 1916.