CC BY
74. Korshunova A., Rozanova O. On effects of stochastic regularization for the pressureless gas dynamics // Proc. 13th Int. Conf. "Hyperbolic Problems: Theory, Numerics and Applications"/ Ed. by S. Jiang and T. Li. Ser. Contemp. Appl. Math. World Sci. Publ. 2012. 18. 486-493.
5. Martynov M.A., Rozanova O.S. On dependence of the implied volatility on returns for stochastic volatility models // Stochastics: Int. J. Probab. and Stochast. Proc. 2012. 83. 541-552.
6. Bielecki T., Pliska S. Risk sensitive dynamic asset management //J. Appl. Math. and Optim. 1999. 37. 337-360.
7. Bielecki T., Pliska S., Sherris M. Risk sensitive asset allocation //J. Economic Dynamics and Control. 2000. 24. 1145-1177.
8. Bielecki T., Pliska S., Sheu S.-J. Risk sensitive portfolio management with Cox-Ingersoll-Ross interest rates: the HJB equation // SIAM J. Control and Optim. 2005. 44. 1811-1843.
9. Камбарбаева Г.С. О некоторых явных формулах для вычисления условных математических ожиданий случайных величин и их применениях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 5. 10-15.
10. Камбарбаева Г.С. Задача составления эффективного портфеля в модели рынка согласно Белецкому и Плиске // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 5. 14-20.
11. Risken H. The Fokker-Planck equation. Methods of solution and applications. 2nd ed. N.Y.: Springer, 1989.
12. Ширяев А.Н. Вероятность-1. 3-е изд., перераб. и доп. М.: МЦНМО, 2004.
13. Cox J.C., Ingersoll J.E., Ross S.A. A theory of term structure of interest rates // Econometrica. 1985. 53. 385-407.
14. Feller W. Two singular diffusion problems // Ann. Math. 1951. 54. 173-182.
15. Vasicek O. On equilibrium characterization of the term structure //J. Finan. Economics. 1977. 5. 177-188.
16. Brennan M.J., Schwartz E.S., Lagnado R. Strategic asset allocation // J. Economic Dynamics and Control. 1997. 21. 1377-1403.
17. Rey D. Current research topics — stock market predictability: is it there? // Finan. Markets and Portfolio Management. 2003. 17. 379-387.
18. Heston S.L. A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options // Rev. Finan. Stud. 1993. 6. 327-343.
19. Hata Н., Sekine J. Solving long term optimal investment problems with Cox-Ingersoll-Ross interest rates // Adv. Math. Economics. 2006. 8, N 1. 231-255.
20. Hata Н. "Down-Side Risk" probability minimization problem with Cox-Ingersoll-Ross's interest rates // Asia-Pacific Financial Markets. 2011. DOI: 10.1007/s10690-010-9121-5.
21. Duffie D., Filipovic D., Schachermayer W. Affine processes and applications in finance // Ann. Apl. Probab. 2003. 13. 984-1053.
Поступила в редакцию 18.05.2011
УДК 512.552.4+512.57+519.1
ОЦЕНКИ СТРУКТУРЫ КУСОЧНОЙ ПЕРИОДИЧНОСТИ В ТЕОРЕМЕ ШИРШОВА О ВЫСОТЕ
М. И. Харитонов1
Размерность Гельфанда-Кириллова l-порожденных общих матриц равна (1 — 1)n2 +1. По теореме Амицура-Левицкого наименьшая степень тождества в этой алгебре равна 2n. По этой причине существенная высота алгебры A — 1-порожденной PI-алгебры с тождеством степени n — над любым множеством слов больше (1 — 1)n2/4 +1. В данной работе представлено доказательство того, что при конечной размерности Гельфанда-Кириллова алгебры A количество попарно лексикографически сравнимых подслов с периодом (n — 1) в каждом мономе A не больше (1 — 2)(n — 1). Случай слов с периодом длины 2 обобщается до доказательства экспоненциальной оценки в теореме Ширшова.
Ключевые слова: существенная высота, теорема Ширшова о высоте, комбинаторика слов, n-разбиваемость, теорема Дилуорса.
The Gelfand-Kirillov dimension of 1-generated general matrixes is (1—1)n2+1. The minimal degree of the identity of this algebra is 2n as a corollary of Amitzur-Levitsky theorem. That
1 Харитонов Михаил Игоревич — студ. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
is why the essential height of A being an l-generated PI-algebra of degree n over every set of words can be greater than (l — 1)n2/4 + 1. We prove that if A has a finite GK-dimension, then the number of lexicographically comparable subwords with the period (n — 1) in each monoid of A is not greater than (l — 2)(n — 1). The case of the subwords with the period 2 is generalized to the proof of Shirshov's Height theorem.
Key words: essential height, Shirshov's Height theorem, combinatorics of words, n-divisibility, Dilworth's theorem.
1. Введение. В 1958 г. А. И. Ширшов доказал свою знаменитую теорему о высоте [1, 2].
Определение 1. Назовем Р1-алгебру А алгеброй ограниченной высоты Шу (А) над множеством слов У = {т, т,...}, если Шу(А) — такое минимальное число, что любое слово х из А можно представить в виде
Е%, 1) 2) ка,ч) аги,- и,- ... и,- ,
' ^(¿,1) 3(1,2.) ^(¿т)
г
причем {гг} ограничены числом Шу (А) в совокупности. Множество У называется базисом Ширшова для А.
Определение 2. Слово Ш называется п-разбиваемым, если его можно представить в виде Ш = ШоШ ... где подслова ..., идут в порядке лексикографического убывания.
Теорема Ш^иршова о высоте [1, 2]. Множество всех не п-разбиваемых слов в конечно-порожденной алгебре с допустимым полиномиальным тождеством имеет ограниченную высоту Н над множеством слов степени меньше п.
Интерес к данной проблеме не ослабевает, возникают смежные вопросы и попытки их решения (см., например, [3-9]). В работе [5] установлено, что высота в условиях теоремы Ширшова меньше
Ф(1,п) = 2871 ■ п121о§з п+48.
В данной работе изучаются возможности получения точной оценки. Для этого ведется исследование в двух направлениях:
1) поиск наименьшей верхней оценки;
2) поиск не п-разбиваемого слова как можно большей высоты.
Для улучшения оценок в теореме Ширшова о высоте, полученных ранее в работе [5], необходимо оценить выборочную высоту над множествами нециклических слов определенной длины. Мы рассматриваем случай, когда означенная длина равна (п — 1). В работе [10] доказана следующая
Теорема 1. Малая выборочная высота множества не сильно п-разбиваемых слов над 1-буквенным алфавитом относительно множества нециклических слов длины 2 не больше П(2,1,п), где
Эта теорема имеет и самостоятельную ценность, так как к ней в данной работе с помощью кодировки сводится доказательство теоремы Ширшова.
2. Основные результаты работы. Теорема 2. Существенная высота I-порожденной Р1 -алгебры с допустимым полиномиальным тождеством степени п над множеством слов длины < п меньше Т(п, 1), где
Т(п,1) = 8(1 + 1)п п5(п — 1).
В работе [5] высота свободной 1-порожденной алгебры А с тождеством степени п оценивается суммой Ф(п, 4п, 1) и существенной высоты алгебры А, где Ф(п, 1) = 2181(п^)31о®з("^)+13Таким образом, из теоремы 2 вытекает следующая
Теорема 3. Высота 1-порожденной Р1 -алгебры с допустимым полиномиальным тождеством степени п над множеством слов длины < п меньше Ф(п, 1), где
Ф(п,1) = 8(1 + 1)п п6.
Для исследования общего случая полезно оценить длину кусочно-периодических слов с разными длинами периодов.
Теорема 4. Малая выборочная высота множества не сильно и-разбиваемых слов над ¡-буквенным алфавитом относительно множества нециклических слов длины (и — 1) не больше П(и — 1,1, и), где
Л(и — 1,1, и) = (I — 2)(и — 1).
Малую и большую выборочные высоты связывает следующая
Теорема 5. Большая выборочная высота ¡-порожденной Р1-алгебры с допустимым полиномиальным тождеством степени и над множеством нециклических слов длины к меньше 2(и — 1)П(к, ¡,и).
Оценка в теореме 2 практически повторяет полученную А. Я. Беловым в [11], но наша оценка достигается другими методами, в частности с использованием графов Рози. Если Ш — слово над алфавитом А, то к-графом Рози называется граф, вершины которого соответствуют различным подсловам слова
Ш длины к. Из вершины в вершину -Ш2 ведет стрелка, если максимальный суффикс совпадает с максимальным префиксом -Ш2, т.е. -Ш1 = а1и, ^2 = иа2, где а1 ,а2 € А.
Таким образом, слову Ш отвечает некоторая траектория в к-графе Рози. Фиксируем натуральное число к. Тогда теорему 2 можно переписать следующим образом.
Теорема 6. Пусть А — алфавит мощности ¡. Для любого натурального числа и найдутся числа
N = N (и), й = ¿(и), такие, что на траектории любого не и-разбиваемого слова Ш над алфавитом А
в к-графе Рози найдется менее Т(и, ¡) циклов длины < и, по которым траектория проходит больше ¿(и) раз.
3. Нижние оценки. Сопоставим полученные результаты с нижней оценкой для высоты. Высота алгебры А не меньше ее размерности Гельфанда-Кириллова СК(А). Для алгебры ¡-порожденных общих матриц порядка и данная размерность равна (¡—1)и2 + 1 (см. [12], а также [13]). В то же время минимальная степень тождества этой алгебры равна 2и в силу теоремы Амицура-Левицкого. Имеет место следующее
Предложение 1. Высота ¡-порожденной Р1-алгебры степени т, а также множества не т-раз-биваемых слов над ¡-буквенным алфавитом не меньше (I — 1)т2/4 + 1.
Эта оценка линейна по числу образующих ¡.
Нижние оценки индекса нильпотентности были установлены Е.Н. Кузьминым в работе [14]. Он привел пример 2-порожденной алгебры с тождеством хп = 0, индекс нильпотентности которой строго больше (и2 + и — 2)/2. В то же время для случая нулевой характеристики и счетного числа образующих Ю. П. Раз-мыслов (см., например, [15]) получил верхнюю оценку индекса нильпотентности, равную и2.
4. Основные понятия. Определение 3. Слово и назовем нециклическим, если и нельзя представить в виде ук, где к > 1, к € N. Слова и и V несравнимы, если одно из них является началом другого. Слова и и V назовем сильносравнимыми, если любые их циклические сдвиги сравнимы.
Обозначение 1. Пусть а1 ,а2— буквы алфавита. Значение буквы а считаем равным г; а лексикографически больше а^, если г > ].
Заметим, что понятие сильной сравнимости разбивает слова на классы эквивалентности.
Определение 4. Слово-цикл — некоторое слово и со всеми его сдвигами по циклу.
Определение 5. Алгебра А имеет существенную высоту Н = Не88(А) над конечным множеством У, называемым в-базисом, алгебры А, если можно выбрать такое конечное множество О С А, что А линейно представима элементами вида ¿1 ■... - где ¡ ^ 2Н +1, и для любого г верно € О V ^ = у^; yi € У), причем множество таких г, что ^ € О, содержит не более Н элементов. Аналогично определяется существенная высота множества слов.
Определение 6. (а) Число Н называется малой выборочной высотой с границей к слова Ш над множеством слов 2, если Н — такое максимальное число, что у слова Ш найдется Н попарно непересекающихся, циклически несравнимых подслов вида гт, где г € 2, т > к.
(б) Число Н называется большой выборочной высотой с границей к слова Ш над множеством слов 2, если Н — такое максимальное число, что у слова Ш найдется Н попарно непересекающихся подслов вида гт, где г € 2, т > к, причем соседние подслова из этой выборки несравнимы.
(в) Слово Ш называется сильно и-разбиваемым, если его можно представить в виде Ш = ШоШ1 ... Шп, где подслова Ш1,..., Шп идут в порядке лексикографического убывания и каждое из слов Wi, г = 1, 2,...,и, начинается с некоторого слова г^ € 2, где все Zi различны.
(г) Множество слов V имеет малую (большую) выборочную высоту Н над некоторым множеством слов 2, если Н является точной верхней гранью малых (больших) выборочных высот над 2 его элементов.
Здесь и далее к = 2и.
Говоря неформально, любое длинное слово есть произведение периодических частей и "прокладок" ограниченной длины. Существенная высота есть число таких периодических кусков, а выборочная высота учитывает только куски определенного вида.
в-Базис является базисом Ширшова тогда и только тогда, когда он порождает А как алгебру. Связь существенной высоты и размерности Гельфанда-Кириллова рассмотрена в работе [4].
п-Разбиваемость и теорема Дилуорса. Значение понятия п-разбиваемости выходит за рамки проблем бернсайдовского типа. Оно играет роль и при изучении полилинейных слов, в оценке их количества, где полилинейным называется слово, в которое каждая буква входит не более одного раза. В. Н. Латышев применил теорему Дилуорса для получения оценки числа не являющихся т-разбиваемыми полилинейных слов степени п над алфавитом {й1 ,..., ап}. Эта оценка равна (т — 1)2п, и она близка к реальности. Напомним эту теорему.
Теорема Дилуорса. Пусть п — наибольшее количество элементов антицепи данного конечного частично упорядоченного множества М. Тогда М можно разбить на п попарно непересекающихся цепей.
Впервые предложил применить эту идею к неполилинейному случаю Г. Р. Челноков в 1996 г.
5. Доказательство теоремы 4. Далее будем считать, что слова строятся над алфавитом А из
букв {01,02,... ,а}, над которыми введен лексикографический порядок, причем аг < а/, если г < ]. Для следующих ниже доказательств будем отождествлять буквы аг с их индексами г (т.е. будем писать не слово ага/, а слово г^).
Пусть слово Ш не п-разбиваемо. Как и прежде, рассмотрим некоторое множество попарно непересекающихся, несравнимых подслов слова Ш вида гт, где т > 2п, г — (п — 1)-буквенное нециклическое слово. Будем называть элементы этого множества представителями, имея в виду, что эти элементы являются представителями различных классов эквивалентности по сильной сравнимости. Пусть набралось £ таких представителей. Пронумеруем их всех в порядке положения в слове Ш (первое ближе всех к началу слова) числами от 1 до В каждом выбранном представителе в качестве подслов содержится ровно (п — 1) различных (п — 1)-буквенных слов.
Введем порядок на этих словах следующим образом: и — V, если
1) и лексикографически меньше V;
2) представитель, содержащий и, левее представителя, содержащего V.
Из не сильной п-разбиваемости получаем, что максимальное возможное число попарно несравнимых элементов равно п — 1. По теореме Дилуорса существует разбиение рассматриваемых (п — 1)-буквенных слов на (п — 1) цепь. Раскрасим слова в (п — 1) цвет в соответствии с их принадлежностью к цепям. Раскрасим позиции, с которых начинаются слова, в те же цвета, что и соответствующие слова.
Рассмотрим ориентированный граф С с вершинами вида (к, г), где 0 < к < п, 0 <г ^ 1. Первая координата обозначает цвет, а вторая — букву.
Ребро с некоторым весом ] выходит из (£1 ,¿1) и входит в (£2,22), если
1) для некоторых ¿3, ¿4,..., ¿п-1 в ]-м представителе содержится слово-цикл ¿1 ¿2 ... ¿п-1,
2) позиции, на которых стоят буквы ¿1, ¿2, раскрашены в цвета £1,^2 соответственно.
Таким образом, граф С состоит из ориентированных циклов длины (п—1) с ребрами одинакового веса. Теперь нам требуется найти показатель, который бы строго монотонно рос с появлением каждого нового представителя при движении от начала к концу слова Ш. В доказательстве теоремы 4 рассматривается сумма вторых координат неизолированных вершин графа С. Нам потребуется
Лемма 1 (основная). Пусть А1,А2,..., Ап-1 — вершины графа С, А1 ^ А2 ^ ... ^ Ап-1 ^ А1 — ориентированный цикл длины (п — 1) с ребрами некоторого веса Тогда не найдется другого цикла между вершинами А1,А2,..., Ап-1 одного веса.
Доказательство. От противного. Рассмотрим наименьшее число ], для которого нашелся другой одноцветный цикл между вершинами цикла цвета В силу минимальности ] можно считать, что этот цикл имеет цвет к > Пусть цикл цвета к имеет вид А31, А/2,..., А3п_1, где {^р}"- = {1, 2,...,п — 1}. Пусть (к/, ¿з) — координата вершины А/. Рассмотрим наименьшее число д £ М, такое, что для некоторого г слово ¿/г ¿/г+1 ... ¿//г+д_1 лексикографически больше слова ¿/г ¿/г+1... ¿/г+9-1 (здесь и далее сложение нижних индексов происходит по модулю (п — 1)). Такое д существует, так как слова ¿1 ¿2 ... ¿п-1 и ¿31 ¿/2 ... ¿//п_1 сильно сравнимы. Кроме того, в силу совпадения множеств {^р}"- и {1, 2,...,п — 1} получаем, что д ^ 2. Так как д наименьшее, то для любого в < д и любого г имеем ¿/г ¿/г+1 ... ¿//г+3_1 = ¿/г¿/г+1 ... ¿/.+3-1. Тогда для любого в < д и любого г имеем ¿/г+3_1 = ¿/г +3-1. Из монотонности слов каждого цвета получаем, что для любого г слово ¿/г ¿/г+1 ... ¿//г+д_1 не больше ¿/г¿/г+1 ... ¿^.+^1. Значит, для любого г верно неравенство ¿/г+д-1 ^ ¿>+9-1. По предположению найдется такое г, что ¿/г+д_1 > ¿/г+д-1. Так как обе последовательности {^г+д-1}П-^ и {^ + д — 1}"-1 пробегают элементы множества чисел {1, 2,... ,п — 1} по одному разу,
га—1 га—1
то £ jr+q—l = £ (]г + Я — 1) (при вычислении числа ]г + я — 1 суммирование также проходит по моду-
Г=1 Г=1
га—1 га—1
лю (п — 1)). Но мы получили £ 1 > £ 0Г + Я — 1)- Утверждение леммы следует из полученного
Г=1 Г=1
противоречия.
Продолжим доказательство теоремы 4. Для произвольного j рассмотрим циклы длины (п — 1) цвета j и j + 1 для некоторого ^ По основной лемме 1 найдутся числа к, г, такие, что вершина (к, г) входит в цикл цвета + 1), но не входит в цикл цвета Пусть цикл цвета j состоит из вершин вида (й, ,
га—1
где к = 1, 2,---,п — 1- Введем величину п^') = £ ¿^,к)- Тогда из основной леммы 1 и монотонности
к=1
слов по цветам получаем, что п^' + 1) ^ п^') + 1- Так как рассматриваемые периоды нециклические, то найдется число к, такое, что ¿(1;к) > 1- Значит, п(1) > п — 1- Для любого j имеем г^,к) ^ I — 1, поэтому п(;) ^ (I — 1)(п — 1)- Следовательно, j ^ (I — 2)(п — 1)- Значит, £ ^ (I — 2)(п — 1)- Тем самым теорема 4 доказана.
6. Оценка существенной высоты с помощью теоремы 1. Из рассмотрения случая, когда периоды имеют длину 2, с помощью кодировки букв можно получить оценку существенной высоты, которая будет расти полиномиально по числу образующих и экспоненциально по степени тождества. Для этого необходимо обобщить некоторые понятия, введенные ранее.
Конструкция. Рассмотрим алфавит А с буквами (01,02, - - - ,а}- Введем на буквах лексикографический порядок: аг > aj, если г > ^ Рассмотрим произвольное множество нециклических, попарно сильносравнимых слов-циклов некоторой одинаковой длины Пронумеруем элементы этого множества натуральными числами, начиная с 1. Введем порядок на словах, входящих в слово-цикл, следующим образом: и — V, если
1) слово и лексикографически меньше слова V;
2) слово-цикл, содержащий слово и, имеет меньший номер, чем слово-цикл, содержащий слово V-Пронумеруем теперь позиции букв в словах-циклах числами от 1 до £ от начала к концу некоторого
слова, входящего в слово-цикл.
Обозначение 2. 1. Пусть -ш(г, — слово длины которое начинается с j-й буквы в г-м слове-цикле. 2. Пусть класс X(£, I) — рассматриваемое множество слов-циклов с введенным на его словах порядком - -
Определение 7. Назовем те классы X, в которых не найдется антицепи длины п, п-хорошими, соответственно те, в которых найдется такая антицепь, — п-плохими.
Из теоремы Дилуорса получаем, что слова в п-хороших классах X можно раскрасить в (п — 1) цвет так, что одноцветные слова образуют цепь. Далее требуется оценить число элементов в п-хороших классах X.
Определение 8. Пусть 1,п) — наибольшее возможное число элементов в п-хорошем классе X см)-
Замечание 1. Будем считать, что первый аргумент в функции П(■, ■ , ■ ) меньше третьего. Следующая лемма позволяет оценить I, п) через случаи малых периодов. Лемма 2. Справедливо неравенство
Доказательство. Рассмотрим п-хороший класс X(2£, I) - Разобьем во всех его словах-циклах позиции на пары соседних так, чтобы каждая позиция попала ровно в одну пару. Затем рассмотрим алфавит В с буквами (Ь^-}\j=1, причем Ьг^ > Ьг2, если ¿1 ■ I + ^ > ¿2 ■ I + j2- Алфавит В состоит из I2 букв. Каждая пара позиций из разбиения состоит из некоторых букв ai,aj. Заменим пару букв ai,aj буквой Ьг, j- Поступая так для каждой пары, получаем новый класс X(£, I2)- Он будет п-хорошим. Действительно, так как если в классе X(£, I2) есть антицепь длины п из слов -ш(г!, ^),-ш(г2^2), - - - ,^(гга, ^), то рассмотрим прообразы слов -ш(г! ^'1)^(22 , ,?2 ),---,^(гга в первоначально взятом классе X (2£, I) - Пусть этими прообразами являются слова ад(г1 , ^ ),-ш(г2^'2),---,эд(гп, ). Тогда слова ад(г1 , ^),ад(г2^'2),---,эд(гп, ) образуют в классе X(2£, I) антицепь длины п. Получено противоречие с тем, что класс X(2£, I) является п-хорошим. Тем самым лемма доказана.
Теперь оценим I, п) через случаи малых алфавитов. Лемма 3. Справедливо неравенство
П(М2, п) ^ Л(2£,1, 2п — 1)-Доказательство. Рассмотрим (2п — 1)-плохой класс X(2£, I)- Можно считать, что п слов из антицепи, а именно -ш(г!^'1)^(22,j2), - - - ,^(гга, ^), начинаются с нечетных позиций слов-циклов. Разобьем во всех его словах-циклах позиции на пары соседних так, чтобы каждая позиция попала ровно в одну пару и первая позиция в каждой паре была нечетной. Затем рассмотрим алфавит В с буквами (Ьг , j } j=1,
причем Ьг1,/1 > Ьг2/2, если ¿1 ■ 1 + ,1 > ¿2 ■ 1 + ,2. Алфавит В состоит из 12 букв. Каждая пара позиций из разбиения состоит из некоторых букв аг,а/. Заменим пару букв аг,а/ буквой Ьг/. Поступая так для каждой пары, получаем новый класс X(£, 12). Пусть слова №(¿1 , ,1 ),ш(х2,,2),...,'(¿п, ) перешли в слова '(¿1 , ,1^'(¿2,,2),... ,'(¿п,). Эти слова будут образовывать антицепь длины п в классе X(£,12). Таким образом, получен п-плохой класс X(£, 12) с тем же числом элементов, что и (2п — 1)-плохой класс X(2£, 1). Тем самым лемма доказана.
Для дальнейшего рассуждения необходимо связать 1,п) для произвольного первого аргумента и для первого аргумента, равного степени двойки. Лемма 4. Справедливо неравенство
1, п) < П(23,1 + 1, 23(п — 1) + 1),
где в = г^2(;£)п.
Доказательство. Рассмотрим п-хороший класс X(£, 1). Введем в алфавит А новую букву ао, которая
лексикографически меньше любой другой буквы из алфавита А. Получен алфавит А'. В каждое слово-
цикл из класса X(£, 1) добавим (£ + 1)-ю, (£ + 2)-ю,..., 23-ю позиции, на которые поставим буквы ао. Получили класс X(23,1 + 1). Он будет (23(п — 1) + 1)-хорошим, так как в противном случае в этом классе для некоторого , нашлись бы слова 'Ш^!,,?')^^,,),... ,'(¿п,,), которые образовывали антицепь в классе X(23,1 + 1). Тогда
1) если , > то слова '(¿1, 1),ш(&2, 1),...,'(¿п, 1) образуют антицепь в классе X(£, 1);
2) если , ^ то слова w(гl,j),w(г2,,),... ,'(¿п,,) образуют антицепь в классе X(£, 1). Получено противоречие с тем, что класс X(£, 1) является п-хорошим. Тем самым лемма доказана. Предложение 2. Справедливо неравенство 1, п) ^ 1, п + 1).
По лемме 4 имеем 1, п) ^ Л(23,1 + 1, 23(п — 1) + 1), где в = г^2(£)п. В силу замечания 1 имеем £ < п. Значит, 23 < 2п. Следовательно, Л(23, 1 + 1, 23(п — 1) + 1) ^ Л(23, 1 + 1, 2п2). По лемме 3
П(23,1 + 1, 2п2) < П(23-1, (1 + 1)2, 2п2) < П(23-2, (1 + 1)22, 2п2) < П(23-3, (1 + 1)23, 2п2) <
< ... < П(2, (1 + 1)2'-1, 2п2).
Согласно теореме 1, П(2, (1 + 1)2'-1, 2п2) < (1 + 1)2'-1 ■ 4п4 < 4(1 + 1)пп4. Итак, доказана следующая
Лемма 5. Справедливо неравенство 1, п) < 4(1 + 1)пп4.
Чтобы применить лемму 5 к доказательству теоремы 2, требуется оценить число подслов не п-разбиваемого слова с одинаковыми периодами.
Лемма 6. Если в некотором слове Ш найдется (2п — 1) подслов, в которых период повторится больше п раз и их периоды попарно не сильносравнимы, то Ш — п-разбиваемое слово.
Доказательство. Пусть в некотором слове Ш найдется (2п — 1) подслов, в которых период повторится больше п раз и их периоды попарно не сильносравнимы. Пусть х — период одного из этих подслов. Тогда в слове Ш найдутся непересекающиеся подслова хР1 г>1,... , хр2п-1 ^2п-1, где Р1,... ,Р2П-1 — некоторые натуральные числа, превосходящие п, а г1,... , г2п-1 — некоторые слова длины |х|, сравнимые с х. Тогда среди слов г',... ,г2п-1 найдется либо п лексикографически больших х, либо п лексикографически меньших х. Можно считать, что г' ,...,г" лексикографически больше х. Тогда в слове Ш найдутся подслова г1 ,хг2,... ,хп-1гП, идущие слева направо в порядке лексикографического убывания. Из леммы 6 получаем теорему 5.
Рассмотрим не п-разбиваемое слово Ш. Если в нем найдется подслово, в котором нециклический период х длины ^ п повторится больше 2п раз, то в слове х2 подслова, которые начинаются с первой, второй,... , п-й позиции, попарно сравнимы. Значит, слово х2п является п-разбиваемым — противоречие с не п-разбиваемостью слова Ш. Из лемм 5 и 6 получаем, что существенная высота слова Ш меньше, п-1
чем (2п — 1) £ Л(£,1,п) < 8(1 + 1)пп5(п — 1). Значит, Т(п, 1) < 8(1 + 1)пп5(п — 1). Тем самым теорема 2
4=1
доказана.
Автор приносит благодарности В. Н. Латышеву, А. В. Михалеву, участникам семинара "Теория колец", участникам семинара МФТИ под руководством А. М. Райгородского за внимание к работе и А. Я. Белову за крайне полезные обсуждения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ширшов А.И. О некоторых неассоциативных ниль-кольцах и алгебраических алгебрах // Матем. сб. 1957. 41, № 3. 381-394.
2. Ширшов А.И. О кольцах с тождественными соотношениями // Матем. сб. 1957. 43, № 2. 277-283.
3. Белов А.Я. Проблемы бернсайдовского типа, теоремы о высоте и о независимости // Фунд. и прикл. матем. 2007. 13, № 5. 19-79.
4. Белов А.Я., Борисенко В.В., Латышев В.Н. Мономиальные алгебры // Алгебра-4. Итоги науки и техники. Сер. Соврем. матем. и ее прил. Темат. обз. № 26. М.: ВИНИТИ, 2002. 35-214.
5. Белов А.Я., Харитонов М.И. Субэкспоненциальные оценки в теореме Ширшова о высоте // Матем. сб. 2012. 203, № 4. 81-102.
6. Kemer A.R. Comments on the Shirshov's height theorem // Selected papers of A.I. Shirshov. Basel: Birkhauser-Verlag AG, 2009. 41-48.
7. Чибриков Е. С. О высоте Ширшова конечно-порожденной ассоциативной алгебры, удовлетворяющей тождеству степени четыре // Изв. Алтайск. гос. ун-та. 2001. № 1. 52-56.
8. Berstel J., Perrin D. The origins of combinatorics on words // Eur. J. Combinatorics. 2007. N 28. 996-1022.
9. Lothaire M. Combinatorics of words. Cambridge: Cambridge Mathematical Library, 1983.
10. Харитонов М.И. Двусторонние оценки существенной высоты в теореме Ширшова о высоте // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 2. 24-28.
11. Belov A.Ya. Some estimations for nilpotency of nil-algebras over a field of an arbitrary characteristic and height theorem // Communs Algebra. 1992. 20, N 10. 2919-2922.
12. Procesi C. Rings with polynomial identities. N.Y.: Marcel Dekker Inc., 1973.
13. Белов А.Я. Размерность Гельфанда-Кириллова относительно свободных ассоциативных алгебр // Матем. сб. 2004. 195, № 12. 3-26.
14. Кузьмин Е.Н. О теореме Нагаты-Хигмана // C6. трудов, посвященный 60-летию акад. Илиева. София, 1975. 101-107.
15. Размыслов Ю.П. Тождества алгебр и их представлений. М.: Наука, 1989.
Поступила в редакцию 24.11.2011
УДК 519.2
АСИМПТОТИКА СТАЦИОНАРНОЙ МЕРЫ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ
МАСШТАБА В СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ ОБМЕНА
Н. Ю. Однобоков1
Изучаются асимптотические свойства стационарного распределения процессов обмена на двумерной решетке с фиксированными граничными условиями.
Ключевые слова: процессы с локальным взаимодействием, процесс обмена, стационарное распределение.
Asymptotic properties of an invariant distribution of exchange processes are studied on a two-dimensional lattice with fixed boundary conditions.
Key words: interacting particle systems, exchange process, invariant distribution.
Введение. В статье [1] изучен двумерный процесс, являющийся по одной оси процессом обмена, а по другой — процессом с запретами. В данной работе исследуется двумерный процесс, являющийся процессом обмена по обеим осям. Такие марковские процессы с локальным взаимодействием представляют интерес при моделировании ряда стохастических систем [1].
Определения. Пусть П = {0,...,N} х {0,...,M} \ {(0, 0), (N, 0), (0, M), (N, M)}, граница П — это дП = {(zi, Z2) € П : zi = 0,N или Z2 = 0, M}, Int(n) — внутренность П. Назовем ребром неупорядоченную пару соседних узлов из П. Через R = {{z,w} : z = (z1,z2),w = (w1,w2) € П, |z1 — w1| + |z2 — w2| = 1}
1 Однобоков Никита Юрьевич — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
