CC BY
10
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 20. Выпуск 3.
УДК 511 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-3-372-389
Обобщённые разбиения Рози и множества ограниченного
остатка1
А. В. Шутов
Шутов Антон Владимирович — кандидат физико-математических наук, доцент, Хабаровское отделение Института прикладной математики ДВО РАН (г. Хабаровск). e-mail: al981@mail.ru
Аннотация
Рози ввел фрактальное множество, связанное со сдвигом двумерного тора на вектор (ß-1, ß-2), где ß - действительный корень уравнения ß3 = ß2 + ß + 1 и показал, что данный фрактал разбивается на три фрактала, являющихся множествами ограниченного остатка относительно данного сдвига тора. Введенное множество получило название фрактала Рози. В дальнейшем были введены многочисленные обобщения фракталов Рози, нашедшие применения в целом ряде задач теории чисел, теории динамических систем и комбинаторики.
Журавлев ввел бесконечную последовательность разбиений исходного фрактала Рози на фрактальные множества и показал, что они также состоят из множеств ограниченного остатка. В настоящей работе рассматривается задача о построении обобщения таких разбиений для фракталов Рози, связанных с алгебраическими единицами Пизо.
В работе введена бесконечная последовательность разбиений d — 1-мерных фракталов Рози, связанных с алгебраическими единицами Пизо степени d, на фрактальные множества d типов. Каждое следующее разбиение последовательности является подразбиением предыдущего. Доказан ряд свойств, описывающих самоподобие введенных разбиений.
Показано, что введенные разбиения являются так называемыми обобщенными перекладывающимися разбиениями относительно некоторого сдвига тора. В частности, действие данного сдвига на разбиении сводится к перекладыванию d центральных фигур разбиения. В качестве следствия получено, что разбиение Рози произвольного порядка состоит из множеств ограниченного остатка относительно рассматриваемого сдвига тора.
Также доказано, что орбита рассматриваемого сдвига тора обладает свойством самоподобия.
Ключевые слова: разбиения Рози, фракталы Рози, числа Пизо, множества ограниченного остатка.
Библиография: 34 названия. Для цитирования:
А. В. Шутов. Обобщённые разбиения Рози и множества ограниченного остатка // Чебы-шевский сборник, 2019, т. 20, вып. 3, с. 372-389.
1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 19-11-00065).
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. No. 3.
UDC 511 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-3-372-389
Generalized Rauzy tilings and bounded remainder sets2
A. V. Shutov
Shutov Anton Vladimirovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Khabarovsk Division of the Institute for Applied Mathematics, Far Eastern Branch, Russian Academy of Sciences (Khabarovsk). e-mail: al981@mail.ru
Abstract
Rauzy introduced a fractal set associted with the toric shift by the vector (ft-1, ft-2), where ft is the real root of the equation ft3, = ft2 + ft + 1. He show that this fractal can be partitioned into three fractal sets that are bounded remaider sets with respect to the considered toric shift. Later, the introduced set was named as the Rauzy fractal. Further, many generalizations of Rauzy fractal are discovered. There are many applications of the generalized Rauzy fractals to problems in number theory, dynamical systems and combinatorics.
Zhuravlev propose an infinite sequence of tilings of the original Rauzy fractal and show that these tilings also consist of bounded remainder sets. In this paper we consider the problem of constructing similar tilings for the generalized Rauzy fractals associated with algebraic Pisot units.
We introduce an infinite sequence of tilings of the d— 1-dimensional Rauzy fractals associated with the algebraic Pisot units of the degree d into fractal sets of d types. Each subsequent tiling is a subdivision of the previous one. Some results describing the self-similarity properties of the introduced tilings are proved.
Also, it is proved that the introduced tilings are so called generalized exchanding tilings with respect to some toric shift. In particular, the action of this shift on the tiling is reduced to exchanging of d central tiles. As a corollary, we obtain that the Rauzy tiling of an arbitrary-order consist of bounded remainder sets with respect to the considered toric shift.
In addition, some self-similarity property of the orbit of considered toric shift is established.
Keywords: Rauzy tilings, Rauzy fractals, Pisot numbers, bounded remainder sets.
Bibliography: 34 titles.
For citation:
A. V. Shutov, 2019, "Generalized Rauzy tilings and bounded remainder sets" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 3, pp. 372-389.
1. Введение
Рози в работе [1] ввел фрактал Т, представляющий собой геометрический объект, связанный с комбинаторной подстановкой вида
1 ^ 12
2 ^ 13 ,
3 1
2The study was carried out at the expense of a grant of the Russian scientific Foundation (project 19-11-00065).
а также с алгебраическим числом Р, являющимся корнем уравнения
Р3 = Р2 + Р + 1. (1)
Позднее конструкция Рози была обобщена на случай более общих подстановок и алгебраических уравнений [2], [3]. В дальнейшем были предложены три основные конструкции фракталов Рози:
1) проектирование дискретной прямой, получаемой при помощи некоторой подстановки
И, И;
2) рассмотрение фрагментов ступенчатых поверхностей, получаемых при помощи геометрических подстановок [3], [4];
3) использование жадных разложений действительных чисел по степеням р [5]. Фракталы Рози оказались тесно связаны с целым рядом задач теории чисел (диофантовы
приближения, арифметика ^-разложений, множества ограниченного остатка и т.д.), комбинаторики слов, теории динамических систем и даже физики квазикристаллов. Подробные обзоры результатов, связанных с обобщенными фракталами Рози и соответствующую библиографию можно найти в работах [6], [4], [7], [8].
Ключевую роль в исследованиях, связанных с обобщенными фракталами Рози, играет их разбиение на непересекающиеся фрактальные множества, которое мы будем далее называть разбиением Рози порядка 0. В случае уравнения (1) и исходной конструкции Рози данное разбиение имеет вид
Т = Ко идо и Во. (2)
и порождает перекладывание областей 5У, которое оказывается изоморфным сдвигу двумерного тора на вектор (Р, Р2). Аналогичные результаты имеют место и для ряда семейств общих фракталов Рози [4].
В случае классического фрактала Рози, отвечающего разбиению (1), В.Г.Журавлев рассмотрел [9] последовательность разбиений обобщающих разбиение (2). Здесь разбиение совпадает с разбиением (2), а представляет собой разбиение Т на фрактальные множества трех типов, являющееся подразбиением разбиения с1п-1. Разбиения получили название разбиений Рози порядка п.
В настоящей работе мы вводим и изучаем разбиения Рози порядка п в более общем случае единиц Пизо, являющихся корнями уравнений
Рл = а\Р Л-1 + ... + аа-!Р + 1 с дополнительным условием на коэффициенты
«1 > «2 > ... >
Введенные нами разбиения оказывается разбиениями фрактала Рози на множества й типов. Мы доказываем, что эти множества аффинно эквивалентны множествам, образующим разбиение Рози порядка 0. Также мы доказываем, что действие аналога отображения Б-у на разбиениях Рози порядка п сводится к перекладыванию й центральных областей. В качестве следствия мы показываем, что разбиения Рози всех порядков состоят из множеств ограниченного остатка относительно некоторого сдвига тора.
Пусть Ба - иррациональный сдвиг тора Т^. Множество X С Т называется множеством ограниченного остатка, если существует постоянная С(X) такая, что для всех натуральных N выполняется неравенство
Шк : 0 < к<М, Бка (0) е х} - И!N| < С(X)
Такие множества впервые были введены Гекке [10]. В случае d = 1 в работах [11] и [12] было дано полное описание множеств ограниченного остатка, а в работах [13], [14] была полностью решена задача о соответствующей константе С(X). В случае d > 1 задача о множествах ограниченного остатка оказывается существенно более сложной. Имеющиеся результаты касаются поиска критериев множеств ограниченного остатка [15]-[19], построения отдельных семейств множеств ограниченного остатка [20]-[22], а также получения оценок на константу С(X) для конкретных множеств ограниченного остатка [23], [24]. В частности, Рози показал [1], что для уравнения (1) разбиение Рози порядка 0 является разбиением на множества ограниченного остатка. В.Г.Журавлевым [9] была доказана аналогичная теорема в случае разбиения Рози порядка п, соответствующего уравнению (1). В настоящей работе мы доказываем аналогичный результат для разбиений Рози порядка п, соответствующих рассматриваемому нами классу уравнений.
2. Фрактал Рози и ^-разложения
В настоящем параграфе мы приводим конструкцию фрактала Рози, развитую Акиямой [5], [25]—[27]. Отметим, что ряд используемых нами утверждений сформулированы здесь в несколько меньшей общности, по сравнению с исходными работами.
Пусть ft > 1 - алгебраическое число Пизо степени d. Напомним, что числами Пизо называются вещественные алгебраические целые числа, большие единицы, абсолютная величина всех
сопряженных которых строго меньше единицы. С каждым действительным х можно связать ft
т(х)
X = £ £к (X)ftk, (3)
к=к(х)
получаемое по так называемому жадному алгоритму. Здесь к(х) > —<х, т(х) < те. Жадность разложения (3) означает, что для любого т\ < т(х) выполняются неравенства
т(х)
0 < Ж — ^ ek(x)ftk < ftmi.
k=mi
Пусть ft(1\ ..., ft(ri) - действительные сопряженные, ft(ri+1) ,ft(ri+1),..., ft (ri+r2) ft (п+Ы _ комплексные сопряженные к ft. Ясно, что ri + 2r2 = d — 1. Кроме того, из определения числа Пизо вытекает, что |ft| > 1, |ft(fc) | < 1.
Рассмотрим множество Z[ft]>o с Q(ft), определяемое условием
Z[ft]>o = (ж : к(х) > 0}.
Разложение (3) позволяет определить отображение
Ф : Z[ft]>o ^ Rd-1
по правилу
Ф(х) = (х(1),..., x(ri), Rex(ri+1), Imx(ri+1),..., Rex(ri+r2), Imx(ri+r2)),
где
т(х)
= Е £к(x)(ftU))k.
к=к(х)
Множество
т = Ф(ад>о) (4)
будем называть фракталом Рози. Здесь и далее черта сверху обозначает замыкание множества.
Геометрия фракталов Рози тесно связана с арифметикой ^-разложений. В качестве примера приведем следующий результат [5].
Теорема 1. Р-^зложение любого числа, х е 0.(Р) конечно тогда и только тогда, когда 0 является внутренней точкой фрактала Рози Т.
Геометрические свойства фрактала Рози тесно связаны с разложением Реньи единицы [29] й(1, Р), определяемым следующим образом. Пусть
Тр (х) = {/Зх},
где {■} - дробная доля числа. Тогда
^(1, Р) = с-1с-2 ...,
где
с_* = [РТ*-1(1)\
и [■] - целая часть числа. Процесс вычисления коэффициентов с_к прерывается, если Тр (1) = 0. Отметим, что разложение
1 - [Р]Р-1 = £ с*Рк к<_2
является жадным. Также отметим, что разложение й(1,Р) может быть как конечным, так и бесконечным. Справедлива следующая теорема
Теорема 2. Предположим, что длина, слова (1(1, Р) - конечна, и последний элемент, этого слова равен 1. Тогда Т - линейно связное ограниченное множество и мера границы, дТ равна, 0. Кроме того, для любого х е Ъ[р]>0 Ф(ж) - внутренняя точка множества Т. Пусть дополнительно длина, разложения (1(1, Р) равна й. Тогда, имееет место решетчатое разбиение простанства М^-1 при помощи копий фрактала Рози Т:
М^-1 = Т + Ф(п^ + ... + Ф(гл_1)Ъ.
Здесь гк = 1 - 2$(1).
Для проверки применимости условий теоремы 2 нам понадобится следующий результат
[30].
Теорема 3. Пусть Р является корнем уравнения
ра = аф4-1 + ... + аа_1р + ал. Тогда, (1(1, Р) конечно и имеет длину (I тогда и только тогда, когда
й1 > а,2 > ... > ал_1 > ал > 1. (5)
В этом случае
(1(1, Р) = а1 а2 .. .а^. Условие (5) в сочетании с условием
(Ы = 1 (6)
гарантирует выполнимость условий теоремы 2. Отметим, что условие (6) означает, что Р является обратимым элементом (единицей) кольца Ъ[Р].
В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что условия (5) и (6) выполнены.
3. Разбиение Рози порядка О
В случае классического фрактала Рози (й = 3 и а1 = а2 = 1) существует каноническое разбиение (2) [1] фрактала Рози Т на три подобных ему фрактала. Разбиение (2) определяет перекладывание Б-у облает ей и Во, которое оказывается изоморфным сдвигу тора. При
этом подобие множеств ^о, Чо и Во исходному фрактал у Рози Т позволяет проитерировать разбиение (2) классическим методом инфляции-дефляции и получить бесконечную последовательность разбиений [9]. Однако, обобщение этого подхода на произвольные фракталы Рози наталкивается на принципиальные трудности, связанные с тем, что общее множество Т не разбивается на подобные ему множества.
Для преодоления этих трудностей нам потребуется альтернативное определение фрактала Рози, основанное на понятии графа допустимости.
Граф допустимости представляет собой ориентированный граф с кратными ребрами и петлями. В случае рассматривамого нами класса чисел Пизо данный граф содержит й вершин, помеченных числами 0,1,... ,й — 1. Ребра графа имеют следующий вид:
1) а1 ориентированных петель в вершине 0, помеченных числами от 0 до а1 — 1;
2) ориентированные ребра из вершины г в вершину г + 1, помеченные числами а
3) а^+1 ориентированных ребер из вершины г в вершину 0, помеченные числами от 0 до а+ — 1.
Обозначим граф допустимости черз С(/3). Он имеет следующий вид.
0,...,а1-1
С'
о. i-1
d- 1
Каждому конечному пути vo -—— Vi -—— ... —— vn в графе G((3) можно сопоставить слово coci...cn-i, составленное из меток ребер пути. В случае vo = 0 полученные слова будем называть допустимыми.
Определение допустимых слов мотивировано следующим результатом [25].
Теорема 4. Следующие условия эквивалентны
1) разложение х = £к (х)(Зк является жадным;
2) слово £т(х)£т(х) -1... ек(х) допустимо;
3) каждое подслово слова £т;х)£т(х)-1... £к(х) лексикографически меньше слова d(1,ft).
Из доказанной теоремы в частности вытекает, что любое подслово допустимого слова допустимо.
Пусть Adrn - множество допустимых слов. Определим отображение Фа<Ьп : Adrn — Т равенством
n— 1
$Adm(С0С1 . . . Cn-1) = Cn-1-k^).
к=0
Тогда из теоремы 4 немедленно получаем следующий результат. Теорема 5. Справедливо равенство
Т = Ф Adm( A d m).
0
2
Пусть теперь Айт(]) - множество допустимых слов, для которых пути в графе закапчиваются в вершине Определим множества
Rj = $Adm(Mm(i)). Имеет место следующая теорема [25], [31].
Теорема 6. Каждое множество Rj представляет, собой линейно связное ограниченное множество и мера границы dRj равна 0. Кроме того, различные множества Rj не имеют общих внутренних точек.
Таким образом, мы получили разбиение
Т = Ro и ... иRd-i, (7)
называемое разбиением Рози порядка 0.
В силу теоремы 2 фрактал Рози Т является фундаментальной областью решетки
d-1
L = ^ Ф(гк)Z. к=1
Поэтому существует естественная проекция ж из Т в d — 1-мерный тop T-1 = Md-1/L. Определим отображение S : T-1 ^ T-1 равенством
S(x) = х + Ф(1) (mod L).
Далее определим перекладывание Sf областей Rj равенством Sf(х) = х + (1)), если х е Rj.
Также для допустимого слова а е Adm обозначим через SAdm(o) лексикографически сле-дущее за а слово из Adm. SAdm можно рассматривать как отображение Adm ^ Adm.
Теорема 7. Имеет место коммутативная диаграмма,
Adm s——> Adm
&Adm
Г ^ Т
ж ж
d-1 -1
Т
Коммутативность верхней части диаграммы можно найти в работе [31], коммутативность нижней части немедленно следует из определений и теоремы 2.
4. Множества ограниченного остатка I: случай разбиений порядка О
Многомерную задачу о множествах ограниченного остатка удобно сформулировать следующим образом.
Пусть Ld - некоторая ^мерная решетка, а - иррациональный относительно решетки Ld вектор, то есть вектор, координаты которого в некотором базисе решетки Ld линейно независимы над Z вместе с единицей. Отображение сдвига
Sa : х ^ х + a mod Ld
переводит тор Т = Ма/Ьа в себя. Согласно теореме Вейля о равномерном распределении [32] для произвольной области X С Т имеет место асимптотическая формула
${к : 0 <к<М, Бка (0) е X} = ^ N + о(М). (8)
Множество X будем называть множеством ограниченного остатка, если асимптотику (8) можно улучшить до асимптотики
%{к : 0 < k<N, Бка(0) е X} = ^N + 0(1). (9)
Впервые такие множества были введены Гекке [10].
Один из подходов к построению множеств ограниченного остатка основан на понятии перекладывающегося разбиения тора.
Пусть множество Т С М^ является фундаментальной областью решетки Очевидно, что существует естественное отображение проекции ж : Т ^ Т. Рассмотрим теперь разбиение
Т = Т0 иТ1 и ... иТ (10)
(-мерного тора на непересекающиеся множества и порожденное им разбиение
Т = Т0 иТ1 и ... и Тл,
где Т. = ж-1 (Т.).
Разбиение (10) будем называть перекладывающимся, если существуют векторы ьо,..., у^ такие, что отображение 5* : х ^ х + и/, если х е Т., переводит множество Т в себя и его действие на множестве Т совпадает с действием, индуцированным сдвигом Ба, то есть диаграмма
Т —^ Т
(11)
коммутативна.
Замечание 1. Формально отображение Б * не однозначно определено на, границах множеств Т.. Точнее, если х е Т. ПТк можно положить как Т(х) = х + V. так и Т(х) = х + Ук-Однако, из коммутативности диаграммы (11) вытекает, что V. — Ук е Ьа и ж-образы точек х + V. и х + Vк на торе Т совпадают. Таким образом, коммутативность диаграммы (11) при каком,-т,о одном, определении отображения Б * на границах влечет, ее коммутативность при любых возможных определениях Б*.
Справедлива следующая теорема [18].
Теорема 8. Множества Т., ] = 0,1,...,(1 являются множествами ограниченного остатка относительно сдвига, Ба.
Объединение теорем 7 и 8 немедленно приводит к следующему результату.
Теорема 9. Множества п(^),.] = 0,1,..., (—1 являются множествами ограниченного
Б
Замечание 2. Теоерму 9 вероятно можно доказать и, иначе, используя методы исходной работы [1], однако соответствующее доказательство никогда, не было опубликовано.
ж
ж
5. Разбиения Рози порядка п
Пусть Айтп - множество допустимых слов длины п и Айтп(]) = Айтп П Айт(]).
Выберем некоторое слово и € Айта-1 (у)• Пусть Ап(]) - множество слов и> длины п, для которых слово ии! € Айт. Определение множества Ап(]) не зависит от выбора и, так как замена слова и не меняет начальную вершину ] пути графа С(@), соответствующего слову ■ш. Пусть и> € Ап(]). Для и € Айт обозначим через Айт(и) множество допустимых слов, заканчивающихся на слово и.
Заметим, что любое слово V длины, большей или равной п + 2 единственным образом представимо в виде V = хьм, где х € Айт, и € Айта-1(.]) и € Ап(у). Имеет место разбиение на непересекающиеся множества
п+1 (-1
Айт \ У Айтк = У У У Айт(иы). (12)
к=0 3=0 иеА(тЛ-1а) -шеА„и)
При этом множество |_Щ=о Айтк очевидно является конечным.
Рассмотрим множества
......4 . . >У
Легко видеть, что при п = 0 имеем
Кп, j(w) = Ф А(т ( У Айт(ьм) 1
Ко,з() = П3,
так как, очевидно, Айт(]) = У Айт(и).
иеА(тЛ-1^)
Определим отображения Ва(гп ■ Айт ^ Айт формулой Ва(гп(^) = о>0, где слово а0 получено приписыванием нуля справа к слову а. Слово а0 является допустимым, так как из любой вершины графа С(@) выходит дуга, помеченная символом 0.
Определим также отображение В ■ Т ^ Т при помощи коммутативной диаграммы
т>о ——^ т>о
ф
г —— т
(13)
где верхняя стрелка обозначает умножение на Легко видеть, что В представляет собой аффинное преобразование пространства М(-1. Из определений и (13) следует, что диаграмма
Айт Вллт) Айт
Фалп
Фалп
(14)
Т Т
также коммутативна.
Далее заметим, что слово и> = 0п, состоящее из п нулей принадлежит множествам Ап(]) при всех При этом
ВПп(тАйт(з) = У ВПАЛтАйт(и) = У Айт(и0п).
иеА(тЛ-1^) иеА(тЛ-1^)
Ф
Отсюда, с учетом коммутативной диаграммы (14) получаем
В п/ = Пп,3(0п).
Далее, заметим, что для слова хим е А(т с ФА(т(хим) е /.(м) имеем хи0п е А(т, Ф А(т(хи0п) е /¿(0п) И ф Ас1т(хи0п) е /п.(0п) — Ф А(т(хим) е /ц(м) = ФА(т(™). Таким образом, нами доказана следующая теорема.
Теорема 10. Имеет место равенство
Кп.(гю) = Вп/ + ФАат(м). Объединяя полученный результат с (12) и теоремой 6, получаем следующую теорему. Теорема 11. Имеет место разбиение
а-1
Т = □ у (15)
3=0'ш£Ап(з)
фрахт,ала, Рози Т на множества не имеющие общих внутренних точек. Каждое из
множеств /п.(м) линейно связно и имеет границу нулевой меры.
Разбиение (15) называется разбиением Рози порядка п.
Рассмотрим вопрос о взаимосвязи между разбиениями Рози различных порядков. Теорема 12. При ] > 0 справедливо равенство
Кроме того,
(1-1
/п,о(м) = |_| |_| /п+1(V м). .'=о-юе{о,1,...,((-1}
Вначале докажем первое из равенств. Из рассмотрения путей в графе С(/3) вытекает, что любое слово и е А(т(-1(]) с ] > 0 пред ставимо в виде и = и1а^и1 е А(т(-2а — 1)- Отсюда получаем
| | А(т(им) = У А(т(и1а.м).
Далее заметим, что любое слово из А((т(и1а.м) имеет вид хи1 а.м, где слово х е А(т. Предположим, что слово х непусто и представим х в виде х = х1у, где у - последний символ слова х. Тогда слово ущ допустимо. В силу условий (5), у = а^. Поэтому можно считать, что у соответствует петле графа С(/), расположенной в вершине 0 и, следовательно, ущ е Айта-1(] — 1).
выполняется равенсто
| | А(т(и1а.м) = Ц А(т(и'а.м) игеА((та-2 0-1) и'еА(та-10-1)
и, следовательно, равенство
| | А(т(им) = У А(т(и'а.м). и^А(тЛ-10) и'еА(тЛ-10-1)
Применяя к последнему равенству отображение Ф Айт и осуществляя замыкания полученных точечных множеств, получаем требуемый результат. При этом мы учитываем, что отличие в конечном множестве точек исчезает при замыкании.
Перейдем теперь к рассмотрению случая ] = 0. Из рассмотрения путей в графе С(/3) вытекает, что любое слово и € А(1тй-1(0) представимо в виде и = щу, где и1 € Айгпй-2(з'): 0 < ]' < с! — 1 и V € {0,1,..., — 1} - последний символ слова и. Отсюда получаем
й-1
| | Ас1т(иад) = У У У Айт^^ад).
3'=°и1еА(1тл_2и') гие{0,1,...,ау+1 -1}
Повторяя предыдущее рассуждение, получаем требуемый результат.
Следствие 1. Разбиение Рози порядка, п является подразбиением разбиения Рози порядка, п — 1.
6. Действие сдвига тора на разбиении
Наша следующая задача состоит в том, чтобы описать действие отображения Б-у на разбиении Рози порядка п.
Теорема 13. Пусть адтах(п,]) - лексикографически максимальное слово из Ап(у). Тогда, для, любого слова ад € Ап(у); ад = wтах(n,j) найдется слово ад' € Ап(у); такое, что
БТ (яп,з(ад)) = Кп,з(из').
Заметим, что точки вида ФАйт(хии), где х € Айт, и и € Айт^-1(]) всюду плотны в Пп,3(ад). При этом в силу теоремы 7,
Ят (ФАйт (ХПУ )) = ФАйт (ЯАйт(хиад)).
Выберем ад' = вАй-т(ад). Тогда из условия ад = адтах(п,]) следует, что БАйт(хиад) = хиад'. Отсюда вытекает, что все точки вида Бу(ФАйт(хии)) принадлежат множеству ^п^(ад') и всюду плотны в нем. Переходя к замыканиям, получаем требуемый результат. Рассмотрим теперь случай ад = адтах(п, ]).
Теорема 14. Справедливо равенство
й-1 й-1 У БТ(Кп,з(адтах(п, ]))) = Ц Пп,3(0п).
3=0 3=0
Вначале докажем включение
й-1 й-1
и (Ъп,з(адтах(п, т С У Пп,з(0п). (16)
=0 =0
Для этого достаточно доказать, что для любого слова вида хиадтах(п, ]) с х € Айт и и € Ас1тй-1(у) выполняется включение
вг(ФАйт(хиадтах(п, ]))) € %,,
где
й-1
Га = и Пп,зз(0п). =0
При этом множество Тп может быть записано в виде
Тп = Ф А(тА(т(0п).
В силу теоремы 7, имеем
Бт (Ф А(т (хиМтах (п,.]))) = Ф А(т(БА(т(хиМтах(п,.]))).
Поскольку БА(т(химтах(п, ])) е А(т(0п), получаем требуемое включение. Далее заметим, что отображение Б-у взаимно-однозначно (за исключением, возможно, множества меры ноль) и сохраняет меру. Поэтому, сравнивая площади в левой и правой части (16), делаем вывод о невозможности строго включения, что и доказывает теорему 14.
Отметим, что из теоремы 10 вытекает, что множества Щ обладают свойством самоподобия
Тп = ВпТ. (17)
Пусть X С Т. Отображение
(1хБт (х) = Бпх (х) (х), пх(х) = ш\и{к : к > 0, Бк(х) е X} называется отображением первого возвращения для отображения Б-у и множества X. Пусть
(п = (т„Бт.
Теорема 15. Диаграмма
т т
в
п
вп
Т dn \ т
>П г 1п
коммутативна
Достаточно доказать теорему 15 для точек вида Ф А(т(х) е Т- В силу коммутативной диаграммы 14, имеем
В п(Ф А ( т( х)) = Ф А ( т( х0 п)
и, в силу теоремы 7,
В п(БТ (ФА(т(х))) = ФА(т(БА(т(х)0п). Поэтому достаточно доказать, что
(п(ФА(т(х0п)) = Ф А(т(БА(т (х)0п).
Данное равенство вытекает из определения dn и того факта, что в множестве Adm(0n) нет слов расположенных между x0n и SAdm(x)0n (относительно лексикографического поряядка). Приведем два очевидных следствия из теоремы 15.
Следствие 2. Отображение первого возвращения для сдвига, тора S и множества п(7П)
S
Следствие 3. Пусть x е% и Orb(x) = {S-f(x)}'^=_xi. Пусть также
Orbn(x) = Orb(x) П Tn.
Тогда,
BnOr b(x) = Or bn(x). S
7. Множества ограниченного остатка II: случай разбиений порядка п
В [19], [33] и [34] был введен ряд близких условий, при которых разбиение тора состоит из множеств ограниченного остатка. Здесь мы будем использовать вариант из работы [34]. В обозначениях раздела 4 рассмотрим разбиение ^-мерного тора Тй:
й+1 -1
Тй = ^ у Ез(г) (18)
=1 =0
на непересекающиеся множества (I + 1 типа. Здесь \Е3 - количество множеств типа Е3-. Разбиение (18) порождает разбиение развертки
й+1ЪЕ,-1
т = и и Ез (?) =1 =0
в котором Ез (г) = п-1(Е3(г)).
Разбиение (18) будем называть обобщенным перекладывающимся разбиением тора относительно сдвига Ба, если выполняются три условия.
1) 5 *(Ез (г)) = Ез (г + 1) для всех допустимых значений г,
2) Справедливо равенство
й+1 й+1
□ Ез(0) = у 5*(Ез(Щ — 1)) =1 =1
адз
Б*(Ез (Щ — 1)) — адз =Ез (0).
3) Множество Е = Цй+\ Ез(0) является разверткой некоторого тора.
Отметим, что условия 2) и 3) влекут за собой, что отображение первого возвращения для сдвига тора на множестве |_1й+1 Е(0) топологически сопряжено некоторому сдвигу тора. Из теорем 13-15 и формулы 17 вытекает следующий результат.
Теорема 16. Разбиение
й- 1
тй-1 = и У *(Ъп,з(ад))
з=0™еАп(з)
является обобщенным перекладывающимся разбиением тора относительно сдвига, Б. В [34] был доказан следующий результат.
Теорема 17. Обобщенное перекладывающееся разбиение тора является его разбиением на множества ограниченого остатка относительно сдвига, ва.
Объединяя теоремы 16 и 17, получаем основной результат работы.
Теорема 18. Множества n(^,ntj(w)) являются множествами ограниченного остатка относительно сдвига, тора S.
8. Заключение
В настоящей работе начато построение обобщенных разбиений Рози произвольных порядков, связанных с алгебраическими единицами Пизо. Введено общее определение таких разбиений и доказан ряд их базовых свойств. В частности, показано, что обобщенные разбиения Рози порождают обобщенные перекладывающиеся разбиения тора и, как следствие, состоят из множеств ограниченного остатка.
Отметим, что изучение классического разбиения Рози [1], [9] было тесно связано с разложениями натуральных чисел по последовательности трибоначчи,определяемой рекуррентным соотношением Тп = Тп-\ + Тп-2 + Тп-з. В настоящей работе для построения и изучения обобщенных разюиений Рози мы использовали иные методы, основанные на комбинаторике слов. Тем не менее, изучение связи обобщенных разбиений Рози с разложениями натуральных чисел по линейным рекуррентным последовательностям является интересной задачей, которой автор планирует посвятить одну из следующих работ.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Rauzv G. Nombres algebriques et substitutions // Bull. Soc. Math. France. 1982. Vol. 110. P. 147-178.
2. Arnoux P., Berthe V., Ei H., Ito S. Tilings, Quasicrvstals, Discrete Planes, Generalized Substitutions, and Multidimensional Continued Fractions // Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science Proceedings AA (DM-CCG). 2001. P. 059-078.
3. Arnoux P., Ito S. Pisot substitutions and Rauzv fractals // Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin. 2001. Vol. 8, № 2. P. 181-207.
4. Pvtheas Fogg N. Substitutions in dynamics, aritheoremetics and combinatorics. Springer. 2001.
5. Akivama S. Self affine tiling and Pisot numeration system // Number Theory and its Applications. Kanemitsu: Kluwer. 1999. P. 7-17.
6. Combinatorics, Automata and Number Theory. Edited by V. Berthe, M. Rigo. Cambridge University Press, 2010.
7. Siegel A., Thuswaldner J. Topological properties of Rauzv fractals. Memoires de la SMF. Vol. 118. 2009.
8. Shutov A. V., Maleev A.V. Generalized Rauzv fractals and quasiperiodic tilings // Classification and Application of Fractals: New Reserch. Nova Publishers. 2012. P. 55-111.
9. Журавлев В. Г. Разбиения Рози и множества ограниченного остатка // Записки научных семинаров ПОМИ. 2005. Т. 322. С. 83-106.
10. Hecke Е. Eber Analvtische Funktionen und die Verteilung van Zahlen mod Eins // Math. Sem. Hamburg Univ. 1921. Vol. 5. P. 54-76.
11. Kesten H. On a conjecture of Erdos and Sziisz related to uniform distribution mod 1 // Acta Arithmetica. 1966. Vol. 12, № 2. P. 193-212.
12. Oren I. Admissible functions with multiple discontinuities // Israel Journal of Mathematics. 1982. Vol. 42, № 4. P. 353-360.
13. Шутов А. В. Оптимальные оценки в проблеме распределения дробных долей на множествах ограниченного остатка // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2007. № 7. С. 168-175.
14. Красильщиков В. В., Шутов А. В. Описание и точные значения максимума и минимума остаточного члена проблемы распределения дробных долей // Математические заметки. 2011. Т. 89, № 1. С. 43-52.
15. Ferenczi S. Bounded remainder sets // Acta Arithmetica. 1992. Vol. 61, № 4. P. 319-326.
16. Grepstad S., Lev N. Sets of bounded discrepancy for multi-dimensional irrational rotation // Geometric and Functional Analysis. 2015. Vol. 25, № 1. P. 87-133.
17. Rauzv G. Ensembles a restes bornes // Seminaire de theorie des nombres de Bordeaux 1983/1984. Vol. 24. Bordo, 1984. P. 1-12.
18. Журавлев В. Г. Многомерная теорема Гекке о распределении дробных частей // Алгебра и анализ. 2012. Т. 24, № 1. С. 95-130.
19. Кузнецова Д. В., Шутов А. В. Перекладывающиеся разбиения тора, подстановка Рози и множества ограниченного остатка // Математические заметки. 2015. Т. 98, № 6. С. 878-897.
20. Sziisz R. Uber die Verteilung der Vielfachen einer komplexen Zahl nach dem Modul des Einheitsquadrats // Acta Math.Acad.Sci.Hungar. 1954. Vol. 5, № 1. P. 35-39.
21. Liardet P. Regularities of distribution // Compositio Math. 1987. Vol. 61, № 3. P. 267-293.
22. Hevnes A., Koivusalo H. Constructing bounded remainder sets and cut-and-project sets which are bounded distance to lattices // Israel Journal of Mathematics. 2016. Vol. 212, № 1. P. 189201.
23. Абросимова A. A. BR-множества // Чебышевский сборник. 2015. Т. 16, № 2. С. 8-22.
24. Журавлев В. Г. Перекладывающиеся торические развертки и множества ограниченного остатка // Записки научных семинаров ПОМП. 2011. Т. 392. С. 95—145.
25. Akivama S., Barat G., Berthe V., Siegel A. Boundary of central tiles associated with Pisot beta-numeration and purely periodic expansions // Monatshefte fur Mathematik. 2008. Vol. 155, № 3. P. 377-419.
26. Akivama S. On the boundary of self-affine tilings generated by Pisot numbers // Journal of Math. Soc. Japan. 2002. Vol. 54, № 2. P. 283-308.
27. Akivama S. Pisot number system and its dual tiling // Physics and Theoretical Computer Science. IOS Press. 2007. P. 133-154.
28. Parry W. On the ^-expansions of real numbers // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. I960. Vol. 11, № 3. P. 401-416.
29. Renvi A. Representations for real numbers and their ergodic properties // Acta. Math. Acad. Sci. Hungar. 1957. Vol. 8, № 3. P. 477-493.
30. Frougnv C., Solomvak B. Finite beta-expansions // Ergod. Th. and Dvnam. Svs. 1992. Vol. 12, № 4. P. 713-723.
31. Berthe V., Siegel A. Tilings associated with beta-numeration and substitution // Integers: Electronic journal of combinatorial number theory. 2005. Vol. 5, Л*8 3. ЦА02.
32. Wevl H. Ueber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Math. Ann. 1916. Vol. 7, № 3. P. 313-352.
33. Журавлев В. Г. Индуцированные множества ограниченного остатка // Алгебра и анализ. 2016. Т. 28, № 5. С. 171-194.
34. Шутов А. В. Подстановки и множества ограниченного остатка // Чебышевский сборник. 2018. Т. 19, № 2. С. 499-520.
REFERENCES
1. Rauzv, G. 1982, "Nombres algebriques et substitutions", Bull. Soc. Math. France, vol. 110, pp. 147-178.
2. Arnoux, P., Berthe, V., Ei, H. к Ito, S. 2001, "Tilings, Quasicrvstals, Discrete Planes, Generalized Substitutions, and Multidimensional Continued Fractions", Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science Proceedings AA (DM-CCG), pp. 059-078.
3. Arnoux, P.& Ito, S. 2001, "Pisot substitutions and Rauzv fractals", Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin, vol. 8, no. 2, pp. 181-207.
4. Pvtheas Fogg, N. 2001, Substitutions in dynamics, aritheoremetics and combinatorics, Springer.
5. Akivama, S. 1999, "Self affine tiling and Pisot numeration system", Number Theory and its Applications, Kluwer, Kanemitsu, pp. 7-17.
6. Combinatorics, Automata and Number Theory 2010, Edited by V. Berthe к M. Rigo. Cambridge University Press.
7. Siegel, A. к Thuswaldner, J. 2009, "Topological properties of Rauzv fractals", Memoires de la SMF, vol. 118. .
8. Shutov, A.V. к Maleev A.V. 2012, "Generalized Rauzv fractals and quasiperiodic tilings", Classification and Application of Fractals: New Reserch, Nova Publishers, pp. 55-111.
9. Zhuravlev, V. G. 2006, "Rauzv tilings and bounded remainder sets on the torus", Journal of Mathematical Sciences, vol. 137, no 2, pp. 4658-4672. doi:10.1007/sl0958-006-0262-z.
10. Hecke, E. 1921, "Eber Analvtische Funktionen und die Verteilung van Zahlen mod Eins", Math.Sem.Hamburg Univ., vol. 5, pp. 54-76. doi: 10.1007/BF02940580.
11. Kesten, H. 1966, "On a conjecture of Erdos and Sziisz related to uniform distribution mod 1", Acta Arithmetica, vol. 12, no. 2, pp. 193-212.
12. Oren, I. 1982, "Admissible functions with multiple discontinuities", Israel Journal of Mathematics, vol. 42, no. 4, pp. 353-360. doi:10.1007/BF0276141.
13. Shutov, A. B. 2007, "Optimal estimates in the problem of the distribution of fractional parts on bounded remainder sets", Vestnik SamGU. Estesstvennonauchnaya setiya, no. 7, pp. 168-175.
14. Krasil'shchikov, V.V. к Shutov, A.V. 2011,"Description and Exact Maximum and Minimum Values of the Remainder in the Problem of the Distribution of Fractional Parts", Math. Notes, vol. 89, no. 1, pp. 59-67. doi:10.1134/S000143461.
15. Ferenczi, S. 1992, "Bounded remainder sets", Acta Arithmetica, vol. 61, no. 4, pp. 319-326. doi:10.4064/aa-61-4-319-326.
16. Grepstad, S. k Lev, N. 2015, "Sets of bounded discrepancy for multi-dimensional irrational rotation", Geometric and Functional Analysis, vol. 25, no 1, pp. 87-133. doi:10.1007/s00039-015-0313-z.
17. Rauzv, G. 1984, "Ensembles a restes bornes", Seminaire de theorie des nombres de Bordeaux 1983/1984, vol. 24. Bordo. pp. 1-12.
18. Zhuravlev, V. G. 2013, "Multi-dimensional Hecke theorem on the distribution of fractional parts", St. Petersburg Math. J., vol. 24, no. 1, pp. 71-97. doi: 10.1090/S1061-0022-2012-01232-X.
19. Kuznetsova, D.V. k Shutov, A.V. 2015, "Exchanged Toric Tilings, Rauzv Substitution, and Bounded Remainder Sets", Mathematical Notes, vol. 98, no. 5-6, pp. 932-948.
doi:10.1134/S0001434615110267.
20. Szüsz, R. 1954, "Uber die Verteilung der Vielfachen einer komplexen Zahl nach dem Modul des Einheitsquadrats", Acta Math.Acad.Sci.Hungar., vol. 5, no. 1, pp. 35-39.
doi:10.1007/BF02020384.
21. Liardet, P. 1987, "Regularities of distribution", Compositio Math., vol. 61, no. 3, pp. 267-293.
22. Heynes, A. k Koivusalo, H. 2016, "Constructing bounded remainder sets and cut-and-project sets which are bounded distance to lattices', Israel J. Math., vol. 212, no. 1, pp. 189-201. doi:10.1007/sll856-016-1283-z.
23. Abrosimova, A.A. 2015, "BR-sets", Chebyshevskii Sbornik, vol. 16, no. 2, pp. 8-22. doi: 10.22405/2226-8383-2015-16-2-8-11.
24. Zhuravlev, V. G. 2012, "Exchanged toric developments and bounded remainder sets", Journal of Mathematical Sciences, vol. 184, no. 6, pp. 716 715. doi: /10.1007/sl0958-012-0894-0.
25. Akivama, S., Barat, G., Berthe, V. k Siegel, A. 2008, "Boundary of central tiles associated with Pisot beta-numeration and purely periodic expansions", Monatshefte fur Mathematik, vol. 155, no. 3, pp. 377-419. doi:10.1007/s00605-008-0009-7.
26. Akivama, S. 2002, "On the boundary of self-affine tilings generated by Pisot numbers", Journal of Math. Soc. Japan, vol. 54, no. 2, pp. 283-308. doi:10.2969/jmsj/05420283.
27. Akivama, S. 2007, "Pisot number system and its dual tiling", Physics and Theoretical Computer Science, IOS Press, pp. 133-154.
28. Parry, W. 1950, "On the ^-expansions of real numbers", Acta Math. Acad. Sci. Hungar., vol.
11, no. 3, pp. 401-416. doi:10.1007/BF02020954.
29. Renvi, A. 1957, "Representations for real numbers and their ergodic properties", Acta. Math. Acad. Sci. Hungar., vol. 8, no.3, pp. 477-493. doi:10.1007/BF02020331.
30. Frougnv, C. k Solomvak, B. 1992, "Finite beta-expansions", Ergod. Th. and Dynam. Sys., vol.
12. no. 4, pp. 713-723. doi:10.1017/S0143385700007057.
31. Berthe, V. k Siegel A. 2005, "Tilings associated with beta-numeration and substitution", Integers: Electronic journal of combinatorial number theory, vol. 5, no. 3, $A02.
32. Weyl, H. "Ueber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins", Math. Ann., vol. 7, no. 3, pp. 313-352. doi:10.1007/BF01475864.
33. Zhuravlev, V. G. 2017, "Induced bounded remainder sets", St. Petersburg Mathematical Journal, vol. 28, no. 5, pp. 671-688. doi:10.1090/spmj/1466.
34. Shutov, A. V. 2018, "Substitutions and bounded remainder sets", Chebyshevskii Sbornik, vol. 19, no. 2, pp. 499-520. doi:10.22405/2226-8383-2018-19-2-499-520.
Получено 27.06.2018 г. Принято в печать 12.11.2019 г.
