Двумерная Проблема Гекке-Кестена Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 12 Выпуск 2 (2011)

Труды VIII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 190-летию Пафнутия Львовича Чебышева и 120-летию Ивана Матвеевича Виноградова

УДК 519.21

ДВУМЕРНАЯ ПРОБЛЕМА ГЕККЕ — КЕСТЕНА *

А. В. Шутов (г. Владимир) al981@mail.rii

Аннотация

Работа посвящена различным подходам к построению множеств ограниченного остатка в проблеме распределения дробных долей линейной функции на двумерном торе.

1 Введение

Данная работа представляет собой расширенную версию доклада, прочитанного автором на VIII Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения".

Простейшим примером последовательности, равномерно распределенной на многомерном торе является последовательность

{{na}}n>i = {({nai},, {nam})}

в предположении, что числа 1, a1,..., am линейно независимы над Z. Равномерная распределенность данной последовательности была доказана Г. Вейлем в работе [24].

Рассмотрим остаточный член проблемы равномерного распределения. Пусть X - множество с интегрируемой по Риману характеристической функцией,

N(a,n,X) = §{k : 0 < k < n — 1, {ka} G X},

и

r(a,n,X ) = N (a,n,X ) — n\X\.

*Р^ота выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант N 11-01-00578-а.

Теорема Вейля означает, что

г(а, п, X) = о(п).

Проблема Гекке-Кестена состоит из двух частей:

1) Для данных а\,..., ат описать все множества X для которых имеет место оценка г(а,п,Х) = 0(1). Соответствующие множества X называются множествами ограниченного остатка.

2) Найти явную оценку для г(а,п,Х) на множестве ограниченного остатка

X.

Исследование данной проблемы было начато Гекке [16], который в одномерном случае доказал, что интервал 1с \1\ Е Ъ + аЪ является множеством ограниченного остатка и нашел границу остатка для таких интервалов. П.Эрдеш [14] предположил, что любой интервал ограниченного остатка удовлетворяет условию Гекке. Кестен доказал предположение Эрдеша [17] и высказал гипотезу о возможности существенного улучшения оценки, полученной Гекке. оценка Гекке была улучшена в работах [7], [8], [11], [23]. В работе [6] были получены неулучшаемые по порядку оценки для т^уП^) в случае когда X является интервалом. Более того, в работе [4] были найдены точные значения максимума и минимума остаточного члена.

В работе [19] эргодическим методом было получено описание одномерных множеств ограниченного остатка, представляющих собой объединение нескольких интервалов. Более удобный критерий, а также явная оценка остатка в этом случае получены в работе.

Таким образом, одномерный вариант проблемы Гекке-Кестена можно считать решенным.

В настоящей работе приводятся результаты, посвященные двумерному аналогу проблемы Гекке-Кестена. Отметим, что многие из приводимых результатов имеют аналоги и вразмерностях, больших двух. Однако, для простоты, мы будем ограничиваться исключительно двумерным случаем.

Автор выражает благодарность В.Г.Журавлеву за многолетнее внимание к работе и многочисленные стимулирующие обсуждения, а также за возможность познакомиться с некоторыми результатами о множествах ограниченного остатка до их выхода в печать.

2 Известные результаты

Простейшей конструкцией двумерных множеств ограниченного остатка является конструкция прямых произведений. Пусть 1\ - множество ограниченного остатка для поворота единичной окружности на 12 множество ограни-

ченного остатка для поворота единичной окружности на а2. Тогда каждый из прямоугольников Р\ = 1\ ® [0; 1), Р2 = [0; 1) ® 12 является множеством ограниченного остатка для сдвига двумерного тора на вектор (а\; а2). Здесь и далее

предполагается, что числа 1, а\, а2 линейно независимы над Z. Отметим, что r(a,n,Pi) = r(ai,n,Ii), то есть мы имеем явную оценку остаточного члена для построенных прямоугольников.

Позднее Лиарде доказал [18], что все оставшиеся прямоугольники не могут быть множествами ограниченного остатка. Доказательство основывалось на общем критерии ограниченности остатка, справедливым для произвольного эргодиеского оператора. Этот критерий принципиально не позволял получить оценок остаточного члена. Кроме того, данный критерий основан на сложном методе кограниц и не позволил получить дальнейших примеров множеств ограниченного остатка.

Альтернативный подход к задаче о множествах ограниченного остатка был найден в работах Рози [21] и Ференци [15]. Данный подход базируется на понятии отображения первого возвращения.

Пусть T2 - единичный двумерный тор, на котором определен сдвиг R : x ^ x + a (mod Z2). Пусть X С T2. Для каждой точки x Е X определим время первого возвращения точки в X под действием сдвига R:

nX(x) = min{k : k > 0, Rk(x) Е X}.

Далее определим отображение первого возвращения dX R равенством

dx R(x) = Rnx (x)(x).

XR

X

областью некоторой решетки Lx.

2) Отображение dx R изоморфно некоторому сдвигу тора, возмножно отлич-R

Была доказана следующая теорема.

Теорема 1. Каждое собственное множество является множеством ограниченного остатка для того же сдвига. Более того, каждое множество ограниченного остатка является объединением собственных множеств.

В основе доказательства теоремы лежат методы эргодической теории и теорема Какутани о неподвижной точке, что вновь не позволяет найти явные оценки остаточного члена.

В настоящее время описание собственных множест известно только в одномерном случае [10]. Сам Рози привел первый пример [22] множества ограниченного остатка для сдвига на вектор ((,(2), где ( + (2 + (3 = 1. Данное множество имело фрактальные границы и в настоящее время известно как фрактал Рози. Позднее были построены обобщенные фракталы Рози, давшие примеры собственных множеств для других алгебраических иррациональностей (обобщенные фракталы Рози). Соответствующие примеры можно найти например в

[20]. В работе [13] был найден пример собственного параллелограмма для произвольного сдвига двумерного тора.

3 Перекладывания на торе и множества ограниченного остатка

В данном разделе мы рассморнм чуть более общую постановку задачи.

L T2

L

1) Для любых x,y Е T2 разность x — у те принадлежит решетке L.

2) Для любого z существует x Е T2 такой, что x — z Е L (Соответствующее значение x мы будем обозначать через z mod T).

z mod T2

образом.

Пусть теперь v - вектор, иррациональный относительно решетки L и R : x ^ x + v mod T2 - сдвиг на этот вектор. Тогда остаточный член теоремы Вейля о равномерном распределении вычисляется по формуле

r(v,n,X) = §{k : 0 < k < n — 1, Rk(0) Е X} — n.

|T2 |

Рассморим разбиение T2 = T1 U T2 U T3 множества T2 на 3 непересекающихся области. Выберем 3 вектора vi, v2 ж v3 и определим отображение R*:

(x + v1, x Е T1

x + v2, x Е T2 . (1)

x + v3, x Е T3

Предположим, что T2 = R*(T1) U R*(T2) U R*(T3). В этом случае отображение (1) назывется перекладыванием трех областей.

Определим числа

ni(n) = { : 0 < k < n — 1, (R*)k(0) Е Ti}

и

( ) ( ) \Ti\

ri(n) = ni(n) — n.

Ясно, что

ni (n) + n2 (n) + n3(n) = n, (2)

ri (n) + r 2(n) + r:i(n) = 0.

Ti

R*

Iri(n)| < , (3)

Из определения отображения Я* и чисел пг(п) немедленно следует, что

П1(и)У1 + Н2{и)У2 + Пз(и)уз Е Т2. (4)

Выберем два взаимно ортогональных направления х и у и обозначим через Сх и Су длины проекций Т2 на эти направления (вдоль у и х соответственно).

ху

получаем систему неравенств:

\и1(и){у1х - ь3х) + П2(и)(ь2Х - у3х) + иь3х\ < Сх , .

\п1(и)(У1у - У3у) + Н2(п)(У2у - У3у) + НУ3у \ < Су

Неравенства (5) определяют параллелограмм на плоскости (п1,п2). Поскольку размеры параллелограмма не зависят от п, то получаем, что все Т’г являются множествами ограниченного остатка, а остатки \гг(п)\ не превосходят диаметра полученного параллелограмма.

Для доказательства оценки (4) необходимо решить систему неравенств (4). При этом для доказательства главного члена для пг(п) можно либо использовать явную формулу для площади \Тг\ через векторное произведение соответствующих векторов либо воспользоваться уже доказанной ограниченностью остатка. В результате решения системы неравенств будут получены оценки вида

I I Сх \ ь2у - ь3у \ + Су\ь2х - ь3х\ /а\

\ Г г (п) \ < -'—?■- \Т2| ---------- > (6)

Пусть Б - диаметр Т2. Учитывая, что Сх, С\ < Б, перепишем (6) в виде

Г (п)| ^ О(\Ь2у - Ь3у \ + \ ь2х - ь3х \)

\'г(п)\ < \т 2 \ '

Далее используя неравенство

\х\ + \у\ < л/^л/Х^Гу2,

находим

Ып)\ < .

Для получения требуемой оценки (3) остается заметить, что длина вектора ь2 -ь3 также те превосходит Б.

Замечание. В доказательстве теоремы 2 можно было бы воспользоваться также проектированием на 2 на,правления, пересекающихся под произвольным углом 7. Тогда оценка (6) могла бы быть переписана в виде

\гг(п)\ <

Сх \ ь2у - ь3у \ + Су \ ь2х - ь3х \

\ Т2 \ вт 7

Более того, выбирая в качестве направлений проектирования направления, задаваемые векторами v2 и v3 можно переписать (6) в виде

, ( Л, CV2 Н + CV3 | v2 І

1 j| - ІТ2І sinZ(v2] V3) ■

Оказывается, что для любого сдвига двумерного тора R : x ^ x + v mod T2 существует бесконечно много способов представить его в виде перекладывания трех областей (1). Каждое такое представление порождает три множества ограниченного остатка па двумерном торе, с оценкой остатка (1).

В качестве примера можно рассмотреть разбиение шестиугольной фупда-T2

грамма и шестиугольник (рис.2).

Т, г R*(T2) R*(T3)

т ►

1 3 Т2

R*(T,)

Рисунок 1

ТГ

о

Т3 —► ■fc о: R*(T3)

Т2

R'(T,)

Рисунок 2

Замечание. В примерах, изображенных па рис.1 и рис.2 оценка остатка г 1(4) может быть несколько улучшена. Кроме того для данных примеров существуют непрерывные деформации, позволяющие строить на из: основе бесконечные семейства мпоэюеств ограниченного остатка. Подробности моэ/сно найти в работах |1|, |5|.

4 Множества ограниченного остатка с фрактальной границей

Для сдвигов тора на векторы из специально выбранного кубического поля существует принципиально иной подход к построению множеств ограниченного остатка, дающий множества с фрактальной границей. Данное семейство примеров основано на использовании обобщенных фракталов Рози [20]. Для построения обобщенных фракталов Рози мы будем использовать подход, основаный на ^-разложениях вещественных чисел [12].

Рассмотрим кубическое уравнение

х3 + рх2 + дх = 1 (7)

с целыми коэффициентами р и д. Предположим, что данное уравнение имеет

единственный корень С Е (0; 1) и два комплексно сопряженных корня в и в с

\в \ = т > 1

х

х = X] £*(х)£ г’ (8)

г=1

£г > 0 для всех г. Напомним, что разложение х = ^г=1 £гСг называется жадным, если для любого т > 1 выполняется неравенство

т

\х — Е £.с г <ст.

г=1

Определим отображение х ^ х* = ^°=1 £г(х)в-г- Пусть теперь

Тм = {х* : х Е [0; 1)}.

Здесь черта сверху означает замыкание множества. Множество Тр,я называется обобщенным фракталом Рози. Вообще говоря, Тр,я не обязано являться фундаментальной областью какой либо решетки. Тем не менее, можно выписать рд

вытекает следующая теорема.

рд

Д(р> д) = 4р3 + р2д2 — 4д3 — 18рд — 27 < 0,

р + д > 1,

0 < р < д.

Тогда множество Тр,я определено корректно и представляет собой фундаментальную область некоторой решетки Ьр,д.

На множестве Tp,q можно определить сдвиг тора

Rpq : ж ^ x + в-1 (mod Lpq).

Данный сдвиг эквивалентен перекладыванию трех областей с фрактальной границей, являющихся, в силу доказанного выше, множествами ограниченного остатка для сдвига Rp,q. Примеры соответствющих разбиепий Tp,q на три области для различных p,q изображены на рис. 3. Мы рассмотрим здесь более общий пример множеств ограниченного остатка для сдвига Rp,q, включающий множества, изображенные на рис. 3. Для этого определим множества

rpp,q

{х* : х Є [0; 1), £і(х) = Si,..., £i(x) = Si}.

Рисунок 3.

Теорема 4. Пусть множество Тр, 5і непусто. Тогда оно является множеством ограниченного остатка для сдвига Яр,д. Более того, если г(и) - остаточный член проблемы равномерного распределения для этого множества, то справедлива оценка

|г(и)| < Стах(р2, д2)||А||ьі,

где С - не зависящая от р и д константа, С < 16 и матрица А имеет вид

A =

1

С-1

с-2

1

в-1 в-2

1

в-1

в/-2

Полное доказательство теоремы 4 будет опубликовано в одной из последующих работ автора.

5 Семейство сдвигов для данного множества ограниченного остатка

Пусть X - множество ограниченного остатка для сдвига на вектор Ra : x x + a mod L. Оказывается, что можно построить бесконечное семейство

векторов в у таких, что X также будет множеством ограниченного остатка для всех сдвигов Re : x ^ x + в mod L. Для этого модифицируем ряд исходных определений с тем, чтобы они включали орбиты произвольной начальной точки. Пусть

N (a, n, X, x0) = §{k : 0 < k < n — 1, Rk (x0) E X}, r(a, n, X, x0) = N (a, n, X, x0) — n\X\, r(a, n, X) = sup r(a, n, X, x0).

xo

Теорема 5. Пусть X - множество ограниченного остатка для сдвига Ra. Пуст ь в = h (а + b), гд е h Е N и вект op b принадлежит решетке L. Тогда множество X является множеством ограниченного остатка для сдвига Rp. Более того, справедлива оценка

\r(a,n,X,x0)| < hr(a,X),

где

r(a, X) = sup \Ÿ(a, n,X)\.

n

Для доказательства теоермы заметим, что

R = Ra.

Обозначим через Orbn(Ra, x0) первые n точек Ra-op6nTbi точки х0. Другими словами, Orbn(Ra,x0) = {Ra : 0 < k < n — 1}. Справеливо разложение орбиты

h—1

Orbn(R/3 ,Хо) = У Orbni (Ra,X0i), i=0

ГД6

\ n/h, n = 0 (mod h)

П% \ [n/h] + 1, п~Ф 0 (mod h)

И Xoi = R%e (хо).

Из разложения орбиты находим

h— 1 h— 1

N (в, n, X, хо) = X N (a,ni,X,xoi) = ^(ni\X \ + r(a,ni,X,xoi))

i=0 i=0

h—1

>iX i + E r(a,ni,X,xoi).

h—1

n\

i=0

Отсюда получаем

h— 1

r(e, n, X, x0) = r(a, щ, X, x0i) (9)

i=0

Н—1

\г(в,п,Х,х0)\ <^^\г(а,Пг,Х,хог)\ < к\г(а,п,Х)| < кг(а,Х),

г=0

что и требовалось доказать.

Легко проверить, что введенная нами функция Г(а,п,Х) удовлетворяет условию

г (а, т + п,Х) < 'г (а, т, Х) + г(а, п, Х). (10)

Из неравенства (10) и ограниченности Г(а,п,Х) можно вывести существование предела

1 П— 1

{Г(а,Х)) = Пт — N г(а,],Х). и^<х> п ^ з=о

В работе [3] было показано, что для одномерных множеств ограниченного остатка существует более сильное среднее значение

1 П— 1

{г(а,Х,х0)) = Нт — N г(а,],Х,х0).

и^<х> п ^

3=0

В работе [2] были приведены примеры двумерных множеств ограниченного остатка, для которых существует среднее значение {г(а,Х,х0)).

Х

Яа- Пусть в = Ь(а + Ъ), где к Е N и вектор Ь принадлежит решетке Ь. ЫиЦ справедливо неравенство

{г(в,Х)) < к{Г(а,Х)).

Предположим также, что существют все средние значения {г(а,Х,х0)). Тогда среднее значение {г(в,Х,х0)) также существует и может быть вычислено по формуле

h-1

[ (а,

i=0

(r (ß,X,xo)) = X (r (a,X,Rß (xo))).

Доказательство теоремы 6 получается непосредственным вычислением, основанном на разложении остаточного члена (9).

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Абросимова A.A., Журавлев В.Г. Двумерное обобщение теоремы Гекке и сбалансированные слова // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов VIII Международной конференции, посвященной 190-летию П.Л.Чебышева и 120-летию И.М.Виноградова. Саратов: СГУ. -2011. -С.3-4.

[2] Абросимова А. А., Журавлев В. Г. Средние значения отклонений для распределения точек на торе // Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел: сб. материалов Международной конференции (Белгород, 17-21ок г.2011 г.). - Белгород: 1111К НИУ <БелГУ>, -2011. -С. 5.

[3] Журавлев В.Г. Геометризация теоремы Гекке // Чебышевский сборник. -2010. -Т.Н. -Вып. 1. -С.125-144.

[4] Красильщиков В.В., Шутов A.B. Описание и точные значения максимума и минимума остаточного члена проблемы распределения дробных долей // Математические заметки. -2011. -Т. 89. -Вып. 1. -С. 43-52.

[5] Шутов A.B. Об одном семействе двумерных множеств ограниченного остатка // Чебышевский сборник (в)печати.

[6] Шутов A.B. Оптимальные оценки в проблеме распределения дробных долей на множествах ограниченного остатка // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. -2007. -Вып. 7(57) -С. 168-175.

[7] Шутов A.B. О распределении дробных долей // Чебышевский сборник. -Тула: Изд. ТГПУ. -2004. -Т. 5, Вып. 3. -С. 112-121.

[8] Шутов A.B. О распределении дробных долей II // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. :Межвуз.сб.науч.тр. -Саратов: Из-во Саратовского Университета. -2005. -Выи 3. -С. 146-158.

[9] Шутов A.B. Проблема Гекке-Кестена для нескольких интервалов // Чебышевский сборник (в печати).

[10] Шутов A.B. Производные поворотов окружности и подобие орбит // Записки научных семинаров ПОМП. -2004. -Т. 314. - С. 272-284.

[11] Шутов A.B. Системы счисления и множества ограниченного остатка // Чебышевский сборник. - 2006. - Т. 7, Вып. 3. - С. 110-128.

[12] Akiyama S. Self affine tiling and Pisot numeration system // "Number Theory and its Applications“, ed. by K. Gyory and S. Kanemitsu, Kluwer. -1999. -P. 7-17.

[13] Baladi V., Rockmore D., Tongring N., Tresser С. Renor malization on the n-dimensional torus //Nonlinearity -1992 -V.5 -P. 1111-1136.

[14] Erdös P.Problems and results on diophantine approximation // Comp.Math. -1964. -V.16. -P.52-65.

[15] Ferenczi S. Bounded remainder sets // Acta Arithmetica. -1992. -V. 61. -P. 319-326.

[16] Hecke E. Eber Analytische Funktionen und die Verteilung van Zahlen mod Eins // Math.Sem.Hamburg Univ. -1921. -V. 5. -P. 54-76.

[17] Kesten H. On a conjecture of Erdös and Szüsz related to uniform distribution mod 1 // Acta Arithmetica. -1966. -V. 12. P. 193-212.

[18] Liardet P. Regularities of distribution // Compositio Math. -1987. -V. 61. -P. 267-293.

[19] Oren I. Admissible functions with multiplie discontinioutes // Israel J.Math. -1982. -V. 42. -P. 353-360.

[20] Pytheas Fogg N. Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics. -Springer. -2001. -402 p.

[21] Rauzy G. Ensembles a restes bornes // Seminaire de theorie des nombres de Bordeaux 1983/1984, -Bordo. -1984. -Expose 24.

[22] Rauzy G. Nombres algebriques et substitutions // Bull. Soc. Math. France, 110 (1982), 147-178.

[23] Shutov A.V. New estimates in the Hecke-Kesten problem // Anal. Probab. Methods Number Theory. Edited by E.Manstavicisus et al. Vilnius:TEV. -2007.

[24] Weyl H. Uber die Gibbs’sche Erscheinung und verwandte Konvergenzphänomene // Rendicontidel Circolo Mathematico di Palermo. -1910. -V. 30. -P. 377 - 407.

Владимирский Государственный Университет Поступило 3.11.2011