Множества ограниченного остатка на двумерном торе Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 12 Выпуск 4 (2011)

УДК 511.2

МНОЖЕСТВА ОГРАНИЧЕННОГО ОСТАТКА НА ДВУМЕРНОМ ТОРЕ

А. А. Абросимова (г. Владимир)

Аннотация

В работе рассмотрены разбиения двумерных торов на множества ограниченного остатка. Для этих множеств найдены оценки остаточного члена равномерного распределения и для него вычислено среднее значение.

1 Введение

Впервые понятие последовательности, равномерно распределенной по модулю 1, было введено Г. Вейлем в работе [10], а также доказан критерий равномерного распределения. В той же работе были приведены первые примеры последовательностей, равномерно распределенных по модулю 1. Простейшей такой последовательностью является последовательность {га}г^1 при иррациональном а.

Пусть X — некоторый интервал и

г(а,г,Х) = { : 0 < ' < г, {'а} е X},

— считающая функция, где {ж} обозначает дробную долю. Тогда теорема Вейля

о равномерном распределении эквивалентна асимптотической формуле

г(а,г,Х) = г\Х \ + а{г),

где \Х\ — длина интервала X.

Пусть

5(а,г,Х) = г(а,г,Х) — г\Х \

— остаточный член этой формулы или отклонение считающей функции от ожидаемой величины.

Х

ствует такая константа С, что выполняется неравенство

г.

Первые примеры таких множеств были построены в работе Э. Гекке [5], который доказал, что интервалы / длины вида а + Ьа, где а,Ь е 2, являются интервалами ограниченного остатка и для них справедлива оценка

\6(а,г,1 )\ ^ \Ь\.

Полное описание всех интервалов ограниченного остатка было найдено в [6], а в работе [4] были получены неулучшаемые по порядку оценки остаточного члена.

Более сложной является задача о множествах ограниченного остатка в многомерном случае. Большинство известных примеров строятся на основе результатов эргодической теории, они рассмотрены в работах [7], [8], но данная теория не позволяет получить явных оценок остаточного члена. Впервые частный случай для двумерных торов был рассмотрен К. Эгивг в работе [9], затем В. Г. Журавлев в работе [2] рассмотрел множества ограниченного остатка для фрактальных разбиений Рози, для произвольной размерности это было сделано в работе [3], где была доказана многомерная теорема Гекке для разбиения тора.

В работе [1] автора построены множества ограниченного остатка в двумерном случае, получены явные оценки остатка или отклонения на этих множествах, а также высчитаны средние значения отклонений для данных множеств. Настоящая работа является обобщением работы [1], в ней построен целый класс множеств ограниченного остатка на двумерном торе, основанный на гексого-нальных развертках, а также рассмотрен случай орбиты с произвольной начальной точкой.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю В. Г. Журавлеву за постановку задачи и внимание к работе.

2 Развертка тора

Построим шестиугольную развертку Т2 (с) единичного тopa T2 = R2/Z2. Для этого в ортонормированном базисе (ei,e2) построим век тор с = (с1,с2), такой что с Е C = {с = (с1,с2) Е R2; Ci > 0, min(c1, с2) ^ 1}.

Для построения развертки T2 (с) отложим век тор — с от точе к (0,1), (1,1), (1, 0)

(0, 0), (—с1, 1 — ъ), (0,1), (1 — с1,1 — а), (1,0), (1 — с1, —ъ).

У полученного шестиугольника противоположные стороны попарно параллельны и равны (рис. 1).

Введем функцию a(x), которая определяется формулой a(x) = x1 + x2, где x1 и x2 координаты точки x в ортонормированном базисе (e1,e2).

Если а(с) > 1, то Т2(с) - невыпуклый, и выпуклый, если а(с) ^ 1 (рис. 2).

Рисунок 1.

Если а (с) > 1, то Т2(с) невыпукльтй. и выпуклый, если а (с) ^ 1 (рис. 2).

Параллельными переносами на векторы / из квадратной решетки Z2 шестиугольником Т2(с) можно замостить Т = П/еж2^2^] плоскость М2. Таким образом шестиугольник Т2(с) является фундаментальной областью для квадратной решетки Z2 и его можно рассматривать как развертку тора ТГ2.

Построим теперь вектор су = (а'ьа'г) такой, что а = ¿с, где 0 < I ^ 1 для

выпуклого шестиугольника. Для невьтпуклого шестиугольника <т(а') должно быть меньше 1. поэтому 0 < I < -¿Щ.

Сдвинем разбиение Т на вектор —а = (—а'1,— а2) ■. при этом оставив саму область Т2(с) неподвижной. Получим разбиение области Т2(с) на три фигуры Т|, к = 0,1, 2, площади которых соответственно равны

ЙО = 1 — 01 — О'2 = О'О) ^1 = ^1) ^2 = СХ'2- (1)

Фигура Т2(с) будет являться перекладывающейся разверткой тора (рис.З), то есть существует преобразование

Бу : Т2(е) ^ Т2(е) : х Бу(х) = х + Ук, (2)

где Ук — вектора перекладывания для областей Т2, к=0, 1, 2 и они соответ-

ственно равны

Уо = (а\, а2),У\ = (а\ — 1,а2),у2 = (а\,а2 — 1)- (3)

Перекладывание Sv облаетей Т| развертки тopa Т2 (с) соответствует сдвигу Sa тор a T2 на такт ор а, то есть выполняется равенство

Sv (Т2(с)) = Sa(T2)mod Z2, (4)

где Ба : T2 ^ T2 : x ——> Sa(x) = x + amodZ2.

Это утверждение доказано в работе [1].

3 Отклонения счетных функций

а

пределение точек на нем. Будем рассматривать орбиты с произвольной начальной точкой xo = (xo1, xo2), отличной от 0. Так так тору T2 соответствует его развертка Т2(с), определим для каждой ее области Т£,к = 0,1, 2 количество попаданий в нее точек распределения или считающие функции

ru (t,xo) = ш: sa (xo) е Т1,0 <j < г}.

Также определим отклонения ók(i, x0) считающих функций rk(i,x0) от ожидаемой величины iak

ók(i,xo) = rk(i, xo) — iak, (5)

a Т 2

Относительно отклонений ók(i, xo) в двумерном случае доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть дан сдвиг тора Ба на вектор а, и а иррациональный, то есть числа а\,а2,1 линейно независимы, над Ъ, пусть тор Т2 разбит на области Т\: Т2 = Т2 и Т2 и Т2 . Тогда для отклонений выполняются неравенства:

для а (с) ^ 1,

—xoi — x02 — а(с) ^ Íq(*,xq) ^ 2 — xoi — x02

(в)

для а(с) > 1,

— Xoi — XQ2 + 1 — а(с) ^ 8q(Í, Xq) ^ 1 — xoi — Xq2

Xoi — 1 ^ ói(i,Xo) ^ Xoi + Ci, x02 — 1 ^ $2(i,Xo) ^ X0i + c2•

(7)

(8)

Доказательство. Функции Тк(і,х0) - это колличество попаданий точек Ба (х0), 0 ^ і < 1 в область Т,2, и их сумма

То(І,Хо) + Ті(І,Хо) + Т2(І,Хо) = І. (9)

Так как развертка Т2(с) является перекладывающейся, то

Хо + То(І,Хо )ьо + Ті(І,Хо)Ьі + Т2(І,Хо)У2 Є Т2 (с).

Найдем проекции данного соотношения на направления задаваемые векторами е0 = (—1,-1),е1 = (1, 0) и е2 = (0,1) соответственно

— 1 ^ —Xoi — X02 — (tq(Í,Xq) + T2(i,Xo))ai — (ro(i,Xo) + ri(Í,Xo))(a2) + +ri(i,Xo)(1 — ai) + T2(í,xq)(1 — a2) ^ a(c)

для случая а (с) ^ 1,

—ci ^ Xoi + (tq(í,Xq) + T2(i,Xo))ai — ri(i,Xo)(1 — ai) ^ 1,

— C2 ^ Xq2 + (tq(Í,Xq) + Ti(i,Xo))a2 — T2(Í,Xq)(1 — a2) ^ 1.

(10)

(11)

Формулы (7) и (8) получаются при решении неравенств (10), (11) с учетом соотношений (5) и (9). Для доказательства выражения (6) необходимо дополнительно просуммировать неравенства системы (11). □

Х0 = 0

цы отклонений 8к (І, Х0) те зависят не толь ко от І, но и от вектора сдвига, а определяются только размерами развертки Т2(с), а области Т|, где к = 0,1, 2 являются множествами ограниченного остатка относительно сдвига на вектор а.

4 Средние значения отклонений

Рассмотрим понятия векторной дробной части Fr(x) и сумарного векторного отклонения 6(i,x0) необходимые для дальнейших рассуждений.

Для любого x Е R2 можно определить векторную дробную часть Fr(x),

полагая Fr(x) = x', где x' = xmodZ2 и x' Е T2 [3]. Корректность этого опреде-

ления вытекает из факта существования разбиения T = ЦгеZ2 T2[l].

Предложение 1. Пусть

△Fr(x) = Fr(x + а) — Fr(x) (12)

— векторно-значная разностная функция с шагом а, где а вектор сдвига тора, T2. Тогда выполняется равенство

AFr(x) = v(x) (13)

для любого x Е R2, где вектор

v(x) = а + l(x), (14)

при этом l(x) = lk, если x Е T^, для k = 0,1, 2. Здесь lk = vk — v0.

Доказательство. Для любого x го развертки T2(е) имеем представление

Sa(x) = x + v(x), (15)

v(x) = v x Е T 2 k = 0, 1, 2.

Так как vk = атс^Z2 выполняется равенство (14), где l(x) = lk для x Е T% k = 0, 1, 2,

Sa (x) = x + а + l(x),

причем для любого x из T2 (c) его образ x + а + l(x) принапдлежит торической развертке T2(с).

Отсюда получаем следующие равенства

Fr(x + а) = x + а + l(x) = x + v(x), (16)

справедливые при любом x Е T2(с).

Для доказательства (13) заметим, что

x + а = x + а + l(x)mod Z2, (17)

где l(x) Е Z2 ив силу (15) выполняется включение

x + а + l(x) Е T2(c). (18)

Из (16) следует

△Ет(х) = Ет(х + а) — Ет(х) = х + а + 1(х) — х = а + 1(х) = ь(х)

для любого х Е Т2(с).

Рассмотрим теперь общий случай х Е К2. Согласно разбиению Т = Ц Т 2[1]

1&2

любое х можно представить в виде х = х' +1 для некоторых х' Е Т2 (с) ж I Е Ъ?, и тогда

Ет(х) = х'. (19)

По (17) и (18) имеем

△ Ет(х) = Ет(х + а) — Ет(х) = х' + а + 1(х) — х' = а + 1(х) = ь(х),

то есть снова получили равенство (13). □

Теперь определим суммарное векторное отклонение, как векторно-значную функцию

8(г,х°) = ^ АЕт(хо + за) (20)

°^]<г

для г = 0,1, 2,....

Из равенств (13) и (14) можем функцию (20) записать

8(г,х°) = ^ (а + 1(хо + за)) = га + ^ 1(хо + за) == га + 1,

°^<* °&<* 0 ^ з <г

Ет(хо + за)

или в другой форме

8(г, х°) = га + тх(г, х°)1х + т2(г, х°)12. (22)

Спроектировав выражение (22) на направления векторов е° = (—1, — 1), в\ = (1, 0) и е2 = (0,1) получим

8°(г,х°) = 6(г,х°)е0, (23)

где 8(г,х°)е0 проекции вектора 8(г,х°) на направление задаваемое вектором е°, и

8к(г,х°) = —8(г, х°)ек, (24)

где 8(г,х°)ек проекции вектора 8(г,х°) на направления задаваемые векторами ек, в случае к = 1, 2.

Определим среднее значение векторного отклонения

(8(х°)) = ^ 8(г,x°), (25)

если предел существует.

Относительно средних значений отклонений доказана следующая теорема.

Теорема 2. Пусть дан сдвиг тора на вектор а. Пусть вектор а иррациональный, т. е. числа а1,а2,1 линейно независимы, над Z.

1. Тогда существует среднее значение (8(x0)) (25) сумарного векторного отклонения 8 (г), и оно вычисляется по формуле

(8(xo)) = Ct2(c) - xo, (26)

где CT2(c) = (—1, ) ^щнтр тяжести фигуры, T2(е).

2. Также для любого k = 0,1, 2 существуют средние значения отклонений

(8k(xo)) = д lim 1 V 8к(i,xo),

N—±+СГ, \ f ^

N N

1<i<N

и они соответственно равны

{8°(х°)) = 1 — £+1 — х°1 — х°2,

(8\(х°)) = х°1 — 1—1, (27)

(82(х°)) = х°2 — 1—2.

Доказательство. Из определения (13), формул (12)и (25) следует

8(г,х°) = ^2 (Ет(х° + га) — Ет(х°)). (28)

Для доказательства (26) воспользуемся формулой (28) и критерием Вейля

Итм^ 8(г,х°) = Ишм^+те М (Ет(х° + га) — Ет(х°) =

= / хйх — х° / ¿х = СТ2 — х°аТ2(с),

Т2(с) Т2(с)

где аТ2(с) -площадь развертки тора Т2(с), и она равна 1. Таким образом утверждение (26) доказано.

Для доказательства формулы (27) воспользуемся выражениями (23), (24) и □

Справедливо следующее следствие из теоремы 2.

Следствие 4.1. Если начальная точка распределения х° = (х°1,х°2) расположена в центре тяжести СТ2(с) = (—х, 1—2) ? то

1. среднее суммарное векторное отклонение

(8(х°)) = 0,

2. средние отклонения

(8k(xo)) =0,k = 0,1, 2.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Абросимова А. А.Средние значения отклонений для распределения точек на торе // Научные ведомости БелГУ. Серия: Математика,Физика. 2011 г.В печати.

[2] Журавлев В. Г., Разбиения Рози и множества ограниченного остатка // Записки научных семинаров ПОМИ, 2005, том 322, С. 83-106.

[3] Журавлев В. Г., Многомерное обобщение теоремы Гекке // Алгебра и анализ, 2012, том 24, вып. 1, С. 1-33.

[4] Шутов А. В., Оптимальные оценки в проблеме распределения дробных долей на множествах ограниченного остатка // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия, 2007, том 5, вып. 3, С. 112-121.

[5] Hecke E., Eber Analytische Funktionen und die Verteilung von Zahlen mod. eins. Math. Sem. Hamburg. Univ. Bd. 1 (1921), P. 54-76.

[6] Kesten H. On a conjecture of Erdös and Szüsz related to uniform distribution mod 1 // Acta Arithmetica. -1966. -V. 12. P. 193-212.

[7] Liardet P. Eegularities of distribution // Compositio Math. -1987. -V. 61. -P. 267-293.

[8] Eauzy G. Nombres algebriques et substitutions // Bull. Soc. Math. France, 110 (1982), 147-178.

[9] Szüsz E., Uber die Verteilung der Vielfachen einer komplexen Zahl nach dem Modul des Einheitsquadrats // Acta Math. Acad. Sei. Hungar. 5 (1954), 35-39.

[10] Weyl H. Uber die Gibbs’sche Erscheinung und verwandte Konvergenzphänomene // Eendicontidel Circolo Mathematico di Palermo. -1910. -V. 30. -P. 377-407.

Владимирский государственный университет им. А. Г. и Н. Г. Столетовых.

Поступило 13.12.2011