Многомерные обобщения сумм дробных долей и их теоретико-числовые приложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 14 Выпуск 1 (2013)

УДК 519.21

МНОГОМЕРНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ СУММ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ И ИХ ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 1

В работе рассмотрено новое многомерное обобщение понятия дробной доли числа. Получена формула, выражающая число точек орбиты иррационального сдвига многомерного тора, попавших в определенную область, через суммы многомерных дробных долей. Также рассмотрен ряд приложений полученной формулы к задачам теории чисел.

1 Введение

Пусть {ж} - дробная доля числа х. Классической задачей теории чисел является задача изучения суммы

Эта задача тесно связана с проблемами распределения дробных долей линейной функции по модулю 1, с задачей Харди-Литтлвуда [5] о целых точках в треугольнике, а также с рядом других теоретико-числовых проблем.

Изучению и оценке суммы (1) посвящено огромное количество работ, например [3], [6], [10], [20]. Настоящая работа посвящена многомерным аналогам суммы (1).

Пусть L - d-мерная решетка. Точки а и b называются сравнимыми по модулю решетки L, а = b (mod L), если соединяющий их вектор принадлежит решетке а — b £ L. Множество T называется фундаментальной областью решетки L, если выполняется два условия:

1) Для любой точки x £ существует точка X £ T, такая, что x = X (mod L).

хРабота выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант N 11-01-00578-а.

А. В. Шутов (г. Владимир)

Аннотация

П

(1)

2) Любые две точки x,x' £ T несравнимы по модулю решетки: x ф X (mod L).

Из определения фундаментальной области немедленно вытекает, что для любой точки x £ существует единственная точка x! £ T из фундаментальной области, сравнимая с x по модулю решетки L. Определим функцию

FrT(x) = x,x £ T,x ф x (mod L). (2)

Функцию (2) будем называть обобщенной дробной долей. Функция (2) впервые была введена В.Г.Журавлевым в работе [11] для получения явных формул для числа попаданий точек орбиты иррационального сдвига тора в некоторые области. Данная формула напоминала хорошо известный одномерный аналог

[6], [22], но ее доказательство достаточно сильно отличалось от одномерной ситуации. В настоящей работе мы даем новое более простое доказательство формулы Журавлева, аналогичное одномерному, а также приводим некторое ее обобщение. Кроме того мы рассматриваем ряд новых приложений доказанной формулы к решению теоретико-числовых задач.

В §2 мы доказаываем явные формулы для характеристических функций некоторых областей на многомерном торе. В §3 доказанные формулы используются для получения нового вывода формулы Журавлева, а также для ее обобщения. Также в §3 рассматриваются приложения к задаче Гекке-Кестена о множествах ограниченного остатка. В §4 даются приложения доказанной формулы к задаче постоения сбалансированных слов. В §5 вводится новый класс квазирешеток, для которых даются оценки тригонометрических сумм и условия вложимости решеток.

2 Явные формулы для характеристических функций

Фундаментальную область T естественным образом можно отождествить с d-мерным тором Td = Rd/L. Вектор а будем называть иррациональным (относительно решетки L), если размерность линейного пространства над Q, порожденного векторами решетки L и вектором а равна d +1. Каждому вектору а соответствует отображение сдвига тора

Ra(x) : Td ^ Td,x ^ x + а (mod L),

которое естественным образом определяет отображение развертки T в себя. Это отображение мы также будем обозначать через Ra.

Рассмотрим разбиение

T = To U Ti U ...Td, (3)

такое, что для x £ Tj справедливо равенство

Яа(х) = х + V] (4)

с некоторым вектором V], зависящим только от номера области Т].

Разбиения (3) будем называть перекладывающимися торическими разбиениями. Подобные разбиения тесно связаны с многомерной проблемой Гекке-Кестена. Многочисленные конструкции таких разбиений можно найти в работах [1], [9], [12], [19], [21].

На множестве Т определим характеристические функции множеств Т]

1, х Є Т]

3 = 0,1,... ^. Отметим, что функции Х(х) не определены для х Е Т.

Заметим, что разбиение (3) можно также рассматривать как разбиение d-мерного тора Т ив этом случае функции х - (ж) определены на всем торе.

Теорема 1. Существуют векторы е0,е\,... ,ва такие, что

Хз(х) = (Ргт(х + а) — Ягт(х),ез) - ^ . (5)

В настоящем пункте мы докажем более слабое равенство

Хз(х) = (Ятт(х + а) — Ятт(х),е-) - с-, (6)

с некоторыми эффективно вычислимыми константами с-. Равенство

с- = т1(Т> (7)

3 коНТ) ( )

будет доказано в следующем разделе.

Заметим, что по определению для х Е Т имеем Ятт(х) = х и Ятт(Яа(х)) = Ятт(х + а). Отсюда, учитывая (4), получаем, что

Ятт (х + а) — Ятт (х) = V-, (8)

если х Е Т -. Из (8) следует, что для 3 = 1, 2,... ^ справедливо равенство

Ятт (х + а) — Ятт (х) — Vo = V- — Vo, (9)

если х Е Т -. Множество векторов V- = V- — v0, 3 = 1, 2,... ^ является линей-

но независимым (над К) [11]. Соответственно определен двойственный базис е\,е2,... ,еа такой, что

' 1 3 = к (10)

0, 3 = к . (10)

(^з,ек) = |

Из (9) и (10) немедленно получаем, что равенство (6) справедливо для 3 = 1, 2,... ^ с константами

с- = ).

В случае 3 = 0 положим е0 = — ^&= е- и с0 = 1 — ^&= с- и воспользуемся очевидным равенством

&

-=0

3 Множества ограниченного остатка

Определим счетные функции

М- (а,х,п) = §{к : 0 < к <п : (х) Е Т-}

показывающие сколько точек Яа-орбиты точки х попало в область Т-.

Согласно теореме Вейля о равномерном распределении для любого иррационального относительно решетки Ь вектора а имеем

Ы] (а,х,п) = п + о(п). (11)

^оіТ) \оІ(Т)

По определению характеристической функции

п— 1

М](а, х, п) = X](Ятт(ка + х)).

к=0

В силу (6), находим что при п > 1

Ы](а, х, п) = (Ятт((па + х) — Ят(х), е]) + пс]. (12)

Сопоставляя (11) и (12) и учитывая, что скалярное произведение (Ятт((па + х) — Ят(х),е]) ограничено константой, не зависящей от п,получаем равенство

(7).

Рассмотрим остаточные члены проблемы распределения дробных долей

vol(Tj)

т](а,х,п) = И](х,п) — п Т) .

Из предудущих рассуждений получаем следующий результат.

Теорема 2. Множества Т] являются множествами ограниченного остатка для сдвига Яа, то есть

Т](а, х, п) = 0(1).

Более того

Т](а, х, п) = (Ятт((па + х) — Ят(х), е]).

Пусть теперь вектор в определяется условием

в = hа (mod L). (13)

для некоторого целого h = О.

Теорема З. Множества Tj являются множествами ограниченного остатка для сдвига Rв, то есть

r.(в, x, n) = О(І).

Более того справедливы равенства

h-l

rj(в, x, n) = (^(Fr((k + и)в + x) — Fr(kв + x)),ej) k=0

при О К h К n,

r. (в, x, n) = (^(Fr((k + К)в + x) — Fr(kв + x)),ej) k=0

при О К n < h,

|h| l

rj (в:X:n) = ( £ (Fr((k + К)в + x) — Fr((k + h + n^ + x)),ej) k=0

при —n К h К О, и, наконец,

n- l

n) = (V(F r((k + h)p + x) — F'r(k# + x) / , .

nl

т-(в, х, п) = (^(^((к + К) в + х) — Ят(кв + х)),е-) к=0

при К < — п < 0.

Для доказательства рассмотрим счетные функции Ы-(в,х,п) и остаточные члены т-(в,х,п). По определению характеристической функции

П— 1

Nj (в:X:n) = X Xj(F^(kв + X)).

-п

к=0

С учетом теоремы Вейля о равномерном распределении имеем,

П^ vol(T3)

Х- (Г тт(кв + х)) —

к=0

Далее, учитывая теорему 1, находим, что

П— 1

т- (в, х, п) = т(кв + х + а) — Ят(кв + х),е-).

к=0

г. (^ x,n) = j2 х. (^т(kв+x)) — v°0(j.

Используя (13), получаем, что

п1

т](в,х, п) = т((к + К) в + х) — Ят(кв + х),Є]).

к=0

Разбивая на две суммы и меняя в первой диапазон суммирования, находим

П+к—1

п1

т](в,х,п)= (Ят(кв + х),Є]) — В* т(кв + х),е] ) = Еі —

14)

к=к

к=0

Остается выяснить, какие из слагаемых в формуле (14) взаимно уничтожаются. Для этого рассмотрим четыре случая.

1) 0 < К < п. Тогда в сумме £1 остаются слагаемые с номерами п,..., п+К— 1, а в сумме £2 - слагаемые с номерами 0,... ,К — 1. Отсюда

п+к—1

к-1

т](в,х,п)= X (Ят(кв + х),Є]) — £(* т(кв + х), е ] ).

к=п

к=0

После преобразований получаем

к—1

т](в, х, п) = (^(^т((к + п)в + х) — Ят(кв + х)),е]).

к=0

2) 0 < п < К. Тогда в сумме £1 остаются слагаемые с номерами К,..., п+К— 1, а в сумме £2 - слагаемые с номерами 0,... ,п — 1. Отсюда

п+к—1

п— 1

т](в,х,п)= X (Ят(кв + х),е]) — £^ т(кв + х) ,е]).

к=к

к=0

После преобразований получаем

п1

т](в, х, п) = (Х(^т((к + К)в + х) — Ят(кв + х)),е])

к=0

Заметим, что при К = п формулы пунктов 1 и 2 совпадают.

3) —п<К< 0. Тогда в сумме £1 остаются слагаемые с номерами К,. а в сумме £2 - слагаемые с номерами п + К,... ,п — 1. Отсюда

п1

т] (в, х, п) = т(кв + х)^]) — X (Рт(кв + х)^]).

к=к

к=п+к

После преобразований получаем

н—1

т-(в,х,п) = ( £ (Ят((к + К)в + х) — Ят((к + К + п)в + х)),е-).

к=0

4) к < —п < 0. Тогда в сумме ^ остаются слагаемые с номерами к,... ,п + к — 1, а в сумме £2 - слагаемые с номерами 0,... ,п — 1. Отсюда

п+Н—1 п—1

т,(в,х,п) = (Ят(кв + х),е,) — £(*■ т(кв + х),е,).

к=Н к=0

После преобразований получаем

п— 1

т- (в, х, п) = (Х(^т((к + к)в + х) — Ят(кв + х)),е-). к=0

Заметим, что при к = — п формулы пунктов 3 и 4 вновь совпадают.

В случае к > 0 теорема 3 была другим способом доказана В.Г.Журавлевым в работе [11].

Функции т-(в,х,п), ] = 0,1,... ,й связаны очевидным соотношением

Xтз (в,х,п) = 0. (15)

3=0

Теорема 4. Соотношение (15) является единственным линейным соотношением для функций т-(в,х,п), ] = 0,1,... ,ё,, выполненным для всех п.

Поскольку соотношение (15) позволяет выразить функцию т0(в,х,п) через функции т1(в, х,п),... та(в, х, п), достаточно доказать отсутствие линейных соотношений для функций т1(в,х,п),.. .та(в,х,п). Предположим противное, то есть существование констант А1,... , Ап таких, что

Т,А-т-(в,х,п) =0 -=1

для всех п. Далее воспользуемся теоремой 3.

Для простоты рассмотрим только случай к > 0. Тогда для всех п > к выполняется соотношение

1 Н—1

£ а, £> т((к + п)в + х) — Ят(кв + х)),е-) = 0.

-=1 к=0

Обозначим

Н—1

т*(п) = X Рт((к + п)в + х) — Ят(кв + х).

к=0

Тогда

(т*(п)^Аз ез) = 0 3 = 1

для всех п.

Так как т* (п) = 0 для бесконечно многих п, получаем

А3е3 = 0,

-=1

что противоречит тому факту, что е1,... ,ва - базис.

Случай к < 0 рассматривается полностью аналогично.

4 Сбалансированные слова

Множество А = {0,1,... ,й — 1} назовем алфавитом. Бесконечную последовательность м = {мк}&=0, мк Е А для всех к, назовем словом над алфавитом А. Конечные подпоследовательности и = {мк}^1+4^2— будем называть подсловами слова м. Число и2 будем назвать длиной |и| подслова и. Для каждого подслова и и ] Е А определим величину

1и1з = { : и1 < к < щ + и2,Мк = ]},

то есть количество вхождений символа ] в подслово м. Слово м назовем С -сбалансированным [7], если для любой пары его подслов одинаковой длины и, V и для любого ] Е А выполняется неравенство

11и3 — Нз 1< С. (16)

Константу С будем называть показателем сбалансированности слова м.

Интерес к сбалансированным словам объясняется, в частности, знаменитой теоремой о том, что непериодическое слово над двухсимвольным алфавитом 1-сбалансированно тогда и только тогда, когда оно является словом Штурма

[8].

В настоящая время известно описание непериодических 1-сбалансированных слов над произвольным алфавитом [17]. В случае С > 1 известны только отдельные конструкции С-сбалансированных слов [2]. В связи с этим представляют интерес новые конструкции С-сбалансированных слов.

Пусть дано разбиение (3), связанное с вектором а, а вектор в определен условием (13). Опеределим бесконечное слово м = м(в,х) по правилу мк = ], если Щ (х) Е Т-.

Теорема 5. Слово м(в,х) является С-сбалансированным с эффективно вычислимым показателем сбалансированности С.

Рассмотрим произвольное слово и = {мк}и=+и2 1 = {ик}ь2—Д где ик = мк+и1. По определению слова м получаем, что ик = ] тогда и только тогда, когда Щ (хи) Е Т3, где хи = Щ1 (х). Очевидно, что

Ыз = N3 (в,хи,щ).

Условие (16) перепишется в виде

1Ыз — IV1з I = N3 (в,хи,и2) — N3 (в,хи ^)| < С.

Используя теорему Вейля о равномерном распределении и равенство длин и и V, находим

Мз — И- 1 = 1т3 (в, xu, и2) — тз (в,х , и2) 1. (17)

Обозначим

r+ = sup sup rj (e,x,n),

xn

r— = inf inf rj (e,x,n).

j X n

В силу теоремы З величины r+, r~ конечны для всех i. Отсюда, используя (15) и (17), получаем утверждение теоремы 5 с константой C = supj (r+ — r~).

Замечание. В работе [її] приведен алгоритм вычисления точных значений r+, r~ для h > 0, основанный на соответствующей части теоремы З. Полностью аналогичный алгоритм может быть получен и для h < 0.

5 Квазирешетки

В случае d =1 разбиение (3) имеет вид [0; 1) = [0; 1 — а) и [1 — а; 1). Данное разбиение определяет одномерную квазирешетку Q = Q(а,l1,l2), рассмотри-ваюмую как множество точек {х^^^^, определяемое условиями

x—1 = 0;

= xn + l1, {^а} < І — а (18)

xn+1 1 xn + l2, {nu} ^ І — а .

{

Для квазирешеток вида (18) и ряда их аналогов решен целый ряд теоретикочисловых задач: асимптотика числа решений линейных уравнений в точках квазирешетки [18], вложение решеток в квазирешетки [14], [15], распределение точек квазирешетки по различным модулям [16], оценки тригонометрических сумм по точкам квазирешеток [23] и т.д.

Естественно определить многомерное обобщение квазирешеток типа (18). Пусть фундаментальная область Т содержит начало координат 0 Є Т. Тогда для разбиения (3) и положительных чисел 10,...,1а определим квазирешетку Q = Q(a, І0,... ,Іа) как множество точек {хп}Пъ=-ж, заданное условиями

Х-\ = °, (19)

Хп+1 = Хп + Із, если Кпа (0) Є Тз

Квазирешетку Q = Q(a, І0,... ,Іа) будем называть квазирешеткой коразмерности d, кодируемой сдвигами тора.

Рассмотрим тригонометрические суммы

П

/п(Л) = X е(хкЛ), (20)

где

п

к=1

2піх

е(х) = е

В работе [23] были рассмотрены суммы /п(А) в случае квазирешеток коразмерности 1.

Теорема 6. Пусть

а

Нд = X Із

з=0

уо1(тЗ )

=0 3 УаІ(Т)

и а = (а1,..., а^) - иррациональный относительно решетки Ь вектор. Тогда при

А =

а0 + ^ з=1 а3 а3

Ь

с целыми а-, Ь справедлива оценка

1/п (А)| = о(п).

Заметим, что

хп = IзN3(а, 0, п + 1).

3=0

Используя определение hQ получаем

а

хп = иНд + І3Г3(а, 0,п + 1).

з=0

Учитывая равенство

а

X г3(а, °,и + 1) = 0,

3=0

получаем

а

Хп = иНд + Х(І3 _ Іо)г з (а, 0,и +1).

3=1

Используя теорему 2, находим

а

Хп = иНд + Х(І3 _ ІоХ^гг((и + 1)а), ез). (21)

3=1

Множество T = [0; 1) ®Т можно отождествить с ^+1)-мерным тором Td+1 = T ф Td = R/L, где L = Z ® L. Определим на T отображение

Ra : y ^ y + (hQA, a) (mod L).

Рассмотрим множество точек {yn Е Т}^=0, где yn = Ra(yn-1), y0 = (0,FrT(a)). Точка yn будет иметь вид yn = ({nhQA}, FrT((n + 1)a). Далее для каждой точки Т = (z0, z) Е T определим функцию

d

h(z) = e(z0 + X(z’ ej)(lj - lo))' (22)

j=1

Объединяя (20)-(22) получаем, что

n

/n(A) = X h(yk)-k=1

Пусть A = a°+^3=1 a:> с целыми aj, b. Тогда вектор a = (hQ\,a) является иррациональным в решетке L и, следовательно, точки yn равномерно распределены на T. Применяя теорему Вейля о равномерном распределении, находим

/n(A) = nI + o(n), (23)

где

I = f h(T)dT. (24)

Jjd+i

Перейдем к вычислению интеграла (24). Учитывая (22) и правило e(x + y) = e(x)e(y) и разделяя переменные, находим

1 = Jo1 ltd e(z0)e(Ed=1(z, ej)(lj - l0))dz0dz =

= /01 e(z0)dz0 Jtd eSd=1(z, ej)(lj - l0))dz = 0,

так как J01 e(z0)dz0 = 0. Теорема 6 доказана.

Оценка тригонометрической суммы из теоремы 6 может быть усилена. Для этого заметим, что с использованием многомерного неравенства Коксмы-Главки

[13] равенство (23) может быть переписано в виде

/n(A) = nI + O(A(a, n)),

где A(T, n) - многомерное отклонение для сдвига Ra. Учитывая равенство I = 0, получаем окончательную оценку

fn(A) = O(A(T,n)).

Некоторые нетривиальные оценки величины А(а,п) можно найти в работе [4].

Рассмотрим также приложения полученных результатов к задаче вложения одномерной решетки в казирешетку Q. Рассмотрим одномерную решетку Ь^^) = {^ь : п Е Ъ]. Будем говорить, что решетка Ь^^) сильно вкладывается в квазирешетку Q, если существует h0 такое, что для любого п > 0 выполняются неравенства

хп-1 < ho + ^ь < хп. (25)

Сильное вложение квазирешеток коразмерности 1 рассмотрено в работе [16]. Пусть

'' = £(3 — >0)е, ■

3=1

Теорема 7. Для того, чтобы существовала решетка Ь1(hь) сильно вкладывается в квазирешетку Q(а, 10,... ,11), необходимо и достаточно, чтобы множество I* = Р| 1=0 I-, где I- = [вирхет. (х,1*) — I-, 'т1х^Т. (х,Г)), было непустым. При этом hL = hQ и Л,0 Е I*.

Из формулы (21) вытекает асимптотика

хп = nhQ + 0(1).

Подставляя в (25), находим, что

Л-0 + = nhQ + 0(1),

откуда немедленно вытекает, что сильно вкладываться могут только решетки, у которых hL = hQ. Пусть 1(п) = хп — хп-1. Тогда условие сильной вложимости (25) может быть переписано в виде

Х(13 — 10)(^т((п + 1)а),ез) — 1(п) < ho < X(13 — 10)(РтТ((п + 1)а) е3)

3=1 3=1

или

(^тт((п + 1)а), I*) — 1(п) < h0 < (^тт((п + 1)а), I*). (26)

Заметим, что равенство

1(п) = I-,] = 0,1,.. ^

эквивалентно условию

Fтт((п + 1)а) Е Т-.

Поэтому условия (26) эквивалентны набору из d +1 условия

вир ^тт((п +1)а),1*) — I- < ^ ^тт((п +1)а),1*), (27)

где

Nj = {n : n > 0, FrT((n + 1)a) G Tj}.

Поскольку обобщенные дробные доли FrT((n + 1)a) равномерно распределены

на T, они равномерно распределены на всех Tj, а значит

inf (FrT((n +1)a),l*)= inf (x,l*),

n&Nj xeTj

sup (FrT((n + 1)a), l*) = sup(x, l*).

neNj x£Tj

Поэтому условия (27) переписываются в виде

ho G Ij

для всех j = 0,1,... ,d, откуда и следует утверждение теоремы.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Baladi V., Rockmore D., Tongring N., Tresser C. Renor malization on the n-dimensional torus //Nonlinearity -1992 -V.5 -P. 1111-1136.

[2] Berthe V., Labbe S. Uniformly balanced words with linear complexity and predescribed letter frequencies // Words 2011. Electronic Proceedings in Theoretical Computer Science. -V. 63. -P. 44-52.

[3] Brown T.C., Shue P.J. Sums of fractional parts of integer multiplies of an irrational // J.Number Theory. -1995. -V. 50. -P. 181-192.

[4] Drmota M., Tichy R. F. Sequences, discrepancies and applications. — Berlin: Springer. — 1997.

[5] Hardy G.H., Littlewood J.E. Some problems of diophantine ap- proximation; the lattice points of a right-angled triangle // Proc. London Math. Soc. - 1922. -V. 20. -P. 15-36.

[6] Pinner C.G. On Sums of Fractional Parts {na + 7} // J.Number Theory. -1997. -V. 65. -P. 48-73.

[7] Sano Sh., Miyoshi N., Kataoka R. m-Balanced words: A generalization of balanced words // Theoretical computer science. -2004. -V. 314. -P. 97-120.

[8] Vuillon L. Balanced words // Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin. -2003. -V. 10. -P. 787-805.

[9] Абросимова А.А. Множества ограниченного остатка на двумерном торе // Чебышевский сборник. -2011. -Т. 12. -Вып. 4. -С. 15-23.

[10] Добровольская В.Н. Неполные суммы дробных долей // Чебышевский сборник. -2004. -Т. 5. - Вып. 10. -С. 42-48.

[11] Журавлев В.Г. Многомерная теорема Гекке о распределении дробных долей// Алгебра и анализ. -2012. -Т. 24. -Вып. 1. -С. 1-33.

[12] Журавлев В.Г. Многогранники ограниченного остатка // Труды математического института имени В.А.Стеклова, Современные проблемы математики. -2012. -Вып. 16. -С. 82-102.

[13] Кейперс Л., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей. -М.:Мир. -1985.

[14] Красильщиков В.В., Шутов А.В. Некоторые вопросы вложения решеток в одномерные квазипериодические разбиения // Вестник СамГУ -Естественнонаучная серия. -2007. -Вып. 7(57) -С. 84-91.

[15] Красильщиков В.В., Шутов А.В. Одномерные квазипериодические разбиения, допускающие вложение прогрессий // Известия вузов. Математика. -2009, -№ 7, -С. 3-9

[16] Красильщиков В.В., Шутов А.В. Распределение точек одномерных квазирешеток по переменному модулю // Известия вузов. Математика. - 2012. -№ 3. - С. 17-23.

[17] Чернятьев А.Л. Сбалансированные слова и динамические системы // Фундаментальная и прикладная математика. - 2007. -Т. 13. -С. 213-224.

[18] Шутов А.В. Арифметика и геометрия одномерных квазирешеток // Чебышевский сборник. - 2010. - Т. 11, Вып. 1. - С. 255-262.

[19] Шутов А. В. Двумерная проблема Гекке-Кестена // Чебышевский сборник. -2011. -Т. 12. -Вып. 2(38). -С. 151-162. (статья)

[20] Шутов А.В. О распределении дробных долей // Чебышевский сборник. -Тула: Изд. ТГПУ. -2004. -Т. 5, Вып. 3. -С. 112-121.

[21] Шутов А.В. Об одном семействе двумерных множеств ограниченного остатка // Чебышевский сборник. -2011. -Т. 12. -Вып. 4. -С. 264-271.

[22] Шутов А.В. Оптимальные оценки в проблеме распределения дробных долей на множествах ограниченного остатка // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. -2007. -Вып. 7(57) -С. 168-175.

[23] Шутов А.В. Тригонометрические суммы над квазирешетками // Чебышев-ский сборник. -2012. -Т.13. -Вып. 2. -С. 136-148.

Владимирский Государственный Университет

Поступило 4.03.2013