Тригонометрические суммы над одномерными квазирешетками Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 13 Выпуск 2 (2012)

Труды IX Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 80-летпю профессора Мартина Давидовича Г риндлингера

УДК 519.21

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ НАД ОДНОМЕРНЫМИ КВАЗИРЕШЕТКАМИ1

В работе получены оценки тригонометрических сумм по точкам одномерных квазирешеток. Показано, что в некоторых случаях такие тригонометрические суммы растут линейно с ростом числа слагаемых и найдена асимптотика для этого случая. Рассмотрены приложения полученных результатов к дифракции квазикристаллов.

Пусть а Е (0; 1) - иррациональное число, {•} - дробная доля. В качестве одномерной квазирешетки Ь = Ь(а, 1\, 12) рассмотрим множество точек {хп}£=-те, определяемое условиями

Отметим, что в работе [19] также рассматривались и более общие одномерные квазирешетки

где I С [0; 1) - некоторый открытый справа полуинтервал.

В настоящей работе мы рассматриваем только квазирешетки вида (1).

В последние годы активно развивается направление, связанное с решением различных теоретико-числовых задач над квазирешетками (1), (2). Рассматривались задачи о распределении точек квазирешеток по произвольному модулю

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 11-01-00578-а.

А. В. Шутов (г. Владимир)

Аннотация

1 Введение

х-ї = 0; хп + Ії, {па} < 1 — а хп + 12, {па} ^ 1 — а

(1)

Ь(а,Ії,12,1) = {хп Є Ь(а,Ії,12) : {па} Є I},

(2)

к [17], об аппроксимации квазирешеток решетками [15], [16]. Изучены линейные диофантовы уравнения от двух неизвестных [19].

Для некоторых квазирешеток специального вида рассмотрены более общие аддитивные задачи [10], [13], [18], [20], задачи о квадратичных формах над квазирешетками [7], [11], [12], проблемы Гольдбаха [8] и Хуа-Локена [9]. Настоящая ребота посвящена изучению тригонометрических сумм

п

1п( Л) = Х! е(х3 >), (3)

3 = 1

где е(х) = в2жгх.

С каждой квазирешеткой Ь(а,/1,12) тесно связаны параметры

кь = /1(1 — а) + 12 а

и

I = 12 + (/1 — 12)а.

Параметр кь имеет простой геометрический смысл - это шаг решетки, вкладывающейся в Ь(а,/1,12) [16].

Сформулируем основной результат работы.

Теорема 1. Если кьX Е аО + О, то для тригонометрической суммы (3) справедлива оценка

1п( X) = 0(А1(и)) = о(п). (4)

Если кьX = а,Ь,с Е Z, (а,Ь,о) = 1 и с> 1, то для тригонометрической

суммы (3) справедлива оценка

/п( Х) = 0(А2 (п)) = о(п). (5)

Если же кьX = а + Ьа, а,Ь Е Ъ, то для тригонометрической суммы (3) спра-

ведлива асимптотическая формула

!п(X) = п • в(Тх — Х/2)8-^ + 0(А2(п)), (6)

п X

где

X = (/2 — ll)X — Ь.

Замечание 1. При Х = 0 считаем, что 8ШПЛ = 1.

ПА

Функции А^п) и А2(п) представляют собой остаточные члены некоторых проблем равномерного распределения дробных долей линейных функций и будут явно определены далее. При этом оценка Аг(п) = о(п) во многих случаях может быть улучшена. В частности, для почти всех пар (Ь, X) можно получить

оценки вида Аг(п) = 0(п£) и даже более сильные оценки. Точный порядок роста величин А г(п) очень сильно зависит от диофантовых свойств а, /1 и /2.

Отметим, что ранее были получены несколько худшие оценки тригонометрических сумм /п( X) для квазирешетки Фибоначчи [2] и квазирешетки четно-фибоначчевых чисел [13].

Автор выражает благодарность В. Г. Журавлеву, привлекшему его внимание к рассматриваемым задачам, а также А. В. Малееву за полезные обсуждения физических аспектов теории тригонометрических сумм.

2 Вспомогательные результаты и план доказательства

Вначале получим явную формулу для точек квазирешетки.

Лемма 1. Для п > 0 справедливо равенство

Хп = пкь + / + (/2 — /1){(п + 1)а}. (7)

Для доказательства определим функции

Щп) = Ш : 0 < 3 <п, {3а} < 1 — а},

Щп) = Из: 0 < 3 <п, {За} > 1 — а}.

Ясно, что

Ni(n) + N2(n) = n (8)

xn = Ni(n)li + N2(n)l2 (9)

при n > 0. Легко проверить, что

Ni(n) = [(n + 1)(1 - a)] + 1. (10)

n > 0

Рассмотрим вектор вх = (hLX,a) и сдвиг T : y ^ y + f3\ mod Z2. Через

Orb обозначим орбиту точки y0 = (0, a) под действием отображения T. Легко

видеть, что точки из Orb сравнимы с точками yn = (nhLX, (n + 1)a) по модулю Z2. Из иррациональности а немедленно вытекает

Orb

Для произвольного двумерного векторы y = (y1,y2) определим функцию

h(y) = e(yi — (l2 — l1)y2X + l X). (11)

Тогда имеем,

n

fn( х) = Y1 h(yj). j=i

h

Вейля о равномерном распределении [6] находим, что

lim fn(^ = [ h(y)dy.

n^ n JOrb

Для получения теоремы 1 требуется теорема Вейля о равномерном распределении с остаточным членом, известная также как неравенство Коксмы-Главки

[14]. Эта теорема фактически утверждает, что справедливо неравенство

\fn(X) — n [_h(y)dy\ < V(h)A(n),

J Orb

где V(h) - вариация (в общем случае многомерная) функции h, a A(n) - остаточный член проблемы равномерного распределения.

Пусть D = dim<Q)(1,a,hLX). Ясно, что D = 1 или D = 2. Для вычисления интеграла §огъ h(y)dy эти случаи необходимо рассмотреть отдельно.

3 Случай D = 2

При О = 2 замыкание орбиты ОгЬ представляет собой в точности двумерный тор Т2 = Ж2/Ъ2.

Для произвольного прямоугольника Р С [0; 1)2 определим функцию Мр (п) = { :0 < з<п,Т3 (0) Е Р}.

Далее, положим

А1(п) = вир \МР(п) — \Р\п\.

р

Тогда, в силу неравенства Коксмы-Главки, имеем

/п( X) = п1 + 0(А1(п)), (12)

ГД6

1 = [ к(у)йу. (13)

,/Т2

к

I = / е(У1 — (/2 — /1 )У2X + / \)йу1йу2 =

30 .7 0

= е(1 X) е(у1) е(-(12 - 1\)У2Х)йу2йух =

ио ио

= е(1Х) е(у1^у1 е(-(12 - 1\)У2Х)йу2 = 0,

оо

так как /0 е(у\)йу1 = 0.

Таким образом, первая часть теоремы 1 доказана. Отметим, что в силу теоремы Вейля о равномерном распределении и условия Б = 2 справедлива оценка

Д1(п) = о(п).

Однако, эта оценка может быть улучшена при наличии дополнительной информации о векторе /3\. Современные оценки для Д\(п) можно найти например в книге [11.

4 Случай D = 1: структура орбиты

При D = 1 числа 1,а и hLX линейно зависимы над Z и замыкание орбиты Orb представляет собой в точности одномерное подмножество двумерного тора T2 = R2/Z2.

Представим hLX в виде hLX = a,b,c Е Z, c> 0 (a,b,c) = 1. Ясно, что при D = 1 такое представление существует и единственно. Далее, обозначим d = (b,c), b\ = b/d, c\ = c/d. При этом

.a + ba .

Px = (-----,a).

Orb'

координат под действием сдвига на вектор вх- Поскольку

получаем

Пусть

Orb = Orb' + (0, a) (mod Z2),

____h(y)dy = h(y)dy. (14)

I Orb' J Orb

W(v, s) = {s + tv mod Z2,t Е [0; 1)}.

JIemma 3. Справедливо разложение

_____ k

Orb' = Ц W(v, (0)), (15)

k mod d

где Ц означает непересекающееся объединение множеств и v = (b\,c\).

Точки из орбиты Orb' сравнимы с точ ками y'n = (a n + С па,па) по модулю Z2. Выберем п = cQmnl, где Qm - m-ый знаменатель подходящей дроби для а. Тогда

уП = dni(biQma, ciQma) (mod Z2).

Выбирая достаточно большие m можно сделать величину Qma mod Z2 сколь угодно малой.

Отсюда вытекает, что Orb' распадается на конечное число обмоток W(v,z) с направляющим вектором v = (bl,cl).

Обозначим через Orb* (z) орбиту точки z иод действием отображения T* : z z + (^а, а) mod Z2. Пусть Orb*k(z) - множество точек из Orb*(z), номера которых принадлежат множеству Ak = {п : an = к (mod с)}.

По определениям, W(v, 0) = Orb*(0). Более того, поскольку Orb*(z) равномерно распределена на своем замыкании, W(v, 0) = Orb*k (0) для всех к.

Далее,

Orb' = U U (—n + -nа, ^) mod Z2 =

k mod c an=k (mod c)

kb = |^J ((— , 0) + n(—а, а) mod Z2

k mod cn^A^ l

= у k,0)+мт

k mod c

= U (< к, 0) + W (v, 0)

k mod c

k

= U W(v, (c, 0)).

k mod c

Для завершения доказательства леммы 3 осталось выяснить, какие из множеств W(v, (k, 0)) совпадают.

В силу взаимной простоты ^ и ^существует / такое, ч то l (mod 1). Поэтому W(v, 0) содержит точки (j, 0) для всех 0 < j < cl. Таким образом, множества W(v, (, 0)) и W(v, (С, 0)) совпадают тогда и только тогда, когда

ki - к2 = j = jd c cl c

j ki = k2

(mod d)

5 Случай D = 1: вычисление интеграла

T Orb

морфно повороту окружности x ^ x + аl mod 1, где

\вх\ а

а\^ = ■ = —.

\Orb'\ ci

Для произвольного интервала J С [0; 1) определим функцию

NJ(n) = Ш : 0 < j <n, {jotl} e J}.

Далее, положим

A2(n) = sup \Nj(n) - \ J\n\.

J

Тогда, в силу неравенства Коксмы-Главки и (14), имеем

fn(x) = nI + O(A2(n)), (16)

ГД6

1 = [ h(y)dy. (17)

JOrb'

В силу иррациональности аl и теоремы Вейля имеем

A2(n) = o(n).

Более точные оценки для A2 (n), учитывающие арифметическую природу аl

можно найти, например, в работе [4].

Перейдем к вычислению интеграла (17). С учетом разложения орбиты (15), находим

1 =d ^ Ik ’ ^

k mod d

ГД6

Ik =f h(y)dy =( h(y + (0))dy. (19)

JW(v,( k,0)) JW(v,0) c

h(y)

f к ~

Ik = e(yl + (/2 — /l)y2X + l\)dyldy2 •

W(v,0) c

В силу определения,

W(v, 0) = {({blt}, {clt}) : t e [0; 1)}

и, следовательно,

k

Ik = e(l\)e( - )I *, c

где

Г l

I* = e^lt}- (l2 — ll){clt}X)dt. (21)

G

Собирая вместе (18)-(21), находим

I = ^ Е * - у w

k mod d

Поскольку Ъ- - целое, e({Ъ^}) = e(Ъ^) и

l

I* = e^t — (l2 — ll){cl t}X)dt.

G

Разобъем интервал [0; 1) на интервалы [., ), 0 < j < cl и сделаем на

каждом таком интервале замену переменной t = 0 < 5 < 1. Тогда {clt} =

{j + 5} = 5 и

I * = - V [ e( - j + - 5 - (I2 - h)5\)d5 =

cl ■ j Jo ci ci

j mod ci

= ^. £ e(^),

j mod c1

ГД6

г l b

I** = e(-5 - (l2 - ll)5X)d5. (23)

0c1

c1d = c

I = e(T\)I **a(c), (24)

ГД6

°(c) = - £ e(-) £ e(hj) =

c c c1

k mod d . mod c1

1kb1 = c £ £ e(c + >■

k mod d j mod c1

Поскольку (Ъl,cl) = І,

-(c) = І Е e(-} = { ^ c =І

Ь m глґ] г-

c c О, c = І

k mod c

Отсюда получаем, что при с = 1 интеграл I = 0 и, с учетом (16), второй случай теоремы 1 полностью доказан.

Остается рассмотреть случай когда hLX = a + ba, а Е Z. В этом случае, из (23) и (24) получаем, что

I = e(lX) ! e(b6 — (l2 — li)SX)d5 = e(jtX)f e(—X8)d8 =

Jo Jo

~ ~ . sin nX

= e(lX — X/2)—.

nX

Отсюда, с учетом (16) получаем третий случай теоремы 1.

6 Приложения к дифракции квазирешеток

Задача о вычислении асимптотики тригонометрической суммы fn(X) тесно связана с проблемой дифракции.

Величина

A(X) = lim (25)

называется амплитудой дифракционного спектра квазирешетки, соответствую-X

как множество

SpecL = {X : A(X) = 0}. (26)

Заметим, что в данном случае определение спектра квазирешетки основано

X

ление спектра может быть перенесено на любые точечные системы, удовлетворяющее (r, Я)-условию Делоне с использованием преобразования Фурье обобщенных функций. Детали можно найти например в работе [3]. Ранее дифракционный спектр был вычислен в случае так называемых model sets, то есть проекций решеток высшей размерности с дополнительным ограничением в виде попадания ортогональной проекции в некоторе окно [5]. Рассматриваемые нами квазирешетки L являются model sets только в исключительных случаях.

Понятие дифракционного спектра имеет и теоретико-числовой смысл. С учетом критерия Вейля легко заметить, что -^SpecL, N Е Z, N = 0 это в точности XL

X

Пусть

r a + ba ,

bpec0 = {— ---- : a,b Е Z}.

hb

Из теоремы 1 немедленно получаем, что

{

amh^ 1 X ^“o . (27)

0, X Е Spec0

Пусть

SpeCj = {X : X Е Spec0, Л Е Z,X = 0},

Spec2 = {X : X Е Spec0, X = 0}.

Тогда из (26) и (27) находим

SpecL = Speс0 \ (Spe^ \ Spec2). (28)

Вычислим Spec1. Поскольку

Л = (l2 — li)X — b Е Z,X = 0

а + Ьа , _

Л = —;------, а,Ь Е Z,

Нь

имеем

н

а + Ьа Е -—Z, а + Ьа = 0.

12 — 11

Возможно 2 случая.

1) 1—1 Е О + аО- Тогда множеств о Эрес1 пусто.

2) 12—11 = л+(Ва, где А, В, С - ^етые и (А, В, С) = 1. Тогда легко видеть, что

SpeCj = { A + Bam : m Е Z,m = 0}. (29)

1hL

Отметим, что непустота множества Spec, связана с хорошо известным в классической кристаллографии явлением систематического погасания пиков.

Перейдем к вычислению Spec2. Легко проверить, что 0 Е Spec2. Ненулевые значения Spec2 могут принадлежать только при условии = A+(?a у гДе A, B, C - целые и (A, B,C) = 1. Тогда

~ C

X = —--- —(a + ba) — b = 0.

A + Bay ’

Учитывая иррациональность а, получаем систему

aC — Ab = 0 bC bB = 0 ,

{

а, Ь

Вновь возможно 2 случая.

1) В = С. Тогда система (30) не имеет решений и Эрес2 не содержит точек,

0

2) В = С. Тогда система (30) допускает бесконечную серию решений а = Ат, Ь = Вт т Е Z в 8рес2 = Эрес1 и {0}.

Поскольку

_ Іі(1 — а) + 12а,

находим

Кь _ Ь +

12 — 11 12 — 11

и можно перейти от условий на і^іц к условиям на Точнее, представление _ мв* эквивалентно представлению і—_ _ А +<у а с Л' _ Л, В' _ В + С и С1' _ С. 2_

В результате получаем следующую теорему.

Теорема 2. Пусть в квазирешетке Ь выражение непредставимо в виде А+Ва, где Л, В,С - целые, В _ 0 и (Л, В, С) _ 1. Тогда

SpecL = j aI--а : a, Ъ Є zj

В противном случае

a + ba

SpecL = {— ----- : a,b Е Z, (a,b) = (mA,m(B + C)),m Е Z,m = 0}.

hL

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Drmota М., Tichy E. F. Sequences, discrepancies and applications. — Berlin: Springer. — 1997.

[2] Janot C. Quasicrystals. Clarendon Press. Oxford. 1994.

[3] Lagarias J., Mathematical quasicrystals and problem of diffraction // Directions in Mathematical Quasicrystals, Centre de Eecherchers Mathematiques, Monograph Series, vol. 13, 2000, 61 — 93.

[4] Pinner C.G. On Sums of Fractional Parts {na + y} // J.Number Theory. — 1997. - V. 65. - P. 48 - 73.

[5] Schlottmann М., Cut-and-project sets in locally compact Abelian groups, Quasicrystals and Discrete Geometry, edited by J. Patera, Fields Institute Monographs, Vol. 10 (AMS, Providence, El, 1998), 247 - 264.

[6] Weyl H. Uber die Gibbs’sche Erscheinung und verwandte Konvergenzpha-nomene // Eendicontidel Circolo Mathematico di Palermo. — 1910. — V. 30. _ p. 377 _ 407.

[7] Гриценко С. А., Мотькина H. H. О некоторых аддитивных задачах теории чисел // Научные ведомости БелГУ. Серия физика-математика. - 2010. -Вып. 5(76). -С. 83-87.

[8] Гриценко С. А., Мотькина Н. Н. Об одном варианте тернарной проблемы Гольдбаха // ДАН республики Таджикистан. — 2009. — Т.52 — Вып.6 — С. ИЗ — 417.

[9] Гриценко С. А., Мотькина Н. Н. Задача Хуа Ло-кена с простыми числами специального вида // ДАН республики Таджикистан. — 2009. — Т.52 — Вып.7 - С. 497 - 500.

[10] Журавлев В. Г. Одномерные квазирешетки Фибоначчи и их приложения к дофантовым уравнениям и алгоритму Евклида // Алгебра и анализ. — 2007. - Т. 19. - Вып. 3. - С. 177 - 208.

[11] Журавлев В. Г. Суммы квадратов над о-кольцом Фибоначчи // Зап. научн. семин. ПОМП. - 2006. - Т. 337. - С. 165 - 190.

о

семин. ПОМП. - 2008. - Т. 350. - С. 139 - 159.

[13] Журавлев В. Г. Четно-фибоначчевы числа: бинарная аддитивная задача, распрделение по прогрессиям и спектр // Алгебра и анализ. — 2008. — Т. 20. - Вып. 3. - С. 18 - 46.

[14] Кейперс Л., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей. — М.: Мир. — 1985.

[15] Красильщиков В. В., Шутов А. В. Некоторые вопросы вложения решеток в одномерные квазипериодические разбиения // Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. — 2007. — Вып. 7(57) — С. 84 — 91.

[16] Красильщиков В. В., Шутов А. В. Одномерные квазипериодические разбиения, допускающие вложение прогрессий // Известия вузов. Математика.

- 2009, ~ № 7, ~ С. 3 - 9.

[17] Красильщиков В. В., Шутов А. В. Распределение точек одномерных квазирешеток по переменному модулю // Известия вузов. Математика. — 2012.

— ^з. — с. 17 — 23.

о

наччи. // Материалы VII международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы, Тула, 11 — 16 мая 2010 года. Тула: ТГИУ. - 2010. - С. 198 - 200.

[19] Шутов А. В. Арифметика и геометрия одномерных квазирешеток // Че-бышевский сборник. — 2010. — Т. 11, Вып. 1. — С. 255 — 262.

[20] Шутов А. В. Об аддитивных задачах с числами специального вида //Математика, информатика и методика их преподавания. Материалы Всероссийской конференции, посвященной 110-летию математического факультета МПГУ (Москва, 14 — 16 марта 2011 г.). М.: МПГУ, — 2011, — С. 102 — 104.

Владимирский Государственный Университет Получено 18.04.2012