Бинарная аддитивная задача с числами специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 16 Выпуск 3 (2015)

УДК 511.34

БИНАРНАЯ АДДИТИВНАЯ ЗАДАЧА С ЧИСЛАМИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА1

А. А. Жукова, А. В. Шутов (г. Владимир)

Аннотация

В работе рассматривается бинарная аддитивная задача вида п1 + п2 = N с условиями п\ € N(a, I1), п2 € N(e, I2), где N(a, I) = {п € N : {па} €

I}. Такие множества описывают, в частности, натуральные числа, имеющие заданное окончание разложения по линейным рекуррентным последовательностям, связанным с числами Пизо. Кроме того, множества N(a,I) являются частными случаями так называемых квазирешеток. Ранее рассматривались аддитивные задачи на множествах такого вида для случая а = в .В этом случае были получены асимптотические формулы для числа решений аддитивной задачи с произвольным числом слагаемых, а также для аналогов тернарной проблемы Гольдбаха, проблемы Хуа-Локена, проблемы Варинга и проблемы Лагранжа о представлении натуральных чисел в виде сумм четырех квадратов. При этом Гриценко и Мотькина обнаружили, что в случае линейных задач возникает нетривиальный эффект: появление некоторой достаточно сложной функции в главном члене асимптотики числа решений. Для нелинейных задач подобный эффект отсутствует и вид главного члена получается из плотностных соображений.

В рассматриваемой задаче обнаружено, что поведение главного члена асимтотической формулы для числа решений существенным образом зависит от арифметических свойств а и в. Если 1, а и в линейно независимы над кольцом целых чисел Z, то главный член асимптотики имеет плотностный вид, то есть равен |Ii||I2|N. В случае линейной зависимости 1, а и в имеет место эффект Гриценко-Мотькиной, то есть главный член имеет вид p({Ne})N, где р - достаточно сложная эффективно вычислимая кусочно линейная функция от дробной доли {Ne}. В работе получен алгоритм вычисления функции р, а также изучены ее основные свойства. В частности, получены достаточные условия ее необращения в нуль. Также рассмотрен численный пример вычисления данной функции для конкретных множеств N^, Ii), N(e, I2). В завершающей части работы обсуждается ряд открытых проблем в данной области.

Ключевые слова: аддитивная задача, равномерное распределение.

Библиография: 23 названия.

хРабота выполнена при частичной поддержке РФФИ, грант N 14-01-00360-а.

БИНАРНАЯ АДДИТИВНАЯ ЗАДАЧА ...

247

BINARY ADDITIVE PROBLEM

WITH NUMBERS OF SPECIAL TYPE

A. A. Zhukova, A. V. Shutov

Abstract

In this paper we consider binary additive problem of the form n1 + n2 = N with n1 € N(a, I1), N2 £ I2), where N(a, I) = {n £ N : {na} £ I}. Main

examples of such sets are the sets of natural numbers with specified ending of greedy expansion of the number by linear recurrence sequences associated with Pisot numbers. Besides that, the sets N(a, I) are special cases of quasilattices. Previously additive problems on the sets of this type are considered only for the case a = в. In this case was obtained asymptotic formulaes for the number of solutions of the additive problem with an arbitrary number of terms, and for number of solutions in analogues of ternary Goldbach problem, Hua-Loken problem, Waring problems, and Lagrange problem about the representation number of natural numbers as a sum of four squares. Wherein, Gritsenko and Motkina discovered that in the case of linear problems we have the following nontrivial effect: apprearence of a rather complicated function in the main term of the asymptotics for the number of solutions. For nonlinear problems corrsponding effect is missing and the form of the main term can be obtained by the density considerations.

In our problem, we show that the behavior of the main term of the asymptotic formula for the number of solutions significantly depends on the arithmetic of a and в .If 1, a and в are linearly independent over the ring of integers Z, then the main term of the asymptotic has the "density"form, i.e. it is equal to |Ii||I2|N. In the case of linear dependence of 1, a and в we have the Gritsenko-Motkina effect, i.e. the main term is p({Nв})N, where p is a rather complicated efficiently computable piecewise linear function of the fractional part {Nв}. we obtain an algorithm for computation of the function p, and study basic properties of this function. In particular, we obtain sufficient conditions for its non-vanishing. Also we give a numerical example of the computation of this function for some concrete sets N(a,Ii), N(в,I2). In the final part of the paper we discuss some open problems in this area.

Keywords: additive problem, uniform distribution.

Bibliography: 23 titles.

1. Введение

Пусть a - иррационально и I С [0; 1) - некоторый интервал. Определим множество

N(a,I) = {n £ N : {na} £ I}, где {•} означает дробную долю числа.

248

А.А.ЖУКОВА, А.В.ШУТОВ

Впервые, частный случай чисел вида N(a,I) возник в работе [9]. Пусть Fn - n-ое число Фибоначчи, то есть Fn = Fn-1 + Fn-2, Fi = 1, F2 = 2. Любое натуральное число N может быть разложено в систему счисления Фибоначчи, то есть

N = ек (N )Fk,

к>1

причем

£к (N)£k+i(N) = 0.

Пусть

Fo = {N Е N : £i(N) = 0}

- множество четно-фибоначчевых чисел. В работе [9] фактически было показано, что

Fo = N(r,Ii) U Щт,Ь),

где т = л'/5-1, и вычислены интервалы I1 и I2. Данное описание множества F0 позволило решить над этим множеством целый ряд теоретико-числовых задач. Были получены асимптотическая формула для решения бинарной аддитивной задачи в числах из Fo, асимптотическая формула для количества чисел из Fo, принадлежащих заданной арифметической прогрессии, а также оценки тригонометрических сумм по числам из F0.

В дальнейшем описанная характеризация была обобщена на случай чисел, имеющих заданное окончание разложения в систему счисления Фибоначчи [7]. Аналогичный результат можно получить для систем счисления, порождаемых рекуррентными соотношениями вида F(+2 = F(9 + gFi+i, а также для более общих систем счисления, построенных по знаменателям разложения произвольного иррационального числа в цепную дробь. Кроме того, подобные результаты были получены для некоторых специальных систем счисления, возникающих при изучении множеств ограниченного остатка [18].

В серии работ [1]-[6] было получено решение целого ряда теоретико-числовых задач над числами N(a, I) в случае, когда а является квадратичной иррациональностью, либо алгебраическим числом. В частности, были найдены решения аналогов тернарной проблемы Гольдбаха [4], проблемы Хуа-Локена [1], проблемы Варинга, [6], проблемы Лагранжа о четырех квадратах [3], а также получена оценка мощности исключительного множества для аналога бинарной проблемы Гольдбаха [5]. При этом был обнаружен следующий эффект. В случае нелинейных аддитивных задач удавалось доказать асимптотические формулы вида

r(N) - \I\кr*(N),

где r* (N) - число решений нелинейной аддитивной задачи, r(N) - число решений нелинейной аддитивной задачи с дополнительным условием принадлежности слагаемых множествам N(a, I), а к - число слагаемых. В случае линейных

БИНАРНАЯ АДДИТИВНАЯ ЗАДАЧА ...

249

задач асимптотическая формула принимает вид

r(N) - a(N)r*(N),

где a(N) - некоторый особый ряд.

В работе [17] была рассмотрена аддитивная задача

ni + ... + nm = N,

где щ £ N(a,I), с произвольным количеством слагаемых m и произвольным иррациональным а. Была получена асимптотическая формула для числа решений рассматриваемой задачи, в которой особый ряд был заменен эффективно вычислимым интегралом кратности m — 1. В частности, была решена проблема необращения особого ряда в нуль. Альтернативная конечная формула для особого ряда была найдена в работе [2].

В настоящей работе рассматривается бинарная аддитивная задача

ni + П2 = N (1)

с дополнительными условиями

ni £ N(a,Ii), П2 £ Щв,Ь), (2)

с произвольными иррациональными a, fi.

Отметим, что рассматриваемые нами множества N(a, I) являются примерами так называемых одномерных квазирешеток. Более общий взгляд на одномерные квазирешетки можно найти в работах [10], [16]. Многочисленные примеры рассмотрения теоретико-числовых задач над квазирешетками различных типов могут быть найдены в [8], [11], [13] — [15], [19].

2. Асимптотика в случае линейной независимости величин 1,а, в

Пусть r (а, в, I1, I2, N) - число решений уравнения (1) с дополнительными условиями (2) на слагаемые, I1 = (a1; a2), I2 = (b1; b2), |Ii| = a, \I2\ = b. Обозначим через ОгЬ(а,в) замыкание множества точек вида

Qn = ({na}, {ne}),

где n £ N. Отметим, что Orb(a, в) представляет собой замыкание орбиты точки (0, 0) под действием отображения (x,y) ^ ({x + а}, {у + в}). Также заметим, что Orb(a^) можно рассматривать как множество на торе T2 = R2/Z2. Справедлива следующая теорема.

250

А.А.ЖУКОВА, А.В.ШУТОВ

Теорема 1. Справедливы асимптотические формулы

r (а в h I2 N) ~ \Orb(a) П Pn\ n (3)

(а’в ,Jl ’12 N) \ОгЪ(а,в)\ N’ (3)

r (а в I1 I2 N) ~ \Orb(a,в) П Pn\ n (4)

(а,в ,Jl ’12 N) \ОгЪ(а,в)\ N’ (4)

где \ • \ - естественная мера на множестве ОгЪ(а,в), PN = I1 ® i{Ne}(I2), P'n = 1{Na}(Il) ® I2 и 1c(x) = {1 - x + c}.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вначале докажем (3). Величина r (а, в, I1, I2, N) — число решений уравнения (1) с дополнительными условиями (2), поэтому

r (а в Il I2 N)

У

1

N -1

У

1.

ni+n2=N, ni = 1,

{n1a}eIi, {n2l3}el2 in1a}eli, {(N-n1)e}eI2

С одной стороны условие {(N — щ)в} £ I2 эквивалентно неравенствам {Ne} — Ъ2 < {nie} < {Ne} — bi при {Ne} ^ {nie}

и

{Ne} + 1 — Ъ2 < {nie} < {Ne} + 1 — Ъ1 при {Ne} < {п1в}.

С другой стороны, согласно определению отображения i{Ney.

x ^ 1 — x + {Ne} (mod 1) ,

поэтому Ъ1 ^ 1 — Ъ1 + {Ne} (mod 1) и Ъ2 ^ 1 — Ъ2 + {Ne} (mod 1).

Это означает, что условия {(N — n^e} £ I2 и {n^^e} £ i{Ne}(I2) равносильны. Значит

N-1 N-1

r (а,e,I1, I2, N) = ^2 1 = 1 ’

ni=1, ni=1,

{n1a}ell, {n1e}Ei'{Np} (I2) {n1a}eI1, {n1e}eI2

где I2 = t{Ni3}(h) = (ty t2), t1 = 1 — Ъ2 + {Ne} (mod 1) и t2 = 1 — h + {Ne} (mod 1). Далее остается воспользоваться равномерностью распределения дробных долей {Qn} на множестве Or^a,e) [23].

Равенство (4) доказывается полностью аналогично (с заменой выражения n2 через n1 на выражение n1 через n2).

Отметим, что наличие двух разных асимптотических формул (3) и (4) объясняется симметрией уравнения (1), приводящей к равенству

r (a ,e, I1 , I2 , N) = r (e, a ,h, I1, N).

БИНАРНАЯ АДДИТИВНАЯ ЗАДАЧА ...

251

Очевидно, что явный вид главного члена асимптотики (3) зависит от структуры множества Orb(a, [). В силу иррациональности а, [ возможно два случая [23].

1) Пусть 1, а и [ линейно независимы над Z. Тогда дробные доли {Qn} равномерно распределены на единичном квадрате K = [0; 1]2, то есть Orb(a,[) =

K.

Теорема 2. Пусть 1, а и [ линейно независимы над Z. Тогда справедлива асимптотическая формула

r (а, [, I1, I2, N) ~ abN.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, в рассматриваемом случае \ОгЬ(а,[)| = 1, ОгЬ(а,[) П PN = PN и, согласно (3),

r (а, [,Ii,I2, N) - \PN\N.

Площадь прямоугольника Pn равна \Ii\ • \t{N[3}(I2)\. Поскольку отображение tc сохраняет длину отрезка при любом с, получаем \i{Ne}(I2)\ = \I2\, откуда и следует требуемый результат.

2) Пусть 1, а и [ линейно зависимы над Z. Тогда множество О^(а, [) представляет собой объединение конечного числа отрезков, лежащих на параллельных прямых [23]. Явное вычисление главного члена асимптотики в этом случае представляет собой значительно более сложную задачу, которой посвящена оставшаяся часть статьи.

3. Описание множества ОтЬ(а, [)

Здесь и далее будем предполагать, что 1, а, [ — линейно зависимые над Z величины, то есть существуют одновременно не равные нулю целые числа С1, С2, Сз, такие что С1а + С2[ + С3 = 0.

Для простоты будем считать, что:

1. 0 < а < 1, 0 < [ < 1.

Действительно, если а > 1 и (или) [ > 1, то условие С1а + С2[ + С3 = 0 перепишется в виде С1{а} + С2{[} + С3 = 0, где С1, С2, С3 Е Z.

2. НОД (\С1\, \С2\,\Сз\) = 1.

3. С1 • С2 < 0.

В том случае, когда С1 • С2 > 0, задача может быть сведена к рассматриваемому варианту, с помощью следующего равенства r^, [, I1, I2, N) = r(1 — а, [, 1 — h,h,N) = т-(а, 1 — [,h,1 — I2,N).

Из теоремы 1 видно, что для получения явного выражения главного члена асимптотики для r (а, [, I1, I2, N) достаточно решить две задачи:

1) Описать множество О^(а,[).

252

А.А.ЖУКОВА, А.В.ШУТОВ

2) Найти пересечение множества ОтЬ(а,в) с произвольным прямоугольником.

В данном параграфе мы решим первую из этих задач. Как было сказано ранее, множество ОтЬ(а,в) представляет собой объединение конечного числа отрезков, лежащих на параллельных прямых. Полное описание дается следующей леммой.

Лемма 1. При заданных а и в уравнения прямых 1г, из отрезков которых состоит ОтЬ(а,в) имеют вид:

v=Kx Л V})

при k ^ 1,

где k -k < 1.

V = kx + {(г — 1)k} при k < 1,

§2, 1 < г ^ та, m0 = Нод(С]|,|с2|)’ щш k > 1 m = нод'!С|,|с2|), при

Доказательство. Будем искать уравнения прямых к в виде y = kx + Ьг, где 1 ^ г ^ mo, k, при этом Ьг Е Q, так как ОтЬ(а,в) — состоит из конечного числа отрезков. Очевидно, что точки Q1 ({а}, {в}) и Q2 ({2а}, {2в}) лежат на прямых к и lj, соответственно. Отсюда получаем систему уравнений

J в = ka + Ьг,

\ {2в} = k{2a} + j.

Последнее уравнение может быть записано как 2в = 2ka + Ь'^, где

У

Ьj, если

l)j + 1, если

Ьj — k, если

Ьj + 1 — k, если

2а < 1, 2в < 1; 2а < 1, 2в > 1; 2а > 1, 2в < 1; 2а > 1, 2в> 1.

Из системы уравнений

Г в = kcx + Ьг,

\ 2в = 2ka + j,

следует, что в = ka + (Щ — Ьг).

Пусть k = S, Ь — Ьг = , q = НОД (r,qo), s, po Е Z, т, qo Е N. Зная, что

НОД (|Ci|, \С2\, |Сз|) = 1, можно утверждать, что существует единственный, с точностью до знака, набор Ci, С2, С3, при котором С1а + С2в + С3 = 0. Поэтому Ci = kq, С2 = —q и k = — §■. Множество ОтЬ(а,в) состоит из одного или нескольких отрезков. Отрезки, имеющие наибольшую длину l назовем длинны-ми“ и остальные ,, короткими “. Легко видеть, что для каждого ,,короткого“ отрезка найдется еще один короткий“ отрезок, такой что суммарная длина двух этих коротких“ отрезков будет равна l. Количество всех длинных“ отрезков,

БИНАРНАЯ АДДИТИВНАЯ ЗАДАЧА ...

253

как составленных из двух „коротких44, так и целиковых обозначим т0. Среди прямых li, содержащих отрезки Orb(a, в) обязательно есть прямая у = кх, обозначим ее l1, так как координаты точек Qn могут быть как угодно „ близкими “ к началу координат.

В случае к ^ 1 (см. рис. 1) прямая li пересекает сторону квадрата K, лежащую на прямой у = 1 в точке T1 (1; 1). Точка Qn не может иметь такие координаты, а может Qni (| ; 0). Значит существует прямая l2: у = к (х — |), проходящая через точку Qni. Прямая l2 пересекает прямую у = 1 в точке Т2 (| ; 1). Координаты точки Qn2 могут быть (| — [|] ; 0), следовательно, имеется прямая l2: у = к (х — 2 + [|]), проходящая через точку Qn2. Рассуждая аналогичным образом, получаем, что точки Qn лежат на прямых li: у = к (х — — + [^]), где 1 ^ i ^ т0. Величину т0 найдем из условия, что прямые lm0+1 и l1 совпадут, что возможно при выполнении равенства — ma + [moj = о. Очевидно, что это справедливо, если mo. е Z, m0 Е N и m0 — наименьшее из возможных, поэтому

то = нод'|с1|,|с21) •

В случае к < 1 прямая l1 пересекает сторону квадрата K, лежащую на прямой х = 1, в точке Т1 (1; к). Координаты точки Qni могут быть (0; к), поэтому имеется прямая l2: у = кх + к .В свою очередь прямая l2 пересекается с прямой х = 1 в точке Т2(1; 2к), но точка Qn2 может быть с координатами (0; 2к — [2к]). Значит, должна быть прямая l3: у = кх + 2к — [2к]. Аналогично рассуждая, приходим к выводу, что уравнения прямых, содержащих ОгЬ(а,в), имеют вид li: у = кх + (i — 1)к — [(i — 1)к], где 1 ^ i ^ т0. Зная, что прямая lm0+1 совпадает с прямой l1, получаем уравнение т0 к — [т0 к] = 0, где т0 Е N, т0 — наименьшее

из возможны. Последнее равенство справедливо, если т0к Е Z, поэтому т0 =

|С21

нод(|С1 |,|С21).

254

А.А.ЖУКОВА, А.В.ШУТОВ

Лемма 2. Длина замыкания орбиты ОтЬДД) вычисляется по формуле

\c2\Vi+k

нод(|С1|,|С2|) ,

при k < 1;

L = \ОтЬ(а,в )| = л/2,

при k = 1;

к-нодас UC2D ,

при k > 1.

Доказательство. Если k = 1, то ОгЬ(аД) состоит из одного отрезка, являющегося диагональю единичного квадрата K, то есть \ОгЬ(аД)\ = Д2. Пусть k = 1. Тогда

\ОгЬ(а, в)\ = m0l,

где m0 - найдено в лемме 1. Отметим, что m0 можно рассматривать как количество отрезков длины l (пара ,,коротких“ отрезков суммарной длины l считается за один отрезок).

Если k > 1, то l равна длине отрезка прямой li, заключенного между прямыми у = 0 и у = 1, то есть между точками (0; 0) и (к; ^, поэтому l = ^г+к2-.

Значит, \ОгЬ(аДЗ)\ = mol = к-но ДоешИ).

Если k < 1, то l — это расстояние между точками (0; 0) и (1; k), следовательно l = Vi + k2, а \ОгЬ(аД)\ = нОд(С+С2|).

Отметим, что из леммы 2 вытекает, что \ОгЬ(а, [3)\ зависит только от Ci, C2, C3, но не от а, в.

4. Описание множества ОгЬ(а, в) П PN

Уравнения прямых, содержащих ОтЬ(аД) могут быть переписаны как

у = k(x - iq),

где

q

min

2yjymo

{

1

k

j - 1 k

I

\Ci\

НОД (\Ci\,\C2\) ’

i E Z, если k > 1;

и

у = kx + ip,

где

p = ,min {(j - 1)k - [(j - 1)k]} , mo

2yjymo

\ C2 \

НОД (\Ci\, \C2\),

i E Z, если k < 1.

БИНАРНАЯ АДДИТИВНАЯ ЗАДАЧА ...

255

В общем случае, при любых к уравнения прямых li записываются как у = kx + ic, где i Е Z,

{-kq, при к > 1; 0, при к = 1; р, при к < 1.

(5)

Рассмотрим произвольный прямоугольник P с линейными размерами а и b, такими что 0 < а < 1, 0 < b < 1, и вершинами в точках A (xy yi), B (xy y1 + b), C (x1 + a; y1 + b), D (x1 + a; y1), который расположен внутри квадрата K. Прямые li могут пересекать любую из сторон прямоугольника P, либо их продолжение. Считая, что вершина A расположена либо на прямой li, либо между прямыми li и li+1, обозначим точки пересечения прямых li с прямыми AB, BC, CD, AD следующим образом: Ls = li+sflAB, Vs = li+sHBC, Rs = li-snCD, Ns = li-sHAD, где s ^ 0; Ms = l— П AB, Ws = l— П BC, Ps = li+s П CD, Ks = li+s П AD, где s ^ 1. Координаты этих точек будут следующими: Ls (x1; kx1 + (i + s)c),

Vs (yi +b-tl+s)c; y1 + bj , Rs (x1 + a; k (x1 + a) + (i - s)c), N^yi-(t~s)c; y^j , где s ^ 0; Ms (xp kx1 + (i - s)c), Ws (yi+b~l(i-s')c; y1 + bj , Ps (x1 + a; k (x1 + a) + (i + s)c),

Ks(y—±sc; y^j , где s ^ 1.

Обозначим Orb(a, в, P) пересечение замыкания орбиты Orb(a,e) c прямоугольником P. Данное множество может состоять из нескольких отрезков. Назовем отрезок „целым“, если он заключен между противоположными сторонами прямоугольника P, и ,,нецелым“, если между соседними. Пусть прямоугольник P имеет с прямыми li всего v отрезков пересечений, из которых z — ,,целых“, d1 и d2 — ,,нецелых“ пересечений со сторонами AB и AD, соответственно, v1 — пересечений, расположенных не ниже li, v2 — расположенных не выше li, причем v1 + v2 = v.

Лемма 3. Прямоугольник P с линейными размерами a и b может иметь „целые11 и „нецелые11 отрезки пересечений, количество которых определяется из следующих условий

ka + b c

1 A v <

ka + b c

+ 1,

(6)

\ka — b\

c

1 < z A

\ ka - b\ c

+ 1,

min

ka b

\ c , c

ka b

1 A dj < min ( —, - 1 +1, j = 1, 2,

(7)

(8)

где v = z + d1 + d2, v — общее число отрезков пересечений, z — количество „целых11 отрезков, d1, d2 — число „нецелых “ отрезков, пересекающих стороны AB и AD, соответственно.

256

А.А.ЖУКОВА, А.В.ШУТОВ

Доказательство. Количество пересечений будет не меньше, чем v, если точка D расположена ниже точки RV2-i, а B выше Lv1 (см. рис. 2), то есть

Г У\ <k (xi + a) + (i - (V2 - 1)) С, \ yi + b> kxi + (i + vi) c,

ka + b

значит, v = vl + v2 <----------+ 1.

С

Рис. 2. Общее число отрезков

Число пересечений будет не больше, чем v, если точка D находится не ниже точки Rv2, а B — не выше LV1+i, то есть

Г yi > k (xi + a) + (i - v2) c,

\ yi + b ^ kxi + (i + vi + 1) c,

ka + b

следовательно, v = vi + v2 ^---------1.

c

Итак, неравенство (6) справедливо, а это означает, что общее число отрезков пересечений может измениться только на единицу при сдвиге вершины A.

Для нахождения количества „ целых“ и „ нецелых“ отрезков внутри прямоугольника P рассмотрим два случая: к > а и k < а.

В случае k > - (рис. 3) количество „целых“ отрезков будет не меньше z, если точка N0 расположена правее точки A или совпадает с ней, Wz-i — левее или совпадает с точкой C; число „целых“ отрезков будет не больше, чем z, если Ki находится левее A, а Wz — правее C, то есть справедливы две системы неравенств

{

xi

xi + a > У1 +ь-{—+1)c,

{

xi > y—+icc,

xi + a< yi +b-(i-z)c,

(9)

из которых следует справедливость неравенства (7) и тот факт, что число „це-лых“ отрезков внутри прямоугольника P не может изменяться больше, чем на единицу.

БИНАРНАЯ АДДИТИВНАЯ ЗАДАЧА ...

257

Рис. 3. Количество „целых“ и „нецелых“ отрезков при k > a

Число „нецелых“ отрезков, пересекающих сторону AB будет не меньше di, если точка A находится ниже Li, а B выше Ldl, и не больше, чем di, если точка A расположена не ниже L0, а B не выше Ldl+1, то есть справедливы две системы неравенств

Г Vi < kxi + (i + 1) с,

\ Vi + b > kxi + (i + di) с,

из которых следует неравенство (8).

Количество „нецелых“ отрезков, имеющих пересечение со стороной AD, будет не меньше d2, если точка Rd2-i расположена выше D, а Rz ниже C, и не больше, чем d2, если точка D находится не ниже Rz+d2, а C не выше Rz-i, то есть выполняются следующие системы неравенств

{

Vi > kxi + ic,

Vi + b ^ kxi + (i + di + 1) c,

(10)

f Vi < k (xi + a) + (i - z - d2 + 1) с, Г yi > k (xi + a) + (i - z - d2) c,

\ Vi + b > k (xi + a) + (i - z) c, \ Vi + b ^ k (xi + a) + (i - z +1) c,

(11)

откуда вытекает неравенство (8).

Получим аналогичные оценки в случае k < - (рис. 4). Число „целых“ отрезков будет не меньше z, если точка A находится не выше точки Li или совпадает с ней, C не ниже или совпадает с Pz; количество „ целых “ отрезков будет не больше, чем z, если A расположена выше L0, а C ниже Pz+i, то есть справедливы

258

А.А.ЖУКОВА, А.В.ШУТОВ

следующие системы неравенств

( yi < kxi + (i + 1) c, f yi > kx\ + ic,

^ yi + b > k (xi + a) + (i + z) c, \ yi + b < k (xi + a) + (i + z + 1) c,

(12)

а, следовательно, неравенство (7) выполняется.

Рис. 3. Количество „целых“ и „нецелых“ отрезков при k < a

Количество „нецелых“ отрезков, имеющих точки пересечений со стороной AB будет не меньше di, если точка B расположена левее Vz+di и точка C правее Vz+i, и не больше, чем di, если точка B находится правее или совпадает с Vz+di+i, а C левее или совпадает с Vz, то есть будут выполняться две системы неравенств

{

X < yi+b—ji+z+di )c i к ,

Xi + a> yi+b—(i+z+i)c.

i

X > У1+b—(i+z+di + i)c Xi + a ^ yi +>b—(i+z)c

(13)

откуда вытекает неравенство (8).

Число „ нецелых “ отрезков, пересекающих сторону AD, будет не меньше d2, если точка A находится левее N0, а D правее Nd2—i, и не больше, чем d2, если точка A находится правее или совпадает с Ki, а D левее или совпадает с Nd2, то есть верны нижеприведенные системы неравенств

{

Xi < шт£,

Xi + a> yi—(—2+i)c

{

X > yi — (i+i)c Xi > к ■

Xi

+ a <- yi d2)c

+ a ^ к ,

(14)

БИНАРНАЯ АДДИТИВНАЯ ЗАДАЧА ...

259

из которых следует неравенство (8).

Из неравенства (8), верного при j = 1 и j = 2 следует, что —2 < d — dj < 2, где i = j, i,j = 1,2, то есть разность между количеством ,,нецелых“ отрезков, пересекающих стороны AB и AD не может быть больше единицы, хотя общее число ,,нецелых“ отрезков может измениться на две единицы. Из справедливости неравенств (6), (7), (8) можно сделать вывод, что если количество ,,целых“ отрезков уменьшится на единицу, то число нецелых“ может увеличиться не более чем на два, причем на один на каждой из сторон AB и AD.

Нас интересует случай прямоугольника P = PN = I1 ® I'2 = I1 ® i{Ne}(I2). Пусть Ii = (ay 0,2), I2 = (h; 62) и I2 = (Я; t2). Поскольку 1{nв}(x) = {1 — x + Nfi},

имеем t1 = {l — b2 + N в}, t2 = {1 — b1 + Nfi}.

Пусть левый нижний угол A прямоугольника PN имеет координаты

(xo; yo + Ay),

где 0 ^ Ay < c, y0 — kx0 — ic = 0, то есть точка (x0; y0) лежит на прямой /j.

Значение Ay можно найти с помощью следующей леммы.

Лемма 4. Справедливо равенство

Ay = {1 — b2 + NP} — ka1 — i0c, (15)

где i0 E Z и удовлетворяет неравенству

{1 — b2 + Np} — kai . {1 — b2 + Np} — ka1 f .

----------------1 < i0 ^ ------------• (16)

cc

Доказательство. Перепишем равенства (15), (16) в виде

Ay = t1 — ka1 — i0c,

где i0 E Z, определяется из неравенства

Я — ka1

c

1 <i0 Я

t1 — ka1

c

(17)

Точка A(a\; t1) будет находиться между прямыми li0 и /i0+1, если расстояние от точки A до прямой lio меньше, чем расстояние между прямыми li0 и li0+1, и расстояние от точки A до прямой ljo+1 меньше или равно расстоянию между прямыми li0 и lj0+1, то есть справедлива система неравенств

J \t1 — ka1 — i0c\ < c,

\ \t1 — ka1 — (i0 + 1)c\ Я c,

из которой следует неравенство (17).

Зная, что координаты точки A, находящейся между прямыми lj0 и lj0+1, надо записать в виде (x0; y0 + Ay), где y0 = kx0 + i0c, приходим к выводу, что x0 = a1, y0 = ka1 + i0c и Ay = t1 — y0 = t1 — ka1 — i0c.

260

А.А.ЖУКОВА, А.В.ШУТОВ

Из доказанной леммы 4 следует, что Ay представляет собой эффективно вычислимую кусочно-линейную функцию от {N в}. Явный вид этой функции зависит от расположения интервалов I1, I2, а также от констант С1, С2 и C3, но не от значений а, в.

Лемма 5. Справедливо равенство

\ОгЪ(а,в,РИ )| = 5 (Ay),

где 5(h) есть кусочно-линейная функция, определяемая следующим образом

5 (h)

VTT¥

k

^z5q + bdi + kad2 + h (d\ — d2) — ^ (d2 + + d\ — d2)^ •>

где

5o =

!

Ъ — cd2, если k > -,

ka — cd1, если k < -,

1 ‘ a '

Доказательство. Будем рассматривать прямоугольные треугольники с прямыми углами A, B или D. Зная длины катетов, найдем длины гипотенуз.

В начале рассмотрим случай k > - (рис. 3).

В AALoNo: ANo = k, ALo = Ay, LoN = fVlTk2.

В ABLoVo: BLo = b + Ay, BVo = \ (b + Ay), LoVo = (ъ + Ay).

Значит, длина ,,целого“ отрезка, например, NoVo = LoVo — LoNo = b.

В ABLj Vj:

BLj = b + Ay — jc RVj = k (b + Ay — jc), LjVj = ^jk (b + Ay — jc).

В ADNz+j Rz+j:

DNz+j = k (ka — zc — Ay — jc), DRz+j = ka — zc — Ay — jc, Rz+jNz+j = (ka — zc — Ay — jc).

В таком случае суммарная длина 5 (Ay) отрезков пересечений прямоугольника P прямыми h будет равна

VT+k2 A VT+k2 .. ^VT+k2 n . . ,

Z ; + --k (b + Ay — jc) + k (ka — zc — Ay — jc)

j=i j=o

k

k

VT+k2

k

(bz + bd1 + kad2 — zcd2 + Ay (d1 — d2)

2 (d2 + d2 + d1 — d^j .

В случае k < a (рис. 4).

В AAL1K1: AK1 = 1 (c — Ay), AL1 = c — Ay, K1L1 = (c — Ay).

В ADK1P1:

DK1 = 1 (c + ka — Ay), DP1 = c + ka — Ay, K1P1 = 2l+k2 (c + ka — Ay). Следовательно, длина ,,целого“ отрезка, например, L1P1 = K1P1 — K1L1 = a^l + k2.

БИНАРНАЯ АДДИТИВНАЯ ЗАДАЧА ...

261

В ADNj Rj:

DNj = k (ka - Ay - jc), DRj = ka - Ay - jc, NjRj = (ka - Ay - jc).

В ABLz+jVz+j:

BLz+j = b + Ay - zc - jc, BVz+j = 1 (b + Ay - zc - jc),

Lz+jVz+j = y^+A (b + Ay - zc - jc).

Суммарная длина 8 (Ay) отрезков пересечений будет равна

,___ JlL ./1 I k2 Л/1 + k2

zayj 1 + k2 + ---(b + Ay - zc - jc) + V-:-(ka - Ay - jc) =

kk

VlTk2

k

kaz + bd1 - zcd1 + kad2 + Ay (d1 - d2)

2 (d2 + d2 + d1 - d^j .

Объединяя результаты случая k > а и k < a получаем утверждение леммы 5.

Соединяя формулировки лемм 4 и 5, получаем, что \Orb(a, в, Pn)| также представляет собой эффективно вычислимую кусочно-линейную функцию от {NP} явный вид которой зависит от расположения интервалов I1, I2, а также от констант С1, С2 и С3, но не от значений а, в.

Лемма 6. Функция 8 (h) является периодической с периодом c.

Доказательство. Прямые li параллельны друг другу и находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, следовательно, могут быть получены с помощью параллельного переноса вдоль оси Oy на величину jc, где j £ Z. В случае, когда прямоугольник Pn расположен так, что часть его точек имеет координаты большие или равные единицы, прямоугольник Pn распадается на два или четыре прямоугольника, но величина 8 (h) при этом остается той же, что и в случае целого прямоугольника.

К сожалению, леммы 5 недостаточно для вычисления \Orb(a, в, Pn)\ поскольку в выражении для функции 8(h) присутствуют величины z, d1 и d2, которые, в общем случае, также зависят от Ay. Отметим, что в силу леммы 6 достаточно решить эту проблему для случая 0 A Ay < c. Воспользуемся следующей леммой.

Лемма 7. Прямоугольник Р будет иметь z „целых“, d1 и d2 „нецелых“ отрезков пересечений с прямыми li, если расположен так, что

1. при k > a

{ka - b - zc < Ay A ka - b - zc + c,

d1c - b < Ay A d1c - b + c, (18)

ka - zc - d2c A Ay < ka - zc - d2c + c,

2. при k < a

ka - b + zc A Ay < ka - b + zc + c, d1c - b + zc < Ay A d1c - b + zc + c, ka - d2c A Ay < ka - d2c + c,

(19)

262

А.А.ЖУКОВА, А.В.ШУТОВ

где z, d1; d2 удовлетворяют условиям леммы 3.

Доказательство. Пусть x1 = x0, y1 = y0 + Ay, где 0 ^ Ay < c, y0 — kx0 — ic = 0.

В случае k > a из вторых неравенств системы (9) получаем первое неравенство системы (18), из вторых неравенств системы (10) — второе неравенство системы (18), из первых неравенств систем (11) — третье неравенство системы (18).

В случае k < а из вторых неравенств системы (12) вытекает первое неравенство системы (19), из первых неравенств системы (13) — второе неравенство системы (19), из вторых неравенств систем (14) — третье неравенство системы

(19).

Отметим, что лемма 3 гарантируем нам, что существует только конечное число допустимых троек (z,d1,d2) и все эти тройки можно эффективно перебрать. Лемма 7 говорит нам, что z, d1 и d2 фактически являются кусочно постоянными функциями от Ay и позволяет разбить полуинтервал [0; с) на конечное число полуинтервалов, на которых тройки (z,d1,d2) не зависят от Ay.

5. Основной результат

Теорема 3. Справедлива асимптотическая формула

г (а,в,/l,/2,

N)

{

abN, P({N в })N,

если 1,а,в линейно независимы, если 1,а,в линейно зависимы.

здесь p({NP}) = AM представляет собой эффективно вычислимую кусочнолинейную функцию от {Ne}, явный вид которой зависит от расположения интервалов /1, /2, а также от констант C1, С2 и С3, но не от значений а,

в.

Доказательство. В случае, когда 1, а, в линейно независимы результат получен ранее, теорема 2. Если 1, а, в являются линейно зависимыми величинами, то подставим в формулу (3) результаты лемм 2 и 5.

Алгоритм вычисления функции р.

1. Привести задачу к виду: 0 < а < 1, 0 < в < 1, НОД (Сф \С2\, \С31) = 1, Ci • С2 < 0.

2. Вычислить m0, k и с, пользуясь леммой 1 и формулой (5).

3. Найти значение L, применяя лемму 2.

4. Найти все возможные значения троек (z,d1,d2) используя утверждение леммы 3.

БИНАРНАЯ АДДИТИВНАЯ ЗАДАЧА ...

263

5. Для каждой из троек (z,d1,d2), применяя лемму 7, найти границы изменения величины Ay, для которых соответствующие тройки являются постоянными.

6. Используя лемму 4, найти соответствующие границы изменения величины

{N0 }.

7. С помощью леммы 5 выразить S (Ay) через Ay.

8. Подставить в полученную формулу выражение для Ay через {Nfi}, содержащееся в лемме 4, и поделить полученный результат на L.

Поскольку алгоритм нахождения величины p({Nfi}) достаточно сложен, представляет интерес вопрос о нахождении простых достаточных условий, при которых p({N/3}) > 0, либо p({N/3}) = 0. Ответ дают следующие две леммы.

Лемма 8. Пусть ka + b > c. Тогда p({Nfi}) > 0 для всех N.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что p({Nfi}) = 0 для некоторого N (см. рис. 5).

Рис. 5. Необходимые и достаточные условия

Пусть левая нижняя вершина A прямоугольника PN имеет координаты (x1; y1). Прямоугольник P не будет иметь пересечений с прямыми ^, если вершина B расположена не выше точки L1, а D — не ниже точки R0 (рис. 5), то есть справедлива система неравенств

Г yi + b < kxi + (i + 1) c, \ yi > k (xi + a) + ic,

из которой следует, что ka + b ^ c.

264

А.А.ЖУКОВА, А.В.ШУТОВ

Лемма 9. Если прямоугольник PN таков, что ka ^ Ay ^ c — b, то p(W}) = 0.

Доказательство. Положив в системе (20) x1 = x0, y\ = y0 + Ay, такие что y0 — kx0 — ic = 0, то есть что вершина A имеет координаты (x0; yo + Ay) получим утверждение леммы 9.

6. Пример получения функции р ({N в}) в конкретном случае

Пусть а, в, 1 линейно зависимы и а, в таковы, что С1 = —1, С2 = 2. Предположим, что I = (7; 27), I2 = (I; D, значит \1г\ = a = 3, \Г2\ = \I2\ = b = (рис. 6).

1

4

1. По условию задачи С1 • С2 = —2 < 0, НОД (\С1 \,\С2\) = НОД (1, 2) = 1, а, следовательно, НОД (\С1 \, \С2\, \С7\) = 1. Положим 0 < а < 1, 0 < в < 1.

2. Так как k = — C1 ,то k = 2 < 1 и, следовательно, т0 = но^д(1 2) = 2,

Р =

min | (2 — 1) • -

2^j^2 \ y J 2

(2 — 1)

}

1

2

1

2 ’

поэтому c = 1.

3. Величина L =

2a/1+( 1)

ИОД(1,2)

= Л.

БИНАРНАЯ АДДИТИВНАЯ ЗАДАЧА ...

265

4. Возможные v, z, d1, d2 определяются неравенствами

1.1 + 1

2 3 + 4 - 1 £ v <

1.1 + 1

2 3 + 4 + 1,

1 11

— ^ v < —; 6 6 ’

|1.1-1| |1.1-1| I 2 3 41 i ^ ^ 1 2 3 4 I

- 1 < Z <

+ 1,

/ 1 . 1 1 \ /1.11' min ( 2 1 3,4 ) — 1 ^ dj < min ( 2 1 3 , у

V 2 2/ V 2 2•

5 7

— < z ^ -;

6 6’

2

з ^ dj < 3 ’

где j = 1,2. Значит каждый из параметров v, z, d1, d2 может принимать только два значения: 0 или 1.

5. Запишем возможные комбинации этих значений, удовлетворяющих равенству z + dl + d2 = v:

a) z= 0, dI = 0, d2 = 0, v=0

b) z= 0, dI = 1, d2 = 0, v = 1

c) z= 0, dI = 0, d2 = 1, v = 1

d) z= 1, dI = 0, d2 = 0, v = 1

Зная, что -

' а

3 > 1 4^2

к, находим границы изменения для Ay в каждом

из записанных выше случаев, учитывая, что 0 ^ Ay < c, то есть в нашем случае 0 ^ Ay < j:

(b)

(d)

—4 « Ay < 12 ’

—4 < Ay ^ 4’

1« Ay < 2

—4 « Ay < A ^ 12’

1 < Ay < 3 ^ 4’

1« Ay < 2 ^ 3’

—Is < Ay < 12 ’

- 4 < Ay ^ 1 ’

—1 < Ay < 6,

12 < Ay < л ^ 12’

1 < Ay < 3 ^ 4’

6 < Ay < 2 ^ 3’

11 6« ау « 4;

15 4 < Ay < l2;

0 ^ Ay < -; 6

51 — ^ Ay <

12 y 2

266

А.А.ЖУКОВА, А.В.ШУТОВ

Итак, если:

(a) z = 0, di = 0, d2 = 0, то 4 ^ Ay ^ 4;

(b) z = 0, di = 1, d2 = 0, то 4 < Ay < Ц;

(c) z = 0, d1 = 0, d2 = 1, то 0 ^ Ay < 1;

(d) z =1, d1 = 0, d2 = 0, то 44 ^ Ay < 2.

6. Теперь воспользуемся леммой 4, чтобы выяснить значения {Nfi}, при которых выполняется каждое из приведенных выше условий. Согласно указанной лемме

Ay = <! 1 - 3 + n4 - 1 • 2 - *0 • 1,

где

или

где

(-.

{1 - 3 + Ne} - i • 7

- 1 < *0 ^

} 2 7

{1 - 4 + Ne] - 4

1 2 2 • 7

Ay = {4+n4 - 7-1 ■

{4+Ne} -9 <*o«2 {4+Ne}

2

Рассмотрим два случая: 1) 4 + {N в} < 1; 2) 4 + {N в} ^ 1.

I. В том случае, когда 0 ^ {N в} < |, получим

Ay =4 + {N0}- 7 - *0,

где

2 (j + {Nв}^ - 7 < *0 ^ 2 ^4 + {Ne}) - 7’

или

Q 11 Q

Ay = {Ne} + 28 - то> где 2 {Ne}- 14 < *о ^ 2 {Ne} + 14■

Исходя из того, что 0 ^ {Nв} < 4, можно сделать вывод: возможные значения *0 — это 0 и 1. Очевидно, что:

1) i0 = 0, если

{ 2 {NP}- 14 < 0, { 0 ^ {NP} < 24,

1 2 {Ne} + 44 ^ 0, ^ 1 Ay = {Ne} + 24;

БИНАРНАЯ АДДИТИВНАЯ ЗАДАЧА ...

267

2) i0 = 1, если

г 2 [Мв]-14 < 1, ( ц ^ {Ne} < 4,

X 2 [Мв] + 14 2 1, ^ \ Ay = [Nв}- §.

II. Пусть теперь 4 ^ [Nв} < 1, тогда

Ay = 1 + [Мв} - 1 - 7 - |,

где

2 (4 + [Мв} - Л - 9 < io « 2 Q + [Мв] - Л - 2,

или

АУ = [Мв} - 25 - i0 , где 2 [Мв} - Ц < i0 ^ 2 [Мв}

25 14'

Зная, что 4 ^ [Мв} < 1, приходим к заключению: возможные значения i0 — это -1 и 0. Причем:

1) i0 = -1, если

{ 2 [Мв}- 34 < -1, { 3 ^ [Мв} < i,

1 2 [Мв}-25 2 -1, ^ X Ay = [Мв}-М;

2) io = 0, если

г 2 [Мв}- 34 < 0, \ 2 [Мв}- 25 2 о,

/Ц ^ [Мв} < 1,

X Ay = [Мв} - ц.

Собирая результаты случаев I и II, можем записать, что

f [Мв} + 28 при 0 ^ [Мв} < 2!, ау = { [Мв} - 28 при 28 ^[Мв} < 28, [ [Мв} - 28 при М ^[Мв} <1

Теперь выясним, при каких [М в} выполняются условия 5a - 5d, приведенные на странице 360.

Условие 5a справедливо, если имеет место одна из трех систем:

Ay

1

[М в} + 28 ,

6

[Мв} + 28 ^ 0 ^ [Мв} < 18,

1

4 ,

Ay

1 ^

[Мв} -18,

[Мв} - м ^ 4,

М £ [Мв} < 25,

28

28

Ay = [Мв}- 28,

6 ^ [Мв}-28 ^ 28 ^ [Мв} < 1,

1

4 ,

из которых вытекает, что

Г Ay =[Мв} + <18, 184 ^ [Мв} < 7

или

{

Ay = [Мв} -

47 ^ [Мв} ^

ii

28 , _9 14 '

268

А.А.ЖУКОВА, А.В.ШУТОВ

Условие 5b также выполняется при справедливости одной из трех систем:

Ay = {N13} + 28 ■

4 < {Nj3} + А < -42.

28

11

о ^ {NP} < 18,

Ay ={Ne} -18,

4 <{Ne} - 21 < 12,

18 ^ W} < 25,

Ay = {Ne}- 28,

4 < ДО}- 25 < Ik,

28 ^ ДО} < i,

Следовательно,

!

Ay = {NP} + 28’ 7 < {Ne} < n

или

!

Ay

ДО} - 18,

14 ^ ДО} < 11

В свою очередь будет иметь место условие 5c, если верна одна из трех систем:

f Ay = {Nfi} + 28,

< о ^{Ne} + 28 < 6, ( 0 ^ {N0} < 18,

Значит, либо

АУ = ДО} - 48,

0 ^ ДО} - 18 < 1 , 18 ^ ДО} < 25,

Ay = ДО}- 28, о ^ ДО} - 28 < 1, 28 ^ ДО} < 1,

f Ay = {Nfi} + 28,

\ 0 ^ {N0} < 84,

либо

I

Ay =ДО} -18, 18 ^ N} < 87,

либо

{

Ay = ДО}- 28, 28 ^ ДО} < i.

Последнее из условий 5d выполняется, если справедлива одна из трех систем:

f аУ = ДО} + 28,

< 12 ^ {NP} + 28 < I,

( о ^ {Ne} < 18,

из которых следует, что

Ay ={Ne} -18,

12 ^ДО} -М < 2, 18 ^ ДО} < 25,

Ay = до}- 28,

12 ^ ДО} - 25 < 2, 28 ^ ДО} < i,

f Ay ={Ne} + 28, 112 ^ ДО} < 18

или

{

Ay = ДО} -

11 ^ ДО} <

11

28 , 25

28 '

Таким образом, если:

(a)

(b)

(c)

(d)

z = 0, d1 =о, то Ay ={Ne} + 28, где 84 ^{Ne} ^ 7,

либо Ay ={Ne} - 48, где 28 ^ iNp} ^ 14; z = 0, d1 = 1, d2 = о, то Ay = {Nfi} + 28, где 1 < {N[3} < Ц,

либо Ay ={Ne} - 48, где 14 <{Ne} < Ц.

z = 0, d1 = 0, d2 = 1, то Ay = {Nfi} + 28, где 0 ^ {Nв} < 84,

либ° Ay ={Ne} - A, где 28 ^{Ne} < 84,

либо Ay = {Nfi} - 25, где 28 ^ {Nв} < 1. z =1, d1 = 0, d2 = 0, то Ay = {Nfi} + 28, где ^ ^ {Nfi} < 28, либо Ay ={Ne} - 21, где 21 ^{Ne} < 28.

БИНАРНАЯ АДДИТИВНАЯ ЗАДАЧА ...

269

7. Используя условия 5a-5d записанные на странице 360 и лемму 5 найдем вид функции 8 (Ay):

(a) 8 (Ay) = 0, если 6 ^ Ay ^ 1;

(b) 8 (Ay) = ^ (4Ay - 1), если 1 < Ay < 12;

(c) 8 (A) = ^ (1 - 6Ay), если 0 ^ Ay < 1;

(d) 8 (Ay) = it , если 12 ^ ау< 1.

8. Объединим условия 6a-6d и 7a-7d, соответственно, и получим:

(a) если А ^ {Nfi} < 4 или g ^ {Nfi} ^ 14, то 8 ({Nfi}) = 0;

(b) если 7 < {Nfi} < 12, то

8 ({N3}) = А ^ ({N3} + |) - 1) = А (7 {N3} - 1),

если 14 < {N3} < 21, то

8 ({N3}) = I5 (4 ({N/3}- (А - Л = А (14 {N,3}- 9);

(c) если 0 ^ {N3} < 84, то

8 ({N3}) = I5 Л - 6 ({N/3} + 28)) = if (5 - 84 {N0» ,

если 28 ^ {Ne} < 84 > то

8 ({N3}) = I5 Л - A{Nf3}- 28) ) = I5 (47 - 84 {N3}),

если 25 ^ {N3} < 1, то

8 ({Nв}) = I5 (1 - 6 ({N13}- §))= А (89 - 84 {N,3});

(d) если Ц ^ {N3} < 21 или 2! ^ {N3} < 25? то 8 ({N3}) = А5.

270

А.А.ЖУКОВА, А.В.ШУТОВ

Следовательно, S ({NP}) — кусочно-линейная непрерывная, периодическая с периодом 1 функция, имеющая вид

/

S ({NP})= {

\

f (5 - 84 {Ne}), 0,

# (7 {Ne}- 1),

V5 6 ’

f (47 - 84 {NP}), 0,

Ц (14 {NP}- 9),

V5 6 ’

3 (89 - 84 {NP}),

если 0 ^ {Nв} < 84,

если 84 <{Np} <1,

если 1 ^ {NP} < g, если g < {NP} < §,

если § ^ {NP} < g, если £ ^ {NP} < 14,

если ^ < {NP} < g, если 11 ^ {NP} < |5, если 25 ^ {NP} < 1.

График этой функции представлен на рис. 7.

Рис. 7. Вид функции S ({NP}) при C\ = -1, C2 = 2, a = 1, b =

Поделим S ({NP}) на L = д/5 и получим вид р ({NP})

/

Р ({NP })= {

V

И (5 - 84 {NP}),

0,

7 (7 {NP}- 1),

1

6 ’

84 (47 - 84 {NP}),

0,

,7 (14 {NP}- 9),

1

1 6 ’ Я (89 - 84 {NP}),

если 0 ^ {NP} < 84,

если 84 ^ {nP} < 1,

если 1 < {NP} < g, если g < {NP} < 21,

если М < {NP} < й,

если § < {np} < п, если -1 < {NP} < 11,

если 11 ^ {NP} < 25, если 25 ^ {NP} < 1.

►Ын-1

БИНАРНАЯ АДДИТИВНАЯ ЗАДАЧА ...

271

7. Заключение

В настоящей работе получена асимптотическая формула для числа решений бинарной аддитивной задачи

в числах n1 Е N(a,Ii), n2 Е N(fi,I2), обобщающая результаты, полученные в случае а = [3. Показано, что поведение главного члена асимптотики существенным образом зависит от арифметики а и [3. Если 1, а, [3 - линейно независимы над кольцом целых чисел, то главный член пропорционален плотностям множеств N(a,Ii), N(e, I2). В случае линейной зависимости 1, а и [3 - возникает эффект Гриценко-Мотькиной нетривиального поведения главного члена. Показано, что в этом случае главный член пропорционален некоторой эффективно вычислимой кусочно линейной функции.

Представляет интерес более общая аддитивная задача

где nk Е N^k, Ik). Естественно предположить, что если 1,а1,... , ат - линейно

независимы над Z, то главный член асимптотики будет иметь вид П \Ik\N. В

остальных случаях имеет место нетривиальное поведение главного члена асимптотики. Было бы интересно изучить зависимость поведения главного члена от размерности линейного пространства, порожденного 1,а1,... , ат над полем рациональных чисел Q.

Также представляет интерес переход от множеств N^,I) к более общим множествам

Отметим, что такие множества возникают при изучении натуральных чисел, имеющих заданное окончание разложения в систему счисления Трибоначчи

Ui + U2 = N

Ui + ... + Um = N,

т

n

N^i,... ,ал,D) = {u Е N : ({аiu}, ... {аdn}) Е D}.

[12], [21]

N = Y, £k(N)Fk,

k,

k>1

£k (N )£k+l(N)£k+2(N) = 0,

Tl = T2

1,Тз = 2

,T3

либо при изучении натуральных чисел, имеющих заданное окончание разложения по более общим рекуррентным последовательностям, связанным с числами Пизо [20], [22].

272

А.А.ЖУКОВА, А.В.ШУТОВ

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гриценко С. А., Мотькина Н. Н. Задача Хуа-Локена с простыми числами специального вида // ДАН республики Таджикистан. 2009. Т. 52, Вып. 7. С. 497-500.

2. Гриценко С. А., Мотькина Н. Н. О вычислении некоторых особых рядов // Чебышевский сборник. 2011. Т. 12, Вып. 4. С. 85-92.

3. Гриценко С. А., Мотькина Н. Н. О некоторых аддитивных задачах теории чисел // Научные ведомости БелГУ. Серия Математика. Физика. 2010. Т. 18., Вып. 5 (76). С. 83-87.

4. Гриценко С. А., Мотькина Н. Н. Об одном варианте тернарной проблемы Гольдбаха // ДАН республики Таджикистан. 2009. Т. 52, Вып. 6. С. 413-417.

5. Гриценко С. А., Мотькина Н. Н. О теореме Чудакова в простых числах специального вида // Чебышевский сборник. 2011. Т. 12, Вып. 4. С. 75-84.

6. Гриценко С. А., Мотькина Н. Н. Проблема Варинга с натуральными числами специального вида // Чебышевский сборник. 2014. Т. 15, Вып. 3. С. 31-47.

7. Давлетярова Е. П., Жукова А. А., Шутов А. В. Геометризация системы счисления Фибоначчи и ее приложения к теории чисел // Алгебра и анализ. 2013. Т. 25, Вып. 6, 1-23.

8. Журавлвев В. Г. Гиперболы над двумерными квазирешётками Фибоначчи // Фундаментальная и прикладная математика. 2010. Т. 16, Вып. 6. С. 4562.

9. Журавлев В. Г. Четно-фибоначчевы числа: бинарная аддитивная задача, распределение по прогрессиям и спектр // Алгебра и анализ. 2008. Т. 20, Вып. 3. С. 18-46.

10. Журавлев В. Г. Одномерные квазирешетки Фибоначчи и их приложения к диофантовым уравнениям и алгоритму Евклида // Алгебра и анализ. 2007. Т. 19, Вып. 3. С. 151-182.

11. Журавлев В. Г. Суммы квадратов над о-кольцом Фибоначчи // Записки научного семинара ПОМИ. 2006. Т. 337. С. 165-190.

12. Журавлев В. Г. Разбиения Рози и множества ограниченного остатка на торе// Записки научных семинаров ПОМИ. 2005. Т. 322. С. 83-106.

13. Журавлев В. Г. Уравнение Пелля над о-кольцом Фибоначчи // Записки научного семинара ПОМИ. 2007. Т. 350. С. 139-159.

БИНАРНАЯ АДДИТИВНАЯ ЗАДАЧА ...

273

14. Красильщиков В. В., Шутов А. В., Журавлев В. Г. Одномерные квазипериодические разбиения, допускающие вложение прогрессий // Известия вузов. Математика. 2009. Вып. 7. С. 3-9.

15. Красильщиков В. В., Шутов А. В. Распределение точек одномерных квазирешеток по переменному модулю // Известия вузов. Математика. 2012. Вып. 3, 17-23.

16. Шутов А. В. Арифметика и геометрия одномерных квазирешеток // Чебы-шевский сборник. 2010. Т. 11, Вып. 1. С. 255-262.

17. Шутов А. В. Об одной аддитивной задаче с дробными долями // Научные ведомости БелГУ. Серия Математика. Физика. 2013. Т. 30, Вып. 5(148). С. 111-120.

18. Шутов А.В. Системы счисления и множества ограниченного остатка // Че-бышевский сборник. 2006. Т. 7, Вып. 3. С. 110-128.

19. Шутов А.В. Тригонометрические суммы над одномерными квазирешетками // Чебышевский сборник. 2012. Т. 13, Вып. 2. С. 136-148.

20. Akiyama S. Self affine tiling and Pisot numeration system // Number Theory and its Applications, ed. by K. Gyory and S. Kanemitsu, Kluwer. 1999. P. 7-17.

21. Rauzy G. Nombres alge;briques et substitutions // Bull. Soc. Math. France. 1982. V. 110. P. 147-178.

22. Shutov A.V., Maleev A.V., Zhuravlev V.G. Complex quasiperiodic self-similar tilings: their parameterization, boundaries, complexity, growth and similarities // Acta Crystallogrphica. 2010. A 66. P. 427-437.

23. Weyl, H. (1916). Ueber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins,. Math. Ann. 1916. V. 77 (3). P. 313-352.

REFERENCES

1. Gricenko S. A. & Mot’kina N. N. 2009. "Hua Lo-ken problem involving prime numbers of a special type" , DAN respubliki Tadzhikistan, Vol. 52, no. 7, pp. 497-500. (Russian)

2. Gricenko S. A. & Mot’kina N. N. 2011. "On the computation of some singular series." , Chebyshevskii Sb., Vol. 12, no. 4, pp. 85-92. (Russian)

3. Gricenko S. A. & Mot’kina N. N. 2010. "Additive problems with given numbers." , Nauchnye vedomosti BelGU. Serija Matematika. Fizika, Vol. 18, no. 5(76), pp. 83-87. (Russian)

274

А.А.ЖУКОВА, А.В.ШУТОВ

4. Gricenko S. A. & Mot’kina N. N. 2009. "On a variant of ternary Goldbach problem." , DAN respubliki Tadzhikistan, Vol. 52, no. 6, pp. 413-417 (Russian)

5. Gricenko S. A. & Mot’kina N. N. 2011. "On Chudakov’s theorem involving primes of a special type." , Chebyshevskii Sb., Vol. 12, no. 4, pp. 75-84. (Russian)

6. Gricenko S. A. & Mot’kina N. N. 2014. "Waring’s problem involving natural numbers of a special type." , Chebyshevskii Sb., Vol. 15, no. 3, pp. 31-47. (Russian)

7. Davletyarova E. P., Zhukova A. A., Shutov A. V. 2013. "Geometrization of Fibonacci numeration system and its applications to number theory." , Algebra i analiz, Vol. 25, no. 6, pp. 1-23 (Russian); translation in St. Petersburg Mathematical Journal, 2014. Vol. 25, no. 6, pp. 893-907. doi: 10.1090/S1061-0022-2014-01321-0.

8. Zhuravlev V. G. 2010. "Hyperbolas over two-dimensional Fibonacci quasilattices." , Fundam. Prikl. Mat., Vol. 16, no.6, pp. 45-62. (Russian). translation in Journal of Mathematical Sciences, 2012, Vol. 182, no. 4, pp. 472-483. doi: 10.1007/s10958-012-0751-1.

9. Zhuravlev V. G. 2008. "Even Fibonacci numbers: the binary additive problem, the distribution over progressions, and the spectrum ." , Algebra i analiz, Vol. 20, no. 3, pp. 18-46 (Russian). translation in St. Petersburg Mathematical Journal, 2009, Vol.20, no. 3, 339-360. doi:10.1090/S1061-0022-09-01051-6.

10. Zhuravlev V. G. 2007. "One-dimensional Fibonacci quasilattices and their application to the Euclidean algorithm and Diophantine equations" , Algebra i analiz, Vol. 19, no. 3, pp. 151-182 (Russian). translation in St. Petersburg Mathematical Journal, 2008, Vol. 19, no. 3, pp. 431-454. doi: 10.1090/S1061-0022-08-01005-4.

11. Zhuravlev V. G. 2006. "Sums of squares over the Fibonacci o-ring" , Zapiski nauchnogo seminara POMI, Vol. 337, pp. 165-190 (Russian). translation in Journal of Mathematical Sciences, 2007, Vol. 143, no. 3, pp. 3108-3123. doi: 10.1007/s10958-007-0195-1.

12. Zhuravlev V. G. 2005. "Rauzy tilings and bounded remainder sets on the torus" , Zapiski nauchnyh seminarov POMI, Vol. 322, pp. 83-106 (Russian). translation in Journal of Mathematical Sciences, 2006, Vol. 137, no. 2, pp. 4658-4672. doi: 10.1007/s10958-006-0262-z.

13. Zhuravlev V. G. 2007. "The Pell equation over the o-Fibonacci ring" , Zapiski nauchnogo seminara POMI, Vol. 350, pp. 139-159 (Russian). translation in Journal of Mathematical Sciences, 2008, Vol. 150, no. 3, pp. 2084-2095. doi: 10.1007/s10958-008-0123-z.

БИНАРНАЯ АДДИТИВНАЯ ЗАДАЧА ...

275

14. Krasil’shchikov V. V., Shutov A. V. & Zhuravlev V. G. 2009. "One-dimensional quasiperiodic tilings admitting progressions enclosure" , Izv. Vyssh. Uch-ebn. Zaved. Mat., no. 7, pp. 3-9 (Russian). translation in Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 2009, Vol. 53, no. 7, pp. 1-6. doi: 10.3103/S1066369X09070019.

15. Krasil’shchikov V. V. & Shutov A. V. 2012. "Distribution of points of onedimensional quasilattices with respect to a variable module" , Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., no. 3, pp. 17-23 (Russian). translation in Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 2012, Vol. 56, no. 3, pp. 14-19. doi:10.3103/S1066369X12030036.

16. Shutov A. V. 2010. "The arithmetic and geometry of one-dimensional quasilattices" , Chebyshevskii Sb., Vol. 11, no. 1, pp. 255-262 (Russian)

17. Shutov A. V. 2013. "On one additive problem with the fractional part function" , Nauchnye vedomosti BelGU. Serija Matematika. Fizika, Vol. 30, no. 5(148), pp. 111-120 (Russian)

18. Shutov A. V. 2006. "Numeration systems and bounded remainder sets" , Chebyshevskii Sb., Vol. 7, no. 3, pp. 110-128. (Russian)

19. Shutov A. V. 2012. "Trigonometric sums over one-dimensional quasilattices" , Chebyshevskii Sb., Vol. 13, no. 2, pp. 136-148. (Russian)

20. Akiyama S. 1999. "Self affine tiling and Pisot numeration system" , Number Theory and its Applications, ed. by K. Gyory and S. Kanemitsu, Kluwer. pp 7-17.

21. Rauzy G. 1982. "Nombres alge;briques et substitutions" , Bull. Soc. Math. France, Vol. 110, pp. 147-178.

22. Shutov A. V., Maleev A. V. & Zhuravlev V. G. 2010. "Complex quasiperiodic self-similar tilings: their parameterization, boundaries, complexity, growth and similarities" , Acta Crystallogrphica A, Vol. 66., pp. 427-437. doi: 10.1107/ S0108767310006616.

23. Weyl H. 1916. "Ueber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins" , Math. Ann., Vol. 77, no. 3, pp. 313-352.

Владимирский филиал Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации

Владимирский государственный университет имени А. Г. и Н. Г. Столетовых

Получено 02.06.2015