CC BY
37
DOI: 10.24143/2072-9502-2018-1-121-128 УДК 511.348
С. И. Чермидов
ПРОЦЕДУРА РЕШЕНИЯ БИНАРНОЙ ПРОБЛЕМЫ ГОЛЬДБАХА - ЭЙЛЕРА НА БАЗЕ ЧИСЕЛ СПЕЦИАЛЬНОГО ТИПА
Множество чисел 0 = {6Х ± 1; Х 6 Щ является полугруппой в силу замкнутости элементов относительно операции умножения. Рассматриваются свойства и представления четных чисел С > 8 в виде сумм двух элементов: 01 = 6X1 ± 1 и 02 = 6Х2 ± 1 из множества 0. Любое чётное число £ > 8 сравнимо с одним из чисел m = (0, 2, -2) (mod 6). Согласно перечисленным остаткам m, чётные числа £ > 8 делятся на 3 вида, и каждый вид имеет свой метод представления сумм из двух элементов множества 0. Для любого четного числа £ > 8 на отрезке [1 ^ V], где V - параметр чётного числа, доказано, что всегда существует пара чисел (Хь Х2) 6 6 [1 ^ V], которые являются элементами из объединения множеств: параметров простых чисел близнецов и параметров (простых и составных) чисел множества 0. Приводится вариант решения бинарной проблемы Гольдбаха - Эйлера для чётных чисел £ > 8 во множестве простых чисел P. Бинарная проблемы Гольдбаха - Эйлера разрешима и во множестве простых чисел близнецов, если параметры чисел 01 и 02, т. е. Х1 и Х2 принадлежат к дополнению множества N \ FN, где FN - множество параметров составных чисел множества 0 на отрезке [1 ^ V].
Ключевые слова: бинарная (сильная) проблема Гольдбаха, алгоритм решения, числа специального типа.
Введение
Интерес к бинарной проблеме Гольдбаха - Эйлера в математике, а также её применение в смежных науках и технологиях актуальны и значимы в криптографии [1, 2]. В последнее 10-летие в области аддитивной теории чисел наблюдались значительные сдвиги, например, в 2013 г. Харальдом Хельфготтом была доказана тернарная проблема Гольдбаха. Бинарная проблема еще не решена, и многие считают, что она недоказуема. Это объясняется тем, что еще не найден закон распределения простых чисел во множестве натуральных чисел N хотя распределение параметров простых чисел (Р^) и составных чисел (С^ на базе полугруппы относительно операции умножения (0,*) = {6Х ± 1 / X 6 N уже получено [3], в силу распределения параметров простых и составных чисел множества 0 во множестве натуральных чисел (см. [4, § 3, табл. 2] и программу РгШ [3]). Серийные номера id 6 N в табл. 2 [4] являются параметрами следующих значащих подмножеств множества 0:
1. РТ„ - множество параметров Тм> (простых чисел близнецов) (табл. 2 [4], где F1 = «+», F2 = «+»).
2. РТчСМ - множество параметров TwCN (составных чисел близнецов) (табл. 2 [4], где F1 =
= «-», F2 = «-»).
3. РР™ - множество параметров РСМ (просто простых и составных) чисел множества 0 (табл. 2 [4], где F1 = «±», F2 = «+»).
Рассматриваются свойства чётных чисел £ > 8, £ = т (mod 6), где т = (0, 2, -2), и приводятся их представления в виде сумм двух чисел вида 01 = 6Х1 ± 1 и 02 = 6Х2 ± 1. Для любого четного числа £ > 8 в отрезках Л1 = [1 ^ V \ 2] и Л2 = [V \ 2 ^ V], где V = (£ - т) \ 6 - параметр чётного числа, доказано, что всегда существует пара чисел Х1 6 Л1 и Х2 6 Л2 таких, что Х1, Х2 6 РТк и РРСМ. Нахождение возможных пар простых чисел, в сумме равных чётному числу £ > 8, разрешимо и алгоритмически с помощью программ «ОоЫ-Р» и «Gold-Tw» [5] на базе свойств чисел вида £ = г (mod 12). Бинарная проблема Гольдбаха - Эйлера разрешима и во множестве простых чисел близнецов, если параметры чисел вида 01 = 6Х1 ± 1 и 02 = 6Х2 ± 1 лежат в дополнениях, т. е. Х1 и Х2 6 6 N \ FN, где множество FN = FN и FNr есть объединение параметров составных чисел вида 6Х ± 1 на отрезке [1 ^ V] [4, § 2]. Для мощностей множеств FN~, FN+, РТм, в отрезках Л1 и Л2 справедливы следующие неравенства: ^N+1 < |РТм, и FN~|, \FN~I < |РТм, и FN+|.
Цель работы - доказательство разрешимости диофантова уравнения ^ = х + у в области целых чисел Z > 0, где ^ - любое чётное число большее двух и слагаемые (х, у) 6 Р - простые числа.
I. Представление чётных чисел £ > 8 в виде сумм двух элементов из множества ©
Свойства и представление чётных чисел £ > 8 в виде сумм двух элементов множества © вытекают из следующих лемм:
Лемма 1. Чётные числа £ > 8 сравнимы с (0 или 2 или -2) (mod 6).
Из формулы четных чисел £ = 2п, где п £ N имеем 2п / 6 = п / 3, т. е. число п имеет следующую форму: 3v + а, где V £ N и очевидно, что остатки а = (0, 1, 2). Пусть:
1. а = 0 ^ £ = 2п = 2(3 V + 0) = 6 V + 0 ^ т = 0, т. е. делится на 6 с остатком 0.
2. а = 1 ^ £ = 2п = 2(3 V + 1) = 6 V + 2 ^ т = 2, делится на 6 с остатком 2.
3. а = 2 ^ £ = 2п = 2(3 V + 2) = 6 V + 4 или (ц = V + 1) 6ц - 2 ^ т = -2 делится на 6 с остатком -2.
Лемма 2. Любое четное число £ > 8 представимо суммами двух элементов из множества ©. Рассмотрим виды разложения четных чисел £ > 8, сравнимые с остатками (0, 2, -2) (mod 6).
1. £ = 6v + 0, пусть V = + Х2 ^ С = 6^1 + 6Х2 (добавим и отнимем 1) = (6Х1 + 1) + (6Х2 - 1) = = 9!+ + 02-.
2. £ = 6v + 2, пусть V = ^ + Х2 ^ С = 6^1 + 6Х + 2 = (6^! + 1) + (6Х + 1) = 01+ + 02+ (01+, 0+) £ ©.
3. I = 6v - 2, пусть V = Х1 + Х2 ^ С = 6^1 + 6^2 - 2 = (6Х1 - 1) + (6Х2 - 1) = 01- + 02- (01-, 02-) £ ©. Так как подмножество PCN с © является объединением множеств просто простых
и составных чисел множества ©, то очевидно, что Ррсы = Рсы и Ppn, где Рсы - множество параметров составных чисел множества © [4, формула (8)]) и Рш - множество параметров простых чисел множества © [4, формула (10)]), откуда параметры РСК = FN+ и FN - и Рт = ^^Г \ РТпСМ) и и ^ \ Р^) = ^ и FN-) \ Р^. Итак, PpcN = ^ и FN-) \ Рт^см-
Следовательно, для элементов 6Х ± 1 подмножества PCN справедливы следующие утверждения:
1. Если параметры Х е FN+, то числа вида 6Х + 1 составные, а числа вида 6Х -1 - простые. (1)
2. Если параметры Х е FN-,то числа вида 6Х -1 составные, а числа вида 6Х +1 - простые.
Из табл. 2 [3] заметим, что каждому серийному номеру id £ N (по построению) соответствуют элементы подмножеств (Т^, TwCN, РСЩ с ©. Тогда мы вправе утверждать, что любое число п £ N есть параметр одного из перечисленных подмножеств множества 0, т. е.
N = Ртк и ptwcn и ррск- (1')
Поскольку параметры составных чисел близнецов PTwCN лежат на пересечениях образов функций (5) [4], то число их параметров на отрезке [1 ^ N по определению пересечения множеств будет меньше, чем число образов самих функций. Следовательно, на отрезке [1 ^ N для параметров подмножеств Tw, TwCN, PCN выполнимо следующее неравенство:
ptwcn < ррсы и ptw. (2)
Рассмотрим по аналогии к остаткам т = (0, 2, -2) разложение чётных чисел £ > 8 в виде сумм 01 + 02. Пусть параметры (X и V) £ N добавим к чётным числам типа £ = 6v + т и отнимем от них числа вида 6Х ± 1.
а) Для чисел вида £ = 6v + 0, где параметр V = (£ - 0) \ 6, имеем: 6v + 0 + (6Х - 1) - (6Х - 1) = = (6Х - 1) + (6(г - X) + 1). И точно так же для чисел вида 6Х + 1 имеем: 6v + 0 + (6Х + 1) - (6Х + 1) = = (6Х + 1) + (6^ — Х) — 1). Обозначим параметры слагаемых соответственно Х1 = Х и Х2 = V - Хь следовательно, чётные числа, делящиеся нацело на 6, имеют следующий вид:
6v + 0 = (6Х -1) + (6^ - Х) +1) = (6Х1 -1) + (6Х2 +1)
или
6v + 0 = (6Х +1) + (6^ - Х) -1) = (6Х1 +1) + (6Х2 -1). (3)
Выполнимо и следующее тождество:
(6Х -1) + (6(Х + 2) +1) = (6Х +1) + (6(Х + 2) -1). (3')
Пусть £ = 96, 6v = 96, V = [96 \ 6] = 16, при Х1 = 1, Х2 =16 - 1 = 15 из (3) ^ 0Г = 5, 02+ = 91 или 01+ = 7, 02- = 89.
в) Для чисел вида Z = 6v + 2, где параметр v = (Z - 2) \ 6, имеем: 6v + 2 + (6X +1) - (6X +1) = = (6X + 1) + (6(v - X) + 1). Обозначим параметры слагаемых соответственно X1 = X и X2 = v - Xb значит, чётные числа Z > 8 имеют вид
6v + 2 = (6X +1) + 6(v - X) +1) = (6X1 + 1) + (6X2 + 1). (4)
Выполнимо также и тождество
(6X +1) + (6(X + 3) +1) = (6(X +1) +1) + (6(X + 2) +1). (4')
Пусть Z = 98, 6v + 2 = 98, v = [(98 -2) \ 6] = 16, при X1 = 2, X2 = 14 из (4) ^ 01+ = 13, 02+ = 85,
Z = 01+ + 02+.
у) Для чётных чисел вида Z = 6v — 2, где параметр v = (Z + 2) \ 6, имеем: 6v — 2 + (6X — 1) -- (6X — 1) = (6X — 1) + (6(v — X) — 1).
Обозначим параметры слагаемых: X1 = X и X2 = v - X1, следовательно, чётные числа Z > 8
вида
6v -2 = (6X -1) + (6(v - X) -1) = (6X1 -1) + (6X2-1). (5)
Выполнимо также и тождество
(6X-1) + (6(X + 3)-1) = (6(X + 1)-1) + (6(X+2)-1). (5')
Пусть Z = 100, 6v — 2 = 100, v = [(100 + 2) \ 6] = 17, при X1 = 3, X2 = 14 из (5) ^ 01- = 17, 02- = 83,
Z = 01- + 02-.
Из свойств а), в), у) следует, что чётные числа Z > 8 представимы суммами (6X1 ± 1) + (6X2 ± 1), где X1 е Л1 и X2 = (v - X1) е Л2 и параметр любого чётного числа (Z > 8) равен
v = (Z - m) \ 6. (6)
II. Бинарная (сильная) проблема Гольдбаха - Эйлера
Разложение четных чисел Z < 8 на сумму двух простых чисел проверяется непосредственно, поэтому рассмотрим решение бинарной или сильной проблемы Гольдбаха - Эйлера для чётных чисел Z > 8.
Предварительно введём определение и докажем ряд лемм.
Определение. Для чисел вида 01 = 6X1 ± 1 и 02 = 6X2 ± 1 величины X1 и X2 назовём соответствующими параметрами чётного числа Z > 8, если X1 е Л1, X2 = (v - X1) е Л2 и Z = 01 + 02.
Например, найти соответствующие параметры чётного числа Z = 30. Так как число 30 = 0 (mod 6), то параметр чётного числа v = (30 - 0) / 6 = 5, следовательно, параметры X1 е Л1 = = [1, 2] и X2 е Л2 = [3, 4, 5].
1. X1 = 1 и X2 = v - X1 = 5 - 1 = 4 ^ 01 = 6 • 1 - 1 = 5 и 02 = 6 • 4 + 1 = 25 или 01 = 6 • 1 + 1= 7 и 02 = 6 - 4 - 1= 23. Так как 5 + 25 = 7 + 23 = 30, то соответствующие параметры (X1; X2) = (1; 4).
2. X1 = 2 и X2 = v - X1 = 5 - 2 = 3 ^ 01 = 6 • 2 - 1 = 11 и 02 = 6 • 3 + 1 = 19 или 01 = 6 • 2 + 1 = 13 и 02 = 6 • 3 - 1 = 17. Так как 11 + 19 = 13 + 17 = 30, то соответствующие параметры (X1; X2) = (2; 3).
Итак, четное число Z = 30 имеет два соответствующих параметра: (X1; X2) = {(1; 4), (2; 3)}.
Лемма 3. Для любого чётного числа Z > 8 в отрезках Л1 и Л2 всегда существует пара чисел X1 е Л1 и X2 = (v - X1) е Л2, которые принадлежат объединению множеств PTw у PPCN и являются искомыми соответствующими параметрами чётного числа.
Доказательство. Параметры составных чисел близнецов являются возрастающими, поскольку пересечение образов функций (5) [4] возрастающие, тогда в отрезках Л1 и Л2, естественно, они будут различными. Так как в отрезке Л1 натуральные числа начинаются с параметров простых чисел близнецов PTw = {1, 2, 3, 5, 7, 10, 12, 17, 18, 23, 25, 30, ...}, то все элементы промежутка Л1, очевидно, не могут быть параметрами составных чисел близнецов. Пусть все элементы отрезка Л2 являются параметрами составных чисел близнецов, тогда по (2) имеем противоречие, ибо суммарное число элементов PTwCN на отрезке [1 ^ v] может быть больше, чем число элементов PPCN и PTw. Значит, допущение неверное, т. е. в отрезках Л1 и Л2 число парамет-
ров рт^см | < Рт* и Ррш Если в Л] число параметров составных чисел близнецов 1Рт^См1 равно ^ и в Л2 равно k2, то в Л1 число параметров |Рт* и Ррсм| будет 61 = (V \ 2 - а в Л2: 52 = (V \ 2 -Пусть k1 < очевидно, что 51 > 52. Пусть параметры (1Х1, 2ХЬ ... , £ Л1 £ Рт*см, и допустим, что (для усиления утверждения Леммы 3) соответствующие им параметры (1Х2, 2Х2, ... , ИХ2) в Л2 являются элементами Рт* и Ррсм• Тогда число параметров | Рт* и Ррсм | в отрезке Л2: 52 = (V \ 2 - k2) -- ^ = V \ 2 - (^ + k2), где (^ + k2) показывает число соответствующих параметров, один из которых - параметр составного числа близнеца т*СЫ на отрезке [1 ^ V]. Поскольку в отрезках Л! и Л2 число параметров составных чисел близнецов меньше, чем число элементов |Рт* и РРСМ |, то, естественно, всегда в Л! и Л2 найдётся пара чисел Х1 £ Л! и Х2 £ Л2 такие, что (Х 1 и Х 2) £ Рт* и Ррсм и являются соответствующими параметрами четного числа £ > 8.
Лемма 4. В отрезке [1 ^ V], где V £ N число элементов | Рт„ и FM | > \FN¥ | и рт* и FN+| > FN
Доказательство. Из содержания процедуры построения табл. 1 [4] очевидно, что элементы множеств FN¥ = Jm у11 (х, у) и Jm у12 (х, у) и FN - = Jm Т21(х, у) и Jm f22(x, у) в каждой строке порождают по 2 элемента, т. е. в отрезке [1 ^ V] число элементов |FN+ | ~ Потому справедливы неравенства | Рт* и FN | > ^ | и |Рт* и FN+| > рЖ
Теорема 1. Любое четное число £ > 8 разложимо на сумму двух простых чисел.
Доказательство. Так как рассматриваются чётные числа £ > 8, то из (6) следует, что значения параметров чётных чисел V > 1, ибо при остатках т = (0, 2, -2) выражение [(^ - т) / 6] > 1. Тогда, по аналогии к остаткам т, четные числа £ > 8 представимы суммами 01 + 02, где 01 = 6 Х1 ± 1 и 02 = 6Х2 ± 1 и параметр Х2 = V — Х1.
По видам разложений четных чисел £ > 8 (Лемма 2) или по свойствам а), Р), у) имеем следующие структуры соответствующих форм разложения чётных чисел £ > 8:
а) С = 6v + 0: 01 = {6 Х1 ± 1 / X 1 £ Л1} и 02 = {6 Х2 ± 1 / Х2 £ Л2};
б) I = 6v + 2: 01 = {6 Х1 + 1 / Х1 £ Л1} и 02 = {6 Х2 + 1 / Х2 £Л2}; (7)
в) £ = 6v — 2: 01 = {6 Х1 - 1 / Х1 £ Л1} и 02 = {6 Х2 - 1 / Х2 £Л2}.
Исследуем элементы отрезка [1 ^ V] на принадлежность к множествам РтР^^, РР^ и выясним, при каких значениях параметров Х1 £ Л1 и Х2 £ Л2 из перечисленных множеств числа вида 01 = 6Х1 ± 1 и 02 = 6Х2 ± 1 являются простыми и при каких составными. Поскольку при элементах Ртс числа 01 и 02 всегда являются составными, то они не рассматриваются. Однако, по Лемме 3, существуют всегда элементы Х1 £ Л1 и Х2 £ Л2 такие, что Х1, Х2 £ Рт* и РРсы тогда Х1, Х2 £ Рт* и (F.№ и FN+) \Рт*,т. Следовательно, остаётся проверить элементы Х1 £ Л1 и Х2 £ Л2 на принадлежность к множествам Рт„ и FN и FNr с удаленными параметрами составных чисел близнецов во всем отрезке [1 V]. Имеем:
A. Х1 £ Рт* и Х2 £ Рт„. Тогда слагаемые 01 и 02 чётного числа ^ > 8 являются простыми числами, как составляющие элементы простых чисел близнецов 01 = (р1 = 6Х1 - 1 и р1 = 6Х1 + 1) и 02 = (р2 = 6Х2 - 1 ир2 = 6Х2 + 1). Следовательно, согласно соответствующим формам в (7), имеем £ = Р1 + Р2.
B. Х1 £ Рт* и Х2 £ ^^ и FN~)• Пусть параметр Х1 £ Ртзначит, слагаемое 01 есть простое число как составляющие элементы простых чисел близнецов 01 = (р1 = 6Х1 - 1 и р1 = 6Х1 + 1). И второе слагаемое 02 = 6Х2 ± 1 по формуле (1) в одном из вариантов форм 02 = (р2 = 6Х2 - 1 или р2 = 6Х2 + 1) есть простое число. Тогда, прибавляя к полученному простому числу 02 = р2 простое число 01 = р1 (по аналогии с соответствующей формой из (7)), получаем £ = р1 + р2.
C. Х1 £ ^^ и FN+) и Х2 £ Ртт. е. случай обратный В.
D. Х1 £ ^^ и FN~) и Х2 £ ^^ и FN~). Тогда, для того чтобы слагаемое 01 чётного числа £ > 8, в зависимости от соответствующей формы определенное в (7) и по (1), было простым числом, достаточно установить принадлежность параметра Х1 к одному из множеств (FNГ или FNi~). Для слагаемого 02, параметр которого Х2 = V — Х1 на отрезке [1 ^ V] могут соответствовать, очевидно, параметры Рт* или опять элементы из множества ^^ и FN¥). Если Х2 £ Рт* , то проблем нет, иначе по тождествам (3'), (4') и (5') соответственно по типу четного числа 6v + т определяется следующий параметр Х1, который, очевидно, является элементом либо Рт„ , либо FM и FN¥. Но по-
скольку по Лемме 4 число параметров рт„ и FN | > ^N+1 и \РТ„ и FN+| > то в Л! и Л2 по-
вторится один из пунктов (А, В, С).
Итак, разложение четного числа ^ > 8 на сумму двух чисел ^ = 01 + 02, где числа вида 0! = (6^1 ± 1) и 02 = (6^2 ± 1), параметры которых £ РТм, и РРС^[ в любом из перечисленных вариантов (А, В, С, D), всегда приводят к формам 6^1 ± 1 и 6^2 ± 1 простых чисел. И поскольку сумма чисел 01 + 02 четна либо 6(^1 + Х2), либо 6(^1 + Х2) ± 2, то бинарная проблема Гольдбаха -Эйлера (£ = р1 + р2) в любом случае решается положительно.
III. Процедура разложения чётного числа £ > 8 на суммы двух простых чисел
В силу Леммы 2 представление четных чисел £ > 8 в виде сумм двух элементов 01 = 6Х1 ± 1 и 02 = 6^2 ± 1 всегда выполнимо, но поскольку числа 01 и 02 могут быть и составными, и простыми, то проблема разложения четного числа £ > 8 на сумму двух простых чисел, очевидно, усложняется. Однако, по Лемме 3, в отрезках Л1 и Л2 всегда существуют параметры и £ £ (РТ„ и РРСь), такие, что числа 01 и 02 в одном из вариантов (А, В, С, D) являются простыми числами, тогда разложение четного числа £ > 8 на сумму двух простых чисел выполнимо. Из нижеследующих процедур легко и просто определить все возможные пары простых чисел, которые в сумме равны четному числу
1. Распознавание типа чётного числа £ > 8.
Определение форм слагаемых в разложении £ = 91 + 82.
Определение типа 6v + т четного числа £ > 8 производится путём деления четного числа £ на 6. И установление форм слагаемых 01 + 02 = £ производится согласно типам четного числа в (7).
2. Вычисление V (параметра четного числа £ > 8).
Вписывание элементов множеств РТкСм, РТк и РРС^ лежащих на отрезке [1 ■ у].
Вычисление значения параметра V четного числа £ > 8 производится по формуле V = (£ - т) / 6. И поскольку по (1') элементы отрезка [1 ^ V] являются параметрами следующих множеств: РТк [4, табл. 5], РТм<^ [4, табл. 6] и РР^ = и FN+) \ РТС [4, табл. 1], где множества FN = Jm f п (х, у) и Jm f 12 (х, у) и FNГ = Jm f 21 (х, у) и Jm f 22 (х, у). Вписывание элементов множеств РТкС^ РТч>, PPCN берутся из соответствующих таблиц работы [4] от 1 до < V.
3. Расписывание элементов £ Л1 и ^ £ Л2.
Принадлежность элементов в промежутках Л1 и Л2 к множествам PTwCN, РТ„ и РРсы производится следующим образом:
- параметры простых чисел близнецов РТк (подчеркиваются снизу);
- параметры составных чисел близнецов РТкС^ (в левом верхнем углу числа ставится знак «* »);
- параметры чисел FN+ (в левом верхнем углу числа ставится знак «+»);
- параметры чисел FNГ (в левом верхнем углу числа ставится знак «-»).
4. Выбор соответствующих пар параметров £ Л1 и ^ £ Л2 По значениям параметров £ Л1 определяются соответствующие параметры Х2 £ Л2 по типу: = V - В соответствующих парах параметров £ Л1 и £ Л2, если хотя бы один из параметров со звёздочкой, то пара не рассматривается, ибо соответствующие им числа 01 и 02 составные числа [4, формула (9)]. Вычеркиваем все такие пары чисел из отрезка [1 ^ V]. Для оставшихся пар параметров получим из вариантов (А, В, С, D) простые числа.
5. Исследование и проверка значений слагаемых 81 + 82 = £ на простоту.
Выбрав соответствующие пары параметров £ Л1 и £ Л2, проводим анализ на их принадлежность к одной из групп (А, В, С, D) сочетаний из подмножеств РТ„, РТ„С^ РРС^ приведенных в Теореме 1.
Проверка полученных значений слагаемых 01 и 02 на простоту выполняется РгтаШу 6к ± 1 [4, § 8] или любой таблицей простых чисел (р > 5).
Приведем числовые примеры для реализации описанной процедуры.
Пример 1. Пусть чётное число £ = 360. Вычислим остаток т от деления четного числа £ на 6. По Лемме 1 найдём тип четного числа 6v + 0, и по (7), соответственно, имеем строку (7, а). Установим формы слагаемых в разложении чётного числа £ > 8, имеем числа вида 01 = 6Х1 ± 1 и 02 = 6 ± 1.
Вычисляем параметр четного числа по формуле V = (£ - т) / 6, где остаток т = 0, откуда V = 60. Выпишем элементы подмножеств РТ„СМ РТм1, РРСц из соответствующих таблиц на отрезке [1 ■ 60]:
Рт^См = {20, 24, 31, 34, 36, 41, 48, 50, 54, 57} [4, табл. 6].
Рш = а = N \ FN = {1, 2, 3, 5, 7, 10, 12, 17, 18, 23, 25, 30, 32, 33, 38, 40, 45, 47, 52, 58} [4, табл. 5].
ВЪГ = {6, 11, 13, 16,*20, 21,*24, 26, 27,*31,*34, 35,*36, 37,*41, 46, *48,*50, 51,*54, 55, 56,*57} [4, табл. 1].
FN+ = {4, 8, 9, 14, 15, 19, *20, 22,*24, 28, 29,*31,*34,*36,39,*41, 42, 43, 44,*48, 49,*50, 53,*54, 55,*57, 59, 60}.
Разложим элементы соответствующих пар параметров X] £ [1 ^ 30], £ [30 ^ 60] с учетом их принадлежности к множествам параметров РТм, РТк^ и РРСЫ согласно пункту 3 в разделе III.
Л1 = {1, 2, 3,+4, 5, -6, 7,+8, +9, 10, "11, 12, 13, +14, +15, 16, 17, 18, +19,*20, -21, +22, 23, *24, 25, -26, -27, +28, +29, 30}.
Л2 = {*31, 32, 33, *34, -35, *36, -37, 38, +39, 40, *41, +42, +43, +44, 45, -46, 47, *48, +49, *50, "51, 52, +53, *54, -55,-56,*57, 58, +59, +60}.
Количество соответствующих пар параметров (Хь Х2): П8ит = [V \ 2] = [60 \ 2] = 30 и, естественно, что при параметрах чисел соответствующие слагаемые являются составными. Потому необходимо будет выбрать из Л] и Л2 те параметры, которые принадлежат к объединению множеств РТк и РРСы = РТк и (FN+ и FN~) \ РТкCN. Например, пусть значения параметров:
1. X = 2 £ Р Тщ X = 58 £ РТк. а. 6 X - 1 = 11 £РК, 6Х2 + 1 = 349 £Р^ р. 6^ + 1 = 13 £ Р&, 6Х2 + 1 = 347 £ РЫ-.
2. = 25 £ РТщ Х2 = 35 £ N а. 6 X - 1 = 149 £ Р^Г, 6Х2 +1 = 211 £ PNr р. 6X1 + 1 = = 151 £ РЫГ, 6Х2 - 1 = 209 £ СЬГ.
3. X! = 5 £ РТщ Х2 = 55 £ FNr: а. 6 X! - 1 = 29 £ Р^, 6Х2 + 1 = 331 £ С^ р. 6X1 +1 = = 31 £ Р&, 6X2 - 1 = 329 £Р^.
4. Xl = 46 £ FN-г X2 = 14 £FN : а. 6 X1 - 1 = 275 £ СЬГ, 6X2 + 1 = 85 £ СЫГ р. 6X1 + 1 = = 277 РЫГ, 6X2 - 1 = 83 £ РЬГ.
5. X1 = 39 £ FNГ, X2 = 21 £ FNГ: а. 6 X1 - 1 = 233 £ РК, 6X2 +1 = 127 £ Р^ р. 6X1 + 1 = = 235 £ СЫГ, 6X2 - 1 = 125 £ СЬГ.
Поскольку на отрезке [1 ^ 30] параметры X1 = 1, 2, 23, ... £ РТк, тогда числа вида 91 = 6X1 ± 1 простые как числа близнецы, т. е. (5-^-7, 11-^-13, 137^139), и соответствующий параметр X2 £ [30 ^ 60] в одном из вариантов форм 92 = 6X2 - 1, либо 92 = 6X2 + 1 есть простое число в силу (1). Итак, 360 разложимо на суммы простых чисел: 11 + 349, 13 + 347, 149 + 211, 29 + 331, 277 + 83, 233 + 127.
Пример 2. Пусть чётное число ^ = 362. Вычислим остаток т от деления четного числа ^ на 6, по Лемме 1 найдём тип четного числа 6v + 2, по (7), соответственно, имеем строку (7, б). Установим формы слагаемых в разложении чётного числа ^ > 8, имеем числа вида 91 = 6X1 + 1 и 92 = 6 X2 + 1. Вычислим параметр четного числа по формуле V = (^ - т) / 6, где остаток т = 2, откуда V = 60. Выписываем элементы подмножеств РТ№^г РТмь РР^ из соответствующих таблиц на отрезке [1 ^ 60]. Очевидно, что значения параметров множеств РТщ РТчс.т FN^, FNr и Л1, Л2 остаются неизменными, как и в Примере 1, но т. к. числа здесь однотипные, то для того чтобы 91 и 92 были простыми, необходимо, чтобы параметры X1 и X2 брались из множеств РТ„ или F№Г \ PTwCN.
1. X1 = 23 £ РТк, X2 = 37 £ F№ : р. 6X1 + 1 = 139 £ Р&, 6X2 + 1 = 223 £ Р&.
2. X1 = 27 £ FN-, X2 = 33 £ РТк : р. 6X1 + 1 = 163 £ Р&, 6X2 + 1 = 199 £ Р&.
3. Xl = 46 £ FNr, X2 = 14 £ FN^: р. 6X1 + 1 = 277 £ Р&, 6X2 + 1 = 85 £ СЫГ.
4. X1 = 47 £ РТмь X2 = 13 £ р. 6X1 + 1 = 283 £ PN +, 6X2 + 1 = 79 £ РК.
Итак, число £ = 362 разложимо на суммы двух простых чисел: 139 + 223, 163 + 199, 283 + 79.
Пример 3. Пусть чётное число ^ = 364. Вычислим остаток т от деления четного числа ^ на 6, по Лемме 1 найдём тип четного числа 6v - 2 и по (7), соответственно, имеем строку (7, в). Установим формы слагаемых в разложении чётного числа ^ > 8, имеем числа вида 91 = 6X1 - 1 и 92 = 6 X2 - 1. Вычислим параметр четного числа по формуле V = (^ - т) /6, где остаток т = -2, откуда V = 61. Тогда значения параметров множеств РТи,, РТ^^, FN^, Ftfr и Л, Л2 остаются почти неизменными, как и в Примере 1, только к параметрам добавляется еще число 61, т. е. отрезок [1 ^ 61].
Поскольку и здесь числа одного вида, то для того, чтобы числа вида 0Г и 02- были простыми числами, очевидно, по Лемме 3, параметры h и h2 должны принадлежать к одному из множеств - Ptw или FN+ \ PtwCN.
1. h = 2 е Ptw , h = 59 е FN+: а. 6h - 1 = 11 е PNT, 6h2 - 1 = 353 е PN .
2. h = 19 е FN+, h2 = 42 е FN : а. 6h - 1 = 113 е PNT, 6h - 1 = 251 е PN+.
3. h = 46 е FN, h = 15 е FN а. 6h - 1 = 275 е CNT, 6h2 - 1 = 89 е PNT. Итак, число Z = 362 разложимо на суммы двух простых чисел: 11 + 353, 113 + 251.
В примерах 2 и 3 имеем однотипные числа 0i и 02. И так как неравенство (2) всегда выполнимо на Л1 и Л2, то элементы множеств PTw, FN - и FN присутствуют всегда в Л1 и Л2. Потому справедливость бинарной проблемы Гольдбаха - Эйлера в целом остается справедливой для всех четных чисел Z > 8.
Заключение
Комплексное исследование бинарной проблемы Гольдбаха - Эйлера, включающее теоретическое исследование, её программное обеспечение и численный анализ, позволило дать полную картину о представлении и о свойствах чётных чисел Z > 8. Любое чётное число Z > 8 имеет форму Z = 6v + m, где v = (Z - m) \ 6 параметр четного числа. Чётные числа Z > 8 представимы суммами двух элементов 01 = 6h ± 1 и 02 = 6(v - h) ± 1 соответственно по остаткам m = (0, 2, -2). Доказано, что для любого четного числа Z > 8 на отрезке [1 ^ v] всегда существует пара чисел h е [1 ^ v \ 2] и h2 е [v \ 2 ^ v] таких, что оба являются элементами из множества объединений параметров простых чисел близнецов и параметров простых и составных чисел множества 0, т. е. h, h2 е PTw и (FN+ и FN) / PTwCN. Доказано, что любое четное число Z > 8 разлагается на сумму двух простых чисел, и т. к. разложение четных чисел Z < 8 проверяется непосредственно, то бинарная проблема Гольдбаха - Эйлера для четных чисел Z > 2 доказана.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967. 511 с.
2. Крэндалл Р., Померанс К. Простые числа. Криптографические и вычислительные аспекты. М.: УРСС: Книжный дом «Либроком», 2011. 664 с.
3. Чермидов С. И. Распределение простых чисел. Алгоритм чисел близнецов и их бесконечность // Научный журнал КубГАУ. 2015. № 110 (06). С. 414-436. URL: http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/28.pdf.
4. Чермидов С. И. Распределение простых и составных чисел и их алгоритмические приложения // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Управление, вычислительная техника и информатика. 2017. № 3. С. 48-64. DOI: 10.24143/2072-9502-2017-3-48-64.
5. Чермидов С. И. Бинарная проблема Гольдбаха - Эйлера в множестве 0 = {6К + 1 / К е N} // Меж-дунар. журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2016. № 5 (ч. 2). С. 207-215. DOI: 10.17513/mjpfi.9223.
6. Чермидов С. И. Гипотеза Лежандра (3-я проблема Ландау). Бесконечность близнецов составных чисел // Междунар. журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2016. № 1 (ч. 2). C. 135-143. URL: https://www.applied-research.ru/pdf/2016/1-2/8336.pdf. DOI: 10.17513/mjpfi.8336.
Статья поступила в редакцию 24.10.2017
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Чермидов Сергей Иванович - Россия, 350040, Краснодар; Кубанский государственный университет; соискатель кафедры прикладной математики; [email protected].
S. I. Chermidov
PROCEEDURE FOR SOLVING GOLDBACH-EULER PROBLEM USING THE NUMBERS OF A SPECIAL TYPE
Abstract. Since the elements are closed, the set 0 = {6X ± 1; X £ N}, is a semigroup with respect to the operation of multiplication. The paper focuses on presenting even numbers Z > 8 in the form of sums of two elements: 9i = 6X1 ± 1 and 92 = 6X2 ± 1 from the set 0. Any even number Z > 8 is comparable with one of the numbers m = (0, 2, -2), according to (mod 6). According to the remnants listed m, even numbers Z > 8 are divided into 3 types. Each type has its own way of presenting sums in the form of two elements from the set 0. For any even number Z > 8 on the segment [1 ^ v] there is always at least a pair of numbers (X1, X2) £ [1 ^ v], that both are elements from the union of sets: the parameters of the prime numbers (twins) and the parameters (composite and prime) of numbers 0. A variant of the solution of Goldbach - Euler conjecture for even numbers Z > 8 is given on the set of primes P. Goldbach - Euler conjecture is also solvable in the set of prime numbers (twins), if the parameters of numbers 91 and 92, i.e. X1 and X2 belong to the set N \ FN, where FN is the set of parameters of the composite numbers 0 on the segment [1 ^ v].
Key words: Goldbach - Euler binary problem, algorithm for solving, numbers of a special type.
1. Prashar K. Primzahlverteilung. Springer, Berlin, 1957. 527 p. (Russ. ed.: Prakhar K. Raspredelenie prostykh chisel. Moscow, Mir Publ., 1967. 511 p.).
2. Crandall R., Pomerance C. Prime Numbers: A Computational Perspective. New York: Springer-Verlag, 2001. 545 p. (Russ. ed.: Krendall R., Pomerans K. Prostye chisla. Kriptograficheskie i vychislitel'nye aspekty. Moscow, URSS: Knizhnyi dom «Librokom», 2011. 664 p.).
3. Chermidov S. I. Raspredelenie prostykh chisel. Algoritm chisel bliznetsov i ikh beskonechnost' [Distribution of prime numbers. Algorithm of twin numbers and their infinity]. Nauchnyi zhurnal KubGA U, 2015, no. 110 (06), pp. 414-436. Available at: http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/28.pdf.
4. Chermidov S. I. Raspredelenie prostykh i sostavnykh chisel i ikh algoritmicheskie prilozheniia [Distribution of the prime and composite numbers and their algorithmic applications]. Vestnik Astrakhanskogo gosudar-stvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriia: Upravlenie, vychislitel'naia tekhnika i informatika, 2017, no. 3, pp. 48-64. DOI: 10.24143/2072-9502-2017-3-48-64.
5. Chermidov S. I. Binarnaia problema Gol'dbakha - Eilera v mnozhestve 0 = {6K + 1/K £ N} [Binary Goldbach-Euler problem in the set 0 = {6K ± 1/K £ N}]. Mezhdunarodnyi zhurnal prikladnykh i fundamen-tal'nykh issledovanii, 2016, no. 5 (part 2), pp. 207-215. DOI: 10.17513/mjpfi.9223.
6. Chermidov S. I. Gipoteza Lezhandra (3-ia problema Landau). Beskonechnost' bliznetsov sostavnykh chisel [Hypothesis Legendre (3rd problem Landau). The infinity of twins of composite numbers]. Mezhdunarodnyi zhurnal prikladnykh i fundamental'nykh issledovanii, 2016, no. 1 (part 2), pp 135-143. Available at: https://www.applied-research.ru/pdf/2016/1-2/8336.pdf. DOI: 10.17513/mjpfi.8336.
REFERENCES
The article submitted to the editors 24.10.2017
INFORMATION ABOUT THE AUTHOR
Chermidov Sergey Ivanovich — Russia, 350040, Krasnodar, Kuban State University, Candidate for a Scientific Degree of the Department of Applied Mathematics; [email protected].
