CC BY
122
Проблема близнецов и другие бинарные проблемы Кочкарев Б. С.
Кочкарев Баграм Сибгатуллович /Kochkarev Bagram Sibgatullovich - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей математики и математического моделирования,
Институт математики и механики имени Н. И. Лобачевского,
Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань
Аннотация: устанавливается следствие из доказанной автором гипотезы Эйлера Гольдбаха, известной под названием бинарной (в отличие от тернарной Гольдбаха) проблемы Эйлера-Гольдбаха. На примерах некоторых бинарных (в смысле работы автора «к методу спуска Ферма») проблем, решенных ранее иными методами, доказывается их разрешимость с использованием аксиомы спуска. Наконец, с помощью аксиомы спуска решается известная проблема близнецов и другие подобные бинарные проблемы.
Abstract: set corollary of the author of the Euler-Goldbach conjecture, known as binary Goldbach-Euler problem. The exemples of some binary problems solved earlier by other methods proved their solvability with the use of the axiom of descent. Finally, with the help of the axiom descent solve a known problem of twins and other similar binary problems.
Ключевые слова: аксиома спуска, бинарное утверждение, теорема о простых числах, простые числа близнецы.
Keywords: axiom descent, binary statement, theorem about prime numbers, twin primes.
В работе [1] мы уточнили аксиоматику Пеано [2], дополнив ее аксиомой спуска, являющейся алгебраической интерпретацией так называемого метода спуска Ферма [3]. Используя аксиому спуска, мы доказали ряд важных утверждений в теории чисел, среди которых доминирующим, на наш взгляд, является гипотеза Л. Эйлера, которая была включена Д. Гильбертом под номером 8 в список из 23 проблем, и которая вместе с 16 проблемой из списка оставалась открытой до публикации [1].
Из упомянутой доказанной проблемы Л. Эйлера вытекает важное следствие.
Следствие. Какое бы четное число 2n, n > 2, ни было, найдется простое число p такое, что n < p < 2n, причем, если n составное, то n < p < 2n и 2n = p + p, где p' < n - простое число.
Доказательство. Действительно, согласно доказанной теореме 3 [1], если бы p' было не меньше n, то p + p > 2n, что противоречит доказанной теореме.
Отметим, что в [1] дается общая схема доказательства любого бинарного утверждения. В этой связи можно указать несколько уже доказанных ранее иными способами утверждений, которые вписываются в эту схему. Это, прежде всего, теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел.
Теорема 1. Множество простых чисел бесконечно.
Доказательство. Предположим, что число простых чисел конечно. Первое простое число . Второе
простое число п2 = 3 и т. д.. k-ое простое число пк, а для любого пк + х > пк число пк+г - составное. Тогда по аксиоме спуска число также составное, а это противоречит индуктивному предположению. Полученное противоречие доказывает теорему.
Леонард Эйлер, один из величайших математиков восемнадцатого века, предпринял попытку доказать одно из самых изящных примечаний Ферма - теорему о простых числах [4, 73]. Все простые числа подразделяются на числа, представимые в виде 4n +1, и числа, представимые в виде 4n — 1, где n -некоторое целое число. Теорема Ферма о простых числах утверждает, что простые числа первой группы всегда представимы в виде суммы двух квадратов, в то время как простые числа второй группы никогда в виде суммы двух квадратов не представимы. Это свойство простых чисел формулируется изящно и просто, но все попытки доказать, что им обладает любое простое число, наталкиваются на значительные трудности. Для Ферма это доказательство было всего лишь одним из многих доказательств, хранимых им «приватно», для Эйлера восстановить доказательство стало делом чести. В 1749 году, после семи лет работы и почти через сто лет после смерти Ферма, Эйлеру удалось доказать эту теорему о простых числах [4, 73]. Поскольку это утверждение является, очевидно, бинарным, то его также легко доказать с использованием аксиомы спуска [1].
Теорема 2. Все простые числа вида представимы в виде суммы двух квадратов.
Доказательство. Первое натуральное простое число вида 4п + 1 получается при n =1 , т. е. п г = 5 = 1 + 2 2 . Второе натуральное простое число вида 4п + 1 получается при п = 3 , т. е. п2 = 1 3 = 2 2 + 32. Предположим, что только таких простых чисел представляются в виде суммы двух квадратов, а любое простое в виде суммы двух квадратов не представляется. Тогда по аксиоме спуска также в
виде суммы двух квадратов не представляется, что противоречит индуктивному предположению. Полученное противоречие доказывает утверждение.
Теорема 3. Все простые числа вида 4п — 1 никогда в виде суммы двух квадратов не представимы.
Доказательство. Первое натуральное простое число вида Ап — 1 получается при п = 1 , т. е. п± = 3 . Последовательные квадраты натуральных чисел будут 1, 4, 9, .... 3 суммой двух квадратов не является, так как 3 — 1 = 2 63 — А = — 1 квадратом натурального числа не являются. Второе натуральное простое число вида Ап — 1 получается при n=2, т. е. п 2 = 7.7 суммой двух квадратов не яиляется, так как разности 7-1=6, 7-4=3, 7-9=-2 квадратами натуральных чисел не являются. Предположим, что k-ое натуральное простое число п к вида Ап — 1 суммой двух квадратов не является, а k+l-ое натуральное простое число п к+1 является суммой двух квадратов. Тогда по аксиоме спуска также представляется в виде суммы двух квадратов, что противоречит индуктивному предположению. Полученное противоречие доказывает теорему.
Простые числа близнецы - пара нечетных простых чисел с возможно маленькой разницей 2 [5, 367]. Очевидно, проблема: множество близнецов конечно или нет, является бинарной проблемой [1].
Теорема 4. Множество близнецов бесконечно.
Доказательство. Ограничимся рассмотрением только натуральных чисел. Допустим, что множество натуральных пар близнецов конечно. Первая пара натуральных близнецов - это (3,5), т. е.
П = 3, n + 2 = 5, вторая пара - это (5,7), т. е. п2 = 5, п2 + 2 = 7 , ., к-ая пара это (nk, пк + 2), а для любого Пк+1 > пк пара (пк+х, Пк+1 + 2) не является близнецами. Тогда по аксиоме спуска пара (пк, Щ + 2) также не является близнецами, а это противоречит индуктивному предположению. Полученное противоречие доказывает теорему.
Можно рассматривать тройки [5, 367], четверки и т. д. простых чисел с возможно маленькими разностями. Для трех простых чисел , где , не может быть одновременно и
2 = р + А [5, 367], так как одно из этих чисел обязательно будет делиться на 3. Наименьшие возможно маленькие разности между тремя простыми числами, отличными от 3, это разности
(или р ' —р = А, р" — р'=2) [5,3 67] . Английские математики Харди и Литлвуд поставили проблему доказательства существования бесконечного множества таких троек простых чисел: р ,р ' = р + 2 и р ' " = р + . По их мнению [5, 367] эта проблема по трудности значительно превосходит проблему существования бесконечного числа простых чисел близнецов. Однако эта проблема так же, как и проблема существования бесконечного числа простых чисел близнецов, является бинарной, и ее доказательство легко осуществляется с помощью аксиомы спуска [1].
Теорема 5. Существует бесконечное множество троек простых чисел р < р' < р " таких, что р —р =
2 ,р " = р + 6 .
Доказательство. Первой тройкой таких натуральных простых чисел будет , т. е.
. Второй тройкой таких натуральных простых чисел будет 6 = 1 7 и т.д. k-ой тройкой таких чисел будет пк, пк + 2 , пк + 6. Предположим для любого п к+1 > п к тройка пк+1,пк+i + 2 ,пк+! + 6 не удовлетворяет требуемому свойству, т. е., по крайней мере, одно из чисел является составным. Тогда, согласно аксиоме спуска, тройка , также
не будет тройкой простых чисел, что противоречит индуктивному предположению. Полученное противоречие доказывает теорему.
Литература
1. Кочкарев Б. С. К методу спуска Ферма. // Проблемы современной науки образования, № 10 (23), 2015, с. 6-8.
2. Ларин С. В. Числовые системы. Москва, ACADEMIA, 2001, с. 160.
3. Самин Д. К. Сто великих ученых. Москва, «Вече», 2001, 592 с.
4. Сингх С. Великая теорема Ферма. МЦНМО, 2000, с. 288.
5. Бухштаб А. А. Теория чисел. Москва, Изд. «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1968, с. 384.
