Распределение простых чисел. Алгоритм чисел близнецов и их бесконечность Текст научной статьи по специальности «Математика»

Научный журнал КубГАУ, №110(06), 2015 года

1

УДК 511.1:004.056

01.00.00 Физико-математические науки

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ. АЛГОРИТМ ЧИСЕЛ БЛИЗНЕЦОВ И ИХ БЕСКОНЕЧНОСТЬ

Чермидов Сергей Иванович Соискатель

РИНЦ SPIN-код автора: 1644-7307 Кубанский государственный университет, Краснодар, Россия

В статье на базе чисел определенного вида, элементы, которых образуют полугруппу относительно операции умножения, приводится метод определения и распределения составных и простых чисел, также точное вычисление значения функции пи в интервале от 1 до N. В статье предлагается новый алгоритм нахождения распределения простых чисел. Автором статьи получен закон распределения параметров составных и простых чисел "Distribution of the parameters Composite and Prime Numbers (DCPN)". Приводится формула нахождения простых чисел по их порядковому номеру в множестве DCPN. В силу закона распределения параметров составных и простых чисел становится очевидным определенный распад множества простых чисел. Вводится предложение, что любое составное число может быть представлено специальным видом произведений. В статье предлагается доказательство данного предложения, которое позволяет получить один из наиболее эффективных алгоритмов распознавания простых чисел. В статье предлагается описание и алгоритм нахождения чисел близнецов, приводится вариант доказательства их бесконечности. На все представленные в статье алгоритмы приведены листинги программ на языке Software Module ACCESS

Ключевые слова: ЧИСЛА ВИДА 6п ± 1, ПРОСТЫЕ ЧИСЛА, АЛГОРИТМ РАСПРЕДЕЛЕН ИЯ СОСТАВНЫХ И ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ, АЛГОРИТМ И БЕСКОНЕЧНОСТЬ ЧИСЕЛ БЛИЗНЕЦОВ

UDC 511.1:004.056

Physics and Mathematical sciences

DISTRIBUTION OF PRIME NUMBERS. ALGORITHM OF TWINS NUMBERS AND THEIR INFINITE

Chermidov Sergey Ivanovich Competitor for a scientific degree RSCI SPIN-code: 1644-7307

Kuban State University, Krasnodar, Russia

In the article on the basis of numbers of the specific form, where the parameter elements, which form a semigroup under multiplication we have presented a method for determination and distribution of composite numbers and the prime numbers, and accurate calculation of the values of pi in the interval from 1 to N. We present a new algorithm for the distribution of primes. We have reached the law of distribution parameters of composite numbers and prime numbers (Distribution of the parameters of composite numbers and prime numbers (DCPN)). We have given a formula for of finding prime numbers by serial number in the set DCPN. Due to the law of distribution of parameters of composite numbers and prime numbers it becomes apparent disintegration set of prime numbers. We have also introduced a proposal that each element of the plurality of composite numbers can be represented by one of the specific types of works. The proof of Proposition 2 allows us to give one of the most effective ways of recognizing primes. The description of the algorithm for numbers of twins and proof of their infinity. All algorithms presented in the article is a listing of programs in Software Module ACCESS

Keywords: NUMBERS OF THE FORM 6n ± 1, PRIME NUMBERS, ALGORITHM AND DISTRIBUTION OF COMPOSITE AND PRIME NUMBERS, ALGORITHM AND INFINITY OF TWINS NUMBERS

Введение

Целью настоящей статьи является описание метода распределения составных (CN), простых чисел (PN) и чисел близнецов (Tw)-Ha основе множества в = {6k ± 1, к е N} найден новый алгоритм распределения простых чисел, отличающийся от существующих на сегодняшний день

http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/28.pdf

Научный журнал КубГАУ, №110(06), 2015 года

2

алгоритмов. Получен закон распределения параметров составных и простых чисел (Distribution of the parameters Composite and Prime Numbers (DCPN) в множестве в . Если асимптотическая функция у(%) = x/lnx дает приближенное число простых чисел в заданном интервале, то предлагается точное вычисление значения p(x). В множестве DCPN приводится формула нахождения простых чисел p > 5 по их порядковому номеру. Найден алгоритм распределения чисел близнецов и представляется вариант доказательства их бесконечности. На все перечисленные алгоритмы приведены листинги программ на языке software module ACCESS.

1. Метод выделения простых чисел

Разобьем множество натуральных чисел на два непересекающихся множества A и B, т.е. N = A u B,A n B = 0 . Пусть A включает 1 (единицу) и натуральные числа, которые при делении на 6 дают остатки: 0, 2, 3, 4. Множество A включает только два простых числа 2 и 3. Множество B включает натуральные числа, которые при делении на 6 дают остатки 1 и 5, т.е. числа вида в = {6k ± 1,k е N}, т.к 6т + 5 = 6(m +1) -1 то при к = т +1 имеем случай 6k -1. Очевидно, простые числа являются подмножеством множества в т.к. числа 6к,6к + 2,6к + 3,6к + 4 являются составными. Множество чисел в являются полугруппой относительно умножения, поскольку множество натуральных чисел N есть полугруппа, то любое его подмножество с замкнутой операцией в нем, будет полугруппой [2]. При умножении элементов в в возможны следующие четыре комбинации:

1) n = (6x -1)(6y -1) = 6(6xy - x - y) + 1,

2) n = (6x +1)(6y +1) = 6(6xy + x + y) +1, (1)

3) n = (6x +1)(6y -1) = 6(6xy - x + y) +1,

4) n = (6x -1)(6y +1) = 6(6xy + x - y) -1,

http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/28.pdf

Научный журнал КубГАУ, №110(06), 2015 года

3

где первое и второе выражения (1) соответствуют составным числам вида 6z +1, а третье и четвертое (1) - составным числам вида 6z -1. Замкнутость операций элементов здесь хорошо видна, т.к. при умножение элементов в, формы сохраняются. Очевидно, что для любого составного числа пев существует хотя бы одно представление из (1). Заметим также, что форма 6к -1 при умножении меняет результат из одной формы в другую. Это означает, что структуры составных чисел в в имеют вид:

(6к1 ± 1)(6к2 ± 1)(6к3 ± 1)...(6кп ± 1), "п,к{ е N (2)

Однако, существуют и элементы в множестве в непредставимые в виде (2), то есть примитивные, которые играют роль простых чисел в натуральном ряду чисел N .

Сделаем подстановки в (1)

1 = (п ± 1 )/6, (3)

тогда имеем систему Диофантовых уравнений, разделенных на две подкатегории чисел соответственно по формам 6 z ± 1.

1) 1 = fn(x,y) = 6xy - x - y = (6x -1 )y - x,

2) 1 = /12(x,y) = 6xy + x + y = (6x + 1)y + x, (4)

3) 1 = /2i(x, y) = 6xy - x + y = (6x + 1)y - x,

4) 1 = /22 (x,y) = 6xy + x - y = (6x - 1)y + x.

Выражения первое и второе (4) соответствуют составным и простым

числам 6z +1 и выражения третье и четвертое (4) соответствуют составным и простым числам 6z -1.

2. Распределение составных элементов в в

Проблема факторизации составного числа пев [1] сводится к отысканию переменных x и y из соответствующего уравнения (4).

Для составных чисел CN е в вида 6к +1 (введем обозначение CN +) с порождающими их функциями /n(x,y) = (6 x -1 )y - x,

/12 (x,y) = (6 x + 1)y + x:

http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/28.pdf

Научный журнал КубГАУ, №110(06), 2015 года

4

0 = 6fn(x,y) +1, q = 6/12(x,y) +1, (ву,02) e cn+.

Для составных чисел вида 6k -1 (обозначим CN-) с порождающими их функциями /ц(х,у) = (6x +1 )y - x, /22(x,y) = (6x -1 )y + x :

03 = 6/21(x,yJ - L в4 = 6/22(x,y) -1, (03,04) e CN- .

Следует, что множество всех составных чисел в множестве в будет

CN = CN +u CN -.

Предложение 1. Если (x,y) e N является решением одного из Диофантовых уравнений (4), то п = (6x ± 1)(6y ± 1) .

Доказательство. Раскроем скобки в правой части выражения n = (6x ± 1)(6y ± 1) = 6 *(6xy ± x ± y) ± 1 (подставив значение 1 из

уравнения (4) к соответствующей функции 6xy ± y ± 1, имеем) 61 ± 1 ®1 = (п ± 1) / 6, то есть получим подстановки (3), а значит тогда из (1) будет следовать истинность предложения. Пример, пусть x = 1,y = 2 являются решением уравнения /22 (x,y) = 11 (6z -1) ® п = 6 * 11 -1 = 65 и из (1) ® 65 = (6 * 1 -1)(6 * 2 +1) , но для формы 6z +1 будет простым числом PN (6 * 11 +1 = 67), т.к. /11(x,y) = 11 и /12 (x,y) = 11 не имеют натуральных корней. ЧТД.

Предложение 2. Для любого простого числа при соответствующем 1e N не существует никакой пары чисел (x,y) e N, чтобы они были решениями хотя бы одного из Диофантовых уравнений (4).

Доказательство. Допустим, что существует такая пара чисел (x,y) e N, которая является решением одного из уравнений (4). Поскольку, любое простое число представимо единственным образом: п = 1*п, то тогда следует, что п = (6 * 0 +1)(6 *y ± 1), где x = 0 £ N и y = (п ± 1) / 6 e Q, получаем противоречие к допущению, ибо x и y не являются натуральными числами, следовательно, верно это предложение. ЧТД.

http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/28.pdf

Научный журнал КубГАУ, №110(06), 2015 года

5

Множество значений функций fu(x,y),fn(x,y), f21(x,y),f22(x,y), "x,y e N являются бесконечными. Докажем к примеру для функции fw(x,y), пусть множество ={6ху-х- у}, тогда при у = 1, имеем

Mx1 = {5x -1} , у = 2 имеем Mx2 = {11x - 2} ®¥, у = 3 имеем

Mx3 = {17x - 3} ® ¥, у = n, имеем Mxn = {(6n -1 )x - n} ® ¥.

Следовательно, My = Mx1 uMx2 u...uMxn - счетное, как

объединение счетных множеств. Аналогично доказываются счетность функций f12(x,y),f2l(x,y) и f22(x,y), и, очевидно, для всех параметров составных чисел CN в в будут объединения всех значений функций (4). Обозначим это множество через

FN = Jm(fn(x, y)) u Jm(fn(x, y)) u Jm(f,/x, y)) u Jm(f^(x, y)) .

Множество FN является счетным как объединение счетных множеств. Точно также будут счетными и множества разделенные по

подкатегориям: по форме: 6k + 1,FN + = Jm( fn(x,y)) u Jm( fn(x,y)),

по форме: 6k - 1,FN = Jm(f2\(x,y)) u Jm(f22(x,y)) .

Решения Диофантовых уравнений (4) задача сложная и, поэтому для выявления параметров CN или PN, зададим любые всевозможные сочетания значений переменных x и y от 1 до s, где s e N.

Построим таблицу s х s по следующему принципу, пусть s = 8 найдем значения функций fu(x,y),fn(x,y) и f2\(x,y),f22(x,y), в которых выражения 6 fn(x,y) +1, 6f12(x,y) +1, 6 f2\(x,y) -1,

6 f 22(x,y) -1 явно будут составными числами, поскольку переменные x и y предопределенные решения уравнений (4). Для представления составных чисел, а также чисел близнецов в интервале натуральных чисел от 1 до n понадобится следующая система неравенств:

http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/28.pdf

Научный журнал КубГАУ, №110(06), 2015 года

6

fll(x,y) = 6 xy - x - у <1,

f\2(x,y) = 6xy + x + у (5)

f2l(x, у) = 6xy - x + y <1, f22 (x,y) = 6 xy + x - y <1.

Определим, например, в интервале натуральных чисел от 1 до 100 все элементы составных чисел. Здесь n = 100, имеем 1 = [(n +1)/ 6 ] = 16, то тогда из таблицы 1 соответствует следующая последовательность параметров CN : { 4 ,8 ,9 ,14 ,15 ,6 ,6 ,13 ,11 ,16 } < 1 .

Согласно (5), получим соответствующие числа: CN + : 6 * 4 + 1 = 25,6 * 8 + 1 = 49, CN - : 6 * 6 - 1 = 35 ,6 * 11 - 1 = 65 ,

6 * 9 + 1 = 55,6 * 14 + 1 = 85,6 * 15 + 1 = 91. 6 * 13 - 1 = 77,6 * 16 - 1 = 95 .

Очевидно, CN = CN +u CN ~= {25,35,49,55,65,77,85,91,95} есть полная последовательность элементов #100 .

http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/28.pdf

Научный журнал КубГАУ, №110(06), 2015 года

7

Таблица 1. Формирование параметров составных чисел в множестве#

fn(x,y) = 6ху — X — У /и ( х,у) = 6 ХУ + x + у fi1(x,y) = 6 ХУ — Х + у f22 (х,У) = 6хУ + Х — У

X У

1 1 4 8 6 6

2 9 15 13 11

3 14 22 20 16

4 19 29 27 21

5 24 36 34 26

6 29 43 41 31

7 34 50 48 36

8 39 57 55 41

2 2 20 28 24 24

3 31 41 37 35

4 42 54 50 46

5 53 67 63 57

6 64 80 76 68

7 75 93 89 79

8 86 106 102 90

3 3 48 60 54 54

4 65 79 73 71

5 82 98 92 88

6 99 117 111 105

7 116 136 130 122

8 133 155 149 139

4 4 88 104 96 96

5 111 129 121 119

6 134 154 146 142

7 157 179 171 165

8 180 204 196 188

5 5 140 160 150 150

6 169 191 181 179

7 198 222 212 208

8 227 253 243 237

6 6 204 228 216 216

7 239 265 253 251

8 274 302 290 286

7 7 280 308 294 294

8 321 351 337 335

8 8 368 400 384 384

Т.к. множество в содержит элементы как простых так и составных чисел, то постараемся определить, как выглядит картина распределения их параметров относительно натурального ряда чисел, т.е. нам понадобится по каждой ветке 6п +1 и 6п — 1 отдельно определять все простые и составные числа.

http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/28.pdf

Научный журнал КубГАУ, №110(06), 2015 года

8

3. Алгоритм распределения простых чисел 6 k + 1 .

Пусть задан интервал от 1 до n в файле DCPN(id,F1,F2) (software module, ACCESS), где id - номер записи, поля F и F2 принимают значения "+"or"Вначале в Fl заполняется "+" от 1 до n/6, затем по значениям функций /„(x, у) = 6xy - x - y = id и f12(x, y) = 6xy + x + y = id, вводится знак “-” где х, y =1, 2, 3... пробегают по принципу табл.1. Тогда числа 6 * id + 1при Fj ="+" являются простыми числами типа PN +.

Пусть множество = N \ Jm(fu(x,y)) и Sf = N\Jm(fu(x,y)) и

обозначим K+l = U Sj ® PN + = {6k +1 /кe K+1}.

Алгоритм распределения простых чисел 6k -1.

Вначале в поле F2 файла DCPN(id,F\,F2) заполняется "+" от 1 до n\ 6, затем по значениям функций f2\(x,y) = 6 xy - x + y = id и f n (x,y) = 6xy + x - y = id, вводится знак "-", где переменные (x,y) = 1,2,3,... пробегают по принципу табл.1. Тогда числа 6* id -1 при F2 ="+" являются простыми числами типа PN- . Пусть множества S 2 = N \ Jm( f21( x,y)) и S'2 = N\Jm(fl2 (x,y)) обозначим

K-1 =S2 ® PN~= {6k -1 /k e K-1} , значит, множество всех

простых чисел P = PN + u PN -.

Итак, имеем таблицу распределения параметров (id e N) простых и составных чисел в в. Объединяя эти два алгоритма в один, получим распределение параметров CN и PN в множестве в "Distribution of the parameters of Composite and Prime Numbers" (DCPN) .

http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/28.pdf

Научный журнал КубГАУ, №110(06), 2015 года

9

Листинг 1

<ChF> Populates the _ fields Ft, F2 symbol “+ ”

Dim k, ml As String wpa1=Time(), wpa2= “”

DoCmd.OpenForm “prmnub1”, acNormal k=1, ml= П5\6+1 For i=k To m1

DoCmd.GoToRecord.acDataFrom, “PrmNum1”, acGoTo, i If isNull(Forms![PrmNum1]![id]) Then GoTO LL Form ’sfPrmNum1]fF1]= ’+ ’

Form ’si I Prmnum1fF2]= ’+ ’

DoCmd.GoToRecord, “PrmNum1”, acNext Next i

LL: DoCnd.Close acForm, “prmNum1 ”, acSaveYes wpa2=Time(), П4= ”TheEnd” End Sub

Distribution of Composite and Prime Numbers (DCPN)

<PrNb> Dim k, k1, k2, m1, m2, m3, m4 As Double DoCmd.OpenForm “PrmNumb1”, acNormal m4=(0+n5)\6, wpa1= Time(),m3=(0+n5)\3 For k2=1 To m3

For k2=k1 To m3 m1=6*k1*k2, k=m1+k1+k2 If k>m4 Then GoTo L0

DoCmd.GoToRecordacDataForm, “PrmNumb1”, acGoTo, k Forms![PrmNub1]!f1]=”-” L0: k=m1- k1- k2 If k >m4 Then GoTo L1

DoCmd.GoToRecord acDataForm, ”PrmNub1”, acGoTo, k Forms![PrmNub1]![f1]=”-” L1: k=m1- k1+k2 If k >m4 Then GoTo L2

DoCmd.GoToRecord acDataForm, ”PrmNub1 ”, acGoTo, k Forms![PrmNub1]![f2]= ”-” L2: k=m1+k1-k2 If k >m4 Then GoTo L3

http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/28.pdf

Научный журнал КубГАУ, №110(06), 2015 года

10

DoCmd.GoToRecordacDataForm, ”PrmNub1 ”, acGoTo, к Forms![PrmNub1]![f2]= ”-” L3: Next k2 Next к1

DoCmd. Close acForm, “PrmNub1 ” acSaveYes wpa2=Time(),n4= ”TheEnd” End Sub

The quantity PN in the interval (П2 - П5 )

<Qpr> Dim m1,m2, m3 As double wpa1=Time(), wpa2= “”

If isNull(n2) Or П2 = “” Or = “ ” Then П4 = “Place the number in the <Fotm> ’’Else If isNull (П5) Or П5- П2<0 Or П5= ”. ” Then П4= ’’Place the number>=<Form> in the <To> ” Else DoCmd.OpenForm “PrmNub1”, acNormal DoCmd.GoToRecord, “PrmNub1”, acFirst m3=(0+П5)\6, m1=0 For i=1 To m3

IfForms\[PrmNub1]![F1]=”+ ” Then m1=m1+1 IfForms\[PrmNub1]![F2]=”+ ” Then m1=m1+1 DoCmd.GoToRecord, ”PrmNub1”, acNext Next i

LL: DoCmd.Close acForm, “PrmNub1 ”, acSaveYes wpa2=Time(), П4=m1 End If End If End Sub

http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/28.pdf

Научный журнал КубГАУ, №110(06), 2015 года

11

Таблица 2. Распределение параметров составных и простых чисел

Id F1 F2 О О О о О О о О О о О С

1 + + 41 - - 81 + - 121 + - 161 + -

2 + + 42 - + 82 - + 122 + - 162 - +

3 + + 43 - + 83 + - 123 + - 163 - +

4 - + 44 - + 84 - + 124 - + 164 - +

5 + + 45 + + 85 - + 125 + - 165 + -

6 + - 46 + - 86 - - 126 + - 166 + -

7 + + 47 + + 87 + + 127 - + 167 - -

8 - + 48 - - 88 - - 128 + - 168 + -

9 - + 49 - + 89 - - 129 - + 169 - +

10 + + 50 - - 90 + - 130 - - 170 + +

11 + - 51 + - 91 + - 131 + - 171 - -

12 + + 52 + + 92 - - 132 - - 172 + +

13 + - 53 - + 93 - + 133 - + 173 + -

14 - + 54 - - 94 - + 134 - - 174 - -

15 - + 55 + - 95 + + 135 + + 175 + +

16 + - 56 + - 96 + - 136 - - 176 - -

17 + + 57 - - 97 - - 137 + + 177 + +

18 + + 58 + + 98 - + 138 + + 178 + -

19 - + 59 - + 99 - + 139 - - 179 - -

20 - - 60 - + 100 + + 140 - + 180 - -

21 + - 61 + - 101 + - 141 - - 181 + -

22 - + 62 + - 102 + - 142 + - 182 + +

23 + + 63 + - 103 + + 143 + + 183 - +

24 - - 64 - + 104 - - 144 - + 184 - +

25 + + 65 - + 105 + - 145 - - 185 - +

26 + - 66 + - 106 - - 146 + - 186 + -

27 + - 67 - + 107 + + 147 + + 187 + -

28 - + 68 + - 108 - + 148 - + 188 + -

29 - + 69 - - 109 - + 149 - - 189 - -

30 + + 70 + + 110 + + 150 - - 190 - -

31 - - 71 - - 111 - - 151 + - 191 - -

32 + + 72 + + 112 + - 152 - + 192 + +

33 + + 73 + - 113 - + 153 + - 193 - -

34 - - 74 - + 114 - + 154 - - 194 - +

35 + - 75 - + 115 + - 155 - + 195 + -

36 - - 76 + - 116 - - 156 + - 196 - -

37 + - 77 + + 117 - + 157 - + 197 - +

38 + + 78 - + 118 + - 158 - + 198 - +

39 - + 79 - - 119 - - 159 - + 199 - +

40 + + 80 - + 120 - + 160 - - 200 + -

Зная теперь распределение параметров DCPN простых чисел p > 5, поставим проблему нахождения простых чисел по его порядковому номеру Serial Primer Number (SPN).

Формула нахождения простых чисел по его SPN в множестве DCPN:

http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/28.pdf

Научный журнал КубГАУ, №110(06), 2015 года

12

(6j(n) +1, если y(n) = 1 SPN(n) = \ ^ 7

[6 j(n) -1, если y(n) = 2

где j(n) указывает на номер записи id в множестве DCPN соответствующий количеству "+" от 1 до n. Подсчет плюсов ведется по направлению F1 ® F2 ® F1...,y(n) - индекс поля F¥(n) на котором

заканчивается подсчет. Если в поле Fx то y(n) = 1, иначе y(n) = 2.

Рассмотрим пример, пусть n = 100, тогда просуммировав "+" от 1 до 100 ®j(n) = 93 и y(n) = 2, значит, SPN(100) = 6*93-1 = 557 .

Количество простых чисел p(x) в интервале 1 + n в множестве

n/6

DCPN : p(x) = 2 + ISl(id) + S2(id),

id=1

где Sx( id)

0, если Fx ="-"

1, если Fx ="+"

и S2 (id)

0, если F2 ="—"

1, если F ="+".

Пусть n = 100, тогда в интервале 1 + n\ 6 = 16, имеем p(x) = 2 + 23 = 25.

4. Алгоритм распределения простых чисел в множестве в

Поскольку, множество простых чисел p > 5 являются

подмножеством множества в , то очевидно, легче процесс выделения PN произвести в множестве в, чем по натуральному ряду чисел. Т.к. множество в полугруппа относительно умножения, использовать это [2]. Формирование элементов в на заданном участке 1 + П5 осуществляется по следующему способу при вводе натуральных чисел в поле [N] файла Pr mNub1(id [n]) для чисел, которые кратные к числам 2 или 3 вводится символ (" " - пусто ), id - идентификационный номер записи, который автоматически формируется для каждой записи самой системой (см. листинг eN). Алгоритм нахождения распределения простых чисел RasPrm довольно прост, в начале удаляются из файла PrmNub1 элементы, которые делятся на числа вида 6i -1, затем 6i +1, где i = 1 , 2 , 3 ,... Умножение

http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/28.pdf

Научный журнал КубГАУ, №110(06), 2015 года

13

начинается с элемента самого на себя в целях избегания повторных произведений, затем поэлементно умножается на элементы файла, которые находятся ниже и процесс продолжается до тех пор пока произведения < П5 (см. рис.1 или алгоритм RasPrm). Алгоритм заканчивается, когда квадрат элемента > П5. Если произведение > П5, то переход к следующему (i = i +1) элементу и снова как сказано выше. Аналогичная процедура удаления для чисел вида 6i +1. Метод с виду похож на решение Эратосфена, но это не значит, что они одинаковы, поскольку, во-первых, действуют на разных объектах и, во-вторых, здесь получаем результат за минимальное число операций.

Например, пусть N = 1 ^ 133 тогда 0 = { 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41,47, 49, 53, 55, 59, 61, 65, 67, 71, 73,77, 79, 83, 85, 89, 91,95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 121, 125, 127, 131}.

Листинг 2

Private Sub 0N Clickf)

Dim i, c1, n1 As Double DoCmd.OpenForm “prmnub1”, acNormal wpa1 = Time(), wpa2= “”, n1=1, c1=0 + П5 DoCmd.GoToRecordacDataForm, ”PrmNub1 ” acGoTo, n1 For i=1 To c1 Forms![PrmNub1]![N]=n1

If (OST(n1,2,ss)=0 or OST(n1,3,ss)=0) Then Forms![PrmNub1]![N]=””

DoCmd.GoToRecordacDataForm, ”PrmNub1 ” acNext

n1=n1+1

Next i

LL: wpa2 = Time(), П4=”The End”,

DoCmd.Close acForm, “PrmNub1” acSaveYes End Sub //OST(str1,str2,ss) возвращает число str1 по mod(str2), если значение функции равно нулю, то значит str1 нацело делится на str2.

Private Sub RasPrm Click()

Dim k, i, j, p, q, m, m1, m2 As Double

http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/28.pdf

Научный журнал КубГАУ, №110(06), 2015 года

14

wpal = Time(), wpa2 = “” if isNull(n2) Or П2 = “” Or = “ ” Then П4= ’’Enter the number is the boot <From> ”

Else DoCmd.OpenForm “PrmNubl”, acNormal m=(0+ П5)

For i=1 To m\6 m1= 6*i-1.

If m1*m1>m Then GoTo L1 For j=i To m\6 m2=6*j=1, k=m1*m2

if k>m Then GoTo L0

DoCmd. GoToRecord acDataForm, ”PrmNub1 ” acGoTo, k Forms![PrmNub1]![N] = ” ”, m2=6*j+1, k=m1*m2

If k>m Then GoTo L0

DoCmd. GoToRecord acDataForm, ”PrmNub1 ” acGoTo, k Forms![PrmNub1]![N] = ” ” Next j L0:Next i

L1: Forp=1 To m\6 m1=6*p+1

If m1*m1>m Then GoTo L3 For q=p To m\6 m2=6*q+1, k=m1*m2 If k>m Then GoTo L2

DoCmd.GoToRecordacDataForm, ”PrmNub1 ”, acGoTo, k Forms![PrmNub1]![N]= ””, m2=6*(q+1)-1, k=m1*m2 If k>m Then GoTo L2

DoCmd.GoToRecord acDataForm, ”PrmNub1”, acGoTo, k Forms![PrmNub1]![N]=”” Next q L2: Next p L3: End if

DoCmd. Close acForm, “PrmNub1 ” acSaveYes wpa2 = Time(),n4=”The End” End Sub

http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/28.pdf

Научный журнал КубГАУ, №110(06), 2015 года

15

Рисунок 1. Окно программы, реализующей алгоритм RasPrm.

Рассмотрим случай удаления составных чисел в которых присутствуют множители чисел вида 6i -1 и при i = 1,в1 = 5 умножается на самого себя 5* 5 = 25 и результат удаляется по прямому доступу из поля [N] в файле PrmNubl (id,[N]), далее: 5* 7 = 35; 5* 11 = 55;

5* 13 = 65; 5* 17 = 85; 5* 19 = 95; 5* 25 = 125 удаляются, 5* 29 = 145

превышает N = 131, значит переход к следующему элементу i = i +1, то есть 6 * 2 -1 = 11, точно также удаляются и числа 11* 11 = 121,11* 13 = 143 превышает N = 131 ® i = 2 +1, то есть 6 * 3 -1 = 17, 17 * 17 = 289,

превышает N = 131, тогда прекращается процесс удаления для чисел вида 6i -1 и начинается алгоритм удаления для чисел вида 6i +1. При i = 1, число q= 7 , удаляются результаты произведений по прямому доступу 7 * 7 = 49, 7 * 11 = 77, 7 * 13 = 91, 7 * 17 = 119, 7 * 19 = 133, превышает N = 131, переход к следующему элементу i = i +1, т.е. 6* 2 +1 = 13, но 13*13 > 133 прекращается процесс удаления и для чисел 6i +1, конец программы.

5. Алгоритм распределения чисел близнецов

Из определения следует, что (p1 ,p2) е P и р - р2 = 2, а т.к. простые числа есть подмножество множества в и имеют вид 6k ± 1 и т.к

P = PN + u PN-, то очевидно, что эти числа будут близнецами тогда и только тогда, когда при одном и том же значении параметра k если будет

Pj е PN + и р2 е PN- .

Значит в множестве в должно быть одновременно задействованы все функции (5) в интервале 1 ^ П 5 [3] .

http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/28.pdf

Научный журнал КубГАУ, №110(06), 2015 года

16

Рассмотрим разности значений между функциями (5) при y > x

r1 = f22(Х,У) - f\\(Х’У) = 2X r2 = f21( X У) - f22( Х’У) = 2(У - x)>

r3=fu(x,y) - /21(Х,У) = 2x (6)

Очевидно из (6), что r1 ,r2 и r3 всегда неотрицательные, т.к. x,yeN, значит существуют натуральные числа, которые не являются решениями Диофантовых уравнений (4), т.е. являются параметрами простых чисел. Рассмотрим, также разности между предыдущими и последующими значениями функций (5). Пусть

m = fn(x,y +1) - fu(x,y) = 6x -1, m2 = fi2 (x,y + 1) - fi2 (x,y) = 6x + 1, m3 = f2i(x,y + l)~ f2l(x,y) = 6x + ll m4 = f22 (х,У + 1) - f22 (х,У) = 6X - 1,

значения функций растут строка за строкой, т.к.

m1 > 0,m2 > 0,m3 > 0,m4 > 0.

6. Схема выполнения алгоритма распределения чисел близнецов. Описание программы N.

Вводятся в поле [N] файла PrmNub1(id.[N].[prm1 ].[prm2]) натуральные числа от 1 до п/ 6, которые являются параметрами чисел CN,PN и параллельно стираются поля [prm1 ] и [prm2] для чисел близнецов.

Далее с поля [N] убираются числа в соответствии со значениями функций (5) как параметры составных чисел CN и только не пустые значения поля [N] в данном интервале свидетельствуют о наличии параметров к для чисел близнецов 6к ± 1. Поскольку, числа близнецы порождаются при одном и том же параметре к е N и как параметры простых чисел при вычеркивании значений функций (5) остаются

http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/28.pdf

Научный журнал КубГАУ, №110(06), 2015 года

17

незатронутыми, например к = 10 ® 6k +1 = 61 е PN + и 6k -1 = 59 е PN- ® k не убирается, потому что оба числа простые, а вот при к = 11, имеем 6к +1 = 67 и 6к -1 = 65, хотя 67 е PN +, но 65 g PN- тогда к = 11 зачёркивает ся как параметр CN и множество всех не пустых параметров к лежащих в заданном участке обозначим через Ch = N\ FN (листинг Tw’s)

7. Описание программы, реализующей алгоритм Tw’s Определяется максимальный диапазон изменений переменных i и j

в зависимости от интервала 1 + П5 \ 3 далее при фиксированном i и при j = i начинается вычисление всех значений функций (5), если значения функций < П5, то по прямому доступу к этой записи в поле [N] зачёркивается то число, которое было введено программой N Пробежав по всем j до П5 \ 3 затем нарастает значение i = i +1 итак процесс зачёркивания чисел, которые не являются параметрами чисел близнецов в поле [N] продолжается до тех пор пока не будет i < П5 \ 3.

8. Описание программы Distribution of Tw’s

И, наконец, получение чисел близнецов. Прочитывая записи файла PrmNubl (id, [N], [prml], [prm2]) поочередно, если в поле [N] не пусто, тогда значения полей [prm1 ] = 6 * [N] -1 и [prm2] = 6 * [N] + 1 будут числами близнецами (см. ниже).

Листинг 3

<N>

DIM i, j, к, m, As Integer ora1=Time(), ora2=””

POL=1

if isNull(D1) Or D1=”” Then D1=1 if isNull(D1) Or D2= ”” Then D2=1 DoCmd.OpenForm prmnub1’, acNormal If isNull (Forms![prmnub1]![id]) Then GoTo LL к=D1\6, j=D2\6 If к<1 Then к=1

http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/28.pdf

Научный журнал КубГАУ, №110(06), 2015 года

18

DoCmd.GoToRecordacDataForm, ”prmnub1”, acGoTo, k i=k

GoTo L1

L2: DoCmd.GoToRecordacDataForm, ”prmnub1 ”, acNext L1:if isNull(Forms![prmnub1]![id]) or i>j Then GoTo LL Forms! [prmnub1] ![N]=i Forms! [prmnub1]![prm1]=””

Forms! [prmnub1]![prm2]=””

i=i+1

GoTo L2

LL: DoCmd.Close acForm, “prmnub1 ”, acSaveYes ora2=Time() End Sub

<Tw’s> Definition of basde numbers for twin numbers produced with the program

Dim k.i.j.m1.m2.m3.m4,D3 As Double wpa1= Time(), wpa2= “”

If isNull (П2) or П2=0 Then

П4 = “Enter the number in the box <FROM> ”

Else

If isNull (П5) Or П5- П2<0 Then

П4= ’’Insert of the number in the <To> more importent then <From> ”

Else

DoCmd.OpenForm ‘prmnub1’, acNormal m4= (0+ П5), m3= m4 \3 For i=1 To m3 For j=i To m3

m1=6*i *j k=m1 + i + j If k>m4 Then GoTo L1

DoCmd.GoToRecordacDataForm, ”prmnub1”, acGoTo, к Forms! [prmnub1]![N]=Null L1: k=m1 - i - j If k>m Then GoTo L2

DoCmd.GoToRecordacDataForm, ”prmnub1”, acGoTo, k

http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/28.pdf

Научный журнал КубГАУ, №110(06), 2015 года

19

Forms! [prmnub1]![N]=Null L2: k=m1- i + j If k>m4 Then GoTo L3

DoCmd.GoToRecordacDataForm, ”prmnub1”, acGoTo, k Forms! [prmnub1]![N]=Null L3: k=m1 + i - j If k>m4 Then GoTo L4

DoCmd.GoToRecordacDataForm, ”prmnub1”, acGoTo, k

Forms! [prmnub1]![N]=Null

L4: Next j

LL: Next i

End If

End If

DoCmd.Close acForm, “prmnub1”, acSaveYes wpa2= Time(), n4=”The End” End Sub

<DITRIBUTION OF TW’S>

Dim a, D3, n1, m As Double Dim m1, m2 As String

wpa1= Time(), wpa2= “”, BP=0, POL=3. a= П2\6 if a<6 Then a=1 D3= П\6, n1=0

DoCmd.OpenForm ‘prmnub1’, acNormal If isNull(Forms! [prmnub1]![id]) Then GoTo LL DoCmd.GoToRecordacDataForm, ”prmnub1”, acGoTo, a m1: If isNull(Forms! [prmnub1]![N]) Then GoTo m2 If Forms! [prmnub1]![N]=”” Then GoTo m2 m= Forms! [prmnub1]![N]

Forms! [prmnub1]![prm1]=6*m-1 Forms! [prmnub1]![prm2]=6*m-1 BP=BP+1 m2: DoCmd.GoToRecordacDataForm,”prmnub1”, acNext If Forms! [prmnub1]![id]>D3 Then GoTo LL GoTo m1

LL: wpa2= Time(), П4= ’’The End”

http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/28.pdf

Научный журнал КубГАУ, №110(06), 2015 года

20

DoCmd.Close acForm, “prmnubl”, acSaveYes End Sub

Например, пусть n = 100, тогда параметры чисел близнецов будут

находится в интервале 1 ^n\6 = 16, для наглядности воспользуемся Tab1,

имеем: FN = (4,6,8,9,11,13,14,15,16} ® Ch = N\Fn = {1,2,3,4,7,10,12},

Значит числа близнецы будут Tw = {6k ± 1 /k е Ch},

(p1 = 6 о 1 -1 = 5,p2 = 6 o 1 +1 = 7),(p1 = 6 o 2 -1 = 11,p2 = 6 o 2 +1 = 13),

(p1 = 6 о 3 -1 = 17,p2 = 6 о 3 +1 = 19), (p1 = 6 о 5 -1 = 29,p2 = 6 о 5 +1 = 31;,

(p1 = 6 о 7 -1 = 41,p2 = 6 о 7 +1 = 43), (p1 = 6 о 10-1 = 59,p2 = 6 о 10 +1 = 61), (p1 = 6 о 12 -1 = 71, p2 = 6 о 12 +1 = 73).

Отметим, что параметр чисел близнецов k принадлежит множеству Ch. Докажем их бесконечность.

Теорема. Множество чисел близнецов бесконечно.

Доказательство теоремы проведем методом математической индукции. Построим базу индукции из последовательностей Chг по числам лежащих на множестве N \ FN (табл. 1) по следующей схеме, пусть число N есть максимальное значение функции f12 (x,y) в строках (xm .yn ).

1) (1;1),N £ 8 тогда fn(x,y) = {4} f12 (x,y)={8} f21 (x,y) = {6} f22 (Х,У) = {61 FNi = {4,6,8}. Тогда последовательность Ch1 = N \ FN1 = {1,2,3,5,7}.

Пусть FN0 = {4}® Ch0 = N/FN 0 = {1,2,3}® 4 = ChJ Ch0 = {5,7}.

2) (1;2),N £ 15тогда fn(x,y) = {4,9,15}, fn(x,y) = {8,15}, f2X(x,y) = {6,13}, f22 (x,y ) = {6,11}, FN2 = {4,6,8,9,11,13,14,15}, тогда

Ch2 = N\FN2 = {1,2,3,5,7,10,12}. A2 = Ch 2/ Chx = {10,12}.

3) (1;3;,N £ 2 fn(x,y) = {4,9,14},fn(x,y) = {8,15,22},f21(x,y) = {6,13,20}, f22 (x,y) = { 6,11,16,21 },FN3 = { 4,6,8,9,11,13,14,15,16,19,20,21}, тогда

Ch3 = N\ FN3 = {1,2,3,5,7,10,12,17,18}. A2 = Ch3/Ch2 = {17,18}.

4) (1;4),N £ 29 fn(x,y) = {4,9,14,19}, fxl(x,y)= {8,15,22,28,29},

fn(x,y) = {6,13,20,24,27}, f21 (x,y) = {6,11,16,21,26},

FN4 = {4,6,8,9,11,13,14,15,16,19,20,21,22,24,26,27,28,29},

http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/28.pdf

Научный журнал КубГАУ, №110(06), 2015 года

21

f22(x,y) = { 6,11,16,21,26 },FN4 = {4,6,8,9,11,13,14,15,16,19,20,21,22,24,26,27,28,29}, тогда Ch4 = N\FN4 = {1,2,3,5,7,10,12,17,18,23,25} A4 = Ch4/Ch3 ={23,25}

5) (1;5),N £ 36 fn(x,y) = {4,9,14,19.20,24,29,31,34},

fu(x,y) = {8,15,22,28,29,36}, f2l(x,y) = {6,13,20,24,27,34}, f 2 (x,y) = {6,11,16,21,26,31,35,36},

FN5 = {4,6,8,9,11,13,14,15,16,19,20,21,22,24,26,27,28,29,31,34,35,36},

тогда Ch5 = N\FN5 = {1,2,3,5,7,10,12,17,18,23,25,30,32,33}

A5 = Ch5/Ch4 ={30,32,33} ...

Так как частные производные 1-го порядка функций (5): f 11(x,y)/dx = 6y-1, dfn(x,y)/dy = 6x-1, 3f12(x,y)/dx = 6y +1; f (x,y)/dy = 6x +1, dfn(x,y)/dx = 6y-1, dfn(x,y)/dy = 6x +1; dfn(x,y)/dx = 6y -1, df22(x,y)/dy = 6x -1 при xeN имеют положительные значения, то функции являются возрастающими по обеим направлениям переменных x и y, тогда значения функций (5) должны быть различными, но т.к. функции (5) от двух переменных, могут быть и значения функций равными, хотя это и не влияет, ибо отсеются при объединениях последовательностей FNm и займут одно свое место не влияя на структуру и на тенденцию роста элементов множества Chm = N \ FNm , т.е. элементы множества Ch останутся все различными. Пусть процедура получения последовательностей Cht верна для An.

Допустим, что An+1 = Chn+1 \Chn =0, тогда в силу того, что элементы Ckt синтезируются из чисел находящихся между значениями

функций (5) получаем, что функции (5) должны быть ограниченными и не возрастающими. Но это противоречит уже ранее доказанному, что функции (5) бесконечные и возрастающие. Из этого противоречия следует, что An+! ^0, т.е. существует и последовательность Chn+ь

http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/28.pdf

Научный журнал КубГАУ, №110(06), 2015 года

22

Таким образом, построено счетное множество последовательностей Chj , а как известно, любое счетное множество с различными элементами

является бесконечным множеством, поэтому последовательность параметров k чисел близнецов - бесконечны, а значит и бесконечны и сами числа близнецы Tw = {6k ± 1 / k е Ch} ч.т.д.

Параметры чисел близнецов от 1 до 6100: Ch = {1, 2, 3, 5, 7, 10, 12,

17, 18, 23, 25, 30, 32, 33, 38, 40, 45, 47, 52, 58, 70, 72, 77, 87, 95, 100, 103, 107, 110, 135, 137, 138, 143, 147, 170, 172, 175, 177, 182, 192, 205, 213, 215, 217, 220, 238, 242, 247, 248, 268. 270, 278, 283, 287, 298, 312, 313, 322, 325, 333, 338, 347, 348, 352, 355, 357, 373, 378, 385, 390, 397, 425, 432, 443, 448, 452, 455, 465, 467, 495, 500, 520, 528, 542, 543, 550, 555, 560, 562, 565, 577, 578, 588, 590, 593, 597, 612, 628, 637, 642, 653, 655, 667, 670, 675, 682, 688, 693, 703, 705, 707, 710, 712, 723, 737, 747, 753, 758, 773, 775, 787, 798, 800, 822, 828, 835, 837, 850, 872, 880, 903, 907, 913, 917, 920, 940, 942, 943, 957, 975, 978, 980, 1015}.

Заключение

В работе проведено комплексное исследование проблемы распределения простых чисел и чисел-близнецов, включающее теоретическое исследование, его программное обеспечение и численный анализ. Предложен новый алгоритм нахождения распределения простых чисел, получен закон распределения параметров составных и простых чисел, представлены описание и алгоритм нахождения чисел-близнецов. Дано доказательства бесконечности чисел-близнецов.

Литература

1. Чермидов С.И. О факторизации натуральных чисел// Диалоги о Науке №2. 2011. 68 с.

2. Tsermidis S. I. Метод определения, алгоритм распределения и точное количество простых чисел в интервале 1-N // Научная перспектива № 4 2011. 45 с.

3. Sergios I. T. Распределение составных и простых чисел. Алгоритм чисел близнецов и их бесконечность // Publications international scientific conference , 24 - 29 March 2014 , Tsaghkadzor. 128 p.

http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/28.pdf

Научный журнал КубГАУ, №110(06), 2015 года

23

References

1. Chermidov S.I. O faktorizacii natural'nyh chisel// Dialogi o Nauke №2. 2011. 68 s.

2. Tsermidis S. I. Metod opredelenija, algoritm raspredelenija i tochnoe kolichestvo prostyh chisel v intervale 1-N // Nauchnaja perspektiva № 4 2011. 45 s.

3. Sergios I. T. Raspredelenie sostavnyh i prostyh chisel. Algoritm chisel bliznecov i ih beskonechnost' // Publications international scientific conference , 24 - 29 March 2014 , Tsaghkadzor. 128 p.

http://ej.kubagro.ru/2015/06/pdf/28.pdf